2020年山东省济南市天桥区第二次模拟数学测试卷 解析版

2020年山东省济南市天桥区第二次模拟数学测试卷 解析版

‎2020年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．将4760用科学记数法表示应为（　　）‎ A．47.6×102 B．4.76×103 C．4.76×104 D．0.476×104‎ ‎4．在如图所示的低碳、节水、节能和绿色食品这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠1＝40°，则∠2等于（　　）‎ A．40° B．60° C．120° D．140°‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 ‎ C．（a2）3＝a6 D．a2+a3＝a5‎ ‎7．化简：﹣的结果是（　　）‎ A．m+n B．m﹣n C．n﹣m D．﹣m﹣n ‎8．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）‎ A．极差是8℃ B．众数是28℃ ‎ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃‎ ‎9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（　　）‎ A．20米 B．10米 C．10米 D．20米 ‎11．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮⊙O上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，且点A、B、C都在⊙O上，则此扇形的面积是（　　）‎ A．m2 B．πm2 C．πm2 D．2πm2‎ ‎12．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：a2+ab＝　 　．‎ ‎14．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有2个黄球和若干个白球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则白球的个数是　 　．‎ ‎15．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是　 　．‎ ‎16．若代数式的值是1，则a＝　 　．‎ ‎17．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们的距离s（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数关系分别如图中的射线OC和ED，当他们行走4小时后，他们之间的距离为　 　千米．‎ ‎18．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（0°≤a≤90°），连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝‎ DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE．其中结论正确的是　 　．‎ 三．解答题 ‎19.计算：（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣2tan45°+（﹣1）2020．‎ ‎20.解不等式组，并写出它的所有整数解．‎ ‎21.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．求证：BE＝DF．‎ ‎22.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解、B．比较了解、C．基本了解、D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图：请结合统计图，回答下列问题：‎ ‎（1）此次参与调查的学生共有　　人；‎ ‎（2）扇形统计图（如图1）中D部分扇形所对应的圆心角是　　度；‎ ‎（3）请补全条形统计图（如图2）；‎ ‎（4）根据调查结果，学校开展关于雾霾的知识竞赛，要从“非常了解”程度的4人中随机选两人参加，已知这四人中有两名男生、两名女生，请用树状图或列表法求一名男生和一名女生参加本次知识竞赛的概率．‎ ‎．‎ ‎23.如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．‎ ‎（1）求证：∠PBC＝∠OPC；‎ ‎（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．‎ ‎24.某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件共需440元；‎ ‎（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？‎ ‎（2）若该商店，A种商品每件的售价为48元，B种商品每件的售价为31元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求A种商品至少购进多少件？‎ ‎25.已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式及n的值；‎ ‎（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．‎ ‎①请求出点F的坐标；‎ ‎②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26.已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：　　；‎ ‎（2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题：‎ ‎①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD与CE的数量关系，再给予证明；‎ ‎②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值．‎ ‎27.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．‎ ‎①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；‎ ‎②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2020年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．