2020年浙江省绍兴市中考数学试卷【含答案及详细解释】

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷【含答案及详细解释】

1 / 18 2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请选出每小题中一个最符合 题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 实数2，0，−2，√2中，为负数的是（ ） A.2 B.0 C.−2 D.√2 2. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科 学记数法可表示为（ ） A.0.202 × 1010 B.2.02 × 109 C.20.2 × 108 D.2.02 × 108 3. 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点퐴，퐵，퐶，퐷，퐸均在⊙ 푂上，∠퐵퐴퐶＝15∘，∠퐶퐸퐷＝30∘，则∠퐵푂퐷的度 数为（ ） A.45∘ B.60∘ C.75∘ D.90∘ 5. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2: 5，且三角 板的一边长为8푐푚．则投影三角板的对应边长为（ ） A.20푐푚 B.10푐푚 C.8푐푚 D.3.2푐푚 6. 如图，小球从퐴入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性 相等．则小球从퐸出口落出的概率是（ ） A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 7. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接， 但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8. 如图，点푂为矩形퐴퐵퐶퐷的对称中心，点퐸从点퐴出发沿퐴퐵向点퐵运动，移动到点퐵 停止，延长퐸푂交퐶퐷于点퐹，则四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为（ ） A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形→正方形→矩形 2 / 18 9. 如图，等腰直角三角形퐴퐵퐶中，∠퐴퐵퐶＝90∘，퐵퐴＝퐵퐶，将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转 휃(0∘ < 휃 < 90∘)，得到퐵푃，连结퐶푃，过点퐴作퐴퐻 ⊥ 퐶푃交퐶푃的延长线于点퐻，连结퐴푃， 则∠푃퐴퐻的度数（ ） A.随着휃的增大而增大 B.随着휃的增大而减小 C.不变 D.随着휃的增大，先增大后减小 10. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210푘푚，它们各自单独行驶并 返回的最远距离是105푘푚．现在它们都从퐴地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃 料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回퐴地，而乙车继续 行驶，到퐵地后再行驶返回퐴地．则퐵地最远可距离퐴地（ ） A.120푘푚 B.140푘푚 C.160푘푚 D.180푘푚 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11. 分解因式：1 − 푥2＝________． 12. 若关于푥，푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2, 퐴 = 0 的解为{푥 = 1, 푦 = 1, 则多项式퐴可以是 ________． 13. 如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片， 把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中 阴影部分面积为________． 14. 如图，已知边长为2的等边三角形퐴퐵퐶中，分别以点퐴，퐶为圆心，푚为半径作弧， 两弧交于点퐷，连结퐵퐷．若퐵퐷的长为2√3，则푚的值为________． 15. 有两种消费券：퐴券，满60元减20元，퐵券，满90元减30元，即一次购物大于等 于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张퐴券，小聪有一张퐵券，他们 都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元， 则所购商品的标价是________元． 16. 将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片）， 各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 ________（填序号）． ①√2，②1，③√2 − 1，④√3 2 ，⑤√3． 