2020年湖南省永州市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】
2020年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1. -2020的相反数为（ ）
A.-12020 B.2020 C.-2020 D.12020
2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）
A. 注意安全
B.水深危险
C.必须戴安全帽
D.注意通风
3. 永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）
A.6.353×105人 B.63.53×105人 C.6.353×106人 D.0.6353×107人
4. 下列计算正确的是（ ）
A.a2b+2ab2＝3a3b3 B.a6÷a3＝a2
C.a6⋅a3＝a9 D.(a3)2＝a5
5. 已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（ ）
A.众数是8 B.平均数是6 C.中位数是8 D.方差是9
6. 如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≅△DCB的方法是（ ）
A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA
7. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8. 如图，在△ABC中，EF // BC，AEEB=23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
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A.913 B.25 C.35 D.63
9. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A.4 B.2 C.3 D.23
10. 已知点P(x0, y0)和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d=|kx0-y0+b|1+k2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1, 1)，半径为1，直线l的表达式为y＝-2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A.355 B.355-1 C.655-1 D.2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 函数y=1x-3中，自变量x的取值范围是________．
12. 方程组x+y=42x-y=2 的解是________．
13. 若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：
成绩
90≤x≤100
80≤x<90
70≤x<80
60≤x<70
x<60
人数
25
15
5
4
1
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含8以上的学生有________人．
15. 已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．
16. 已知直线a // b，用一块含30∘角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25∘，则∠2＝________．
17. 如图，正比例函数y＝-x与反比例函数y=-6x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为________．
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18. ∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60∘，在∠AOB内有一点P(4, 3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是________．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：20200+38sin30∘-(12)-1．
20. 先化简，再求值：(1a+1-a+2a2-1⋅a2-2a+1a2+4a+4)⋅(a+2)，其中a＝2．
21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A:90
-4
14.480
15.π4
16.35∘
17.6
18.53
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.原式＝1+2×12-2
＝1+1-2
＝0．
20.原式＝[1a+1-a+2(a+1)(a-1)⋅(a-1)2(a+2)2]•(a+2)
＝[1a+1-a-1(a+1)(a+2)]•(a+2)
=a+2a+1-a-1a+1
=3a+1，
当a＝2时，
原式=32+1=1．
21.∵ 被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴ C等级人数为40-(4+28+2)＝6（人），
补全图形如下：
15,5,252∘
画树状图如下：
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共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
∴ 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．
22.这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB＝∠ADC＝90∘，
由题意得：AB＝60，∠BAD＝90∘-60∘＝30∘，
∴ BD=12AB＝30，AD=3BD＝303≈51.9>50，
∴ 这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
由（1）得：BD＝30，AD＝303，
∵ BC＝3×30＝90，
∴ DC＝BC-BD＝90-30＝60，
在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=(303)2+602=307≈79.50（海里）；
答：A，C之间的距离约为79.50海里．
23.设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有
1600x=9600x+10，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
x+10＝2+10＝12．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；
设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有
2y+12(2000-y)≤10000，
解得y≥1400．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
24.如图，连接OC，
∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB，
∵ AB是直径，
∴ ∠ACB＝90∘，
∵ E为BD的中点，
∴ BE＝CE＝DE，
∴ ∠ECB＝∠EBC，
∵ BD与⊙O相切于点B，
∴ ∠ABD＝90∘，
∴ ∠OBC+∠EBC＝90∘，
∴ ∠OCB+∠ECB＝90∘，
∴ ∠OCE＝90∘
∴ OC⊥CE，
又∵ OC为半径，
∴ CE是⊙O的切线；
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连接OE，
∵ ∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，
∴ △BCD∽△ABD，
∴ BDAD=CDBD，
∴ BD2＝AD⋅CD，
∴ (35)2＝5AD，
∴ AD＝9，
∵ E为BD的中点，AO＝BO，
∴ OE=12AD=92，
∴ O，E两点之间的距离为92．
25.设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，
在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴ OA＝OB＝OC＝2，
∴ A(-2, 0)，B(2, 0)，C(0, -2)，
∴ 4a+2b+c=04a-2b+c=0c=-2 ，
解得，a=12b=0c=-2 ，
∴ 抛物线的解析式为y=12x2-2；
①设直线l的解析式为y＝kx，M(x1, y1)，N(x2, y2)，
由y=12x2-2y=kx ，可得12x2-kx-2=0，
∴ x1+x2＝2k，x1⋅x2＝-4，
∴ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4k2+16，
∴ |x1-x2|=2k2+4，
∴ S△CMN=12OC⋅|x1-x2|=2k2+4，
∴ 当k＝0时2k2+4取最小值为4．
∴ △CMN面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点P(m, 12m2-2)，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴ OP＝OQ，即12+(32)2=m2+(12m2-2)2，
解得，m1=3，m2=-3，m3＝1，m4＝-1，
∵ m3＝1，m4＝-1不合题意，舍去，
当m1=3时，点P(3,-12)，
线段PQ的中点为(1+32,-1)，
∴ 1+32k=-1，
∴ k=1-3，
∴ 直线l的表达式为：y＝(1-3)x，
当m2=-3时，点P(-3, -12)，
线段PQ的中点为(1-32, -1)，
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∴ 1-32k=-1，
∴ k=1+3，
∴ 直线l的解析式为y＝(1+3)x．
综上，点P(3, -12)，直线l的解析式为y＝(1-3)x或点P(-3, -12)，直线l的解析式为y＝(1+3)x．
26.在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，
分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，
∴ ∠BEC＝∠DFC＝90∘，
∵ 两纸条等宽，
∴ BE＝DF＝6，
∵ ∠BCE＝∠DCF＝45∘，
∴ BC＝CD＝62，
∵ 两纸条都是矩形，
∴ AB // CD，BC // AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又BC＝DC，
∴ 四边形ABCD是菱形；
①当0
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