中考数学解题指导专题13：数学思想方法之分类探讨

中考数学解题指导专题13：数学思想方法之分类探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 13：数学思想方法之分类探讨 数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数 学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有 明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力 会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。 分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为 WHDI 四个方面： W 即为什么要进行分类。一般地说，当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想 方法来解决问题：（ 1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、平方 根、有理式、三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（ 2）直接运用了 分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的 位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题 时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法；（ 3） 问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；（4）几何问题 中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论；（ 5）由数学运算引起的分类讨论。 H 即如何进行分类。首先，明确分类讨论思想的三个原则：（1）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3） 同标准原则。其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。第三，掌握分类讨论 思想的常用方法。分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围） 划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学 概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。 D 即正确进行逐类逐级分类讨论。 I 即归纳小结，总结出结论。 结合 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面五方面探讨分类方法的应用：（ 1）代数中涉及到分类 定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（2）几何中涉及到分类定义概念和直 接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（3）含有的参变量的不同取值的分类应用；（4）几 何问题中几何图形的不确定的分类应用；（5）由数学运算引起的分类应用。 一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应 用： 典型例题： 例 1. （2012 四川凉山 4 分）x 是 2 的相反数，︱y︱=3，则 x－y 的值是【 】 2 A． 5 B．1 C． 1 或 5 D．1 或 5 【答案】D。 【考点】代数式求值，相反数，绝对值。 【分析】根据相反数和绝对值的意义可求 x 和 y 的值，再代入计算： ∵x 是 2 的相反数，∴x=－2。 ∵︱y︱=3，∴y=±3。 当 x=－2，y=3 时，x－y=－2－3=－5；当 x=－2，y=－3 时，x－y=－2－（－3）=1。故选 D。 例 2. （2012 湖南衡阳 3 分）函数 2y= x+2 中自变量 x 的取值范围是【 】 A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2 【答案】A。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负 数和分式分母不为 0 的条件，要使 2 x+2 在实数范围内有意义，必须 x+2 0 x 2 x > 2x+2 0 x 2        。故选 A。 例 3.（2012 湖北襄阳 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根，那 么 k 的取值范围是【 】 A．k＜ 1 2 B．k＜ 且 k≠0 C．﹣ ≤k＜ D．﹣ ≤k＜ 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣ 1 2 ≤k＜ 且 k≠0。 故选 D。 例 4. （2012 福建泉州 3 分）若 y kx 4的函数值 y 随着 x 的增大而增大，则 k 的值可能是下列的【 】. A . 4 B. 2 1 C.0 D.3 【答案】D。 【考点】一次函数图象与系数的关系。 3 【分析】一次函数 y=kx+b的图象有四种情况： ①当 k0> 时， y 的值随 x 的值增大而增大； ②当 k0< 时， y 的值随 x 的值增大而减小。 由题意得，函数 y kx 4函数值 y 随着 x 的增大而增大，，故 ，可取 3。故选 D。 练习题： 1. （2012 四川德阳 3 分）使代数式 x 2x 1 有意义的 x 的取值范围是【 】 A. x0 B. 1x 2 C. x0 且 1x 2 D.一切实数 2.（2012 山东东营 3 分）方程  2 1k 1 x 1 kx+ =04   有两个实数根，则 k 的取值范围是【 】． A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1 3. （2012 贵州贵阳 4 分）在正比例函数 y=﹣3mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大，则 P（m，5） 在 第 ▲ 象限． 一、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应 用： 典型例题： 例 1. （2012 湖南长沙 3 分）现有 3cm，4cm，7cm，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形， 那么可以组成的三角形的个数是【 】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B。 【考点】构成三角形的三边的条件。 【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7 和 3，4，9 和 3，7，9 和 4，7，9，根据三角形两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有 3，7，9 和 4，7，9 能组成三角形。故选 B。 例 2. （2012 贵州贵阳 3 分）如图，已知点 A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF， 还需要添加一个条件是【 】 A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 【答案】B。 