三、解答题（本大题有 8 小题，第 17～20 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22， 23 小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算 步骤或证明过程） 17. （1）计算：√8 − 4cos45∘ + (−1)2020． 3 / 18 （2）化简：(푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦)． 18. 如图，点퐸是▱퐴퐵퐶퐷的边퐶퐷的中点，连结퐴퐸并延长，交퐵퐶的延长线于点퐹． （1）若퐴퐷的长为2，求퐶퐹的长． （2）若∠퐵퐴퐹＝90∘，试添加一个条件，并写出∠퐹的度数． 19. 一只羽毛球的重量合格标准是5.0克∼ 5.2克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份 生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表． 4月份生产的羽毛球重量统计表 组别 重量푥（克） 数量（只） 퐴 푥 < 5.0 푚 퐵 5.0 ≤ 푥 < 5.1 400 퐶 5.1 ≤ 푥 < 5.2 550 퐷 푥 ≥ 5.2 30 （1）求表中푚的值及图中퐵组扇形的圆心角的度数． （2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒 （每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？ 4 / 18 20. 我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤 纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平 距离为푥（厘米）时，秤钩所挂物重为푦（斤），则푦是푥的一次函数．下表中为若干次 称重时所记录的一些数据． 푥（厘米） 1 2 4 7 11 12 푦（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表푥，푦的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法， 观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重 是多少？ 21. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架 由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块퐸，퐻可分别沿等长的立柱퐴퐵，퐷퐶上下 移动，퐴퐹＝퐸퐹＝퐹퐺＝1푚． （1）若移动滑块使퐴퐸＝퐸퐹，求∠퐴퐹퐸的度数和棚宽퐵퐶的长． 5 / 18 （2）当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时，问棚宽퐵퐶是增加还是减少？增加或减少了多少？ （结果精确到0.1푚，参考数据：√3 ≈ 1.73，sin37∘ ≈ 0.60，cos37∘ ≈ 0.80， tan37∘ ≈ 0.75） 22. 问题：如图，在△ 퐴퐵퐷中，퐵퐴＝퐵퐷．在퐵퐷的延长线上取点퐸，퐶，作△ 퐴퐸퐶，使 퐸퐴＝퐸퐶．若∠퐵퐴퐸＝90∘，∠퐵＝45∘，求∠퐷퐴퐶的度数． 答案：∠퐷퐴퐶＝45∘． 思考：（ （1））如果把以上“问题”中的条件“∠퐵＝45∘”去掉，其余条件不变，那么∠퐷퐴퐶 的度数会改变吗？说明理由． （2）如果把以上“问题”中的条件“∠퐵＝45∘”去掉，再将“∠퐵퐴퐸＝90∘”改为 “∠퐵퐴퐸＝푛∘”，其余条件不变，求∠퐷퐴퐶的度数． 23. 如图1，排球场长为18푚，宽为9푚，网高为2.24푚，队员站在底线푂点处发球，球 从点푂的正上方1.9푚的퐶点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点퐴时， 高度为2.88푚，即퐵퐴＝2.88푚，这时水平距离푂퐵＝7푚，以直线푂퐵为푥轴，直线푂퐶为푦 轴，建立平面直角坐标系，如图2． 6 / 18 （1）若球向正前方运动（即푥轴垂直于底线），求球运动的高度푦(푚)与水平距离푥(푚) 之间的函数关系式（不必写出푥取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说 明理由． （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点푃（如图1，点푃距底线1푚，边线 0.5푚），问发球点푂在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4） 24. 如图1，矩形퐷퐸퐹퐺中，퐷퐺＝2，퐷퐸＝3，푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，퐶퐴＝퐶퐵＝2， 퐹퐺，퐵퐶的延长线相交于点푂，且퐹퐺 ⊥ 퐵퐶，푂퐺＝2，푂퐶＝4．