2020年四川省泸州市中考数学试卷

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2020年四川省泸州市中考数学试卷

2020 年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的). 1.(3 分)2 的倒数是 ( ) A. 1 2 B. 1 2  C.2 D. 2 2.(3 分)将 867000 用科学记数法表示为 ( ) A. 3867 10 B. 48.67 10 C. 58.67 10 D. 68.67 10 3.(3 分)如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 ( 2,3)A  向右平移 4 个单位长度,得到的对应点 A 的 坐标为 ( ) A. (2,7) B. ( 6,3) C. (2,3) D. ( 2, 1)  5.(3 分)下列正多边形中,不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 6.(3 分)下列各式运算正确的是 ( ) A. 2 3 5x x x  B. 3 2x x x  C. 2 3 6x x x D. 3 2 6( )x x 7.(3 分)如图, O 中,  AB AC , 70ABC   .则 BOC 的度数为 ( ) A.100 B.90 C.80 D. 70 8.(3 分)某语文教师调查了本班 10 名学生平均每天的课外阅读时间,统计结果如下表所 示: 课外阅读时间(小 时) 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 那么这 10 名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是 ( ) A.1.2 和 1.5 B.1.2 和 4 C.1.25 和 1.5 D.1.25 和 4 9.(3 分)下列命题是假命题的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 10.(3 分)已知关于 x 的分式方程 321 1 m x x     的解为非负数,则正整数 m 的所有个数 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(3 分)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比” 问题:点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG ,GN ,使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较 短的一段GN 的比例中项,即满足 5 1 2 MG GN MN MG   ,后人把 5 1 2  这个数称为“黄金分 割”数,把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点.如图,在 ABC 中,已知 3AB AC  , 4BC  ,若 D , E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则 ADE 的面积为 ( ) A.10 4 5 B.3 5 5 C. 5 2 5 2  D. 20 8 5 12.(3 分)已知二次函数 2 22 2 4y x bx b c    (其中 x 是自变量)的图象经过不同两点 (1 , )A b m , (2 , )B b c m ,且该二次函数的图象与 x 轴有公共点,则 b c 的值为 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分). 13.(3 分)函数 2y x  的自变量 x 的取值范围是 . 14.(3 分)若 1 3ax y 与 4 31 2 x y 是同类项,则 a 的值是 . 15.(3 分)已知 1x , 2x 是一元二次方程 2 4 7 0x x   的两个实数根,则 2 2 1 1 2 24x x x x  的 值是 . 16.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,E ,F 分别为边 AB , AD 的中点,BF 与 EC 、ED 分 别交于点 M , N .已知 4AB  , 6BC  ,则 MN 的长为 . 三、本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分. 17.(6 分)计算: 0 11| 5| ( 2020) 2cos60 ( )3        . 18.(6 分)如图, AC 平分 BAD , AB AD .求证: BC DC . 19.(6 分)化简: 22 1( 1)x x x x    . 四、本大题共 2 个小题,每小题 7 分,共 14 分. 20.(7 分)某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况,随机抽取了 n 辆该型 号汽车耗油1L 所行使的路程作为样本,并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计 图.根据题中已有信息,解答下列问题: (1)求 n 的值,并补全频数分布直方图; (2)若该汽车公司有 600 辆该型号汽车.试估计耗油1L 所行使的路程低于13km 的该型号 汽车的辆数; (3)从被抽取的耗油1L 所行使路程在12 12.5x „ ,14 14.5x „ 这两个范围内的 4 辆汽车 中,任意抽取 2 辆,求抽取的 2 辆汽车来自同一范围的概率. 21.(7 分)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共 30 件.其 中甲种奖品每件 30 元,乙种奖品每件 20 元. (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元,那么这两种奖品分别购买了多少件? (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍.如何购买甲、乙两种奖品,使得 总花费最少? 五、本大题共 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分. 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知一次函数 3 2y x b  的图象与反比例函 数 12y x  的图象相交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 ( ,6)a . (1)求该一次函数的解析式; (2)求 AOB 的面积. 23.(8 分)如图,为了测量某条河的对岸边 C , D 两点间的距离.在河的岸边与 CD 平行 的直线 EF 上取两点 A , B ,测得 45BAC   , 37ABC   , 60DBF   ,量得 AB 长 为 70 米.求 C , D 两点间的距离(参考数据: 3sin37 5   , 4cos37 5   , 3tan37 )4   . 六、本大题共 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分. 24.(12 分)如图, AB 是 O 的直径,点 D 在 O 上, AD 的延长线与过点 B 的切线交于 点 C , E 为线段 AD 上的点,过点 E 的弦 FG AB 于点 H . (1)求证: C AGD   ; (2)已知 6BC  . 4CD  ,且 2CE AE ,求 EF 的长. 25.(12 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   经过 ( 2,0)A  , (4,0)B , (0,4)C 三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)经过点 B 的直线交 y 轴于点 D ,交线段 AC 于点 E ,若 5BD DE . ①求直线 BD 的解析式; ②已知点 Q 在该抛物线的对称轴 l 上,且纵坐标为 1,点 P 是该抛物线上位于第一象限的动 点,且在 l 右侧,点 R 是直线 BD 上的动点,若 PQR 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角 形,求点 P 的坐标. 2020 年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的). 1.(3 分)2 的倒数是 ( ) A. 1 2 B. 1 2  C.2 D. 2 【解答】解:2 的倒数是 1 2 . 故选: A . 2.(3 分)将 867000 用科学记数法表示为 ( ) A. 3867 10 B. 48.67 10 C. 58.67 10 D. 68.67 10 【解答】解: 5867000 8.67 10  , 故选: C . 3.(3 分)如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:从正面看是一个矩形,矩形的中间有一条纵向的实线. 故选: B . 4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 ( 2,3)A  向右平移 4 个单位长度,得到的对应点 A 的 坐标为 ( ) A. (2,7) B. ( 6,3) C. (2,3) D. ( 2, 1)  【解答】解:将点 ( 2,3)A  先向右平移 4 个单位, 点 A 的对应点 A 的坐标是 ( 2 4,3)  ,即 (2,3) . 故选: C . 5.(3 分)下列正多边形中,不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A .正方形是中心对称图形,故本选项不合题意; B .正五边形不是中心对称图形,故本选项符合题意; C .正六边形是中心对称图形,故本选项不合题意; D .正八边形是中心对称图形,故本选项不合题意; 故选: B . 6.(3 分)下列各式运算正确的是 ( ) A. 2 3 5x x x  B. 3 2x x x  C. 2 3 6x x x D. 3 2 6( )x x 【解答】解: A . 2x 与 3x 不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; B . 3x 与 2x 不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; C . 2 3 5x x x ,故本选项不合题意; D . 3 2 6( )x x ,故本选项符合题意. 故选: D . 7.(3 分)如图, O 中,  AB AC , 70ABC   .则 BOC 的度数为 ( ) A.100 B.90 C.80 D. 70 【解答】解:  AB AC , 70ABC ACB     , 180 70 70 40A        , 2 80BOC A     . 故选: C . 8.(3 分)某语文教师调查了本班 10 名学生平均每天的课外阅读时间,统计结果如下表所 示: 课外阅读时间(小 时) 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 那么这 10 名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是 ( ) A.1.2 和 1.5 B.1.2 和 4 C.1.25 和 1.5 D.1.25 和 4 【解答】解:10 名学生的每天阅读时间的平均数为 0.5 2 1 3 1.5 4 2 1 1.22 3 4 1           ; 学生平均每天阅读时间出现次数最多的是 1.5 小时,共出现 4 次,因此众数是 1.5; 故选: A . 9.(3 分)下列命题是假命题的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 【解答】解: A 、平行四边形的对角线互相平分,是真命题; B 、矩形的对角线互相相等,不是垂直,原命题是假命题; C 、菱形的对角线互相垂直平分,是真命题; D 、正方形的对角线互相垂直平分且相等,是真命题; 故选: B . 