‎ ‎【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．‎ 故选：A．‎ ‎2．有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：主视图是从正面看，茶叶盒可以看作是一个圆柱体，圆柱从正面看是长方形．‎ 故选：D．‎ ‎3．将4760用科学记数法表示应为（　　）‎ A．47.6×102 B．4.76×103 C．4.76×104 D．0.476×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4760有4位，所以可以确定n＝4﹣1＝3．‎ ‎【解答】解：4760＝4.76×103．‎ 故选：B．‎ ‎4．在如图所示的低碳、节水、节能和绿色食品这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠1＝40°，则∠2等于（　　）‎ A．40° B．60° C．120° D．140°‎ ‎【分析】根据平行线的性质得出∠EFD，进而利用邻补角解答即可．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EFD＝∠1＝40°，‎ ‎∴∠2＝180°﹣∠EFD＝180°﹣40°＝140°，‎ 故选：D．‎ ‎6．下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 ‎ C．（a2）3＝a6 D．a2+a3＝a5‎ ‎【分析】分别根据合并同类项运算法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；‎ B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；‎ C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；‎ D．a2和a3不是同类项不能合并，故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎7．化简：﹣的结果是（　　）‎ A．m+n B．m﹣n C．n﹣m D．﹣m﹣n ‎【分析】本题需先把分母进行整理，再合并即分子分母进行约分．即可求出所要求的结果．‎ ‎【解答】解：﹣‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝m+n．‎ 故选：A．‎ ‎8．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）‎ A．极差是8℃ B．众数是28℃ ‎ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃‎ ‎【分析】根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 极差是：30﹣20＝10℃，故选项A错误，‎ 众数是28℃，故选项B正确，‎ 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，‎ 平均数是：＝℃，故选项D错误，‎ 故选：B．‎ ‎9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝x﹣k与y＝（k为常数，且k≠0）‎ ‎∴当k＞0时，y＝x﹣k经过第一、三、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A符合题意，选项B不符合题意，‎ 当k＜0时，y＝x﹣k经过第一、二、三象限，y＝经过第二、四象限，故选项C、D不符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎10．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（　　）‎ A．20米 B．10米 C．10米 D．20米 ‎【分析】首先证明BD＝AD＝20米，解直角三角形求出BC即可．‎ ‎【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，‎ ‎∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，‎ ‎∴BD＝AD＝20米，‎ ‎∴BC＝BD•sin60°＝10（米），‎ 故选：C．‎ ‎11．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮⊙O上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，且点A、B、C都在⊙O上，则此扇形的面积是（　　）‎ A．m2 B．πm2 C．πm2 D．2πm2‎ ‎【分析】根据题意，可以求得AB和BC的长，从而可以得到此扇形的面积．‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ ‎∵AB＝CB，∠ABC＝90°，AC＝2，‎ ‎∴AB＝BC＝，‎ ‎∴此扇形的面积是：＝m2，‎ 故选：A．‎ ‎12．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x＝4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，‎ 而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，‎ ‎∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，‎ ‎∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，‎ ‎∴抛物线过点（2，0），‎ 把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4＝0，解得a＝1．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：a2+ab＝　a（a+b）　．‎ ‎【分析】直接提取公因式a即可．‎ ‎【解答】解：a2+ab＝a（a+b）．‎ ‎14．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有2个黄球和若干个白球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则白球的个数是　8　．‎ ‎【分析】首先设白球有x个，由概率公式可得＝，解此方程即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设白球有x个，‎ 则＝，‎ 解得：x＝8，‎ 经检验：x＝8是原分式方程的解；‎ 所以白球有8个．