【考点】全等三角形的判定。190187。 4 【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断： A、由 AB=DE，BC=EF 和∠BCA=∠F 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF， 故本选项错误； B、由 AB=DE，BC=EF 和∠B=∠E 构成 SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本 选项正确； C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。 由 AB=DE，BC=EF 和∠F=∠BCA 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF， 故本选项错误； D、由 AB=DE，BC=EF 和∠A=∠EDF 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF， 故本选项错误。故选 B。 例 3. （2012 宁夏区 3 分）一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是【 】 A．13 B．17 C．22 D．17 或 22 【答案】C。 【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形： ①若 4 为腰长，9 为底边长，由于 4+4＜9，则三角形不存在； ②9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。 ∴这个三角形的周长为 9+9+4=22。故选 C。 例 4.（2012 福建三明 4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O， A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】 A． 2 个 B． 3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】如图，分 OP=AP（1 点），OA=AP（1 点），OA=OP（2 点） 5 三种情况讨论。 ∴以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 例 5. （2012 青海西宁 2 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝12，BD＝16， E 为 AD 的中点，点 P 在 x 轴上移动．小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标为(－5，0) 和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的 P 点的坐标 ▲ ． 【答案】（8，0），（ 25 8 ，0）。 【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。 【分析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，OA= 1 2 AC= ×12=6，OD= BD= ×16=8。 ∴在 Rt△AOD 中，AD= 22OA OD 10。 ∵E 为 AD 中点，∴OE= AD= ×10=5。 ①当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0）。 ②当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0）。 ③如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EK⊥BD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P。 ∴EK∥OA。∴EK：OA=ED：AD=1：2。∴EK= OA=3。 ∴OK= 22OE EK 4。 ∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。 ∴OP：OE=OF：OK，即 OP：5= 5 2 ：4，解得：OP= 。 ∴P 点坐标为（ ，0）。 ∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（8，0），（ ，0）。 例 6. （2012 四川资阳 3 分）直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 ▲ ． 【答案】8 或 10。 6 【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。 【分析】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径为 1 16=2  8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12，则直角三角形的斜边长= 2216 12 20，因此这个三角形 的外接圆半径为 10。 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10。 练习题： 1. （2012 山东潍坊 3 分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ▲ ， 使 ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可) 2. （2012 广东肇庆 3 分）等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为【 】 A．16 B．18 C．20 D．16 或 20 （2012 湖北襄阳 3 分）在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则 AB 边上的高 CD 的长是 ▲ ． 3. （2012 广西来宾 3 分）已知等腰三角形的一个内角是 80°，则它的底角是 ▲ 0． 4. （2012 黑龙江牡丹江 3 分）矩形 ABCD 中，AB=10，BC=3，E 为 AB 边的中点，P 为 CD 边上的点， 且△AEP 是腰长为 5 的等腰三角形，则 DP= ▲ 5. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）Rt△ABC 中，∠A=900，BC=4,有一个内角为 600， 点 P 是直线 AB 上不同于 A、B 的一点，且∠ACP=300，则PB 的长为 ▲ ． 二、含有的参变量的不同取值的分类应用： 典型例题： 例 1. （2012 重庆市 4 分）2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘 了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开 车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距离为 S．下面能反映 S 与 t 的函数 关系的大致图象是【 】 7 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】函数的图象。 