实际问题与一元二次方程(4)

实际问题与一元二次方程(4)

‎21.3 实际问题与一元二次方程(4)‎ ‎ 教学内容 ‎ 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．‎ ‎ 教学目标 ‎ 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．‎ ‎ 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题．‎ ‎ 重难点关键 ‎ 1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．‎ ‎ 2．难点与关键：建模．‎ ‎ 教具、学具准备 ‎ 小黑板 ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？‎ ‎ 二、探究新知 ‎ 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．‎ ‎ 请思考下面的二道例题．‎ ‎ 例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶‎200m需要多长时间?‎ ‎ 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．‎ ‎ 解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0‎ ‎ 解得t=（s）‎ ‎ 答：行驶‎200m需s．‎ ‎ 例2．一辆汽车以‎20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行‎25m后停车．‎ ‎（1）从刹车到停车用了多少时间?‎ ‎（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?‎ ‎（3）刹车后汽车滑行到‎15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?‎ ‎ 分析：（1）刚刹车时时速还是‎20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=‎10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．‎ ‎ （2）很明显，刚要刹车时车速为‎20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．‎ ‎ （3）设刹车后汽车滑行到‎15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到‎15米的车速，从而可求出刹车到滑行到‎15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．‎ 5‎ ‎ 解：（1）从刹车到停车所用的路程是‎25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）‎ ‎ 那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）‎ ‎ （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20‎ ‎ 从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）‎ ‎ （3）设刹车后汽车滑行到‎15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s ‎ 则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s ‎ 所以x（20-4x）=15‎ ‎ 整理得：4x2-20x+15=0‎ ‎ 解方程：得x=‎ ‎ x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）‎ ‎ 答：刹车后汽车行驶到‎15m时约用0.9s．‎ ‎ 三、巩固练习 ‎ （1）同上题，求刹车后汽车行驶‎10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）‎ ‎ （2）刹车后汽车行驶到‎20m时约用了多少时间．（精确到0.1s）‎ ‎ 四、应用拓展 ‎ 例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．‎ ‎ （1）小岛D和小岛F相距多少海里?‎ ‎ （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）‎ ‎ 分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．‎ ‎ （2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．‎ ‎ 解：（1）连结DF，则DF⊥BC ‎ ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．‎ ‎ ∴AC=AB=200海里，∠C=45°‎ 5‎ ‎ ∴CD=AC=100海里 ‎ DF=CF，DF=CD ‎ ∴DF=CF=CD=×100=100（海里）‎ ‎ 所以，小岛D和小岛F相距100海里．‎ ‎ （2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，‎ ‎ EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 ‎ 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 ‎ x2=1002+（300-2x）2‎ ‎ 整理，得3x2-1200x+100000=0‎ ‎ 解这个方程，得：x1=200-≈118.4‎ ‎ x2=200+（不合题意，舍去）‎ ‎ 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．‎ ‎ 五、归纳小结 ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ 运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材综合运用9 复习题22 综合运用9．‎ ‎ 2．选用作业设计:‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）．‎ ‎ A．25 B．‎36 C．25或36 D．-25或-36‎ ‎2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过‎3km都需付7元车费）；超过‎3km以后，每增加‎1km，加收2.4元（不足‎1km按‎1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）．‎ ‎ A．正好‎8km B．最多‎8km C．至少‎8km D．正好‎7km 二、填空题 ‎1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2‎ ‎ 如果抛出‎40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）‎ ‎2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：‎ 时间t（s）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ 5‎ 距离s（m）‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎32‎ ‎……‎ ‎ 写出用t表示s的关系式为_______．‎ 三、综合提高题 ‎1．一个小球以‎10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动‎20m后小球停下来．‎ ‎ （1）小球滚动了多少时间?‎ ‎ （2）平均每秒小球的运动速度减少多少?‎ ‎ （3）小球滚动到‎5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?‎ ‎2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．‎ 答案:‎ 一、1．C 2．B 二、1．‎19.3m/s 2．s=2t2‎ 三、‎ ‎1．（1）小球滚动的平均速度==5（m/s） 小球滚动的时间：=4（s） ‎ ‎（2）=2.5（m/s） ‎ ‎（3）小球滚动到‎5m时约用了xs 平均速度==‎ ‎ 依题意，得：x·=5，整理得：x2-8x+4=0‎ 5‎ ‎ 解得：x=4±2，所以x=4-2‎ ‎2．能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502‎ ‎ 整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2，x2=2，‎ ‎∴最早再过2小时能侦察到．‎ 5‎