- 2021-11-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 26页
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2021/03/22/15/58/0a0ebad35e5153b50be359aa22698d0a/img/1.jpg)
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2021/03/22/15/58/0a0ebad35e5153b50be359aa22698d0a/img/2.jpg)
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2021/03/22/15/58/0a0ebad35e5153b50be359aa22698d0a/img/3.jpg)
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数(含解析)
2021 年中考数学压轴题专项训练《二次函数》 1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点 A(﹣1,0), 点 B(3,0),与 y 轴交于点 C. (1)求 a,b 的值; (2)若点 P 为直线 BC 上一点,点 P 到 A,B 两点的距离相等,将该抛物线向左(或向右) 平移,得到一条新抛物线,并且新抛物线经过点 P,求新抛物线的顶点坐标. 解:(1)∵二次函数 y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点 A(﹣1,0),点 B(3,0), ∴ ,解得 ; (2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线 x=1,C(3,0), ∵点 P 到 A,B 两点的距离相等, ∴点 P 在抛物线的对称轴 x=1 上, ∵B(3,0),C(0,3), ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3, 令 x=1,则 y=﹣1+3=2, ∴P(1,2), 设平移后的新抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣h)2+4, ∵新抛物线经过点 P, ∴2=﹣(1﹣h)2+4, 解得 h1=1+ ,h2=1﹣ , ∴新抛物线的顶点坐标为(1+ ,4)或(1﹣ ,4). 2.如图 a,已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A(4,0)、C(0,2),与 x 轴的另一个交点 为 B. (1)求出抛物线的解析式. (2)如图 b,将△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180°得到△BAC′,试判断四边形 B C′AC 的 形状.并证明你的结论. (3)如图 a,在抛物线上是否存在点 D,使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ABC 全等?若存在,请直接写出点 D 的坐标;若不存在请说明理由. 解:(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式并解得: b=1,c=2, 故:抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2; (2)四边形 BC′AC 为矩形. 抛物线 y=﹣x2+x+2 与 x 轴的另一个交点为:(﹣1,0) 由勾股定理求得:BC= ,AC=2,又 AB=5, 由勾股定理的逆定理可得:△ABC 直角三角形, 故∠BCA=90°; 已知,△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 18 0o 得到△BAC′,则 A、B 互为对应点, 由旋转的性质可得:BC=AC',AC=BC' 所以,四边形 BC′AC 为平行四边形,已证∠BCA=90°, ∴四边形 BC′AC 为矩形; (3)存在点 D, 使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ABC 全等, 则点 D 与点 C 关于函数对称轴对称, 故:点 D 的坐标为(3,2). 3.如图,已知二次函数 y=x2﹣2x+m 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,直线 AC 交二次函数图象的对称轴于点 D,若点 C 为 AD 的中点. (1)求 m 的值; (2)若二次函数图象上有一点 Q,使得 tan∠ABQ=3,求点 Q 的坐标; (3)对于(2)中的 Q 点,在二次函数图象上是否存在点 P,使得△QBP∽△COA?