中考数学解题指导专题3:一元二次方程根的判别式应用探讨

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中考数学解题指导专题3:一元二次方程根的判别式应用探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 3:一元二次方程根的判别式应用探讨 一元二次方程,就是只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程,其一般形式为 ax2+bx+c=0 (a≠0)。在系数 a≠0 的情况下,Δ =b2-4ac>0 时,方程有 2 个不相等的实数根;Δ =b2-4ac =0 时, 方程有两个相等的实数根;Δ =b2-4ac <0 时,方程无实数根。反之,若方程有 2 个不相等的实数根, 则 Δ =b2-4ac>0;若方程有两个相等的实数根,则 Δ =b2-4ac =0;若无实数根,则 Δ =b2-4ac <0。 因此,Δ =b2-4ac 称为一元二次方程根的判别式。 根的判别式 b2-4ac 的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,解题过程中要注意 隐含条件 a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出 a、b、c 的值。 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用,也是中考必考内容,并占有一定的份量。我 们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面,直接应用包括①不解一元二次方程,判断(证明)根的情 况、②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用;综合 应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物 线与直线(含 x 轴)的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一.不解一元二次方程,判断(证明)根的情况: 典型例题: 例 1:(2012 广西河池 3 分)一元二次方程 2x 2x 2 0+ + = 的根的情况是【 】 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 【答案】D。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵ 2x 2x 2 0+ + = 中,a=1,b=2,c=2, ∴△ 22b 4ac=2 4 1 2= 4 0<      。 ∴ 无实数根。故选 D。 例 2:(2011 江苏苏州 3 分)下列四个结论中,正确的是【 】 A.方程 1x+ = 2x  有两个不相等的实数根 B.方程 1x+ =1x 有两个不相等的实数根 C.方程 1x+ =2x 有两个不相等的实数根 2 D.方程 1x+ =ax (其中 a 为常数,且 a2> )有两个不相等的实数根 【答案】D。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,根据根的判别式判断解的个数即可: A、整理得: 2x +2x+1=0 ,△=0,∴原方程有 2 个相等的实数根,选项错误; B、整理得: 2x x+1=0 ,△<0,∴原方程没有实数根,选项错误; C、整理得: 2x 2x+1=0 ,△=0,∴原方程有 2 个相等的实数根,选项错误; D、整理得: 2x ax+1=0 ,当 a2> 时, 2=a 4 0> ,∴原方程有 2 个不相等的实数根,选项正确 故选 D。 练习题: 1(2012 广东珠海 6 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0. (1)当 m=3 时,判断方程的根的情况; (2)当 m=﹣3 时,求方程的根。 2. (2011 福建福州 4 分)一元二次方程 x ( ﹣2)=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 3. (2011 福建福州 4 分)一元二次方程 ( ﹣2)=0 根的情况是 【 】 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 4. (2011 内蒙古包头 3 分)一元二次方程 x2+x+ 1 4 =0 的根的情况是【 】 A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定 二. 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围: 典型例题: 例 1:(2012 湖北襄阳 3 分)如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是【 】 A.k< 1 2 B.k< 且 k≠0 C.﹣ ≤k< D.﹣ ≤k< 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。 3 【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知: k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条 件得:2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。三者联立,解得﹣ 1 2 ≤k< 且 k≠0。 故选 D。 例 3:(2012 湖南常德 3 分)若一元二次方程 2x 2x m 0   有实数解,则 m 的取值范围是【 】 A. m 1  B. m 1 C. m 4 D. m 1 2 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于 0,列出关于 m 的不等式,求出不等式的解 集即可得到 m 的取值范围: ∵一元二次方程 2x 2x m 0   有实数解, ∴△=b2-4ac=22-4m≥0,解得:m≤1。 ∴m 的取值范围是 m≤1。故选 B。 