将△ 퐴퐵퐶绕点푂逆时针 旋转훼(0∘ ≤ 훼 < 180∘)得到△ 퐴′퐵′퐶′． （1）当훼＝30∘时，求点퐶′到直线푂퐹的距离． （2）在图1中，取퐴′퐵′的中点푃，连结퐶′푃，如图2． ①当퐶′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的一条边平行时，求点퐶′到直线퐷퐸的距离． ②当线段퐴′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的边有且只有一个交点时，求该交点到直线퐷퐺的距离的取 值范围． 7 / 18 参考答案与试题解析 2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请选出每小题中一个最符合 题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1.【答案】 C 【解答】 实数2，0，−2，√2中，为负数的是−2， 2.【答案】 B 【解答】 2020000000＝2.02 × 109， 3.【答案】 D 【解答】 퐴、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 퐵、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 퐶、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 퐷、是中心对称图形，故本选项符合题意． 4.【答案】 D 【解答】 连接퐵퐸， ∵ ∠퐵퐸퐶＝∠퐵퐴퐶＝15∘，∠퐶퐸퐷＝30∘， ∴ ∠퐵퐸퐷＝∠퐵퐸퐶 + ∠퐶퐸퐷＝45∘， ∴ ∠퐵푂퐷＝2∠퐵퐸퐷＝90∘． 5.【答案】 A 【解答】 设投影三角尺的对应边长为푥푐푚， ∵ 三角尺与投影三角尺相似， ∴ 8: 푥＝2: 5， 解得푥＝20． 6.【答案】 C 【解答】 由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有퐸、퐹、퐺、퐻四个， 所以小球从퐸出口落出的概率是：1 4 ； 7.【答案】 B 【解答】 ①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； 8 / 18 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 8.【答案】 B 【解答】 观察图形可知，四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 9.【答案】 C 【解答】 ∵ 将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转휃(0∘ < 휃 < 90∘)，得到퐵푃， ∴ 퐵퐶＝퐵푃＝퐵퐴， ∴ ∠퐵퐶푃＝∠퐵푃퐶，∠퐵푃퐴＝∠퐵퐴푃， ∵ ∠퐶퐵푃 + ∠퐵퐶푃 + ∠퐵푃퐶＝180∘，∠퐴퐵푃 + ∠퐵퐴푃 + ∠퐵푃퐴＝180∘，∠퐴퐵푃 + ∠퐶퐵푃 ＝90∘， ∴ ∠퐵푃퐶 + ∠퐵푃퐴＝135∘＝∠퐶푃퐴， ∵ ∠퐶푃퐴＝∠퐴퐻퐶 + ∠푃퐴퐻＝135∘， ∴ ∠푃퐴퐻＝135∘ − 90∘＝45∘， ∴ ∠푃퐴퐻的度数是定值， 10.【答案】 B 【解答】 设甲行驶到퐶地时返回，到达퐴地燃料用完，乙行驶到퐵地再返回퐴地时燃料用完，如 图： 设퐴퐵＝푥푘푚，퐴퐶＝푦푘푚，根据题意得： {2푥 + 2푦 = 210 × 2 푥 − 푦 + 푥 = 210 ， 解得：{푥 = 140 푦 = 70 ． ∴ 乙在퐶地时加注行驶70푘푚的燃料，则퐴퐵的最大长度是140푘푚． 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11.【答案】 (1 + 푥)(1 − 푥) 【解答】 1 − 푥2＝(1 + 푥)(1 − 푥)． 12.【答案】 答案不唯一，如푥 − 푦 【解答】 ∵ 关于푥，푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2 퐴 = 0 的解为{푥 = 1 푦 = 1 ， 而1 − 1＝0， ∴ 多项式퐴可以是答案不唯一，如푥 − 푦． 13.【答案】 4√5 【解答】 由题意可得， 直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2， 故直角三角形的另一条直角边长为：√32 − 22 = √5， 故阴影部分的面积是：2×√5 2 × 4 = 4√5， 14.【答案】 2或2√7 【解答】 由作图知，点퐷在퐴퐶的垂直平分线上， ∵ △ 퐴퐵퐶是等边三角形， 9 / 18 ∴ 点퐵在퐴퐶的垂直平分线上， ∴ 퐵퐷垂直平分퐴퐶， 设垂足为퐸， ∵ 퐴퐶＝퐴퐵＝2， ∴ 퐵퐸 = √3， 当点퐷、퐵在퐴퐶的两侧时，如图， ∵ 퐵퐷＝2√3， ∴ 퐵퐸＝퐷퐸， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵＝2， ∴ 푚＝2； 当点퐷、퐵在퐴퐶的同侧时，如图， ∵ 퐵퐷′＝2√3， ∴ 퐷′퐸＝3√3， ∴ 퐴퐷′ = √(3√3)2 + 12 = 2√7， ∴ 푚＝2√7， 综上所述，푚的值为2或2√7， 15.