湘教版九年级数学下册第2章：圆 单元基础拔高训练卷

湘教版九年级数学下册第2章：圆 单元基础拔高训练卷

九年级数学下册第 2 章圆单元基础拔高训练卷（湘教版） 一、单选题 1．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧 ③相等的弦所对的弧也相等； ④ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E， 75A  ， 45C  ，那么 AEB 的度数为（ ） A．30° B． 45 C．60 D．75 3．如图， ABC 是 O 的内接三角形，AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上．若 36BCD  ，则 ACD 的度数为（ ） A．36 B． 44 C．54 D．64 4．如图， O 的半径为 10，弦 AB 的长为 16，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．下列命题中假命题的个数是（ ） ①三点确定一个圆；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于 弦；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，在 O 中，E 是直径 AB 延长线上一点，CE 切 O 于点 E，若 2CE BE ，则 E 的余弦值为 （ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 7．如图，已知 PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，射线 PO 交圆 O 于点 D、点 E．下列结论不一定成立的是( ) A．点 E 是△BPA 的内心 B．AB 与 PD 相互垂直平分 C．点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 D．PC 为△BPA 的边 AB 上的中线 8．如图， ABC 中， 80A   ，点O是 ABC 的内心，则 BOC 的度数为（ ） A．100 B．160 C．80 D．130 9．如图，在等腰直角 ABC 中，以 AB 为直径的半圆 O 交斜边 BC 于点 D，若 AB=AC=8，则阴影部分 面积为（ ） A．32－8π B．32－4π C．24－2π D．24－4π 10．如图，在圆内接四边形 ABCD中， 52A   ， 98B   ， 120AOB  o ，AB a= ，BC b ，CD c ， DA d ，则此四边形的面积（用含 a，b，c，d 的代数式表示）为（ ） A． 1 ( )2 ab cd B． 1 ( )2 ac bd C． 1 ( )2 ad bc D． 1 ( )4 ab bc cd ad   11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过 B,C 两点的⊙O 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 EO 并延长 交⊙O 于点 F.连接 BF,CF.若∠EDC=135°,CF=2 2 ,则 AE2+BE2 的值为 （ ） A．8 B．12 C．16 D．20 12．如图，点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上（OA＞OB），以 AB 为直径的圆经过原点 O，C 是 ¼AOB 的中点， 连结 AC，BC．下列结论：①AC=BC；②若 OA=4，OB=2，则△ABC 的面积等于 5；③若 OA﹣OB=4，则点 C 的坐标是（2，﹣2）.其中正确的结论有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 二、填空题 13．如图，A、B、C 为⊙O 上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB 的度数是______度． 14．如图，在 O 中，半径OC 垂直 AB 于 , 8, 2D AB CD  ，则 O 的半径是_____． 15．如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 C，点 D 是⊙O 上的一点，且∠EDC=30°，则∠ECA 的度数为 _________ ． 16．如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，若⊙O 的半径为 10，则 »AB 的长为____． 17．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 AB 上，若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是_____． 18．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC 的度数为_____． 19．如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=4，点 C 是半圆 AB 上一动点（不与 A，B 重合），CD 平分∠ACB 交 ⊙O 于点 D，点 I 是△ABC 的内心，连接 BD．下列结论： ①点 D 的位置随着动点 C 位置的变化而变化； ②ID=BD； ③OI 的最小值为 2 1 ； ④AC BC= 2 CD． 其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题 20．如图，已知 AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠B=30°，O 是线段 AB 上的一个动点，以 O 为圆心，OB 为半径 作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）设 OB=x，求∠ODE 的内部与△ABC 重合部分的面积 y 的最大值． 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边 AB 上一点 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，交 AC 于点 E， 交 AB 于点 D，且∠BEC=∠BDE． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）连接 OC 交 BE 于点 F，若 2 3 CE AE  ，求 OF CF 的值． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P⊙O 上，∠1=∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若∠ABC=55°，求∠P 的度数． 24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A 点坐标为 8,0 ，B 点坐标为 2,0 ，以 AB 为直径的 圆 P 与 y轴的负半轴交于点C ． （1）求图象经过 A ， B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）设 M 点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与 P 的关系，并说明理由． 25．如图，已知 AB 是 O 的直径，点C 、 D 在 O 上， 60D   且 6AB  ，过O点作OE AC ，垂 足为 E ．  1 求OE 的长；  2 若OE 的延长线交 O 于点 F ，求弦 AF 、 AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积 S ． 26．如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，AC 与 BD 交于点 E，且 AE=AB． （1）DA=DB，求证：AB=CB； （2）如图 2，△ABC 绕点 C 逆时针旋转 30°得到△FGC，点 A 经过的路径为 AF ，若 AC=4，求图中阴 影部分面积 S； （3）在（2）的条件下，连接 FB，求证：FB 为⊙O 的切线． 参考答案 1．D 解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误； 不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误； 同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，但是如果不是同圆和等圆时，相等的弦所对的弧不一定相 等，故命题③错误； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故命题④正确； 2．C 由同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠C=45°， 在 ABE 中，∠A=75°，∠B=45°， ∴∠AEB=60°， 3．C 解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=36°， ∴∠ACD=90°-∠BCD=54°． 4．B 解：由题意得：根据点到直线垂线段最短，故线段 OM 长的最小值为当 OM⊥AB 时，连接 OA，如图所 示： ∵AB=16， ∴AM=MB=8， ∵OA=10， ∴在 Rt△AOM 中， 2 2 6OM OA AM   ， ∴OM 的最小值为 6； 5．B 解：①错误，三个不在同一直线上的点确定一个圆； ②正确； ③错误，同圆或等圆内，相等的圆周角所对的弧相等； ④错误；反例：两个直径互相平分但不一定垂直； ⑤正确； ∴假命题的个数是 3． 6．B 解：如图，连接 OC， ∵CE 切 O 于点 E， ∴∠OCE=90°， 设 OC=OB=x， 2 2CE BE k  ， ∵在 Rt OCE△ 中， 2 2 2OC CE OE  ， ∴ 2 2 2(2 ) ( )x k x k   ， 解得 3 2x k ， ∴ 5 2OE OB BE k   ， ∴ 2 4cos 5 5 2 CE kE OE k    ， 故选：B． 7．B 解：如图，作 EG⊥PA 于 G，EH⊥PB 于 H，作 PO 的中点 F，并连结 FB、FA、EB、EA、OB、OA， 由切线长定理可知 PA=PB，∠BPO=∠APO， ∴△BPA 为等腰三角形，且 PC 为△BPA 的边 AB 上的中线，D 不符合题意； 由切线的性质可知△OBP、△OAP 为直角三角形， ∵F 为 PO 的中点，∴FB=FA= 1 2 PO FO ， ∴点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上，C 不符合题意； 在△PBE 和△PAE 中， PB PA BPO APO PE PE       ， ∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB， ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC， ∵PO 平分∠BPA，∴EH=EG， ∴EH=EG=EC，∴点 E 是△BPA 的内心，A 不符合题意； ∵PC=CD 不一定成立，AB 与 PD 不一定相互垂直平分，B 符合题意； 8．D 解：∵ 80A   ， ∴ 180 80 100ABC ACB        ， ∵点O是 ABC 的内心， ∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， ∴ 1 2OBC ABC   ， 1 2OCB ACB   ， ∴ 1 1( ) 100 502 2OBC OCB ABC ACB           ， ∴ 180 50 130BOC       ． 9．D 解：如图，连接 AD、OD， ∵ AB AC ， ∴ ABC 是等腰直角三角形， ∴ 45ABD  ， ∵AB 是直径， ∴ 90ADB   ， ∴ ABD△ 是等腰直角三角形， ∵OA OB ， ∴ DO AB ， ∵ 8AB  ， ∴ 4OA OB OD   ， ∴ ABC BODOADS S S S   阴影 扇形 21 90 4 18 8 4 42 360 2         24 4  ． 10．B 解：连接 AC ， BD 交于 P ， 120AOB  Q ， 1 2 60    ， 98ABC   ， 3 22   ， 52DAB   ， 30DAC   ， 1 90DAC     ， AC BD  ， 在 Rt ADP 中， 30DAC   ， AD d ， 1 2PD d  ， 3 2AP d ， 同理得： 1 2PC b ， 3 2PB b ， BAC BDC   ， APB DPC   ， APB DPC ∽ ，  AP AB PD DC  ，  3 2 1 2 d a cd  ， 3a c  ， 在 Rt CPD 中，由勾股定理得： 2 2 2DC PD PC  ， 2 2 21 1( ) ( )2 2c d b  ， 2 2 24c b d  ，   1 1 2 2ABCDS AC BD AP PC BP PD     四边形 ， 1 3 1 3 1( )( )2 2 2 2 2d b b d   ， 2 21 ( 3 4 3 )8 d bd b   ， 2 21[ 3( ) 4 ]8 b d bd   ， 21 (4 3 4 )8 c bd  ， 1 (4 4 )8 ac bd  ， 1 ( )2 ac bd  故选 B． 