例 4:(2012 江西南昌 3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根,则 a 的值是 【 】 A. 1 B. ﹣1 C. D. ﹣ 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根,∴△=22+4a=0,解得 a=﹣1。故选 B。 例 5:(2012 上海市 4 分)如果关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0(c 是常数)没有实根,那么 c 的取值 范围是 ▲ 。 【答案】c>9。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0(c 是常数)没有实根, ∴△=(﹣6)2﹣4c<0,即 36﹣4c<0,c>9。 例 6:(2012 湖北孝感 12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0. (1)求证:无论 m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)若 x1、x2 是原方程的两根,且|x1-x2|=2 2 ,求 m 的值和此时方程的两根。 【答案】解:(1)证明:由关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0 得 4 △=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4, ∵无论 m 取何值,(m+1)2+4 恒大于 0, ∴原方程总有两个不相等的实数根。 (2)∵x1,x2 是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3), x1•x2=m+1。 ∵|x1-x2|=2 2 , ∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。 ∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即 m2+2m-3=0。 解得:m1=-3,m2=1。 当 m=-3 时,原方程化为:x2-2=0,解得:x1= ,x2=- 。 当 m=1 时,原方程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+ ,x2=-2- 。 【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】(1)根据关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0 的根的判别式△=b2-4ac 的符号来判定 该方程的根的情况。 (2)根据根与系数的关系求得 x1+x2 和 x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2 2 平方后可以得到关于 x1 +x2 和 x1•x2 的等式,从而列出关于 m 的方程,通过解该方程即可求得 m 的值,最后将 m 值代入原方程并 解方程。 例 7:(2011 山东潍坊 3 分)关于 x 的方程 2x 2kx k 1 0    的根的情况描述正确的是【 】. A. k 为任何实数,方程都没有实数根 B. k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根 C. k 为任何实数,方程都有两个相等的实数根 D.根据 k 的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实 数根三种 【答案】B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值,然后据此判别,从而得出答案: ∵一元二次方程根的判别式为△=(2k)2-4×(k-1)=4k2-4k+4=(2k﹣1)2+3>0, ∴不论 k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根。故选 B。 例 8:(2012 四川成都 4 分)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3 的卡片,它们除数字 不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为 a,则使关于 x 5 的一元二次方程    2x 2 a 1 x a a 3 0    有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 且 以 x 为 自 变 量 的 二 次 函 数  22y x a 1 x a 2     的图象不经过点(1,0)的概率是 ▲ 。 【答案】 3 7 。 【考点】二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程根的判别式,解一元二次方程和一元一次不等式, 概率公式。 【分析】∵    2x 2 a 1 x a a 3 0     有两个不相等的实数根,∴△>0。 ∴[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣3)>0,∴a>﹣1。 将(1,0)代入  22y x a 1 x a 2     得,a2+a﹣2=0,解得 a1=1,a2=﹣2。 可见,符合要求的点为 0,2,3。 ∴P(符合要求)= 。 练习题: 1(2012 四川广安 3 分)已知关于 x 的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0 有两个不相等的实数根,则 a 的 取值范围是【 】 A.a>2 B.a<2 C.a<2 且 a≠l D.a<﹣2 2. (2012 山东日照 4 分)已知关于 x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围是【 】 (A) k> 3 4 且 k≠2 (B)k≥ 3 4 且 k≠2 (C) k > 4 3 且 k≠2 (D)k≥ 且 k≠2 3. (2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程x2 -4x + 2k = 0有两个实数根,则k的取值范围是【 】 A、k≥2 B、k≤2 C、k>-2 D、k<-2 4. (2012 山东东营 3 分)方程  2 1k 1 x 1 kx+ =04   有两个实数根,则 k 的取值范围是【 】. A. k≥1 B. k≤1 C. k>1 D. k<1 5. (2012 北京市 4 分)若关于 x 的方程 2x 2x m=0 有两个相等的实数根,则 m 的值是 ▲ 。 