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)设对称轴交 x 轴于点 E,交对称轴于点 D, 函数的对称轴为:x=1,点 C 为 AD 的中点,则点 A(﹣1,0), 将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得:m=﹣3, 故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①; (2)tan∠ABQ=3,点 B(3,0), 则 AQ 所在的直线为:y=±3x(x﹣3)…②, 联立①②并解得:x=﹣4 或 3(舍去)或 2, 故点 Q(﹣4,21)或(2,﹣3); (3)不存在,理由: △QBP∽△COA,则∠QBP=90° ①当点 Q(2,﹣3)时, 则 BQ 的表达式为:y=﹣ (x﹣3)…③, 联立①③并解得:x=3(舍去)或﹣ ,故点 P(﹣ , ), 此时 BP:PQ≠OA:OB,故点 P 不存在; ②当点 Q(﹣4,21)时, 同理可得:点 P(﹣ , ), 此时 BP:PQ≠OA:OB,故点 P 不存在; 综上,点 P 不存在. 4.如图,已知二次函数 y=ax2+4ax+c(a≠0)的图象交 x 轴于 A、B 两点(A 在 B 的左侧), 交 y 轴于点 C.一次函数 y=﹣ x+b 的图象经过点 A,与 y 轴交于点 D(0,﹣3),与这 个二次函数的图象的另一个交点为 E,且 AD:DE=3:2. (1)求这个二次函数的表达式; (2)若点 M 为 x 轴上一点,求 MD+ MA 的最小值. 解:(1)把 D(0,﹣3)代入 y=﹣ x+b 得 b=﹣3, ∴一次函数解析式为 y=﹣ x﹣3, 当 y=0 时,﹣ x﹣3=0,解得 x=﹣6,则 A(﹣6,0), 作 EF⊥x 轴于 F,如图, ∵OD∥EF, ∴ = = , ∴OF= OA=4, ∴E 点的横坐标为 4, 当 x=4 时,y=﹣ x﹣3=﹣5, ∴E 点坐标为(4,﹣5), 把 A(﹣6,0),E(4,﹣5)代入 y=ax2+4ax+c 得 ,解得 , ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣ x+ ; (2)作 MH⊥AD 于 H,作 D 点关于 x 轴的对称点 D′,如图,则 D′(0,3), 在 Rt△OAD 中,AD= =3 , ∵∠MAH=∠DAO, ∴Rt△AMH∽Rt△ADO, ∴ = ,即 = , ∴MH= AM, ∵MD=MD′, ∴MD+ MA=MD′+MH, 当点 M、H、D′共线时,MD+ MA=MD′+MH=D′H,此时 MD+ MA 的值最小, ∵∠D′DH=∠ADO, ∴Rt△DHD′∽Rt△DOA, ∴ = ,即 = ,解得 D′H= , ∴MD+ MA 的最小值为 . 5.如图 1,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 2,直线 AD:y= x+1 与 y 轴交于点 D,P 点是 x 轴上一个动点,过点 P 作 PG ∥y 轴,与抛物线交于点 G,与直线 AD 交于点 H,当点 C、D、H、G 四个点组成的四边形 是平行四边形时,求此时 P 点坐标. (3)如图 3,连接 AC 和 BC,Q 点是抛物线上一个动点,连接 AQ,当∠QAC=∠BCO 时, 求 Q 点的坐标. 解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3), 故﹣3a=3,解得:a=﹣1, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①; (2)直线 AD:y= x+1 与 y 轴交于点 D,则点 D(0,1),则 CD=2; 设点 P(x,0),则点 H(x, x+1)、点 G(x,﹣x2﹣2x+3), 则 GH=CD=2,即| x+1﹣(﹣x2﹣2x+3)|=2, 解得:x=﹣ 或 , 故点 P(﹣ ,0)或( ,0)或( ,0); (3)设直线 AQ′交 y 轴于点 H,过点 H 作 HM⊥AC 交于点 M,交 AQ 于点 H′, 设:MH=x=MC,∠QAC=∠BCO,则 tan∠CAH= ,则 AM=3x, 故 AC=AM+CM=4x=3 ,解得:x= ,则 CH= x= , OH=OC﹣CH= , 故点 H(0, ),同理点 H′(﹣ ,3), 由 点 AH 坐标得,直线 AH 的表达式为:y= (x+3)…②, 同理直线 AH′的表达式为:y=2(x+3)…③, 联立①②并解得:x=﹣3(舍去)或 ; 联立①③并解得:x=﹣3(舍去)或﹣1; 故点 Q 的坐标为:( , )或(﹣1,4). 6.在平面直角坐标系中,直线 y= x﹣2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,二 次函数 y = x2+bx+c 的图象经过 B,C 两点,且与 x 轴的负半轴交于点 A. (1)直接写出:b 的值为 ﹣ ;c 的值为 ﹣2 ;点 A 的坐标为 (﹣1,0) ; (2)点 M 是线段 BC 上的一动点,动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上.