【答案】 100或85 【解答】 设所购商品的标价是푥元，则 ①所购商品的标价小于90元， 푥 − 20 + 푥＝150， 解得푥＝85； ②所购商品的标价大于90元， 푥 − 20 + 푥 − 30＝150， 解得푥＝100． 故所购商品的标价是100或85元． 16.【答案】 ①②③④ 【解答】 如图所示： 则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2 − 1，④√3 2 ，不可以是√3． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题有 8 小题，第 17～20 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22， 23 小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算 步骤或证明过程） 17.【答案】 原式＝2√2 − 4 × √2 2 + 1 ＝2√2 − 2√2 + 1 ＝1； (푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦) 10 / 18 ＝푥2 + 2푥푦 + 푦2 − 푥2 − 2푥푦 ＝푦2． 【解答】 原式＝2√2 − 4 × √2 2 + 1 ＝2√2 − 2√2 + 1 ＝1； (푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦) ＝푥2 + 2푥푦 + 푦2 − 푥2 − 2푥푦 ＝푦2． 18.【答案】 ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷 // 퐶퐹， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠퐶퐹퐸，∠퐴퐷퐸＝∠퐹퐶퐸， ∵ 点퐸是퐶퐷的中点， ∴ 퐷퐸＝퐶퐸， 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐹퐶퐸中，{ ∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸 ∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸 퐷퐸 = 퐶퐸 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆)， ∴ 퐶퐹＝퐴퐷＝2； ∵ ∠퐵퐴퐹＝90∘， 添加一个条件：当∠퐵＝60∘时，∠퐹＝90∘ − 60∘＝30∘（答案不唯一）． 【解答】 ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷 // 퐶퐹， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠퐶퐹퐸，∠퐴퐷퐸＝∠퐹퐶퐸， ∵ 点퐸是퐶퐷的中点， ∴ 퐷퐸＝퐶퐸， 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐹퐶퐸中，{ ∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸 ∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸 퐷퐸 = 퐶퐸 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆)， ∴ 퐶퐹＝퐴퐷＝2； ∵ ∠퐵퐴퐹＝90∘， 添加一个条件：当∠퐵＝60∘时，∠퐹＝90∘ − 60∘＝30∘（答案不唯一）． 19.【答案】 表中푚的值为20，图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘； 这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有6只 【解答】 550 ÷ 55%＝1000（只），1000 − 400 − 550 − 30＝20（只） 即：푚＝20， 360∘ × 400 1000 = 144∘， 答：表中푚的值为20，图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘； 400 1000 + 550 1000 = 950 1000 = 95%， 12 × 10 × (1 − 95%)＝120 × 5%＝6（只）， 答：这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有6只． 20.【答案】 观察图象可知：푥＝7，푦＝2.75这组数据错误． 11 / 18 设푦＝푘푥 + 푏，把푥＝1，푦＝0.75，푥＝2，푦＝1代入可得{푘 + 푏 = 0.75 2푘 + 푏 = 1 ， 解得{ 푘 = 1 4 푏 = 1 2 ， ∴ 푦 = 1 4 푥 + 1 2 ， 当푥＝16时，푦＝4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤． 