6. (2012 四川资阳 3 分)关于 x 的一元二次方程 2kx x+1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围 是 ▲ 。 7. (2012 湖北鄂州 8 分)关于 x 的一元二次方程 22x (m 3)x m 0    。 (1)证明:方程总有两个不相等的实数根; 6 (2)设这个方程的两个实数根为 x1,x2,且|x1|=|x 2|-2,求 m 的值及方程的根。 8. (2011 湖南郴州 6 分)当 t 取什么值时,关于 x 的一元二次方程 2 2+t +2=0 有两个相等的实数根? 9. (2009 黑龙江佳木斯 3 分)若关于 x 的一元二次方程 nx2-2x-1=0 无实数根,则一次函数 y=(n+1)x -n 的图象不经过【 】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用: 典型例题: 例 1:(2011 四川泸州 2 分)已知关于 x 的方程 x2+(2k+1)x+k2﹣2=0 的两实根的平方和等于 11,则 k 的值为 ▲ 。 例 2:(2012 湖南娄底 10 分)已知二次函数 y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A(x1,0)和 点 B(x2,0), x1<x2,与 y 轴交于点 C,且满足 12 1 1 1+=x x 2 。 (1)求这个二次函数的解析式; (2)探究:在直线 y=x+3 上是否存在一点 P,使四边形 PACB 为平行四边形?如果有,求出点 P 的坐标; 如果没有,请说明理由。 7 【答案】解:(1)∵二次函数 y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A(x1,0)和点 B(x2,0), x1<x2, ∴令 y=0,即 x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0 ①,则有:x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m。 ∴ 2 12 1 2 1 2 x +x1 1 m 1 1+ = = =x x x x 2m 2   ,化简得到:m2+m﹣2=0,解得 m1=﹣2,m2=1。 当 m=﹣2 时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与 x 轴没有交点,不符合题意,舍去; 当 m=1 时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与 x 轴有两 个不同的交点,符合题意。 ∴m=1。∴抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2。 (2)存在。理由如下: 假设在直线 y=x+3 上是否存在一点 P,使四边形 PACB 为平行四边形。 如图所示,连接 PA.PB.AC.BC,过点 P 作 PD⊥x 轴于 D 点。 ∵抛物线 y=x2+x﹣2 与 x 轴交于 A.B 两点,与 y 轴交于 C 点, ∴A(﹣2,0), B(1,0), C(0,2)。 ∴OB=1,OC=2。 ∵PACB 为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC。 ∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB。 在 Rt△PAD 与 Rt△CBO 中, ∵∠PAD=∠CBO ,PA=BC,∠APD=∠OCB , ∴Rt△PAD≌Rt△CBO(AAS)。 ∴PD=OC=2,即 yP=2。 ∵直线解析式为 y=x+3,∴xP=﹣1。∴P(﹣1,2)。 ∴在直线 y=x+3 上存在一点 P,使四边形 PACB 为平行四边形,P 点坐标为(﹣1,2)。 【考点】二次函数综合题,二次函数与 x 点问题,曲线图上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根与系 数的关系,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)欲求抛物线的解析式,关键是求得 m 的值.根据题中所给关系式,利用一元二次方程根与系 数的关系,可以求得 m 的值,从而问题得到解决。注意:解答中求得两个 m 的值,需要进行检验,把不 符合题意的 m 值舍去。 (2)利用平行四边形的性质构造全等三角形,根据全等关系求得 P 点的纵坐标,从而得到 P 点的 8 横坐标,从而求得P 点坐标。 练习题: 1. (2012 湖南怀化 10 分)已知 12x ,x 是一元二次方程 2(a 6)x 2ax a 0    的两个实数根。 (1)是否存在实数 a,使 1 1 2 2x x x 4 x    成立?若存在,求出 a 的值;若不存在,请你说明理由; (2)求使 12(x 1)(x 1)为负整数的实数 a 的整数值。 2. (2007 湖北襄阳 7 分)已知关于 x 的方程 x2-2(m-2)x+m2=0.问是否存在实数 m,使方程的两个 实数根的平方和等于 56,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数: 典型例题: 例 1:(2012 江苏南通 3 分)已知 x2+16x+k 是完全平方式,则常数 k 等于【 】 A.64 B.48 C.32 D.16 【答案】A。 【考点】完全平方式。 【分析】∵x2+16x+k 是完全平方式, ∴对应的一元二次方程 x2+16x+k=0 根的判别式△=0。 ∴△=162-4×1×k=0,解得 k=64。故选 A。 例 2:(2012 贵州黔东南 4 分)二次三项式 x2﹣kx+9 是一个完全平方式,则 k 的值是 ▲ 。 