10.(3 分)已知关于 x 的分式方程 321 1 m x x     的解为非负数,则正整数 m 的所有个数 为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:去分母,得: 2( 1) 3m x   , 移项、合并,得: 5 2 mx  , 分式方程的解为非负数, 5 0m  … 且 5 12 m  , 解得: 5m„ 且 3m  , 正整数解有 1,2,4,5 共 4 个, 故选: B . 11.(3 分)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比” 问题:点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG ,GN ,使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较 短的一段GN 的比例中项,即满足 5 1 2 MG GN MN MG   ,后人把 5 1 2  这个数称为“黄金分 割”数,把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点.如图,在 ABC 中,已知 3AB AC  , 4BC  ,若 D , E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则 ADE 的面积为 ( ) A.10 4 5 B.3 5 5 C. 5 2 5 2  D. 20 8 5 【解答】解:作 AH BC 于 H ,如图, AB AC , 1 22BH CH BC    , 在 Rt ABH 中, 2 23 2 5AH    , D , E 是边 BC 的两个“黄金分割”点, 5 1 2( 5 1) 2 5 22BE BC      , 2 5 2 2 2 5 4HE BE BH        , 2 4 5 8DE HE    1 (4 5 8) 5 10 4 52ADES       . 故选: A . 12.(3 分)已知二次函数 2 22 2 4y x bx b c    (其中 x 是自变量)的图象经过不同两点 (1 , )A b m , (2 , )B b c m ,且该二次函数的图象与 x 轴有公共点,则 b c 的值为 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:由二次函数 2 22 2 4y x bx b c    的图象与 x 轴有公共点, 2( 2 )2 4 1 (2 4 ) 0b b c      … ,即 2 4 0b c „ ①, 由抛物线的对称轴 2 2 bx b   ,抛物线经过不同两点 (1 , )A b m , (2 , )B b c m , 1 2 2 b b cb    ,即, 1c b  ②, ②代入①得, 2 4( 1) 0b b  „ ,即 2( 2) 0b  „ ,因此 2b  , 1 2 1 1c b     , 2 1 3b c     , 故选: C . 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分). 13.(3 分)函数 2y x  的自变量 x 的取值范围是 2x… . 【解答】解:根据题意得, 2 0x  … , 解得 2x… . 故答案为: 2x… . 14.(3 分)若 1 3ax y 与 4 31 2 x y 是同类项,则 a 的值是 3 . 【解答】解: 1 3ax y 与 4 31 2 x y 是同类项, 1 4a   , 解得 3a  , 故答案为:3. 15.(3 分)已知 1x , 2x 是一元二次方程 2 4 7 0x x   的两个实数根,则 2 2 1 1 2 24x x x x  的 值是 2 . 【解答】解:根据题意得则 1 2 4x x  , 1 2 7x x   所以, 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 24 ( ) 2 16 14 2x x x x x x x x        故答案为 2. 16.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,E ,F 分别为边 AB , AD 的中点,BF 与 EC 、ED 分 别交于点 M , N .已知 4AB  , 6BC  ,则 MN 的长为 4 3 . 【解答】解:延长 CE 、 DA 交于 Q ,如图 1, 四边形 ABCD 是矩形, 6BC  , 90BAD   , 6AD BC  , / /AD BC , F 为 AD 中点, 3AF DF   , 在 Rt BAF 中,由勾股定理得: 2 2 2 24 3 5BF AB AF     , / /AD BC , Q ECB   , E 为 AB 的中点, 4AB  , 2AE BE   , 在 QAE 和 CBE 中 QEA BEC Q ECB AE BE         ( )QAE CBE AAS   , 6AQ BC   , 即 6 3 9QF    , / /AD BC , QMF CMB ∽ ,  9 6 FM QF BM BC   , 5BF  , 2BM  , 3FM  , 延长 BF 和 CD,交于W ,如图 2, 同理 4AB DW  , 8CW  , 5BF FM  , / /AB CD , BNE WND ∽ ,  BN BE NW DW  ,  2 5 5 4 BN BN   , 解得: 10 3BN  , 10 423 3MN BN BM      , 故答案为: 4 3 . 三、本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分. 17.(6 分)计算: 0 11| 5| ( 2020) 2cos60 ( )3        . 【解答】解:原式 15 1 2 32      5 1 1 3    8 . 