中考数学解题指导专题14：数学思想方法之化归探讨

中考数学解题指导专题14：数学思想方法之化归探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 14：数学思想方法之化归探讨 化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化 归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思 想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过 程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知—— 已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困 难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是 以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问 题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系 数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。 例如，当 1,1  yx 时，求 2 2 2 22 3 4 5x y xy x y xy   的值。该题可以采用直接代入法，但是更简易 的方法应为先化简再求值，此时原式 14118)1(1686 22  xyyx 。这就是由复杂——简 单的化归。 又如，解一元二次方程 2 3 2=0xx 。我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求 解，这就是由高维——低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个数的形式，应用平方 根的性质求解，这就是由未知——已知的化归。 再如，如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，求 PE+PB 的 最小值。 连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。因为点 B 与点 D 关于 AC 对称，所以 DE 的长即为 PE+PB 的最 小值。从而将求 PE+PB 的最小值变为求 DE 的长。这就是应用轴对称的性质的从困难——容易的化归。 化归的基本思想是：将待解决的问题 A，在一定条件下转化为问题 B，再把问题 B 转化为已经解决或 较易解决的问题 C，而通过对 C 的解决，达到原问题的解决，可用框图表示如下： 2 化归应遵循的原则：（ 1）化归目标的简单化原则，即化归的方面是由复杂到简单，对复杂总是采用分 解或变更的方法，使目标简单化。（2）化归的熟悉化原则，即化归的方向是由不熟悉到熟悉，把要解决的 （不熟悉）问题转化为自己熟悉会解的问题，使所要解决的问题熟悉化。（3）化归的具体化原则，即化归 的方向一般是由抽象到具体。在分析问题时，尽力将问题具体化。（4）化归的和谐化原则，即化归问题的 条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用 某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（5）化归的正难则反原则，即当问题正面讨论遇到困难时， 可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 结合 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面四方面探讨化归思想的应用：（ 1）代数问题之间的化 归；（2）代数问题与函数问题之间的化归；（3）几何问题之间的化归；（4）代数问题与几何问题之间的化 归。 一、代数问题之间的化归： 典型例题： 例 1. （2012 江苏宿迁 8 分）求代数式    2a 2b a 2b a 2b 4ab     的值，其中 a = 1，b = 1 10 . 【答案】解：原式=    2 2 2 2 2 2a 2b a 2b a 2b 4ab=a 4b a 4ab 4b 4ab=2a          ， 当 a = 1，b = 1 10 时，原式=2。 【考点】代数式求值，完全平方公式和平方差公式。 【分析】应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，最后代入求值。 【点评】先化简后求值体现了由复杂——简单的化归。 例 2. （2012 四川凉山 4 分）已知 b5 a 13 ，则 ab ab   的值是【 】 A． 2 3 B． 3 2 C． 9 4 D． 4 9 【答案】D。 【考点】比例的性质。 【分析】∵ b5 a 13 ，∴设出 b=5k，得出 a=13k，把 a，b 的值代入 ab ab   ，得， 3 a b 13k 5k 8k 4= = =a b 13k 5k 18k 9   。故选 D。 【点评】应用待定系数法求值体现了由复杂——简单的化归。 例 3. （2012 广西柳州 3 分）你认为方程 x2＋2x－3=0 的解应该是【 】 A．1 B．-3 C．3 D．1 或-3 【答案】D。 【考点】因式分解法解一元二次方程。 【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（ x-1）=0，即可得 x+3=0 或 x-1=0，解得：x1=-3，x2=1。 故选 D。 【点评】应用因式分解法解一元二次方程体现了由高维——低维的化归。 例 4. （2012 福建宁德 4 分）二元一次方程组  x＋y＝3 2x－y＝6的解是【 】 A．  x＝6 y＝－3 B．  x＝0 y＝3 C．  x＝2 y＝1 D．  x＝3 y＝0 【答案】D。 【考点】解二元一次方程组。 【分析】 3 x3x y 3 3x=9 x=3 y 0 y02x y 6       ①+②得 两边除以 得 代入①得① ② 。故选 D。 【点评】应用加减消元法（代入消元法）解二元一次方程组体现了由多元——一元的化归。 例 5. （2012 湖北襄阳 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根，那 么 k 的取值范围是【 】 A．k＜ 1 2 B．k＜ 且 k≠0 C．﹣ ≤k＜ D．﹣ ≤k＜ 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣ 1 2 ≤k＜ 且 k≠0。 故选 D。 【点评】应用一元二次方程定义和根的判别式，二次根式的概念将求 k 的取值范围的问题转化为求不等式 组的解体现了由抽象——具体的化归。 例 6. （2012 湖北荆州 3 分）若 x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为【 】 4 A． 3 B． 9 C． 12 D． 27 【答案】D。 【考点】相反数，非负数的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质。 【分析】∵ x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数，∴ +|x﹣y﹣3|=0， ∴ x 2y+9=0 x y 3=0    ，解得 x=15 y=12    。∴x+y=12+15=27。故选 D。 【点评】应用二次根式和绝对值的非负数性质将求 x+y 的问题转化为求不等式组的解体现了由抽象——具 体的化归。 