【答案】±6。 【考点】完全平方式。 【分析】∵x2﹣kx+9 是完全平方式, ∴对应的一元二次方程 x2﹣kx+9=0 根的判别式△=0。 ∴△=k2-4×1×9=0,解得 k=±6。 例 3:(2012 湖北荆州 3 分)已知:多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式,则反比例函数 k1y= x  的解析式 为 ▲ 。 【答案】 1y= x 或 3y= x 。 【考点】完全平方式,待定系数法求反比例函数解析式。 【分析】∵多项式 x2﹣kx+1是一个完全平方式, ∴对应的一元二次方程 x2﹣kx+1=0 根的判别式△=0。 9 ∴△=k2-4×1×1=0,解得 k=±2。 把 k=±2 分别代入反比例函数 k1y= x  的解析式得: 1y= x 或 3y= x 。 练习题: 1. (2011 云南玉溪 3 分)若 2x 6x k是完全平方式,则 k =【 】 A.9 B.-9 C.±9 D.±3 2. (2010 广西南宁 3 分)下列二次三项式是完全平方式的是【 】 A.x2-8x-16 B.x2+8x+16 C.x2-4x-16 D.x2+4x+16 五. 判断双曲线与直线的公共点个数: 典型例题: 例 1:(2012 江苏南京 2 分)若反比例函数 ky x 与一次函数 y x 2的图像没有..交点,则 k 的值可以是 【 】 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的判别式。 【分析】把两函数的解析式组成方程组,再转化为求一元二次方程解答问题,求出 k 的取值范围,找出符 合条件的 k 的值即可: ∵反比例函数 ky x 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点, ∴ k y x y x 2     ① ② 无解,即 k =x 2x  无解,整理得 x2+2x-k=0, ∴△=4+4k<0,解得 k<-1。 四个选项中只有-2<-1,所以只有 A 符合条件。故选 A。 例 2:(2012 广东河源 3 分)在同一坐标系中,直线 y=x+1 与双曲线 y= 1 x 的交点个数为【 】 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.不能确定 【答案】A。 【考点】直线与双曲线的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式。 【分析】根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,联立 y=x+1 和 y= 1 x 得,x+1= 1 x ,整理,得 x 2+x-1=0。 ∵△=1+4=5>0,∴x 2+x-1=0 有两不相等的实数根。 10 ∴直线 y=x+1 与双曲线 y= 1 x 有两个交点。故选 A。 例 4:(2012 四川资阳 8 分)已知:一次函数 y=3x-2 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐 标为 1。 (1)(3 分)求该反比例函数的解析式; (2)(3 分)将一次函数 y=3x-2 的图象向上平移 4 个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点 坐标; (3)(2 分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式: ①函数的图象能由一次函数 y=3x-2 的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到;[中国教育*^出版网~%&] ②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。 【答案】解:( 1)把 x=1 代入 y=3x-2,得 y=1。 设反比例函数的解析式为 ky= x ,把(1,1)代入得,k=1。 ∴该反比例函数的解析式为 1y= x 11 (2)平移后的图象对应的解析式为 y=3x-2+4,即 y=3x+2, 联立 y=3x+2 和 1y= x ,得, y 3x+2 1y= x   ,解得 1x= 3 y=3   或 x= 1 y= 1    。 ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为( 1 3 ,3)和(-1, -1) 。 (3)y=-2x-2(答案不唯一)。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,一次函数图象 与平移、旋转变换。 【分析】(1)先求出两函数的交点坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。 (2)平移后的图象对应的解析式为 y=3x+2,联立两函数解析式,从而求得交点坐标。 (3)∵函数的图象由一次函数 y=3x-2 的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到, ∴可设所求函数解析式为 y=mx-2,则由 y mx 2 1y= x   - 得 2mx 2x 1=0- - 。 ∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点, ∴△=4-4·m(-1)<0,解得 m<-1。 ∴只要常数项为-2,一次项系数小于-1 的一次函数均可。 例 5:(2011 湖北宜昌 3 分)如图,直线 y = x +2 与双曲线 = m3 x  在第二象限有两个交点,那么 m 的取 值范围在数轴上表示为【 】 (D)(C) (B)(A) -2 -1 432-2 -1 432 -2 -1 432-2 -1 4320 1 10 10 10 【答案】B。 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,在数轴上表示不等式的解集。 【分析】因为直线 y = x +2 与双曲线 = m3 x  在第二象限有两个交点,联立两方程求出 m 的取值范围即 可,然后在数轴上表示出 m 的取值范围: 12 由 x +2= m3 x  得 2+2 +3﹣m=0, ∵ y = +2 与 = 有两个交点,∴方程 2+2 +3﹣m=0 有两不相等的实数根。 