中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19 轴对称与等腰三角形(教师版)

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中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19 轴对称与等腰三角形(教师版)

专题 19 轴对称与等腰三角形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点 1 图形的轴对称 轴对称概念:有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这 条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫 做轴对称. 轴对称的性质: 1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 2、 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。 轴对称图形概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。(对称轴必须是直线) 轴对称图形的性质(重点):如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应 点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 轴对称与轴对称图形的联系与区别 画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤: 1. 找到关键点,画出关键点的对应点, 2. 按照原图顺序依次连接各点。 用坐标表示轴对称: 1、点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(-x,y); 2、点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(x,-y); 1.(2017·重庆中考模拟)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; B、是中心对称图形,故本选项错误; C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 2.(2018·河北中考真题)图中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线( ) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 【答案】C 【详解】观察可知沿 l1 折叠时,直线两旁的部分不能够完全重合,故 l1 不是对称轴; 沿 l2 折叠时,直线两旁的部分不能够完全重合,故 l2 不是对称轴; 沿 l3 折叠时,直线两旁的部分能够完全重合,故 l3 是对称轴, 所以该图形的对称轴是直线 l3, 故选 C. 3.(2019·内蒙古中考真题)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对 称的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析:A.是轴对称图形,故本选项错误; B.是轴对称图形,故本选项错误; C.是轴对称图形,故本选项错误; D.不是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 4.(2018·重庆中考真题)下列图形中一定是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 A、40°的直角三角形不是轴对称图形,故不符合题意; B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形,故不符合题意; C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形,故不符合题意; D 矩形是轴对称图形,有两条对称轴,故符合题意, 故选 D. 5.(2019·山东中考真题)下列图形: 其中是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】A 【详解】 1 有两条对称轴;2 有两条对称轴;3 有四条对称轴;4 不是对称图形 故选 A. 考查题型一 画对称轴的方法 1.(2016·甘肃中考真题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A(0,1),B(3,2),C(1,4)均 在正方形网格的格点上. (1)画出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A1B1C1; (2)将△A1B1C1 沿 x 轴方向向左平移 3 个单位后得到△A2B2C2,写出顶点 A2,B2,C2 的坐标. 【答案】(1)答案见解析;(2)A2(﹣3,﹣1),B2(0,﹣2),C2(﹣2,﹣4). 【解析】 (1)、如图所示:△A1B1C1,即为所求; (2)、如图所示:△A2B2C2,即为所求, 点 A2(﹣3,﹣2),B2(0,﹣3),C2(﹣2,﹣5) 2.(2019·广西中考模拟)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,格点三角形(顶点是网格线 的交点的三角形)ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,5),(-2,1). (1)写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C′的坐标; (2)请作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′; (3)求△ABC 的面积. 【答案】 (1)点 C(-1,3), 点 Cˊ(1,3);(2)详见解析;(3)面积为 4 【详解】 (1)点 C(-1,3),点 Cˊ(1,3); (2)如图所示; (3)S△ABC=3×4 1 2  2×3 1 2  1×2 1 2  2×4=12﹣3﹣1﹣4=4. 3.(2019·甘肃中考模拟)在3 3 的正方形格点图中,有格点 ABC 和 DEF ,且 ABC 和 DEF 关于某 直线成轴对称,请在备用图中画出 4 个这样的 DEF . 【答案】见详解. 