设点 D 的横 坐标为 m. ①如图 1,过点 D 作 DM⊥BC 于点 M,求线段 DM 关于 m 的函数关系式,并求线段 DM 的最 大值; ②若△CDM 为等腰直角三角形,直接写出点 M 的坐标 1 . 解:(1)直线 y= x﹣2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C, 则点 B、C 的坐标为:(4,0)、(0,﹣2), 将点 B、C 的坐标代入抛物线表达式并解得:b =﹣ ,c=﹣2, 故抛物线的表达式为:y= x2﹣ x﹣2…①,点 A(﹣1,0); 故答案为:﹣ ,﹣2,(﹣1,0); (2)①如图 1,过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H, 设点 D(m, m2﹣ m﹣2),点 H(m, m﹣2), 则∠MDH=∠OBC=α,tan∠OBC= =tanα,则 cos ; MD=DHcos∠MDH= ( m﹣2﹣ m2+ m+2)= (﹣m2+4m), ∵ <0,故 DM 有最大值 ; 设点 M、D 的坐标分别为:(s, s﹣2),(m,n),n= m2﹣ m﹣2; ②(Ⅰ)当∠CDM=90°时,如图 2 左图, 过点 M 作 x 轴的平行线交过点 D 于 x 轴的垂线于点 F,交 y 轴于点 E, 则△MEC≌△DFM(AAS), ∴ME=FD,MF=CE, 即 s﹣2=2=m﹣s,s= s﹣2﹣n, 解得:s= , 故点 M( ,﹣ ); (Ⅱ)当∠MDC=90°时,如图 2 右图, 同理可得:s= , 故点 M( ,﹣ ); (Ⅲ)当∠MCD=90°时, 则直线 CD 的表达式为:y=﹣2x﹣2…②, 联立①②并解得:x=0 或﹣1, 故点 D(﹣1,0),不在线段 BC 的下方,舍去; 综上,点 M 坐标为:( ,﹣ )或( ,﹣ ). 7.如图,抛物线 y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)与 x 轴交于 A,B 两点,抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方,且使△OCA∽△OBC. (1 )求线段 OC 的长度; (2)设直线 BC 与 y 轴交于点 D,点 C 是 BD 的中点时,求直线 BD 和抛物线的解析式, (3)在(2)的条件下,点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点,过 P 作 PE⊥BC 于点 E,作 PF∥AB 交 BD 于点 F,是否存在一点 P,使得 PE+PF 最大,若存在,请求出该最大值;若 不存在,请说明理由. 解:(1)a(x﹣1)(x﹣3)=0, x1=1,x2=3, 则点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(3,0), ∴OA=1,OB=3, ∵△OCA∽△OBC, ∴ = ,即 = , 解得,OC= ; (2)在 Rt△BOD 中,点 C 是 BD 的中点, ∴BD=2OC=2 , 由勾股定理得,OD= = = , ∴点 D 的坐标为(0,﹣ ) 设直线 BD 的解析式为:y=kx+b , 则 , 解得, , 则直线 BD 的解析式为:y= x﹣ , ∵点 B 的坐标为(3,0),点 D 的坐标为(0,﹣ ),点 C 是 BD 的中点, ∴点 C 的坐标为( ,﹣ ), ∴﹣ =a( ﹣1)( ﹣3), 解得,a= , ∴抛物线的解析式:y= (x﹣1)(x﹣3),即 y= x2﹣ x+2 ; (3)作 PG⊥OB 交 BD 于 G, tan∠OBD= = , ∴∠OBD=30°, ∵PF∥AB, ∴∠PFG=∠OBD=30°, ∴PF= PG, ∵PE⊥BC,PF⊥PG, ∴∠EPG=∠PFG=30°, ∴PE= PG, ∴PE+PF= PG+ PG= PG, 设点 P 的坐标为(m, m2﹣ m+2 ),点 G 的坐标为(m, m﹣ ), ∴PG= m﹣ ﹣( m2﹣ m+2 ) =﹣ m2+3 m﹣3 ∴PE+PF= PG =﹣3m2+ m﹣ =﹣3(m﹣ )2+ , 则 PE+PF 的最大值为 . 8.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(﹣2,0),B(3,0),与 y 轴负半轴交于点 C,且 OC =OB. (1)求抛物线的解析式; (2)在 y 轴负半轴上存在 一点 D,使∠CBD=∠ADC,求点 D 的坐标; (3)点 D 关于直线 BC 的对称点为 D′,将抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 h 个单位,与线 段 DD′只有一个交点,直接写出 h 的取值范围. 