‎ 故答案为8．‎ ‎15．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是　10　．‎ ‎【分析】多边形的外角和等于360°‎ ‎，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．‎ ‎【解答】解：设所求正n边形边数为n，‎ 则36°n＝360°，‎ 解得n＝10．‎ 故正多边形的边数是10．‎ ‎16．若代数式的值是1，则a＝　2　．‎ ‎【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：＝1，‎ 去分母得：a+1＝2a﹣1，‎ 解得：a＝2，‎ 经检验a＝2是分式方程的解，‎ 则a＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎17．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们的距离s（千米）与所用的时间t（小时）之间的函数关系分别如图中的射线OC和ED，当他们行走4小时后，他们之间的距离为　3　千米．‎ ‎【分析】利用待定系数法求出甲、乙行驶距离s与时间t间函数关系式，令t＝4可得二者之间的距离差．‎ ‎【解答】解：根据题意，知OC表示甲行驶距离s与时间t间函数关系，‎ ED表示表示乙行驶距离s与时间t间函数关系，‎ 设s甲＝kt，‎ 由图象可知OC过点（2，4），代入解析式得：2k＝4，即k＝2，‎ 故s甲＝2t，‎ 设s乙＝mt+n，‎ 由图象可知，ED过（0，3）、（2，4）两点，‎ 代入解析式得；，‎ 解得：，‎ 故s乙＝t+3，‎ 当t＝4时，s甲﹣s乙＝8﹣5＝3（km），‎ 故答案为：3．‎ ‎18．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（0°≤a≤90°），连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE．其中结论正确的是　①②③　．‎ ‎【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，S△DAE＝S△BAG，即可判断①②③，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，可判断④即可求解．‎ ‎【解答】解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，‎ ‎∴∠DAE＝∠BAG，且AD＝AB，AG＝AE，‎ ‎∴△DAE≌△BAG（SAS）‎ ‎∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，故①符合题意，‎ 如图，设点DE与AB交于点P，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，‎ ‎∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，‎ ‎∴∠DAP＝∠BOP＝90°，‎ ‎∴BG⊥DE，故②符合题意，‎ ‎∵△DAE≌△BAG，‎ ‎∴S△DAE＝S△BAG，‎ ‎∴DE×AM＝×BG×AN，且DE＝BG，‎ ‎∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，‎ ‎∴AO平分∠DOG，‎ ‎∴∠AOD＝∠AOG，故③符合题意，‎ 如图2，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，‎ ‎∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，且∠EAQ+∠GAQ＝90°，‎ ‎∴∠AEQ＝∠GAQ，且AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，‎ ‎∴△AEQ≌△GAH（AAS）‎ ‎∴AQ＝GH，‎ ‎∴AD×GH＝×AB×AQ，‎ ‎∴S△ADG＝S△ABE，‎ 故④不符合题意，‎ 故答案为：①②③．‎ 三．解答题 ‎19.计算：（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣2tan45°+（﹣1）2020．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】511：实数；66：运算能力．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝3﹣1﹣2×1+1‎ ‎＝3﹣1﹣2+1‎ ‎＝1．‎ ‎20.解不等式组，并写出它的所有整数解．‎ ‎【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；69：应用意识．‎ ‎【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以求得原不等式组的解集，从而可以写出它的所有整数解．‎ ‎【解答】解：，‎ 由不等式①，得 x＞﹣2，‎ 由不等式②，得 x≤3，‎ 故原不等式组的解集是﹣2＜x≤3，‎ 故不等式组的所有整数解是﹣1，0，1，2，3．‎ ‎21.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．求证：BE＝DF．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．‎ ‎【专题】14：证明题；553：图形的全等；556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力．‎ ‎【分析】证明△AFD≌△AEB（SAS），即可得出BE＝DF．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∵E、F分别是AD和AB的中点，‎ ‎∴AF＝AB，AE＝AD，‎ ‎∴AF＝AE，‎ 又∵∠FAD＝∠EAB，‎ ‎∴△AFD≌△AEB（SAS），‎ ‎∴BE＝DF．‎ ‎22.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解、B．比较了解、C．基本了解、D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图：请结合统计图，回答下列问题：‎ ‎（1）此次参与调查的学生共有　80　人；‎ ‎（2）扇形统计图（如图1）中D部分扇形所对应的圆心角是　126　度；‎ ‎（3）请补全条形统计图（如图2）；‎ ‎（4）根据调查结果，学校开展关于雾霾的知识竞赛，要从“非常了解”程度的4人中随机选两人参加，已知这四人中有两名男生、两名女生，请用树状图或列表法求一名男生和一名女生参加本次知识竞赛的概率．