11．C ∵∠EDC=135°， ∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°； ∵∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∴∠ADE=∠A=45°， ∴AE=AD，∠AED=90°； ∵EF 为⊙O 的直径， ∴∠FCE=90°， ∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=2 2 ， ∴EF=4； 连接 BD， ∵∠AED=90°， ∴∠BED=90°， ∴BD 为⊙O 的直径， ∴BD=4； 在 Rt△BDE 中， 2 2 2 24 16BE DE BD    , ∴AE2+BE2=16. 故选 C. 12．A ①∵AB 为直径， ∴∠ACB=900， ∴①正确； ②∵C 是 ¼AOB 的中点， ∴ BC = AC ， ∴AC=BC， ∴②正确； ③在 Rt△AOB 中，OA=4，OB=2， ∴AB= 2 2OA OB = 2 5 ， 在 Rt△ABC 中，AC=BC= 2 2 AB= 10 ， ∴△ABC 的面积= 1 2 ×AC×BC= 1 2 × 10 × 10 =5， ∴③正确； ④如图， 过点 C 作 CD⊥OA，DE⊥OB， ∴∠BEC=∠ADC=90° 在△BCE 和△ACD 中， BEC ADC CBE CAD BC AC         ， ∴△BCE≌△ACD， ∴AD=BE，CE=CD， ∵∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°， ∴四边形 ODCE 是矩形， ∵CE=CD， ∴矩形 ODCE 是正方形， ∴OD=OD=CD=CE， ∵AD=OA−OD，BE=OB+BE=OB+OD， ∵AD=BE ∴OA−OD=OB+OD， ∵OA−OB=4， ∴OD=2， ∴CD=CE=2， ∴C(2，−2) ∴④正确， 13．55 解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠ACB=35°， ∴∠AOB=2∠ACB=70°， ∴ 180 70 552OAB      ； 故答案为 55． 14．5 设⊙O 的半径为 r，则 OD=r-2， ∵OC⊥AB， ∴AD=BD= 1 2 AB=4， 在 Rt△AOD 中，∵OD2+AD2=OA2， ∴（r-2）2+42=r2，解得 r=5， 即⊙O 的半径为 5． 15．30° 解：如图所示，连接 OE、OC， ∵∠EDC=30°， ∴∠EOC=2∠EDC=60°， 又∵OE=OC， ∴ EOC△ 为等边三角形， ∴∠ECO=60°， ∵直线 AB 与圆 O 相切于点 C， ∴∠ACO=90°， ∴∠ECA=∠ACO－∠ECO=90°－60°=30°． 16．2π 解：如图所示：连接 OA、OB． ∵⊙O 为正五边形 ABCDE 的外接圆，⊙O 的半径为 10， ∴∠AOB＝ 360 5  ＝72°， ∴ AB的长为： 72• 10 2360    ． 故答案为：2π． 17．4． 解：∵PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， ⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 AB 上， ∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2， ∴△PEF 的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4． 18．90 ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝ 90°，故答案为 90°. 19．②④ 解： CD 平分 ACB ，AB 是⊙O 的直径， 45ACD BCD     ，   AD BD ， ABQ 是 O 的直径， D∴ 是半圆的中点，即点 D 是定点； 故①错误； 如图示，连接 IB， ∵点 I 是△ABC 的内心， ∴ ABI CBI   又∵ 45ABD ACD     ， ∴ 45DBI ABD ABI ABI        45DIB DCB CBI ABI        即有 DBI DIB   ∴ ID BD ， 故②正确； 如图示，当 OI 最小时，CD 经过圆心 O， 过 I 点，作 IE BC ，交 BC 于 E 点 ∵点 I 是△ABC 的内心，CD 经过圆心 O， ∴ IO IE ， ∵ 45BCD   ∴ CIE 是等腰直角三角形， 又∵ 4AB  ， ∴ 2IC  ， 设 IO x ，则 =IE CE x ， 2IC x  ， ∴  22 2 2x x x   ， 解之得： 2 2 2x   ， 即： 2 2 2IO   ， 故③错误； 假设 2AC BC CD  ， ∵点 C 是半圆 AB 上一动点， 则点 C 在半圆 AB 上对于任意位置上都满足 2AC BC CD  ， 如图示， 当CD 经过圆心 O 时， 2 2AC BC  ， 4CD  ， ∴ 2 2 2 4 2 22 CAC B DC    与假设矛盾，故假设不成立， ∴ 2AC BC CD  故④正确； 综上所述，正确的是②④， 故答案是：②④ 20． （1）如图，连接 OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB 是直径，∴ ∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线 （2）设⊙O 的半径为 r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2， ∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2 3 ，易求 S△AOC= 1 2 ×2 3 ×1= 3 S 扇形 OAC=120 4 4 360 3    ， ∴阴影部分面积为 4 33   . 21． 证明：（1）连接 OD， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B． ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B ∴∠ODB=∠C ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线． （2）①当点 E 在 CA 的延长线上时，设 DE 与 AB 交于点 F，围成的图形为△ODF． ∵OD= OB= x，∠B=30°， ∴∠FOD=60°， ∵∠ODE=90°， ∴DF= 3 x， ∴S△ODF= 1 2 x· 3 x= 3 2 2x ，(0＜x≤10 3 ) 当 x=10 3 时，S△ODF 最大，最大值为 50 39 ； ②当点 E 在线段 AC 上时，围成的图形为梯形 AODE． ∵AB=AC=10，∠B=30°， ∴BC=10 3 ， 作 OH⊥BC， ∵OD= OB= x，∠B=30°， ∴BD= 2BH= 3 x， ∴CD= 10 3 － 3 x， ∵∠C=30°，∠DEC=90°， ∴DE= 1 2 (10 3 － 3 x)，CE= 3 2 (10 3 － 3 x)=15－ 3 2 x， ∴AE= 3 2 x－5， ∴S 梯形 AODE= 1 2 ( 3 2 x－5+ x)· 1 2 (10 3 － 3 x)= 5 3 8 (－ 2x +12 x－20) (10 3 ＜x＜10) 当 x=6 时，S 梯形 AODE 最大，最大值为 10 3 ； 综上所述，当 x=6 时，重合部分的面积最大，最大值为 10 3 ． 22． ：解：（1）连接 OE． ∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB． ∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°． ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE ∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即 OE⊥AC，∴AC 为⊙O 的切线． （2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC． ∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：5，∴OE：BC=3：5． ∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴ 3 5 OF OE CF BC   ． 23 （1）要证明 CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题； （2）在 Rt△CEB 中，求出∠C 即可解决问题. 试题解析：（1）如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C， ∴∠1=∠P， ∴CB∥PD； （2）∵CD⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∵∠CBE=55°， ∴∠C=90°﹣55°=35°， ∴∠P=∠C=35°. 24． 解：（1）连接 AC、BC； ∵AB 是⊙P 的直径， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°， ∵∠BCO+∠CBO=90°， ∴∠CBO=∠ACO， ∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB， ∴ AO OC = OC OB ， ∴OC2=OA·OB=16， ∴OC=4， 故 C(0，﹣4)， 设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)， 代入 C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a= 1 4 ， 故抛物线的解析式为：y= 1 4 (x+8)(x﹣2)= 21 4 x + 3 2 x﹣4； (2)由(1)知：y= 21 4 x + 3 2 x﹣4= 21 ( 3)4 x  ﹣ 25 4 ； 则 M(﹣3，﹣ 25 4 )， 又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)， ∴MP= 25 4 ，PC=5，MC=15 4 ， ∴MP2=MC2+PC2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°， 故直线 MC 与⊙P 相切． 25． 解：(1) ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OE⊥AC， ∴OE // BC， 又∵点 O 是 AB 中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∵∠D=60°， ∴∠B=60°， 又∵AB=6， ∴BC=AB·cos60°=3， ∴OE= 1 2 BC= 3 2 ； (2)连接 OC， ∵∠D=60°， ∴∠AOC=120°， ∵OF⊥AC， ∴AE=CE， AF = CF ， ∴∠AOF=∠COF=60°， ∴△AOF 为等边三角形， ∴AF=AO=CO， ∵在 Rt△COE 与 Rt△AFE 中， AF CO AE CE    ， ∴△COE≌△AFE， ∴阴影部分的面积=扇形 FOC 的面积， ∵S 扇形 FOC= 260 3 360   = 3 2 π． ∴阴影部分的面积为 3 2 π． 26． （1）证明：如图 1 中， ∵DA=DB， ∴∠DAB=∠DBA， ∵AE=AB， ∴∠AEB=∠ABE， ∴∠AEB=∠DAB， ∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB， ∴∠EAB=∠ADE， ∵∠ADE=∠ACB， ∴∠EAB=∠ACB， ∴AB=BC． （2）如图 2 中，设 AB 的延长线交 FG 于 M，连接 CM，在 BC 上取一点 N，使得 CN=NM． ∵△ABC 是等腰直角三角形，AC=4， ∴AB=BC=2 ， ∵BC=CG，CM=CM， ∴Rt△CBM≌Rt△CGM， ∴∠MCB=∠MCG=15°， ∵NC=NM， ∴∠NCM=∠NMC=15°， ∴∠MNB=30°，设 BM=a，则 MN=CN=2a，BN= a， ∴2a+ a=2 ， ∴a=4 ﹣2 ， ∴S 阴=2× ×BM×BC=（4 ﹣2 ）× =16﹣8 ． （3）如图 2﹣1 中，连接 OB、BF、作 FH⊥AC 于 H． ∵∠ACF=30°，∠FHC=90°， ∴FH= CF= AC=OA=OB， ∵ BA=BC，OA=OC， ∴BO⊥AC， ∴FH∥OB， ∴四边形 OBFH 是平行四边形， ∵∠BOH=90°， ∴四边形 OBFH 是矩形， ∴∠OBF=90°，即 OB⊥BF； ∴BF 是⊙O 的切线．