练习题： 1. （2012 河北省 3 分）已知 y=x－1，则（x－y）2＋（y－x）＋1 的值为 ▲ 。 2. （2012 北京市 5 分）已知 ab=023 ，求代数式 5a 2b (a 2 )(a+2b)(a 2b) b － 的值。 3. （2012 贵州铜仁 4 分）一元二次方程 2x 2x 3 0   的解是 ▲ ． 4. （2012 福建漳州 4 分）二元一次方程组 x y 2 2x y 1    的解是【 】 A． x0 y2    B． x1 y1    C． x1 y1    D． x2 y0    5 5. （2012 湖南常德 3 分）若一元二次方程 2x 2x m 0   有实数解，则 m 的取值范围是【 】 A. m 1  B. m 1 C. m 4 D. m 1 2 6. （2012 四川攀枝花 3 分）已知实数 x，y 满足 x 4 + y 8=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形 的周长是【 】 A． 20 或 16 B． 20 C．16 D．以上答案均不对 7. （2012 广西河池 6 分）解分式方程 5x 4 1 6x 5 x 3 3 3x 9 -++=--. 二、代数问题与函数问题之间的化归： 典型例题： 例 1. （2012 浙江衢州 3 分）函数 y= x 1 的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出 x1 的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在 数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞” 要用空心圆点表示。 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 x 1 0 x1。故在数轴上表示为： 。故选 D。 【点评】根据二次根式有意义的条件，把函数自变量的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象—— 具体的化归。 例 2. （2012 山西省 2 分）如图，一次函数 y=（m﹣1）x﹣3 的图象分别与 x 轴、y 轴的负半轴相交于 A．B， 则 m 的取值范围是【 】 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0 【答案】B。 6 【考点】一次函数图象与系数的关系。 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，∵函数图象经过二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得 m＜1。故 选 B。 【点评】根据一次函数图象与系数的关系，把 m 的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象——具体 的化归。 例 3. （2012 陕西省 3 分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数 y x 3   与 y 3x 5图象交于点 M， 则点 M 的坐标为【 】 A．（－1，4） B．（－1，2） C．（ 2，－1） D．（ 2，1） 【答案】D。 【考点】两条直线的交点问题，解二元一次方程组 【分析】联立 y= x+3 y=3x 5    ，解得 x=2 y=1    。∴点 M 的坐标为（2，1）。故选 D。 【点评】根据直线上点的坐标与方程的关系，把求点 M 的坐标问题转化为二元一次方程组求解体现了由 抽象——具体的化归。 例 4. （2012 浙江台州 4 分）点（﹣1，y1），（ 2，y2），（3，y3）均在函数 6y= x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是【 】 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 【答案】D。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。 【分析】由点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数 6y= x 的图象上，得 y1=－6，y2=3，y3=2。根据 有理数的大小关系，－6＜2＜3，从而 y1＜y3＜y2。故选 D。 【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求坐标值的大小问题转化为有理数的大小比较求解体现了 由未知——已知的化归。 例 5. （2012 湖南株洲 3 分）如图，已知抛物线与 x 轴的一个交点 A（1，0），对称轴是 x=﹣1，则该抛物 线与 x 轴的另一交点坐标是【 】 7 A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2 【答案】A。 【考点】抛物线与 x 轴的交点，二次函数的对称性。 【分析】设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B（b，0）， ∵抛物线与 x 轴的一个交点 A（1，0），对称轴是 x=﹣1， ∴1+b 2 =﹣1，解得 b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选 A。 【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求抛物线与 x 轴的交点坐标问题转化为解方程问题求解体 现了由抽象——具体的化归。 例 6. （2012 四川内江 3 分）函数 1yxx 的图像在【 】 A 第 一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 【答案】A。 【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。 【分析】∵函数 1yxx 的定义域为 0x  ，∴ 0y  ，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在 第一象限，故选 A。 【点评】根据二次根式和分式有意义的条件，把函数图象所在象限问题转化求函数的定义域和值域问题求 解体现了由抽象——具体的化归。 练习题： 1. （2012 湖北荆门 3 分）已知点 M（1﹣2m，m﹣1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在 数轴上表示正确的是【 】 A． B． C． D． 2. （2012 江苏苏州 3 分）若点（m，n）在函数 y=2x+1 的图象上，则 2m-n 的值是【 】 A.2 B.-2 C.1 D. -1 8 3. （2012 江西南昌 3 分）已知一次函数 y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不 经过【 】 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 4. （2012 江苏南通 3 分）已知点 A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线 y＝ 3＋2m x 上，且 y1＞y2，则 m 的取值 范围是【 】 A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ 3 2 D．