【解答】 观察图象可知：푥＝7，푦＝2.75这组数据错误． 设푦＝푘푥 + 푏，把푥＝1，푦＝0.75，푥＝2，푦＝1代入可得{푘 + 푏 = 0.75 2푘 + 푏 = 1 ， 解得{ 푘 = 1 4 푏 = 1 2 ， ∴ 푦 = 1 4 푥 + 1 2 ， 当푥＝16时，푦＝4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤． 21.【答案】 ∵ 퐴퐸＝퐸퐹＝퐴퐹＝1， ∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形， ∴ ∠퐴퐹퐸＝60∘， 连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾，则퐹푀＝2퐹퐾， ∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形， ∴ 퐴퐾 = 1 2 ， ∴ 퐹퐾 = √퐴퐹2 − 퐴퐾2 = √3 2 ， ∴ 퐹푀＝2퐹퐾 = √3， ∴ 퐵퐶＝4퐹푀＝4√3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚)； ∵ ∠퐴퐹퐸＝74∘， ∴ ∠퐴퐹퐾＝37∘， ∴ 퐾퐹＝퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80， ∴ 퐹푀＝2퐹퐾＝1.60， ∴ 퐵퐶＝4퐹푀＝6.40 < 6.92， 6.92 − 6.40＝0.5， 答：当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时，棚宽퐵퐶是减少了，减少了0.5푚． 【解答】 ∵ 퐴퐸＝퐸퐹＝퐴퐹＝1， ∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形， ∴ ∠퐴퐹퐸＝60∘， 连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾，则퐹푀＝2퐹퐾， ∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形， ∴ 퐴퐾 = 1 2 ， 12 / 18 ∴ 퐹퐾 = √퐴퐹2 − 퐴퐾2 = √3 2 ， ∴ 퐹푀＝2퐹퐾 = √3， ∴ 퐵퐶＝4퐹푀＝4√3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚)； ∵ ∠퐴퐹퐸＝74∘， ∴ ∠퐴퐹퐾＝37∘， ∴ 퐾퐹＝퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80， ∴ 퐹푀＝2퐹퐾＝1.60， ∴ 퐵퐶＝4퐹푀＝6.40 < 6.92， 6.92 − 6.40＝0.5， 答：当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时，棚宽퐵퐶是减少了，减少了0.5푚． 22.【答案】 ∠퐷퐴퐶的度数不会改变； ∵ 퐸퐴＝퐸퐶， ∴ ∠퐴퐸퐷＝2∠퐶，① ∵ ∠퐵퐴퐸＝90∘， ∴ ∠퐵퐴퐷 = 1 2 [180∘ − (90∘ − 2∠퐶)]＝45∘ + ∠퐶， ∴ ∠퐷퐴퐸＝90∘ − ∠퐵퐴퐷＝90∘ − (45∘ + ∠퐶)＝45∘ − ∠퐶，② 由①，②得，∠퐷퐴퐶＝∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸＝45∘； 设∠퐴퐵퐶＝푚∘， 则∠퐵퐴퐷 = 1 2 (180∘ − 푚∘)＝90∘ − 1 2 푚∘，∠퐴퐸퐵＝180∘ − 푛∘ − 푚∘， ∴ ∠퐷퐴퐸＝푛∘ − ∠퐵퐴퐷＝푛∘ − 90∘ + 1 2 푚∘， ∵ 퐸퐴＝퐸퐶， ∴ ∠퐶퐴퐸 = 1 2 ∠퐴퐸퐵＝90∘ − 1 2 푛∘ − 1 2 푚∘， ∴ ∠퐷퐴퐶＝∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸＝푛∘ − 90∘ + 1 2 푚∘ + 90∘ − 1 2 푛∘ − 1 2 푚∘ = 1 2 푛∘． 【解答】 ∠퐷퐴퐶的度数不会改变； ∵ 퐸퐴＝퐸퐶， ∴ ∠퐴퐸퐷＝2∠퐶，① ∵ ∠퐵퐴퐸＝90∘， ∴ ∠퐵퐴퐷 = 1 2 [180∘ − (90∘ − 2∠퐶)]＝45∘ + ∠퐶， ∴ ∠퐷퐴퐸＝90∘ − ∠퐵퐴퐷＝90∘ − (45∘ + ∠퐶)＝45∘ − ∠퐶，② 由①，②得，∠퐷퐴퐶＝∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸＝45∘； 设∠퐴퐵퐶＝푚∘， 则∠퐵퐴퐷 = 1 2 (180∘ − 푚∘)＝90∘ − 1 2 푚∘，∠퐴퐸퐵＝180∘ − 푛∘ − 푚∘， ∴ ∠퐷퐴퐸＝푛∘ − ∠퐵퐴퐷＝푛∘ − 90∘ + 1 2 푚∘， ∵ 퐸퐴＝퐸퐶， ∴ ∠퐶퐴퐸 = 1 2 ∠퐴퐸퐵＝90∘ − 1 2 푛∘ − 1 2 푚∘， ∴ ∠퐷퐴퐶＝∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸＝푛∘ − 90∘ + 1 2 푚∘ + 90∘ − 1 2 푛∘ − 1 2 푚∘ = 1 2 푛∘． 