【解析】 如图,①,两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称;②,两个三角形关于过C 点的水平线对称,此时C 和 F 重合;③,两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称;④,两个三角形关于大正方形的过 B 点的对 角线对称轴对称,此时 B 和 E 重合, 4 个 DEF 即为所画. 考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围 1.(2013·江苏中考真题)已知点 P(3,2),则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是 ,点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是 . 【答案】(-3,2);(-3,-2) 【解析】 试题分析:关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,从而点 P(3,2)关于 y 轴对 称的点 P1 的坐标是(-3,2)。 关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数,从而点 P(3,2)关于原点 O 对称的点 P2 的坐标是 (-3,-2)。 2.在直角坐标系中,已知点 P(-4a,7),Q(8,b+2)根据条件,求 a,b 值 1)P,Q 关于 x 轴对称 2)P,Q 关于 y 轴对称 【答案】(-2,-9);(2,-5) 【解析】 1) 由题意可知-4a=8,-7=b+2,解得 a=-2,b=-9 2)由题意可知-4a=-8,7=b+2,解得 a=2,b=-5 考查题型三 利用轴对称解决折叠问题 1.(2018·黑龙江中考模拟)如图,将一个矩形纸片 ABCD,沿着 BE 折叠,使 C、D 两点分别落在点 1C 、 1D 处.若 1C BA 50   ,则 ABE 的度数为 ( ) A.10 B. 20 C.30 D. 40 【答案】B 【详解】 设∠ABE=x, 根据折叠前后角相等可知,∠C1BE=∠CBE=50°+x, 所以 50°+x+x=90°, 解得 x=20°. 故选:B 2.(2019·山东中考真题)小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机 翼间无缝隙), AOB 的度数是________. 【答案】45° 【详解】 在折叠过程中角一直是轴对称的折叠, 22.5 2 45AOB      故答案为:45° 3.(2017·内蒙古中考模拟)把一张长方形纸条按如图所示折叠后,若∠AOB′=70°,则∠B′OG=_____. 【答案】55° 【详解】 解:由翻折性质得,∠BOG=∠B′OG, ∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG=180°, ∴∠B′OG= 1 2 (180°﹣∠AOB′)= 1 2 (180°﹣70°)=55°. 故答案为 55°. 4.(2012·江苏中考模拟)如图,△ABC 中,AC=BC,把△ABC 沿 AC 翻折,点 B 落在点 D 处,连接 BD, 若∠ACB=100°,则∠CBD=_________° 【答案】10° 【解析】 三角形纸片 ABC,沿着 AC 翻折, ∴AB=AD,AC=BC,∠ACB=100°, ∴∠BAC=CAD=40°, ∴∠ABC=40°, ∴∠BCD=160°, ∴∠CBD=∠CDB=10° 考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题 1.(2019·吉林东北师大附中中考模拟)图①、图②均是 6 6 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点。 点 A 、 B 、 M 、 N 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图. (1)在图①中的格线 MN 上确定一点 P ,使 PA 与 PB 的长度之和最小; (2)在图②中的格线 MN 上确定一点Q ,使 AQM BQM   . 要求:只用无刻度的直尺,保留作图痕迹,不要求写出做法. 【答案】如图①所示见解析,如图②所示见解析. 【详解】 (1)如图①所示;(2)如图②所示. 图① 图② 2.(2019·余干县瑞洪中学中考模拟)如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论) (1)画线段 AB; (2)画射线 BC; (3)在线段 AB 上找一点 P,使点 P 到 A.B.C 三点的距离和最小,并简要说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最 短,图见解析 【详解】 (1)(2)如图所示: (3)如图所示: 作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最 理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB 此时最 小,根据垂线段最短,得出 PC 最短, 即 PA+PB+PC 的值最小, 即点 P 到 A.B.C 三点的距离和最小。 3.(2019·天津中考模拟)如图, 是等边三角形, 是 边上的高,点 E 是 边的中点,点 P 是 上的一个动点,当 最小时, 的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:如连接 BE,与 AD 交于点 P,此时 PE+PC 最小, ∵△ABC 是等边三角形,AD⊥BC, ∴点 B 与点 D 关于 AD 对称, ∴PC=PB, ∴PE+PC=PB+PE=BE, ∴BE 就是 PE+PC 的最小值, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BCE=60°, ∵BA=BC,AE=EC, ∴BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴∠EBC=30°, ∵PB=PC, ∴∠PCB=∠PBC=30°, ∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°, 故选:C. 知识点 2 线段的垂直平分线 概念:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线) 性质:线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,到一条线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线的性质:三角形三边垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等。