m＜－ 3 2 5. （2012 江苏常州 2 分）已知二次函数    2y=a x 2 +c a 0> ，当自变量 x 分别取 2 ，3，0 时，对应的 值分别为 1 2 3y y y， ， ，则 的大小关系正确的是【 】 A. 3 2 1y y y<< B. 1 2 3y y y<< C. 213y y y<< D. 3 1 2y y y<< 6. （2012 山东滨州 3 分）抛物线 234y x x    与坐标轴的交点个数是【 】 A．3 B．2 C．1 D．0 三、几何问题之间的化归： 典型例题： 例 1. （2012 北京市 4 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOD，若 ∠BOD=760，则 ∠BOM 等于【 】 A．38 B．104 C．142 D．144 【答案】C。 【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。 由射线 OM 平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选 C。 【点评】经过等量代换，把未知角化为已知角的和求解体现了由未知——已知的化归。 例 2. （2012 山东泰安 3 分）如图，AB∥CD，E，F 分别为 AC，BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的 长是【 】 9 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D。 【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。 【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H， ∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。 ∵E 是 AC 中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。 ∴DE=HE，DC=AH。 ∵F 是 BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线。∴EF= 1 2 BH。 ∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选 D。 【点评】作辅助线：连接 DE 并延长交 AB 于 H，把 EF 变换成△DHB 的中位线，使问题易于解决体现了 由未知——已知、综合——单一的化归。 例 3. （2012 重庆市 6 分）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC。 在△EAD 和△BAC 中，∠B=∠E，AB=AE，∠BAC =∠EAD， ∴△ABC≌△AED（ASA）。∴BC=ED。 【考点】全等三角形的判定和性质。 【分析】由∠1=∠2 可得：∠EAD=∠BAC，再由条件 AB=AE，∠B=∠E 可利用 ASA 证明△ABC≌△AED， 再根据全等三角形对应边相等可得 BC=ED。 【点评】经过等量代换，把∠1=∠2 变换∠EAD=∠BAC，结合已知的∠B=∠E，AB=AE，构成两三角形 全等，使问题得到解决体现了由困难——容易的化归。 例 4. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如图，△ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线 上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC．若△ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为【 】 10 A．2 B．3 C． 3 D． 3+1 【答案】A。 【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比 例，等边三角形的性质。 【分析】延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD， ∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC（SAS）。∴∠B=∠F。 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。 ∴AC∥EF。∴AE=CF=2。 ∴BD=AE=CF=2。故选 A。 【点评】作辅助线：延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD，构成全等三角形，使问题易于解决体现了由综合—— 单一的化归。 例 5. （2012 四川南充 3 分）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形 ABCD 的面 积是 24cm2.则 AC 长是 ▲ cm. 【答案】4 3 。 【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。 【分析】如图，将△ADC 旋转至△ABE 处，则△AEC 的面积和四边 形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，,这时三角形△AEC 为等腰直角三 角形，作边 EC 上的高 AF，则 AF= 1 2 EC=FC, ∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。 11 ∴AC2=2AF2=48 AC=4 3 。 【点评】作旋转变换，构成等腰直角三角形，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。 例 6. （2012 广西南宁 3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，对角线 AC，BD 相交 于点 O，则 OA 的取值范围是【 】 A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm 【答案】C。 【考点】平行四边形的性质，三角形三边关系。 【分析】∵平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm， ∴OA=OC= 1 2 AC（平行四边形对角线互相平分）， BC－AB＜AC＜BC＋AB（三角形三边关系），即 2cm＜AC＜8cm。 ∴1cm＜OA＜4cm。 故选 C。 【点评】将已知条件转换到一个三角形内，应用三角形三边关系，使问题易于解决体现了由复杂——简单 的化归。 例 7. （2012 江苏徐州 2 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠A=600。BD 是以点 A 为圆心、AB 长为 半径的弧， CD 是以点 B 为圆心、BC 长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。 【答案】 3 。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，连接 BD。 ∵菱形 ABCD 中∠A=600， 12 ∴△ABD 和△BCD 是边长相等的等边三角形。 ∴BD 与 BD 围成的弓形面积等于 CD 与CD 围成的弓形面积。 ∴阴影部分的面积等于△BCD 的面积。 由菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠A=600 得△BCD 的高为 2sin600= 3 。 ∴△BCD 的面积等于 1 2 3= 32  （cm2），即阴影部分的面积等于 3 cm2。 