解:(1)OC=OB,则点 C(0,﹣3), 抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣3)=a(x2﹣x﹣6), ﹣6a=﹣3,解得:a= , 故抛物线的表达式为:y= x2﹣ x﹣3; (2)设:CD=m,过点 D 作 DH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H, 则 CH=HD= m, tan∠ADC= =tan∠DBC= = ,解得:m=3 或﹣4(舍去﹣4), 故点 D(0,﹣6); (3)过点 C 作 x 轴的平行线交 DH 的延长线于点 D′,则 D′(﹣3,﹣3); 平移后抛物线的表达式为:y= x2﹣ x﹣3﹣h, 当平移后的抛物线过点 C 时,抛物线与线段 DD′有一个公共点,此时,h=3; 当平移后的抛物线过点 D′时,抛物线与线段 DD′有一个公共点, 即﹣3= 9 ﹣h,解得:h=15, 故 3≤h≤15. 9.如图①,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2 的对称轴为直线 l,将直线 l 绕着点 P(0, 2)顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于 AB 两点(点 A 在点 B 的左侧),点 Q 是该抛 物线上一点 (1)若∠α=45°,求直线 AB 的函数表达式; (2)若点 p 将线段分成 2:3 的两部分,求点 A 的坐标 (3)如图②,在(1)的条件下,若点 Q 在 y 轴左侧,过点 p 作直线 l∥x 轴,点 M 是直 线 l 上一点,且位于 y 轴左侧,当以 P,B,Q 为顶点的三角形与△PAM 相似时,求 M 的坐 标. 解:(1)∵∠α=45°,则直线的表达式为:y=x+b, 将(0,2)代入上式并解得:b=2, 故直线 AB 的表达式为:y=x+2; (2)①AP:PB=2:3, 设 A(﹣2a,4a2)B(3a,9a2), , 解得: , (舍去), ∴ ; ②AP:PB=3:2, 设 A(﹣3a,9a2),B(2a,4a2), , 解得: , (舍去), ∴ , 综上 或 ; (3)∠MPA=45°,∠QPB≠45°A(﹣1,1),B(2,4), ①∠QBP=45°时, 此时 B,Q 关于 y 轴对称, △PBQ 为等腰直角三角形, ∴M1(﹣1,2)M2(﹣2,2), ②∠BQP=45°时, 此时 Q(﹣2,4)满足,左侧还有 Q'也满足, ∵BQP=∠BQ'P, ∴Q',B,P,Q 四点共圆,则圆心为 BQ 中点 D(0,4); 设 Q'(x,x2),(x<0), Q'D=BD, ∴(x﹣0)2+(x2﹣4)2=22(x2﹣4)(x2﹣3)=0, ∵x<0 且不与 Q 重合, ∴ , ∴ ,Q'P=2, ∵Q'P=DQ'=DP =2, ∴△DPQ'为正三角形, 则 , 过 P 作 PE⊥BQ', 则 , , ∴ , 当△Q'BP~△PMA 时, , , 则 , 故点 ; 当△Q'PB~△PMA 时, , , 则 , 故点 ; 综上点 M 的坐标:(﹣1,2),(﹣2,2), , . 10.如图,Rt△FHG 中,∠H=90°,FH∥x 轴, =0.6,则称 Rt△FHG 为准黄金直角三角 形(G 在 F 的右上方).已知二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 E(0,﹣3),顶点为 C(1,﹣4),点 D 为二次函数 y2=a(x﹣1﹣m)2+0.6m﹣4 (m>0)图象的顶点. (1)求二次函数 y1 的函数关系式; (2)若准黄金直角三角形的顶点 F 与点 A 重合、G 落在二次函数 y1 的图象上,求点 G 的 坐标及△FHG 的面积; (3)设一次函数 y=mx+m 与函数 y1、y2 的图象对称轴右侧曲线分别交于点 P、Q.且 P、 Q 两点分别与准黄金直角三角形的顶点 F、G 重合,求 m 的值,并判断以 C、D、Q、P 为顶 点的四边形形状,请说明理由. 解:(1)设二次函数 y1 的函数关系式为 y1=a(x﹣1)2﹣4, 将 E(0,﹣3)代入得 a﹣4=﹣3, 解得 a=1, ∴y1=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3; (2)设 G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式,得,(a﹣1)2﹣4=0.6(a+1), 解得 a1=3.6,a2=﹣1(舍去), 所以点 G 坐标为(3.6,2.76). 由 x2﹣2x﹣3=0 知 x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0)、B(3,0), 则 AH=4.6,GH=2.76, ∴S△FHG= ×4.6×2.76=6.348; (3)∵y=mx+m=m(x+1), ∴当 x=﹣1 时,y=0, ∴直线 y=mx+m 过点 A, 延长 QH,交 x 轴于点 R, 由平行线的性质得,QR⊥x 轴. ∵FH∥x 轴, ∴∠QPH=∠QAR, ∴∠PHQ=∠ARQ=90°, ∴△AQR∽△PHQ, ∴ = =0.6, 设 Q[n,0.6(n+1)], 代入 y=mx+m 中,得 mn+m=0.6(n+1), 整理,得:m(n+1)=0.6(n+1), ∵n+1≠0, ∴m=0.6. 