交点 叫做三角形的外心。 考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题 1.(2019·北京市通州区姚村中学中考模拟)已知如图,在△ABC 中,∠B=45°,点 D 是 BC 边的中点,DE ⊥BC 于点 D,交 AB 于点 E,连接 CE. (1)求∠AEC 的度数; (2)请你判断 AE、BE、AC 三条线段之间的等量关系,并证明你的结论. 【答案】(1)90°;(2)AE2+EB2=AC2,证明见解析. (2)根据勾股定理解答. 【详解】 解:(1)∵点 D 是 BC 边的中点,DE⊥BC, ∴DE 是线段 BC 的垂直平分线, ∴EB=EC, ∴∠ECB=∠B=45°, ∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°; (2)AE2+EB2=AC2. ∵∠AEC=90°, ∴AE2+EC2=AC2, ∵EB=EC, ∴AE2+EB2=AC2. 2.(2017·福建中考模拟)如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 延长线于点 E,连接 CE。 求证:∠BCE=∠A+∠ACB. 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵BC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 延长线于点 E, ∴CE=BE, ∴∠ECB=∠EBC, ∵∠EBC=∠A+∠ACB, ∴∠BCE=∠A+∠ACB. 3.(2014·福建中考模拟)如图,已知 DE 是 AC 的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,则△ABD 的周长为 __cm. 【答案】21 【解析】 ∵DE 垂直平分, ∴AD=CD, ∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm, 又∵AB=10cm, ∴△ABD 的周长=AB+BC=10+11=21(cm). 考查题型六 证明某直线是一条线段的垂直平分线 1.(2019·上饶市第二中学初二期中)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于 E. (1)若∠BAC=50°,求∠EDA 的度数; (2)求证:直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 【答案】(1)65°(2)证明见解析 【详解】 (1)∵AD 平分∠BAC,∠BAC=50°, ∴∠EAD= 1 2 ∠BAC=25°, ∵DE⊥AB, ∴∠AED=90°, ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°; (2)∵DE⊥AB, ∴∠AED=90°=∠ACB, 又 AD 平分∠BAC, ∴∠DAE=∠DAC, 又∵AD=AD, ∴△AED≌△ACD, ∴AE=AC,DE=DC ∴点 A 在线段 CE 的垂直平分线上,点 D 在线段 CE 的垂直平分线上, ∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 2.(2018·广东初二期中)如图,已知:E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D 是垂 足,连接 CD,且交 OE 于点 F. (1)求证:OD=OC; (2)求证:OE 是 CD 的垂直平分线; (3)若∠AOB=60°,请你探究 OE,EF 之间有什么数量关系?并证明你的结论. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)OE=4EF. 【详解】 证明:(1)∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是 C,D, ∴DE=CE,∠EOD=∠EOC, 在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中, ∴Rt△ODE≌Rt△OCE, ∴OD=OC; (2)∵Rt△ODE≌Rt△OCE, ∴OD=OC,ED=EC, ∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上, ∴OE 是 CD 的垂直平分线; (3)OE=4EF. ∵OE 是∠AOB 的平分线,∠AOB=60°, ∴∠AOE=∠BOE=30°, ∵EC⊥OB,ED⊥OA, ∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°, ∴∠EDF=30°, ∴DE=2EF, ∴OE=4EF. 考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题 1.(2019·河北锦玉中学初二期中)如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于 点 E,EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F,EG⊥AC 于点 G. 求证:(1)BF=CG; (2)AB+AC=2AF. 【答案】(1) 见解析;(2)见解析 【解析】 (1)如图,连接 BE 和 CE. ∵DE 是 BC 的垂直平分线, ∴BE=CE. ∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠BFE=∠EGC=90°,EF=EG. 在 Rt△BFE 和 Rt△CGE 中, BE=CE,EF=EG, ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL), ∴BF=CG. (2)∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴∠AFE=∠AGE=90°,∠FAE=∠GAE. 在△AFE 和△AGE 中, ∠FAE=∠GAE ,∠AFE=∠AGE,AE=AE, ∴△AFE≌△AGE,∴AF=AG. ∵BF=CG, ∴AB+AC=AF-BF+AG+CG=2AF. 2.如图,已知在 Rt△ABC 中,∠A=90°,BD 是∠ABC 的平分线,DE 是 BC 的垂直平分线.试说明 BC =2AB. 【答案】证明见解析 【详解】 ∵DE 是 BC 的垂直平分线, ∴BE=EC,DE⊥BC, ∵∠A=90°, ∴DA⊥AB. 又∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴DA=DE, 又∵BD=BD, ∴△ABD≌△EBD, ∴AB=BE, ∴BC=2AB. 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形概念:有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质: 1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(三线合一) 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 考查题型八 利用等腰三角形的概念解题 1.(2018·辽宁中考模拟)若等腰三角形的一个外角等于 140°,则这个等腰三角形的顶角度数为( ) A.40° B.100° C.40°或 70° D.40°或 100° 【答案】D 【详解】 当这个内角为顶角时,则顶角为 40°, 当这个内角为底角时,则两个底角都为 40°,此时顶角为:180°−40°−40°=100°, 故选:D. 2.(2018·陕西中考模拟)等腰三角形的周长为 16,其一边长为 6,那么它的底边长为( ) A.4 或 6 B.4 C.6 D.5 【答案】A 【解析】 详解:当腰为 6 时,则底边 4,此时三边满足三角形三边关系; 当底边为 6 时,则另两边长为 5、5,此时三边满足三角形三边关系; 故选 A. 3.(2018·湖南中考模拟)一个等腰三角形的两边长分别为 4,8,则它的周长为( ) A.12 B.16 C.20 D.16 或 20 【答案】C 【详解】 等腰三角形的一边长为 4,另一边长为 8,则第三边可能是 4,也可能是 8, (1)当 4 是腰时,4+4=8,不能构成三角形; (2)当 8 是腰时,不难验证,可以构成三角形,周长=8+8+4=20. 故选 C. 4.(2017·湖北中考模拟)等腰三角形的一个角是 80°,则它的顶角的度数是( ) A.80° B.80°或 20° C.80°或 50° D.20° 【答案】B 【解析】 分 80°角是顶角与底角两种情况讨论求解. ①80°角是顶角时,三角形的顶角为 80°, ②80°角是底角时,顶角为 180°﹣80°×2=20°, 综上所述,该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°. 5.(2016·贵州中考真题)已知 x,y 满足 4 8 0x y    ,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长 是( ) A.20 或 16 B.20 C.16 D.以上答案都不对 【答案】B 【详解】 解:根据题意得,4-x=0,y-8=0, 解得 x=4,y=8, ①4 是腰长时,三角形的三边分别为 4、4、8, ∵4+4=8, ∴不能组成三角形, ②4 是底边时,三角形的三边分别为 4、8、8, 能组成三角形,周长=4+8+8=20, 所以,三角形的周长为 20. 故选 B. 考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数 1.(2017·山东中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,且 DA=DC,BD=BA,则∠B 的大小为( ) A.40° B.36° C.30° D.25° 【答案】B 【详解】 解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵CD=DA, ∴∠C=∠DAC, ∵BA=BD, ∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B, 设∠B=α,则∠BDA=∠BAD=2α, 又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°, ∴α+2α+2α=180°, ∴α=36°,即∠B=36°, 故选:B. 2.(2019·新疆中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=70°,△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称, ∠CAF=10°,连接 BB′,则∠ABB′的度数是( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】C 【详解】 如图,连接 BB′ ∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称, ∴△BAC≌△B′AC′, ∵AB=AC,∠C=70°, ∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°, ∴∠BAC=∠B′AC′=40°, ∵∠CAF=10°, ∴∠C′AF=10°, ∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°, ∴∠ABB′=∠AB′B=40°, 故选 C. 3.(2015·广西中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB、 BC 于点 D、E,则∠BAE=( ) A.80° B.60° C.50° D.40° 【答案】D 【解析】 解:∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°﹣100°)÷2=40°,∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴AE=BE, ∴∠BAE=∠B=40°, 故选 D. 4.(2018·内蒙古中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ADE 的顶点 D,E 分别在 BC,AC 上,且∠DAE=90°, AD=AE,若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC 的度数为( ) A.17.5° B.12.5° C.12° D.10° 【答案】D 【详解】 ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°, 又∵∠C+∠BAC=145°, ∴∠C=35°, ∵∠DAE=90°,AD=AE, ∴∠AED=45°, ∴∠EDC=∠AED-∠C=10°, 故选 D. 5.