【点评】作辅助线：连接 BD，进行等面积代换，将求阴影部分的面积变为求△BCD 的面积，使问题易于 解决体现了由复杂——简单的化归。 例 8. （2012 海南省 3 分）如图，点 A、B、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为 OA，点 P 是优 弧 AmB上的一点，则 tan APB 的值是【 】 A．1 B． 2 2 C． 3 3 D． 3 【答案】A。 【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 P1，连接 AB，BP1。设网格的边长为 a。 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。 根据勾股定理，得 AB=BP1= 2a 。 根据正切函数定义，得 1 1 AB 2atan AP B= = =1BP 2a  。 根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴ 1tan APB=tan APB=1。故选 A。 【点评】作辅助线：连接 AO 并延长交⊙O 于点 P1，连接 AB，BP1，应用圆周角定理将 APB 转换为直 角三角形内的角，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。 例 9. （2012 四川凉山 8 分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。 如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方， P1 13 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规 律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（2）），问 题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的： ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′． ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 得周长最小． （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ． 【答案】解：（1）作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求。 （2）8． 14 例 10. （2012 山东滨州 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣2，﹣4）， O （0，0）， B（2，0）三点． （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值． 【答案】解：（1）把 A（﹣2，﹣4）， O（0，0）， B（2，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得 4a+2b+c=0 4a 2b+c= 4 c=0     ，解这个方程组，得 1a= 2 b=1 c=0        。 ∴抛物线的解析式为 y=﹣ 1 2 x2+x。 （2）由 y=﹣ 1 2 x2+x=﹣ 1 2 （x﹣1）2+ 1 2 ，可得 抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。 15 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小。 过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N， 在 Rt△ABN 中， 2 2 2 2AB= AN +BN 4 +4 4 2， 因此 OM+AM 最小值为 42。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性 质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 （2）根据 O、B 点的坐标发现：抛物线上，O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需 连接 A、B，直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的 M 点，而 AM+OM 的最小值正好是 AB 的长。 对 x=1 上其它任一点 M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有： O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM， 即 OM+AM 为最小值。 【点评】作轴对称变换，根据三角形两边之和大于第三边的性质，使问题易于解决体现了由复杂——简单 的化归。 练习题： 1. （2012 重庆市 4 分）已知：如图，BD 平分∠ABC，点 E 在 BC 上，EF∥AB．若 ∠CEF=100°，则 ∠ABD 的度数为【 】 16 A．60° B．50° C．40° D．30° 2. （2012 广东佛山 6 分）如图，已知 AB=DC，DB=AC （1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 3. （2012 江苏常州 5 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC， 求证：∠DBC=∠DCB。 4. （2012 贵州铜仁 4 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为【 】 A．6 B．7 C．8 D．9 5. （2012 四川绵阳 4 分）如图，正方形的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的 面积为 ▲ （结果保留两位有效数字，参考数据 π≈3.14）。 17 6. （2012 湖北鄂州 3 分）如下图 OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是【 】 A.40° B.50° C.60° D.70° 7. （2012 四川内江 3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥A，∠CDB=300，CD= 23，则阴影部分图 形的面积为【 】 A. 4 B. 2 C. D. 2 3  8. （2012 山东青岛 3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm． 9. （2011 甘肃天水 4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线 AC 平分∠BAD， 点 E 在 AB 上，且 AE=2（AE＜AD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 ▲ ． 18 10. （2012 广西贵港 2 分）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN＝20，AC＝8，BD＝6，则 PA＋PB 的最小值是 ▲ 。 四、代数问题与几何问题之间的化归： 典型例题： 例 1. 例 5. （2012 广东广州 3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C 到 AB 的距离是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。 