即△=4﹣4×(3﹣m)>0,解得 m>2。 又∵双曲线在二、四象限,∴m﹣3<0。∴m<3。 ∴m 的取值范围为:2<m<3。 故在数轴上表示为 B。故选 B。 练习题: 1.(2011 湖北黄石 3 分)若一次函数 y kx 1的图像与反比例函数 1y x 的图像没有公共点,则实数 k 的 取值范围是 ▲ 。 2. (2012 陕西省 3 分)在同一平面直角坐标系中,若一个反比例函数的图象与一次函数 y= 2x+6 的图 象无.公共点,则这个反比例函数的表达式是 ▲ (只写出符合条件的一个即可)。 3. (2006 湖北黄石 8 分 8)已知一次函数 y=kx+b(k>0,b>0)与反比例函数 ky x 的图象有唯一的公 共点。 (1)求出 b 关于 k 的表达式及 b 为最小正整数时的两个函数的解析式; (2)证明:k 取任何正实数时,直线 y=kx+b 总经过一个定点,并求出定点的坐标。 4. (2012 四川绵阳 3 分)在同一直角坐标系中,正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 4-2ky= x 的图象没 有交点,则实数 k 的取值范围在数轴上表示为【 】。 六. 判断抛物线与直线(含 x 轴)的公共点个数: 典型例题: 13 例 2:(2012 山东泰安 3 分)二次函数 2y ax bx的图象如图,若一元二次方程 2ax bx m 0   有实数 根,则 m 的最大值为【 】 A. 3 B.3 C. 6 D.9 【答案】B。 【考点】抛物线与 x 轴的交点。 【分析】∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3, 14 ∴ a >0, 2b 34a   ,即 2b 12a 。 ∵一元二次方程 2ax bx m 0   有实数根, ∴△= 2b 4am 0,即12a 4am 0,即12 4m 0,解得 m3 。 ∴ m 的最大值为 3。故选 B。 例 3:(2012 湖北荆州 12 分)已知:y 关于 x 的函数 y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点。 (1)求 k 的取值范围; (2)若 x1,x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x1 2+2kx2+k+2=4x1x2. ①求 k 的值;②当 k≤x≤k+2 时,请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值。 【答案】解:(1)当 k=1 时,函数为一次函数 y=﹣2x+3,其图象与 x 轴有一个交点。 当 k≠1 时,函数为二次函数,其图象与 x 轴有一个或两个交点, 令 y=0 得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0. △=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)( k+2)≥0,解得 k≤2.即 k≤2 且 k≠1。 综上所述,k 的取值范围是 k≤2。 (2)①∵x1≠x2,由(1)知 k<2 且 k≠1。 由题意得(k﹣1)x1 2+(k+2)=2kx1(*), 将(*)代入(k﹣1)x1 2+2kx2+k+2=4x1x2 中得:2k(x1+x2)=4x1x2。 又∵x1+x2= 2k k1 ,x1x2= k+2 k1 ,∴2k• =4• , 解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求 k 值为﹣1。 ②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣ 1 2 )2+ 3 2 ,且﹣1≤x≤1, 由图象知:当 x=﹣1 时,y 最小=﹣3;当 x= 时,y 最大= 。 ∴y的最大值为 ,最小值为﹣3。 【考点】抛物线与 x 轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数 15 的最值。 【分析】(1)分两种情况讨论,当 k=1 时,可求出函数为一次函数,必与 x 轴有一交点;当 k≠1 时,函数 为二次函数,若与 x 轴有交点,则△≥0。 (2)①根据(k﹣1)x1 2+2kx2+k+2=4x1x2 及根与系数的关系,建立关于 k 的方程,求出 k 的值。 ②充分利用图象,直接得出 y 的最大值和最小值。 例 4:(2012 福建福州 14 分)如图①,已知抛物线 y=ax2+bx(a≠0)经过 A(3,0)、B(4,4)两点。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的坐标; (3) 如图②,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应) 。 【答案】解:(1) ∵抛物线 y=ax2+bx(a≠0)经过点 A(3,0)、B(4,4). ∴  9a+3b=0 16a+4b=4,解得:  a=1 b=-3。 ∴抛物线的解析式是 y=x2-3x。 (2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1x,由点 B(4,4), 得:4=4k1,解得 k1=1。 ∴直线 OB 的解析式为 y=x。 ∴直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为:y=x-m。 ∵点 D 在抛物线 y=x2-3x 上,∴可设 D(x,x2-3x)。 又点 D 在直线 y=x-m 上,∴ x2-3x =x-m,即 x2-4x+m=0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-4m=0,解得:m=4。 16 此时 x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴ D 点坐标为(2,-2)。 (3) ∵直线 OB 的解析式为 y=x,且 A(3,0), ∴点 A 关于直线 OB 的对称点 A'的坐标是(0,3)。 