【分析】根据题意可得，S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段： 第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小， 第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大， 第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变， 第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为 0。 纵观各选项，只有 B 选项的图象符合。故选 B。 例 2. （2012 福建宁德 3 分）五一节某超市稿促销活动：①一次性购物不超过 150 元不享受优惠；②一次 性购物超过 150 元但不超过 500 元一律九折；③一次性购物超过 500 元一律八折．王宁两次购物分别付款 120 元、432 元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 ▲ 元． 【答案】480 元或 528 元。 【考点】分段函数。 【分析】计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解： 一次性购物超过 150 元，但不超过 500 元一律 9 折则在这个范围内最低付款 135 元，因而第一次 付款 120 元，没有优惠； 第二次购物时：若是第二种优惠，可得出原价是 432÷0.9=480（符合超过 150 不高于 500），则两 次共付款：120+480=600 元，超过 500 元，则一次性购买应付款：600×0.8=480 元。 当第二次付款是超过 500 元时：可得出原价是 432÷0.8=540（符合超过 500 元），则两次共应付 款：120+540=660 元，则一次性购买应付款：660×0.8=528 元。 ∴一次性购买应付款：480 元或 528 元。 例 3. （2012 江苏常州 2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（3，0）， ⊙P 是以点 P 为圆心，2 为半 径的圆。若一次函数 y=kx+b的图象过点 A（－1，0）且与⊙P 相切，则 k+b 的值为 ▲ 。 【答案】 23 3 或 23 3 。 【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。 【分析】如图，设一次函数 y=kx+b与 y 轴交于点 C，与⊙P 相切于点 P。 8 则 OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。 ∴ 2 2 2 2AB AP BP 4 2 2 3     。 由△AOC∽△ABP，得 OC AO BP AB ，即 b 1 2 23  ， 解得 3b 3 。 ∴ bOC 3k = =AO 1 3 。 由图和一次函数的性质可知，k，b 同号， ∴ 23k+b= 3 或 23k+b= 3 。 练习题： 1. （2012 湖北武汉 3 分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点 的人原地休息．已知甲先出发 2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】 A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 三、几何问题中几何图形的不确定的分类应用： 典型例题： 例 1. （2012 北京市 4 分） 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过 点 B 跑到点 C，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为 t（单 位：秒），他与教练的距离为 y（单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定 位置可能是图 1 中的【 】 9 A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 例 2. （2012 北京市 4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知 点 A（0，4），点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m．当 m=3 时， 点 B 的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= （用含 n 的代数式表示．） 【答案】3 或 4；6n－3。 10 【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。 【分析】根据题意画出图形，再找出点 B 的横坐标与△AOB 内部（不包括边界）的整点 m 之间的关系即 可求出答案： 如图：当点 B 在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB 内部（不包括边界）的整点为（1，1）， （1，2），（ 2，1），共三个点，∴当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4。 当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时， ∵以 OB 为长 OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12 n－3，对角线 AB 上的整点个数总为 3， ∴△AOB 内部（不包括边界）的整点个数 m=（12 n－3－3）÷2=6n－3。 例 3. （2012 重庆市 12 分）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 B′D，B′M，DM， 是否存在这样的 t，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 【答案】解：（1）如图①，设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x。 11 ∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。 ∴ AG GF=AB BC ，即 3 x x=36  。 解得：x=2，即 BE=2。 （2）存在满足条件的 t，理由如下： 如图②，过点 D 作 DH⊥BC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。 ∴ ME EC=AB BC ，即 ME 4 t=36  。∴ME=2﹣ 1 2 t。 在 Rt△B′ME 中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣ t）2= 1 4 t2 ﹣2t+8。 在 Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。 过点 M 作 MN⊥DH 于 N，则 MN=HE=t，NH=ME=2﹣ t， ∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣ t）= t+1。 在 Rt△DMN 中，DM2=DN2+MN2=（ t+1）2+ t 2= 5 4 t2+t+1。 （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则 DM2=B′M2+B′D2， 即 t2+t+1=（ t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t= 20 7 。 （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则 B′D2=B′M2+DM2， 即 t2﹣4t+13=（ t2﹣2t+8）+（ t2+t+1），解得：t1=﹣3+ 17 ，t2=﹣3﹣ （舍去）。 ∴t=﹣3+ 。 （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则 B′M2=B′D2+DM2， 即 t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（ t2+t+1），此方程无解。 综上所述，当 t= 或﹣3+ 时，△B′DM 是直角三角形； 12 （3） 2 2 2 14t 0 t43 1 2 4t t t 28 3 3S 3 5 10t 2t 2 t8 3 3 1 5 10t t 42 2 3                      ＜ ＜ ＜ 。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。 【分析】（1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得 BE 的长。 （2）首先由△MEC∽△ABC 与勾股定理，求得 B′M，DM 与 B′D 的平方，然后分别从若∠DB′M、 ∠DB′M 和∠B′DM 分别是直角，列方程求解即可。 （3）分别从 40t3 ， 4 t23 ＜ ， 102t 3＜ 和10 t43 ＜ 时去分析求解即可求得答案： ①如图③，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4，∴CE= 8 3 。 ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ 84=33 。 ∵ME=2﹣ 1 2 t，∴FM= t， ∴当 时，S=S△FMN= ×t× t= 1 4 t2。 ②如图④，当 G 在 AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan∠DCB=  DH 3 3EC 4 t =3 tCH 4 4    ， ∴FK=2﹣EK= 3 t4 ﹣1。 ∵NL= 24AD=33 ，∴FL=t﹣ 4 3 ， ∴当 时，S=S△FMN﹣S△FKL= t2﹣ （t﹣ ） （ ﹣1）= 212tt83   。 ③如图⑤，当 G 在 CD 上时，B′C：CH=B′G：DH， 即 B′C：4=2：3，解得：B′C= ， 13 ∴EC=4﹣t=B′C﹣2= 2 3 。∴t=10 3 。 ∵B′N= 1 2 B′C= （6﹣t）=3﹣ t， ∴GN=GB′﹣B′N= t﹣1。 ∴当 102t 3＜ 时，S=S 梯形 GNMF﹣S△FKL= ×2×（ t﹣1+ t）﹣ （t﹣ 4 3 ）（ 3 t4 ﹣1） = 235t 2t83   。 ④如图⑥，当10 t43 ＜ 时， ∵B′L= 3 4 B′C= 3 4 （6﹣t）， EK= 3 4 EC= 3 4 （4﹣t）， B′N= B′C= （6﹣t）EM= EC= （4﹣t）， ∴S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL﹣S 梯形 B′EMN= 15t22。 综上所述： 2 2 2 14t 0 t43 1 2 4t t t 28 3 3S 3 5 10t 2t 2 t8 3 3 1 5 10t t 42 2 3                      ＜ ＜ ＜ 。 例 4.（2012 黑龙江牡丹江 3 分）如图，A( 3 ，1)，B(1， 3 )．将△AOB 绕点 O 旋转 l500 得到△A′OB′，， 则此时点 A 的对应点 A′的坐标为【 】． A．(－ ，－l) B．(－2，0) C．(－l，－ )或（－2，0) D．(－ ，－1)或(－2，0) 【答案】C。 【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。 14 【分析】如图，过点 A 作 AC⊥ｘ轴于点 C, 过点 B 作 BD⊥ｙ轴于点 D。 由锐角三角函数定义， AC 3tan AOC OC 3   ,∴ 0AOC 30。 同理， 0BOD 30。∴ 0AOB 30。 若将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 l500，则点 A′与点 B 关于坐标原点对称， ∴A′(－l，－ 3 )。 若将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 l500，则点 A′在ｘ轴反方向上， ∴A′(－2，0)。 综上所述，点 A 的对应点 A′的坐标为(－l，－ )或(－2，0)。故选 C。 例 56. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC＝2cm，F 是弦 BC的中点，∠ABC＝60°．若 动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)，连接 EF，当 △BEF 是直角三角形时，t(s)的值为【 】 A． 7 4 B．1 C． 或 1 D． 或 1 或 9 4 【答案】D。 【考点】动点问题，圆周角定理，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形中 位线定理。 【分析】若△BEF 是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF ＝90°，分别讨论如下： ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°。 Rt△ABC 中，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4cm。 ①当∠BFE＝90°时； Rt△BEF 中，∠ABC＝60°，则 BE＝2BF＝2cm。 ∴此时 AE＝AB－BE＝2cm。 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动，∴E 点运动的距离为：2cm 或 6cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动，∴t＝1s 或 3s。 15 ∵0≤t＜3，∴t＝3s 不合题意，舍去。 ∴当∠BFE＝90°时，t＝1s。 ②当∠BEF＝90°时， 同①可求得 BE＝ 1 2 cm，此时 AE＝AB－BE＝ 7 2 cm。 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动，∴E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动，∴t＝ 7 4 s 或 9 4 s（二者均在 0≤t＜3 内）。 综上所述，当 t 的值为 1、 或 s 时，△BEF 是直角三角形。故选 D。 例 6. （2012 广东梅州 11 分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0）、 C（0，2 ）、 D（0，3 ），射线 l 过 点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°． （1）①点 B 的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ；（直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使△AMN 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由． （3）设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围． 【答案】解：（1）①（6，2 3 ）。 ②30。③（3，3 ）。 （2）存在。m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）当 0≤x≤3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥BC∥OA， 可得 EF PE DC 3 1==OQ PO DO 333 ，∴EF= 1 3 （3+x）， 16 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3      梯形 （ ） （ ）= 当 3＜x≤5 时，如图 2，   HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2              = 梯形 梯形 。 当 5＜x≤9 时，如图 3， 12S BE OA OC 3 12 x23 23= x 12 33       （ ） （ ） 。 当 x＞9 时，如图 4， 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x     。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为：         2 43x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 23x 12 3 5 x 93 54 3 x9x < < >                  。 【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】（1）①由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： ∵四边形 OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC， ∵A（6，0）、 C（0，2 3 ）， ∴点 B 的坐标为：（6，2 ）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： ∵ OC 2 3 3tan CAO = =OA 6 3 ，∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PE⊥OA 于 E， 17 ∵∠PQO=60°，D（0，3 3 ）， ∴PE=3 。 ∴ 0 PEAE 3 tan60 。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点 P 的坐标为（3，3 ）。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点 N 与 Q 重合。 ∴点 P 与 D 重合。∴此时 m=0。 情况②，如图 AM=AN，作 MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 3OA IQ OI sin60 3 m2      （ ） （ ） 又 1 1 3MJ AM= AN=2 2 2 ， ∴ 333m22（ ）= ，解得：m=3﹣ 。 情况③AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PK⊥OA 于 K，过点 M 作 MG⊥OA 于 G， ∴MG= 3 2 。 ∴ 00 PK 3 3 MG 1QK 3 GQ 2tan60 3 tan60     ， 。 ∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）分别从当 0≤x≤3 时，当 3＜x≤5 时，当 5＜x≤9 时，当 x＞9 时去分析求解即可求得答案。 例 7. （2012 广东汕头 12 分）如图，抛物线 213y= x x 922与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 连接 BC、AC． （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D．设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； 18 （3）在（2）的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆 的面积（结果保留 π）． 【答案】解：（1）在 213y= x x 922中， 令 x=0，得 y=－9，∴C（0，﹣9）； 令 y=0，即 213x x 9=022 ，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、 B（6，0）。 ∴AB=9，OC=9。 （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ 2 AED ABC S AE S AB     ，即： 2sm 1 9992   。 ∴s= 1 2 m2（0＜m＜9）。 （3）∵S△AEC= AE•OC= 9 2 m，S△AED=s= m2， ∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED =﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ 81 8 。 ∴△CDE 的最大面积为 ， 此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。 又 22BC 6 +9 =3 13 ， 过 E 作 EF⊥BC 于 F，则 Rt△BEF∽Rt△BCO，得： EF BE OC BC ，即： 9 EF 2 9 3 13  。 ∴ 27EF 1326 。 ∴以 E 点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 729 52  。 19 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值， 勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而 确定 AB、OC 的长。 （2）直线 l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 （3）①首先用 m 列出△AEC 的面积表达式，△AEC、△AED 的面积差即为△CDE 的面积，由此可 得关于 S△CDE 关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到 S△CDE 的最大面积以及此时 m 的值。 ②过 E 做 BC 的垂线 EF，这个垂线段的长即为与 BC 相切的⊙E 的半径，可根据相似三角形△BEF、 △BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 练习题： 1. （2012 浙江嘉兴、舟山 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动，回到点 A 时运动停止．设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】 A． B． C． D． 2. （2012 广东深圳 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x＋b (b≥0)的位置随 b 的不同取值而 变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为 2． 