‎ ‎【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．‎ ‎【专题】543：概率及其应用；66：运算能力．‎ ‎【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比求出总人数；‎ ‎（2）用360°乘以D部分所占的百分比即可；‎ ‎（3）用总人数减去其它等级的人数求出D等级的人数，从而补全统计图；‎ ‎（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）此次参与调查的学生共有：4÷5%＝80（人）；‎ 故答案为：80；‎ ‎（2）D部分扇形所对应的圆心角是360°×（1﹣5%﹣15%﹣45%）＝126°；‎ 故答案为：126；‎ ‎（3）D等级的人数是：80﹣4﹣12﹣36＝28（人），补全统计图如下：‎ ‎（4）根据题意画图如下：‎ 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，‎ 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是＝．‎ ‎23.如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，P是⊙O上一点，BP平分∠ABC，连接PO、PC．‎ ‎（1）求证：∠PBC＝∠OPC；‎ ‎（2）过点P作⊙O的切线，与BC的延长线交于点Q，若BC＝2，QC＝3，求PQ的长．‎ ‎【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质．‎ ‎【专题】11：计算题；14：证明题；31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；55C：与圆有关的计算；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）由角平分线的定义、等腰三角形的性质、同弧所对的圆周角及等量代换可证得结论；‎ ‎（2）由直径所对的圆周角为直角、角平分线的定义可证得∠POC＝90°；由切线的性质可得∠OPQ＝90°；由同旁内角互补，两直线平行，可证得OC∥PQ；利用有两个角相等的三角形相似可证得△PCQ∽△BPQ，从而可得比例式，将相关数据代入可得PQ的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABP＝∠PBC，‎ ‎∵OP＝OC，‎ ‎∴∠OPC＝∠OCP，‎ ‎∵∠OCP＝∠ABP，‎ ‎∴∠OPC＝∠ABP，‎ ‎∴∠PBC＝∠OPC；‎ ‎（2）∵△ABC的外接圆⊙O的直径为AC，‎ ‎∴∠ABC＝90°．‎ ‎∵BP平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABP＝∠PBC＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠OPC＝∠PBC＝45°，‎ ‎∵OP＝OC，‎ ‎∴∠OPC＝∠OCP＝45°，‎ ‎∴∠POC＝90°．‎ 又∵PQ是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OPQ＝90°，‎ ‎∴∠OPQ+∠POC＝180°，‎ ‎∴OC∥PQ，‎ ‎∴∠CPQ＝∠OCP，‎ 又∵∠ABP＝∠OCP，‎ ‎∴∠CPQ＝∠PBC，‎ ‎∵∠Q＝∠Q，‎ ‎∴△PCQ∽△BPQ，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴PQ2＝CQ•BQ，‎ ‎∵BC＝2，QC＝3，‎ ‎∴BQ＝5，‎ ‎∴PQ＝＝．‎ ‎∴PQ的长为．‎ ‎24.某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件共需440元；‎ ‎（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？‎ ‎（2）若该商店，A种商品每件的售价为48元，B种商品每件的售价为31元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求A种商品至少购进多少件？‎ ‎【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．‎ ‎【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．由购进A种商品5件和B种商品4件需300元和购进A种商品6件和B种商品8件需440元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；‎ ‎（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（50﹣a）件．根据获得的利润超过348元，建立不等式求出其解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设A种进价为x元，B种进价为y元．‎ 由题意，得，‎ 解得：，‎ 答：A种进价为40元，B种进价为25元．‎ ‎（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（50﹣a）件．由题意，得 ‎8a+6（50﹣a）＞348，‎ 解得：a＞24，‎ 答：至少购进A种商品24件．‎ ‎25.已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式及n的值；‎ ‎（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．‎ ‎①请求出点F的坐标；‎ ‎②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】GB：反比例函数综合题．