实践 与 探索

实践 与 探索

‎26 . 3 实践与探索（1）‎ ‎[本课知识要点]‎ 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？‎ 解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，‎ 因此，．‎ 解方程，得（不合题意，舍去）．‎ 所以，此运动员把铅球推出了10米．‎ 探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．‎ 例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．‎ ‎（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？‎ ‎（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）‎ 分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题． ‎ 解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．‎ 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），‎ 因此，设抛物线为．‎ 将A（0，1．25）代入上式，得，‎ 12‎ 解得 ‎ 所以，抛物线的函数关系式为．‎ 当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，‎ 所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．‎ ‎（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．‎ 由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．‎ 所以，水流最大高度应达3．7m．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？‎ ‎2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？‎ ‎2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．‎ 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．‎ 根据图象提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；‎ ‎（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？‎ ‎3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．‎ ‎（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 ‎0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？‎ ‎ B组 ‎4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．‎ 12‎ ‎5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26 . 3 实践与探索（2）‎ ‎[本课知识要点]‎ 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．‎ ‎[MM及创新思维]‎ ‎ 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。‎ ‎（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；‎ ‎（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？‎ 分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。‎ 解 （1）根据题意，得 12‎ ‎ ‎ ‎ (30≤x≤70)。‎ ‎（2）。‎ 顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。‎ 经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。‎ 例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：‎ X（十万元）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎1‎ ‎1．5‎ ‎1．8‎ ‎…‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；‎ ‎（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？‎ 解 （1）设二次函数关系式为。‎ 由表中数据，得 。‎ 解得。‎ 所以所求二次函数关系式为。‎ ‎（2）根据题意，得。‎ ‎（3）。‎ 由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 （ ）‎ A、5元 B、10元 C、15元 D、20元 12‎ ‎2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），‎ 与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。‎ ‎（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；‎ ‎（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？‎ ‎2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？‎ ‎3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：‎ ‎(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；‎ ‎(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；‎ ‎(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？‎ B组 ‎4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：‎ 刹车时车速（千米/时）‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 刹车距离 ‎0‎ ‎0．3‎ ‎1．0‎ ‎2．1‎ ‎3．6‎ ‎5．5‎ ‎7．8‎ ‎﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；‎ ‎﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；‎ ‎﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26 . 3 实践与探索（3）‎ ‎[本课知识要点]‎ ‎（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；‎ 12‎ ‎（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．‎ 它们的图象分别为 观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？‎ 另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．‎ ‎（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？‎ ‎（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？‎ ‎（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？‎ 解 图象如图26．3．4，‎ ‎（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．‎ ‎（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．‎ ‎（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．‎ 回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．‎ ‎（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．‎ 12‎ 例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．‎ ‎（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．‎ ‎（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．‎ 分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．‎ ‎（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．‎ ‎（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．‎ 请同学们完成填空．‎ 回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．‎ 例3．已知二次函数，‎ ‎（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；‎ ‎（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？‎ ‎（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？‎ 分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．‎ ‎（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．‎ ‎（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程 12‎ 有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．‎ 解 （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．‎ ‎（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．‎ ‎（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．‎ 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．已知二次函数的图象如图，‎ 则方程的解是 ，‎ 不等式的解集是 ，‎ 不等式的解集是 ．‎ ‎2．抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ．‎ ‎3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．‎ ‎4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．‎ ‎（1）方程的解是什么？‎ ‎（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？‎ ‎2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．‎ ‎3．不论自变量x取什么数，二次函数 12‎ 的函数值总是正值，求m的取值范围．‎ ‎4．已知二次函数，‎ 求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；‎ ‎ （2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；‎ ‎ （3）x为何值时，y＞0．‎ ‎5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？‎ B组 ‎6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 ‎7．已知二次函数．‎ ‎（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；‎ ‎（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；‎ ‎（3）a取何值时，两点间的距离最小？ ‎ ‎[本课学习体会]‎ ‎26 . 3 实践与探索（4）‎ ‎[本课知识要点]‎ 掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．‎ ‎[MM及创新思维]‎ 上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．‎ 甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．‎ 乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．‎ 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．‎ ‎[实践与探索] ‎ 例1．利用函数的图象，求下列方程的解：‎ ‎（1） ；‎ ‎（2）．‎ 分析 12‎ ‎ 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．‎ 解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数和的图象，‎ 如图26．3．5，‎ 得到它们的交点（-3，9）、（1，1），‎ 则方程的解为 –3，1．‎ ‎（2）先把方程化为 ‎，然后在同一直角 坐标系中画出函数和 ‎ 的图象，如图26．3．6，‎ 得到它们的交点（，）、（2，4），‎ 则方程的解为 ，2． ‎ 回顾与反思 一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．‎ 例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：‎ ‎(1)； （2）．‎ 分析 （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．‎ 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，‎ 得到它们的交点（，）、（1，1），‎ 12‎ 则方程组的解为．‎ ‎（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，‎ 得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．‎ 探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．‎ ‎[当堂课内练习]‎ ‎1．利用函数的图象，求下列方程的解：‎ ‎（1）（精确到0．1） ；‎ ‎（2）．‎ ‎2．利用函数的图象，求方程组的解：‎ ‎[本课课外作业]‎ A组 ‎1．利用函数的图象，求下列方程的解：‎ ‎（1） （2）‎ ‎2．利用函数的图象，求下列方程组的解：‎ ‎（1）； （2）．‎ B组 ‎3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。‎ 12‎ ‎[本课学习体会]‎ 12‎