四边形 CDPQ 为平行四边形, 理由如下: 连接 CD,并延长交 x 轴于点 S,过点 D 作 DK⊥x 轴于点 K,延长 KD,过点 C 作 CT 垂直 KD 延长线,垂足为 T, ∵y2=(x﹣1﹣m)2+0.6m﹣4, ∴点 D 由点 C 向右平移 m 个单位,再向上平移 0.6m 个单位所得, ∴ = =0.6, ∴tan∠KSD=tan∠QAR, ∴∠KSD=∠QAR, ∴AQ∥CS,即 CD∥PQ. ∵AQ∥CS, 由抛物线平移的性质可得,CT=PH,DT=QH, ∴PQ=CD, ∴四边形 CDPQ 为平行四边形. 11.如图,点 P 是二次函数 y=﹣ +1 图象上的任意一点,点 B(1,0)在 x 轴上. (1)以点 P 为圆心,BP 长为半径作⊙P. ①直线 l 经过点 C(0,2)且与 x 轴平行,判断⊙P 与直线 l 的位置关系,并说明理由. ②若⊙P 与 y 轴相切,求出点 P 坐标; ( 2 ) P1 、 P2 、 P3 是 这 条 抛 物 线 上 的 三 点 , 若 线 段 BP1 、 BP2 、 BP3 的 长 满 足 ,则称 P2 是 P1、P3 的和谐点,记做 T(P1,P3).已知 P1、P3 的横坐 标分别是 2,6,直接写出 T(P1,P3)的坐标 (1 ,﹣ ) . 解:(1)①⊙P 与直线相切. 过 P 作 PQ⊥直线,垂足为 Q,设 P(m,n). 则 PB2=(m﹣1)2+n2,PQ2=(2﹣n)2 ∵ ,即:(m﹣1)2=4﹣4n, ∴PB2=(m﹣1)2+n2=4﹣4n+n2=(2﹣n)2=PQ2 ∴PB=PQ, ∴⊙P 与直线相切; ②当⊙P 与 y 轴相切时 PD=PB=PQ ∴|m|=2﹣n,即:n=2±m 代入(m﹣1)2=4﹣4n 得:m2﹣6m+5=0 或 m2+2m+5=0. 解得:m1=1,m2=5. ∴P(1,1)或 P(5,﹣3); (2)∵ ,则 BP2= (BP1+BP2), P1、P3 的横坐标分别是 2,6,则点 P1、P2 的坐标分别为:(2, )、(6,﹣ ), BP2= (BP1+BP2)= ( + )= , 设点 P2 的坐标为:(m,n),n=﹣ (m﹣1)2+1, 则(m﹣1)2+(n)2=( )2, 解得:m=1± , 故点 P2 的坐标,即 T(P1,P3)的坐标为: 或 . 12.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0)与 x 轴交于 A(﹣1,0), B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)若点 N 为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点 M,使得以 B,C,M,N 为顶点 的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点,若∠PCB=∠BCO,求出 P 点的到 y 轴的距离. (1)解:(1)将点 A(﹣1,0),B(3,0)代入 y=ax2+bx+2, 可得 , , ∴ ; (2)存在点 M 使得以 B,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形, 由题得,B(3,0),C(0,2),设 N(1,n),M(x,y), ①四边形 CMNB 是平行四边形时, ,∴x=﹣2, ∴ ; ②四边形 CNBM 时平行四边形时, ,∴x=2, ∴M(2,2); ③四边形 CNNB 时平行四边形时, ,∴x=4, ∴ ; 综上所述:M(2,2)或 或 ; (3)解法一:过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点. ∵BH∥OC ∴∠OCB=∠HBC 又∠OCB=∠BCP ∴∠PCB=∠HBC ∴HC=HB 又 OC⊥OB ∴HB⊥OB 故可设 H(3,m),即 HB=HC=m 过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N 在 Rt△HCN 中,则 m2=32+(m﹣2)2 解得 ∴ 由点 C、P 的坐标可得,设直线 CP 的解析式为 ; 故 解得 x1=0(舍去), 即点 P 到 y 轴的距离是 解法二、过点 B 作 CP 的垂线,垂足为 M,过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 N,再过点 B 作 DN 的垂线,垂足为 D,(以下简写) 可得△BOC≌△BMC 得 BM=BC=3,OC=CM=2 设点 M(m,n) 得 BD=n,CN=n﹣2,MN=m,MD=3﹣m 可证△BDM∽△MNC 所以 得 解得 , 则 同解法一直线 CP 的解析式 故 解得 x1=0(舍去), 即点 P 到 y 轴的距离是 13.