(2019·北京中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,点 E 分别是 BC,AC 上一点,且 DE⊥AD.若 ∠BAD=55°,∠B=50°,求∠DEC 的度数. 【答案】∠DEC=115°. 【详解】 解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵∠B=50°, ∴∠C=50°, ∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°, ∵∠BAD=55°, ∴∠DAE=25°, ∵DE⊥AD, ∴∠ADE=90°, ∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°. 考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法 1.(2016·广东中考模拟)如图,在∆ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,BE⊥AC 于点 E. 求证:∠CBE=∠BAD. 【答案】见解析 【解析】 试题解析:∵AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,∴AD⊥BC, 又∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD. 2.(2019·四川中考真题)如图,在四边形 ABCD 中, / /AB DC ,点 E 是 CD 的中点, AE BE .求证: D C   . 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵ AE BE , ∴ EAB EBA   , ∵AB//DC, ∴ DEA EAB   , CEB EBA   , ∴ DEA CEB   , ∵点 E 是CD 的中点, ∴ DE CE , 在 ADE 和 BCE 中, DE CE DEA CEB AE BE       , ∴  ADE BCE SAS   , ∴ D C   . 考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等 1.(2019·陕西中考模拟)如图,∠AEF=∠AFE,AC=AD,CE=DF,求证:∠C=∠D. 【答案】见解析. 【详解】 解:证明:∵∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, 在△AEC 与△AFD 中 AE AF AC AD CE DF      , ∴△AEC≌△AFD(SSS), ∴∠C=∠D. 考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题 1.(2018·靖远县靖安中学中考模拟)如图,BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,且 MN∥BC,设 AB=12, BC=24,AC=18,则△AMN 的周长为( ) A.30 B.36 C.42 D.18 【答案】A 【解析】 详解:∵BO 平分∠CBA,CO 平分∠ACB, ∴∠NBO=∠OBC,∠OCM=∠OCB, ∵MN∥BC, ∴∠NOB=∠OBC,∠MOC=∠OCB, ∴∠NBO=∠NOB,∠MOC=∠MCO, ∴MO=MC,NO=NB, ∵AB=12,AC=18, ∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30. 故选 A. 2.(2018·广西中考模拟)如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,ED∥BC,若 AB=4,AD=2,则△AED 的周 长是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】A 【解析】 详解:∵BD 平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABD, ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∴∠EDB=∠EBD, ∴BE=DE, ∴ ADEC =AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6,故选 A. 3.(2019·重庆中考真题)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上的中点,连结 AD,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F. (1)若∠C=36°,求∠BAD 的度数. (2)若点 E 在边 AB 上,EF//AC 叫 AD 的延长线于点 F.求证:FB=FE. 【答案】(1) 54BAD   ;(2)见解析. 【详解】 解:(1) AB AC C ABC   36C   36ABC   D 为 BC 的中点, AD BC  90 90 36 54BAD ABC          (2)BE 平分 ABC ABE EBC   又 / /EF BC EBC BEF   EBF FEB   BF EF  4.(2018·浙江中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,CD 是∠ACB 的平分线,DE∥BC,交 AC 于点 E. (1)求证:DE=CE. (2)若∠CDE=35°,求∠A 的度数. 【答案】(1)见解析;(2) 40°. 【详解】 (1)∵CD 是∠ACB 的平分线,∴∠BCD=∠ECD. ∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠EDC=∠ECD,∴DE=CE. (2)∵∠ECD=∠EDC=35°,∴∠ACB=2∠ECD=70°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°. 等边三角形概念:三条边都相等的三角形,叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定: (1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 60º。 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)有一个角是 60º的等腰三角形是等边三角形。 ( 4)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (补充: (1)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。 (2)三角形三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)常用辅助线:①三线合一;②过中点做平行线 考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算 1.(2018·山东中考模拟)如图:已知等边 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点, 且 CE CD , DM BC ,垂足为 M , 求证: M 是 BE 的中点. 【答案】见解析 【详解】 证明:如图,连接 BD, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60∘. ∵CD=CE, ∴∠CDE=∠E=30∘. ∵BD 是 AC 边上的中线, ∴BD 平分∠ABC, 即∠DBC=30∘, ∴∠DBE=∠E. ∴DB=DE. 又∵DM⊥BE, ∴DM 是 BE 边上的中线,即 M 是 BE 的中点. 2.(2019·太仓市陆渡中学中考模拟)如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,点 D 是 AB 上一点,过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E,交 CA 延长线于点 F. (1)证明:△ADF 是等腰三角形; (2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求 EC 的长, 【答案】(1)见解析;(2)EC=4. 【详解】 (1)∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵FE⊥BC, ∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°, ∴∠F=∠BDE, 而∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA, ∴AF=AD, ∴△ADF 是等腰三角形; (2)∵DE⊥BC, ∴∠DEB=90°, ∵∠B=60°,BD=4, ∴BE= 1 2 BD=2, ∵AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形, ∴BC=AB=AD+BD=6, ∴EC=BC﹣BE=4. 3.(2016·宁夏中考真题)在等边△ABC 中,点 D,E 分别在边 BC、AC 上,若 CD=2,过点 D 作 DE∥AB, 过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F,求 EF 的长. 【答案】证明过程见解析 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60°, ∴△EDC 是等边三角形, ∴DE=DC=2, 在 RT△DEC 中,∵∠DEC=90°,DE=2, ∴DF=2DE=4, ∴EF= = =2 . 考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用 1.(2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟)已知:如图,点 D 在等边△ABC 的边 AB 上,作 DG∥BC,交 AC 于点 G,点 F 在边 AC 上,连接 DF 并延长,交 BC 的延长线于点 E,FE=FD.求证:AD=CE. 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵DG∥BC,∴∠DGF=∠ECF,在△DFG 和△EFC 中, DGF ECF DFG EFC FD EF         , ∴△DFG≌△EFC(AAS), ∴GD=CE,∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60∘, ∵DG∥BC,∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∴∠A=∠ADG=∠AGD,∴△ADG 是等边三角形, ∴AD=GD, ∴AD=CE. 2.(2013·江苏中考模拟)如图,等边△ABC 中,D 是 AB 边上的一动点,以 CD 为一边,向上作等边△EDC, 连接 AE. (1)求证:△ACE≌△BCD; (2)判断 AE 与 BC 的位置关系,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)AE∥BC,理由见解析. 【详解】 (1)∵△ABC 与△EDC 是等边三角形, ∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC 又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD,∠ACE=∠DCE-∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS); (2)AE∥BC,理由如下: ∵ACE≌△BCD, ∴∠ABC=∠CAE=60° 又∵∠ACB=60°, ∴∠CAE=∠ACB ∴ AE∥BC. 3.(2018·浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟)如图,等边△ABC 中,点 P 在△ABC 内,点 Q 在△ ABC 外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ. (1)求证:△ABP≌△ACQ. (2)判断△APQ 的形状,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)△APQ 为等边三角形.证明见解析. 【解析】 (1)∵ △ABC 为等边三角形, ∴ AB=AC. ∵ ∠ABP=∠ACQ,BP=CQ, ∴ △ABP≌△ACQ(SAS). (2)解:△APQ 为等边三角形. 证明如下: ∵ △ABP≌△ACQ. ∴ AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. ∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°, ∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°. ∴ △APQ 是等边三角形.
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