23.【答案】 设抛物线的表达式为：푦＝푎(푥 − 7)2 + 2.88， 将푥＝0，푦＝1.9代入上式并解得：푎 = − 1 50 ， 故抛物线的表达式为：푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88； 当푥＝9时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝2.8 > 2.24， 当푥＝18时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝0.64 > 0， 13 / 18 故这次发球过网，但是出界了； 如图，分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄， 在푅푡 △ 푂푃푄中，푂푄＝18 − 1＝17， 当푦＝0时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝0，解得：푥＝19或−5（舍去−5）， ∴ 푂푃＝19，而푂푄＝17， 故푃푄＝6√2 = 8.4， ∵ 9 − 8.4 − 0.5＝0.1， ∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处． 【解答】 设抛物线的表达式为：푦＝푎(푥 − 7)2 + 2.88， 将푥＝0，푦＝1.9代入上式并解得：푎 = − 1 50 ， 故抛物线的表达式为：푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88； 当푥＝9时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝2.8 > 2.24， 当푥＝18时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝0.64 > 0， 故这次发球过网，但是出界了； 如图，分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄， 在푅푡 △ 푂푃푄中，푂푄＝18 − 1＝17， 当푦＝0时，푦 = − 1 50 (푥 − 7)2 + 2.88＝0，解得：푥＝19或−5（舍去−5）， ∴ 푂푃＝19，而푂푄＝17， 故푃푄＝6√2 = 8.4， ∵ 9 − 8.4 − 0.5＝0.1， ∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处． 24.【答案】 如图1中， 过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻． ∵ ∠퐻퐶′푂＝훼＝30∘， ∴ 퐶′퐻＝퐶′푂 ⋅ cos30∘＝2√3， ∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2√3． ①如图2中，当퐶′푃 // 푂퐹时，过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀． 14 / 18 ∵ 퐶′푃 // 푂퐹， ∴ ∠푂＝180∘ − ∠푂퐶′푃＝45∘， ∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形， ∵ 푂퐶′＝4， ∴ 퐶′푀＝2√2， ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 − 2． 如图3中，当퐶′푃 // 퐷퐺时，过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁． 同法可证△ 푂퐶′푁是等腰直角三角形， ∴ 퐶′푁＝2√2， ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 + 2． ②设푑为所求的距离． 第一种情形：如图4中，当点퐴′落在퐷퐸上时，连接푂퐴′，延长퐸퐷交푂퐶于푀． ∵ 푂퐴′＝2√5，푂푀＝2，∠푂푀퐴′＝90∘， ∴ 퐴′푀 = √퐴′푂2 − 푂푀2 = √(2√5)2 − 22 = 4， ∴ 퐴′퐷＝2，即푑＝2， 如图5中，当点푃落在퐷퐸上时，连接푂푃，过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄． ∵ 푃푄＝1，푂푄＝5， ∴ 푂푃 = √52 + 12 = √26， ∴ 푃푀 = √26 − 4 = √22， 15 / 18 ∴ 푃퐷 = √22 − 2， ∴ 푑 = √22 − 2， ∴ 2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2． 