【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。 在 Rt△ABC 中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得： 2 2 2 2AB= AC +BC 9 +12 15。 过 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D， 则由 S△ABC= 1 2 AC•BC= AB•CD，得 AC BC 9 12 36CD AB 15 5    。 ∴点 C 到 AB 的距离是 36 5 。故选 A。 【点评】应用勾股定理和三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合 ——单一的化归。 例 2. （2012 北京市 5 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，∠BAC=900，∠CED=450， ∠DCE=900，DE= 2 ，BE=2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 19 【答案】解：过点 D 作 DH⊥AC， ∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE= 2 ，∴EH=DH=1。 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC= 3 。 ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2 2 ， ∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ 3 =3+ 3 。 ∴ ABCD 1 1 9 3 3S 2 3 3 1 3 3 2 2 2         四 形 （ ） （ ）边 。 【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质， 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中 30°所对边等于斜边的 一半得出 CD 的长，求出 AC，AB 的长即可得出四边形 ABCD 的面积。 【点评】应用三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合——单一的 化归。 例 3. （2012 浙江绍兴 12 分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行 了认真的探索。 【思考题】如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 C 的距离为 0.7 米，如果 梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 B 将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整： 解：设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x， 则 B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1= 222.5 0.7 0.4 2   而 A1B1=2.5，在 Rt△A1B1C 中，由 2 2 2 1 1 1 1B C A C A B得方程 ， 解方程得 x1= ，x2= ， ∴点 B 将向外移动 米。 （2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 【问题一】在“思考题”中，将“下滑 0.4 米”改为“下滑 0.9 米”，那么该题的答案会是 0.9 米吗？为什么？ 【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有可能相等吗？ 为什么？ 20 请你解答小聪提出的这两个问题。 例 4. （2012 四川广元 3 分） 若以 A（-0.5，0）， B（2，0）， C（0，1）三点为顶点要画平行四边形， 则 第四个顶点不可能在【 】 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C。 【考点】平行四边形的判定，坐标与图形性质。 【分析】根据题意画出图形，如图所示： 分三种情况考虑：①以 CB 为对角线作平行四边形 ABD1C， 21 此时第四个顶点 D1 落在第一象限； ②以 AC 为对角线作平行四边形 ABCD2，此时第四个顶点 D2 落在第二象限； ③以 AB 为对角线作平行四边形 ACBD3，此时第四个顶点 D3 落在第四象限。 则第四个顶点不可能落在第三象限。故选 C。 【点评】作出图形，使问题易于解决体现了由抽象——具体的化归。 例 5. （2012 浙江湖州 3 分）如图，已知点 A（4，0）， O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端 点 O，A），过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别 为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】 A． 5 B． 4 53 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过 B 作 BF⊥OA 于 F，过 D 作 DE⊥OA 于 E，过 C 作 CM⊥OA 于 M， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。 ∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= 1 2 OA=2。 由勾股定理得：DE= 5 。 设 P（2x，0），根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x， ∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。 ∴ BF OF CM AM DE OE DE AE ， ，即 BF x CM 2 x 2255  ， ，解得：  5 2 x5BF x CM 22 ， 。 ∴BF+CM= 。故选 A。 【点评】作出辅助线，构成相似，将几何问题转换为代数问题使问题易于解决体现了由抽象——具体的化 归。 练习题： 1. （2012 贵州毕节 3 分）如图.在 Rt△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 式垂足， 22 连接 CD，若 BD=1，则 AC 的长是【 】 A.2 3 B.2 C.4 D.4 2. （2012 新疆区 5 分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积 1 25S=8  ， S2=2π，则 S3 是 ▲ ． 3. （2012 浙江嘉兴、舟山 4 分）已知△ABC 中，∠B 是∠A 的 2 倍，∠C 比∠A 大 20°，则 ∠A 等于【 】 A． 40° B． 60° C． 80° D． 90° 4. （2012 广东佛山 3 分）如图，边长为 m＋4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分 可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 ▲