设直线 A'B 的解析式为 y=k2x+3,过点 B(4,4), ∴4k2+3=4,解得:k2=1 4。 ∴直线 A'B 的解析式是 y=1 4x+3。 ∵∠NBO=∠ABO,∴点 N 在直线 A'B 上。 ∴设点 N(n,1 4n+3),又点 N 在抛物线 y=x2-3x 上, ∴ 1 4n+3=n2-3n,解得:n1=-3 4,n2=4(不合题意,会去)。 ∴ 点 N 的坐标为(-3 4,45 16)。 如图,将△NOB 沿 x 轴翻折,得到△N1OB1, 则 N1(-3 4,-45 16),B1(4,-4)。 ∴O、D、B1 都在直线 y=-x 上。 ∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴ OP1 ON1 =OD OB1 =1 2。∴点 P1 的坐标为(-3 8,-45 32)。 将△OP1D 沿直线 y=-x 翻折,可得另一个满足条件的点 P2(45 32,3 8)。 综上所述,点 P 的坐标是(-3 8,-45 32)或(45 32,3 8)。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的 判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 (2) 根据已知可求出 OB 的解析式为 y=x,则向下平移 m 个单位长度后的解析式为:y=x-m。 由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于 0,由 此可求出 m 的值和 D 点坐标。 (3) 综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB 沿 x 轴翻折。(或用旋转)求出 P 点坐标之后,该点关于直线 y=-x 的对称点也满足题意,即满足题意的 P 点有两个。 练习题: 17 1(2011 江苏南京 7 分)已知函数 2=mx 1y 6x+ ( m 是常数)。 ⑴求证:不论 m为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值。 2. (2011 甘肃兰州 4 分)如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)b2﹣4ac>0;( 2)c>1;( 3)2a﹣b<0;( 4)a+b+c<0.你认为其中错误的有【 】 A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个 3. (2011 四川雅安 3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,其对称轴 x=﹣1,给出下列结果①b2> 4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0,则正确的结论是【 】 A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 4.(2011 四川泸州 2 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结 论:①abc>0,②b2﹣4ac<0,③a﹣b+c>0,④4a﹣2b+c<0,其中正确结论的个数是【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 5. (2008 湖北武汉 3 分)下列命题: ①若 a+b+c=0,则 b2-4ac≥0; ② 若 b>a+c, 则 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; ③若 b=2a+3c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; ④若 b2-4ac>0,则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3。 其中正确的【 】 18 A、只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④ 6. (2009 北京市 7 分)已知关于 x 的一元二次方程 22x 4x k 1 0    有实数根, k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 的二次函数 2y 2x 4x k 1    的图象向下平移 8 个 单位,求平移后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折,图象的其余部分保 持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线  1y x b b k2   与此图象有两个公共 点时, b 的取值范围。 一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外,还有许多其它应用,由于近年中考涉 及不多,本文不多详谈。例如, 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例 1:当 m 为何值时,关于 x 的二次三项式 mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内因式分解。 例 2:如果关于 x 二次三项式 2x 6x m在实数范围内不能分解因式,那么 m 的取值范围是 ▲ 。 与平面几何相联系的问题。 例 1:已知:关于 x 的方程   24 a c x 4bx a c 0?     有两个相等的实数根,试判断以 a,b,c 为三边的 三角形的形状。 例 2:已知 a、b、c 是三角形的三条边长,且关于 x 的方程     2c b x 2 b a x a b 0      有两个相等 的实数根,试判断三角形的形状。 例 3:已知 a,b,c 是△ABC 的三边,  22x 2 a b x c ab 0     是关于 x 的一元二次方程, 19 (1)若△ABC 是直角三角形,且∠C=90°,试判断方程实根的个数; (2)若方程有两个相等的实数根,试求∠C 的度数。
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