当 b= 时，直线l ：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心 M： 当 b= 时，直线 ：y=－2x＋b(b≥0)与 OM 相切： (2)若把⊙M 换成矩形 ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线 扫过矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系式， 20 3. （2012 广西钦州 3 分）如图，直线 3y x 32﹣ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把△AOB 绕点 A 旋 转 90°后得到△AO′B′，则点 B′的坐标是 ▲ ． 4. （2012 广东湛江 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴 上．O 为原点，点 A 的坐标为（6，0），点 B 的坐标为（0，8）．动点 M 从点 O 出发．沿 OA 向终点 A 以 每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 N 从点 A 出发，沿 AB 向终点 B 以每秒 个单位的速度运动．当一个 动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 M、N 运动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）当 t=3 秒时．直接写出点 N 的坐标，并求出经过 O、A、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理 由； （3）当 t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？ 5. （2012 浙江绍兴 14 分）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，连接 AC，抛物线 2y x 4x 2   经过 A，B 两点。 21 （1）求 A 点坐标及线段 AB 的长； （2）若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动，1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO，OC，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点 P 的移 动时间为 t 秒。 ①当 PQ⊥AC 时，求 t 的值； ②当 PQ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点 H，∠HOQ＞∠POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围。 四、由数学运算引起的分类应用： 典型例题： 例 1. （2012 广东湛江 12 分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4=（x+2）（ x﹣2） ∴x2﹣4＞0 可化为 （x+2）（ x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得 x＞2， 解不等式组②，得 x＜﹣2， ∴（x+2）（ x﹣2）＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2， 即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2． （1）一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 ； （2）分式不等式 的解集为 ； （3）解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0． 22 例 2. （2012 山东淄博 9 分）一元二次方程 2 5x 2x 04   的某个根，也是一元二次方程 2 9x (k 2)x 04    的根，求 k 的值． 【答案】解：解 2 5x 2x 04   得 12 15x = x =22， 。 把 1x= 2 代入 2 9x (k 2)x 04    得 21 1 9(k 2) 02 2 4     ，解得 k=8。 把 5x= 2 代入 得 25 5 9(k 2) 02 2 4      ，解得 k= 27 5 。 ∴k 的值为 8 或 。 【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。 【分析】求出一元二次方程 的两个根，分别代入 求 k 即可。 例 3. （2012 广西北海 8 分）某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 6：5。 （1）求出该班男生与女生的人数； 23 （2）学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于 7 人；②女生人数超过男生人 数 2 人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？ 例 4. （2012 湖北黄石 3 分）有一根长 40mm 的金属棒，欲将其截成 x 根7mm 长的小段和 y 根9mm长 的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数 ， 应分别为【 】 A. x1 ， y3 B. x3 ， y2 C. x4 ， y1 D. x2 ， 【答案】B。 【考点】网格问题，一次函数的应用。 【分析】根据金属棒的长度是 40mm，则可以得到 7x＋9y≤40，即 7 40y x+99 。 如图，在网格中作  7 40y= x+ x 0 y 099>> ， 。 则当线段 AB 上有整数点时，是废料为 0，该点即为所求。但从 图中可见，线段 AB 上没有整数点，故在△ABC 区域内离线段 AB 最近的 整数点即为所求，图中可见，点（3，2）离线段 AB 最近。 ∴使废料最少的正整数 x，y 分别为 x=3，y=2。 24 故选 B。 别解：∵ 7 40y x+99 且 x 为正整数，∴x 的值可以是： 1 或 2 或 3 或 4。 当 y 的值最大时，废料最少， ∴当 x=1 时， 33y 9 ，则 y 最大 4，此时，所剩的废料是：40－1×7－3×9=6mm ； 当 x=2 时， 26y 9 ，则 y 最大 2，此时，所剩的废料是：40－2×7－2×9=8mm； 当 x=3 时， 19y 9 ，则 y 最大 2，此时，所剩的废料是：40－3×7－2×9=1mm； 当 x=4 时， 12y 9 ，则 y 最大 1，此时，所剩的废料是：40－4×7－1×9=3mm。 ∴使废料最少的正整数 x，y 分别为 x=3，y=2。 练习题： 1. （2012 广西河池 10 分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统 计，某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆. (1)若该 小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到 2012 年 底电动自行车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车 位 1000 元/个，露天车位 200 元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超 过室内车位的 2.5 倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.