‎ ‎【专题】153：代数几何综合题；66：运算能力；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）把A （1，3）代入y＝得到反比例函数的表达式为y＝，把B（3，n）代入y＝即可得到结论；‎ ‎（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y＝﹣x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x＝4代入y＝中即可得到结论；‎ ‎②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4﹣）2，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），‎ ‎∴把A （1，3）代入y＝得，3＝，‎ ‎∴k＝3，‎ ‎∴反比例函数的表达式为y＝，‎ 把B（3，n）代入y＝得，n＝＝1；‎ ‎（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，‎ 当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，‎ ‎∴点C （4，0），点D（0，4），‎ ‎∴OC＝OD＝4，‎ ‎∴△COD是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD＝45°，‎ ‎∵将△OCD沿直线AB翻折，‎ ‎∴四边形OCED是正方形，‎ ‎∴DE＝CE＝4，‎ ‎∴E（4，4），‎ 把x＝4代入y＝中得，y＝，‎ ‎∴F（4，）；‎ ‎②存在，‎ 理由：设点P（m，0），‎ ‎∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4﹣）2，‎ ‎∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，‎ ‎∴DP2+PF2＝FD2，‎ 即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4﹣）2，‎ 解得：m＝1或m＝3，‎ 故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形．‎ ‎26.已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，过点A作AE⊥AB，过点C作CE⊥CD，且AE与CE相交于点E．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC＝45°，试猜想CE与CD的数量关系：　CE＝CD　；‎ ‎（2）如图2，当∠ABC＝30°，点D在BA的延长线上，连接DE，请探究以下问题：‎ ‎①CD与CE的数量关系是否发生变化？如无变化，请给予证明；如有变化，先猜想CD与CE的数量关系，再给予证明；‎ ‎②若AC＝2，四边形ACED的面积为3，试求BD的值．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【专题】152：几何综合题；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）结论：CE＝CD．证明△BCD≌△ACE（ASA）可得结论．‎ ‎（2）①结论有变化．CD＝CE．证明△BCD∽△ACE可得结论．‎ ‎②如图2中，过点C作CH⊥AB于H．设EC＝a，则CD＝a，根据四边形ACED的面积为3，构建方程求出a即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）结论：CE＝CD．‎ 理由：如图1中，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，‎ ‎∴∠B＝∠CAB＝45°，‎ ‎∴CA＝CB，‎ ‎∵AE⊥BA，CE⊥CD，‎ ‎∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠ACE，∠CAE＝∠B＝45°，‎ ‎∴△BCD≌△ACE（ASA），‎ ‎∴CD＝CE．‎ 故答案为CE＝CD．‎ ‎（2）①结论有变化．CD＝CE．‎ 理由：如图2中，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝60°，BC＝AC，‎ ‎∵AE⊥BA，CE⊥CD，‎ ‎∴∠ACB＝∠ECD＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠ACE，∠CAE＝∠B＝30°，‎ ‎∴△BCD∽△ACE，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴CD＝CE．‎ ‎②如图2中，过点C作CH⊥AB于H．设EC＝a，则CD＝a，‎ ‎∵AC＝2，∠ACH＝30°，∠CHA＝90°，‎ ‎∴AH＝AC＝1，CH＝AH＝，‎ ‎∴DH＝＝，‎ ‎∴AD＝﹣1，‎ ‎∵S四边形ACED＝3，‎ ‎∴S△ACD+S△BCD＝3，‎ ‎∴×（﹣1）•+•a•a＝3，‎ 整理得：a4﹣17a2+52＝0，‎ ‎∴a2＝4或13（舍弃），‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴DH＝3，‎ ‎∵BH＝CH＝3，‎ ‎∴BD＝BH+DH＝6．‎ ‎27.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．‎ ‎①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；‎ ‎②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．‎ ‎【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；‎ ‎（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；‎ ‎（3）证明BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，‎ 将点A的坐标代入上式并解得：a＝，‎ 故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；‎ ‎（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），‎ 当点P在x轴下方时，‎ 如图1，∵tan∠MBC＝2，‎ 故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，‎ 故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，‎ 联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；‎ 当点P在x轴上方时，‎ 同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；‎ 故m＝2或4+2；‎ ‎（3）存在，理由：‎ 连接BN、BD、EM，‎ 则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，‎ 在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，‎ 即﹣0.5≤ND≤+0.5，‎ 故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．‎