18.(6 分)如图, AC 平分 BAD , AB AD .求证: BC DC . 【解答】证明: AC 平分 BAD , BAC DAC   , 又 AB AD , AC AC , ( )ABC ADC SAS   , BC CD  . 19.(6 分)化简: 22 1( 1)x x x x    . 【解答】解:原式 2 2 2( 1) 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x           . 四、本大题共 2 个小题,每小题 7 分,共 14 分. 20.(7 分)某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况,随机抽取了 n 辆该型 号汽车耗油1L 所行使的路程作为样本,并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计 图.根据题中已有信息,解答下列问题: (1)求 n 的值,并补全频数分布直方图; (2)若该汽车公司有 600 辆该型号汽车.试估计耗油1L 所行使的路程低于13km 的该型号 汽车的辆数; (3)从被抽取的耗油1L 所行使路程在12 12.5x „ ,14 14.5x „ 这两个范围内的 4 辆汽车 中,任意抽取 2 辆,求抽取的 2 辆汽车来自同一范围的概率. 【解答】解:(1)12 30% 40  ,即 40n  , B 组的车辆为: 40 2 16 12 2 8     (辆 ) , 补全频数分布直方图如图: (2) 2 8600 15040   (辆 ) , 即估计耗油1L 所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为 150 辆; (3)设行使路程在12 12.5x „ 范围内的 2 辆车记为为 A 、 B ,行使路程在14 14.5x „ 范 围内的 2 辆车记为 C 、 D , 画树状图如图: 共有 12 个等可能的结果,抽取的 2 辆汽车来自同一范围的结果有 4 个, 抽取的 2 辆汽车来自同一范围的概率为 4 1 12 3  . 21.(7 分)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共 30 件.其 中甲种奖品每件 30 元,乙种奖品每件 20 元. (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元,那么这两种奖品分别购买了多少件? (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍.如何购买甲、乙两种奖品,使得 总花费最少? 【解答】解:(1)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了 (30 )x 件, 根据题意得 30 20(30 ) 800x x   , 解得 20x  , 则 30 10x  , 答:甲种奖品购买了 20 件,乙种奖品购买了 10 件; (2)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了 (30 )x 件,设购买两种奖品的总费用为 w 元, 根据题意得 30 3x x „ ,解得 7.5x… , 30 20(30 ) 10 600w x x x     , 10 0 , w 随 x 的增大而减小, 8x  时, w 有最小值为: 10 8 600 680w     . 答:当购买甲种奖品 8 件、乙种奖品 22 件时,总花费最小,最小费用为 680 元. 五、本大题共 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分. 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知一次函数 3 2y x b  的图象与反比例函 数 12y x  的图象相交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 ( ,6)a . (1)求该一次函数的解析式; (2)求 AOB 的面积. 【解答】解:(1)如图, 点 ( ,6)A a 在反比例函数 12y x  的图象上, 6 12a  , 2a  , (2,6)A , 把 (2,6)A 代入一次函数 3 2y x b  中得: 3 2 62 b   , 3b  , 该一次函数的解析式为: 3 32y x  ; (2)由 3 32 12 y x y x      得: 1 1 4 3 x y      , 2 2 2 6 x y    , ( 4, 3)B   , 当 0x  时, 3y  ,即 3OC  , AOB 的面积 1 13 2 3 4 92 2ACO BCOS S          . 23.(8 分)如图,为了测量某条河的对岸边 C , D 两点间的距离.在河的岸边与 CD 平行 的直线 EF 上取两点 A , B ,测得 45BAC   , 37ABC   , 60DBF   ,量得 AB 长 为 70 米.求 C , D 两点间的距离(参考数据: 3sin37 5   , 4cos37 5   , 3tan37 )4   . 【解答】解:过点 C 、 D 分别作 CM EF , DN EF ,垂足为 M 、 N , 在 Rt AMC 中, 45BAC   , AM MC  , 在 Rt BMC 中, 37ABC   , tan CMABC BM   , 4 tan37 3 CMBM CM   , 470 3AB AM BM CM CM     , 30CM DN   , 在 Rt BDN 中, 60DBN   , 30 10 3tan60 3 DNBN    , 4 30 10 3 40 10 33CD MN MB BN         , 答: C , D 两点间的距离为 (40 10 3) 米, 六、本大题共 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分. 24.