第二种情形：当퐴′푃与퐹퐺相交，不与퐸퐹相交时，当点퐴′在퐹퐺上时，퐴′퐺＝2√5 − 2，即 푑＝2√5 − 2， 如图6中，当点푃落在퐸퐹上时，设푂퐹交퐴′퐵′于푄，过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇，过点푃作 푃푅 // 푂푄交푂퐵′于푅，连接푂푃． ∵ 푂푃 = √26，푂퐹＝5， ∴ 퐹푃 = √푂푃2 − 푂퐹2 = √26 − 25 = 1， ∵ 푂퐹＝푂푇，푃퐹＝푃푇，∠퐹＝∠푃푇푂＝90∘， ∴ 푅푡 △ 푂푃퐹 ≅ 푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿)， ∴ ∠퐹푂푃＝∠푇푂푃， ∵ 푃푄 // 푂푄， ∴ ∠푂푃푅＝∠푃푂퐹， ∴ ∠푂푃푅＝∠푃푂푅， ∴ 푂푅＝푃푅， ∵ 푃푇2 + 푇푅2＝푃푅2， ∴ 12 + (5 − 푃푅)2＝푃푅2， ∴ 푃푅＝2.6，푅푇＝2.4， ∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂， ∴ 퐵′푅 퐵′푂 = 푃푅 푄푂 ， ∴ 3.4 6 = 2.6 푂푄 ， ∴ 푂푄 = 78 17 ， ∴ 푄퐺＝푂푄 − 푂퐺 = 44 17 ，即푑 = 44 17 ∴ 2√5 − 2 ≤ 푑 < 44 17 ， 第三种情形：当퐴′푃经过点퐹时，如图7中，显然푑＝3． 综上所述，2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2或푑＝3． 【解答】 如图1中， 16 / 18 过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻． ∵ ∠퐻퐶′푂＝훼＝30∘， ∴ 퐶′퐻＝퐶′푂 ⋅ cos30∘＝2√3， ∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2√3． ①如图2中，当퐶′푃 // 푂퐹时，过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀． ∵ 퐶′푃 // 푂퐹， ∴ ∠푂＝180∘ − ∠푂퐶′푃＝45∘， ∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形， ∵ 푂퐶′＝4， ∴ 퐶′푀＝2√2， ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 − 2． 如图3中，当퐶′푃 // 퐷퐺时，过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁． 同法可证△ 푂퐶′푁是等腰直角三角形， ∴ 퐶′푁＝2√2， ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 + 2． ②设푑为所求的距离． 第一种情形：如图4中，当点퐴′落在퐷퐸上时，连接푂퐴′，延长퐸퐷交푂퐶于푀． ∵ 푂퐴′＝2√5，푂푀＝2，∠푂푀퐴′＝90∘， ∴ 퐴′푀 = √퐴′푂2 − 푂푀2 = √(2√5)2 − 22 = 4， 17 / 18 ∴ 퐴′퐷＝2，即푑＝2， 如图5中，当点푃落在퐷퐸上时，连接푂푃，过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄． ∵ 푃푄＝1，푂푄＝5， ∴ 푂푃 = √52 + 12 = √26， ∴ 푃푀 = √26 − 4 = √22， ∴ 푃퐷 = √22 − 2， ∴ 푑 = √22 − 2， ∴ 2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2． 第二种情形：当퐴′푃与퐹퐺相交，不与퐸퐹相交时，当点퐴′在퐹퐺上时，퐴′퐺＝2√5 − 2，即 푑＝2√5 − 2， 如图6中，当点푃落在퐸퐹上时，设푂퐹交퐴′퐵′于푄，过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇，过点푃作 푃푅 // 푂푄交푂퐵′于푅，连接푂푃． ∵ 푂푃 = √26，푂퐹＝5， ∴ 퐹푃 = √푂푃2 − 푂퐹2 = √26 − 25 = 1， ∵ 푂퐹＝푂푇，푃퐹＝푃푇，∠퐹＝∠푃푇푂＝90∘， ∴ 푅푡 △ 푂푃퐹 ≅ 푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿)， ∴ ∠퐹푂푃＝∠푇푂푃， ∵ 푃푄 // 푂푄， ∴ ∠푂푃푅＝∠푃푂퐹， ∴ ∠푂푃푅＝∠푃푂푅， ∴ 푂푅＝푃푅， ∵ 푃푇2 + 푇푅2＝푃푅2， ∴ 12 + (5 − 푃푅)2＝푃푅2， ∴ 푃푅＝2.6，푅푇＝2.4， ∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂， ∴ 퐵′푅 퐵′푂 = 푃푅 푄푂 ， ∴ 3.4 6 = 2.6 푂푄 ， ∴ 푂푄 = 78 17 ， 18 / 18 ∴ 푄퐺＝푂푄 − 푂퐺 = 44 17 ，即푑 = 44 17 ∴ 2√5 − 2 ≤ 푑 < 44 17 ， 第三种情形：当퐴′푃经过点퐹时，如图7中，显然푑＝3． 综上所述，2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2或푑＝3．