如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(3,3)、B(4,0)和原点 O,P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点. (1)求直线 OA 及抛物线的解析式; (2)过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 D,并与直线 OA 交于点 C,当△PCO 为等腰三角形时, 求 D 的坐标; (3)设 P 关于对称轴的点为 Q,抛物线的顶点为 M,探索是否存在一点 P,使得△PQM 的 面积为 ,如果存在,求出 P 的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(1)设直线 OA 的解析式为 y1=kx, 把点 A 坐标(3,3)代入得:k=1, 直线 OA 的解析式为 y=x; 再设 y2=ax(x﹣4), 把点 A 坐标(3,3)代入得:a=﹣1, 函数的解析式为 y=﹣x2+4x, ∴直线 OA 的解析式为 y=x,二次函数的解析式是 y=﹣x2+4x. (2)设 D 的横坐标为 m,则 P 的坐标为(m,﹣m2+4m), ∵P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点, ∴0<m<3. 此时仅有 OC=PC, , ∴ ,解得 , ∴ ; (3)函数的解析式为 y=﹣x2+4x, ∴对称轴为 x=2,顶点 M(2,4), 设 P(n,﹣n2+4n), 则 Q(4﹣n,﹣n2+4n),M 到直线 PQ 的距离为 4﹣(﹣n2+4n)=(n﹣2)2, 要使△PQM 的面积为 , 则 ,即 , 解得: 或 , ∴ 或 . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=﹣x2+mx+n 与 x 轴交于点 A,B(A 在 B 的左侧). (1)如图 1,若抛物线的对称轴为直线 x=﹣3,AB=4. ①点 A 的坐标为( ﹣5 , 0 ),点 B 的坐标为( ﹣1 , 0 ); ②求抛物线的函数表达式; (2)如图 2,将(1)中的抛物线向右平移若干个单位,再向下平移若干个单位,使平移 后的抛物线经过点 O,且与 x 正半轴交于点 C,记平移后的抛物线顶点为 P,若△OCP 是 等腰直角三角形,求点 P 的坐标. 解:(1)①∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣3,AB=4, ∴点 A 的坐标为(﹣5,0),点 B 的坐标为(﹣1,0), 故答案为:﹣5;0﹣1;0; ②∵抛物线经过(﹣5,0),(﹣1,0), ∴ , 解得, , 则抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣6x﹣5; (2)如图 2,作 PD⊥OC 于 D, ∵△OCP 是等腰直角三角形, ∴PD= OC=OD, 设点 P 的坐标为(a,a), 设抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣a)2+a, ∵抛物线经过原点, ∴﹣(0﹣a)2+a=0, 解得,a1=0(不合题意),a2=1, ∴△OCP 是等腰直角三角形时,点 P 的坐标为(1,1). 15.在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点为 A(﹣3, 0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,﹣3),顶点为 D,其对称轴与 x 轴交于点 E. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 为第三象限内抛物线上一点,△APC 的面积记为 S,求 S 的最大值及此时点 P 的坐标. 解:(1)∵二次函数过 A(﹣3,0),B(1,0)两点, ∴设二次函数解析式为 y=a(x+3)(x﹣1), ∵二次函数过 C 点(0,﹣3), ∴﹣3=a(0+3)(0﹣1), 解得,a=1, ∴y=(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3 即二次函数解析式为 y=x2+2x﹣3; (2)设直线 AC 解析式为:y=kx+b, ∵A(﹣3,0),C(0,﹣3), ∴ , 解得, , ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣x﹣3, 过点 P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G,设点 P 的坐标为(x,x2+2x﹣3), 则 G(x,﹣x﹣3), ∵点 P 在第三象限, ∴PG=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x, ∴ = = = , ∴当 时, ,点 P(﹣ ,﹣ )., 即 S 的最大值是 ,此时点 P 的坐标是(﹣ ,﹣ ).查看更多