(12 分)如图, AB 是 O 的直径,点 D 在 O 上, AD 的延长线与过点 B 的切线交于 点 C , E 为线段 AD 上的点,过点 E 的弦 FG AB 于点 H . (1)求证: C AGD   ; (2)已知 6BC  . 4CD  ,且 2CE AE ,求 EF 的长. 【解答】(1)证明:连接 BD , AB 是 O 的直径, 90ADB   , 90DAB DBA     , BC 是 O 的切线, 90ABC  , 90C CAB     , C ABD   , AGD ABD   , AGD C   ; (2)解: 90BDC ABC     , C C   , ABC BDC ∽ ,  BC CD AC BC  ,  6 4 6AC  , 9AC  , 2 2 3 5AB AC BC    , 2CE AE , 3AE  , 6CE  , FH AB , / /FH BC , AHE ABC ∽ ,  AH EH AE AB BC AC   ,  3 6 93 5 AH EH  , 5AH  , 2EH  , 连接 AF , BF , AB 是 O 的直径, 90AFB  , 90AEH BFH AFH FAH        , FAH BFH   , AFH FBH ∽ ,  FH BH AH FH  ,  2 5 5 FH FH  , 10FH  , 10 2EF   . 25.(12 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   经过 ( 2,0)A  , (4,0)B , (0,4)C 三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)经过点 B 的直线交 y 轴于点 D ,交线段 AC 于点 E ,若 5BD DE . ①求直线 BD 的解析式; ②已知点 Q 在该抛物线的对称轴 l 上,且纵坐标为 1,点 P 是该抛物线上位于第一象限的动 点,且在 l 右侧,点 R 是直线 BD 上的动点,若 PQR 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角 形,求点 P 的坐标. 【解答】解:(1)抛物线 2y ax bx c   经过 ( 2,0)A  , (4,0)B , 设抛物线的解析式为 ( 2)( 4)y a x x   , 将点 C 坐标 (0,4) 代入抛物线的解析式为 ( 2)( 4)y a x x   中,得 8 4a  , 1 2a   , 抛物线的解析式为 21 1( 2)( 4) 42 2y x x x x        ; (2)①如图 1, 设直线 AC 的解析式为 y kx b  , 将点 ( 2,0)A  , (0,4)C ,代入 y kx b  中,得 2 0 4 k b b       ,  2 4 k b     , 直线 AC 的解析式为 2 4y x  , 过点 E 作 EF x 轴于 F , / /OD EF , BOD BFE ∽ ,  OB BD BF BE  , (4,0)B , 4OB  , 5BD DE ,  5 5 5 6 BD BD DE BE BD DE DE BE     , 6 2445 5 BEBF OBBD       , 24 445 5OF BF OB      , 将 4 5x   代入直线 : 2 4AC y x  中,得 4 122 ( ) 45 5y      , 4( 5E  , 12)5 , 设直线 BD 的解析式为 y mx n  ,  4 0 4 12 5 5 m n m n     ,  1 2 2 m n      , 直线 BD 的解析式为 1 22y x   ; ②Ⅰ、当点 R 在直线 l 右侧时, 抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( 2,0)A  和 (4,0)B , 抛物线的对称轴为直线 1x  , 点 (1,1)Q , 如图 2,设点 (P x , 21 4)(1 4)2 x x x     , 过点 P 作 PG l 于 G ,过点 R 作 RH l 于 H , 1PG x   , 2 21 14 1 32 2GQ x x x x         , PG l , 90PGQ   , 90GPQ PQG     , PQR 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角形, PQ RQ  , 90PQR   , 90PQG RQH     , GPQ HQR   , ( )PQG QRH AAS   , 21 32RH GQ x x      , 1QH PG x   , 21( 42R x x    , 2 )x 由①知,直线 BD 的解析式为 1 22y x   , 21 1( 4) 2 22 2 x x x       , 2x  或 4x  (舍 ) , 当 2x  时, 21 14 4 2 4 42 2y x x          , (2,4)P , Ⅱ、当点 R 在直线 l 左侧时,记作 R , 设点 (P x , 21 4)(1 4)2 x x x     , 过点 P 作 P G l   于 G ,过点 R 作 R H l   于 H , 1P G x    , 2 21 14 1 32 2G Q x x x x          , 同Ⅰ的方法得,△ P QG   △ ( )QR H AAS  , 21 32R H G Q x x        , 1QH P G x     , 21( 22R x x   , )x , 由①知,直线 BD 的解析式为 1 22y x   , 21 1( 2) 22 2 x x x     , 1 13x    或 1 13x    (舍 ) , 当 1 13x    时, 21 4 2 13 42y x x      , ( 1 13P   , 2 13 4) , 即满足条件的点 P 的坐标为 (2,4) 或 ( 1 13  , 2 13 4) .
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