2019九年级数学上册 第22章 22根与系数的关系

2019九年级数学上册 第22章 22根与系数的关系

1 根与系数的关系 1.已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2＝0 的两个不相等的实数根，且 满足： ，则 m 的值是（ ） A． 3 B．1 C．3 或－1 D．－3 或 1 2.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，且 x1，x2 满 足 x1+x2－x1·x2<－1，则 k 的取值范围在数轴上表示为（ ） 3.设方程 x2+x－2＝0 的两个根分别为 α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于（ ） A．－4 B． －2 C．0 D．2 4.已知α，β是方程 x2－5x－2＝0 的两个实数根，则 α2+αβ+β2 的值是（ ） A．－1 B．9 C．23 D．27 5.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中 a+c＝0，以下四个结 论中，错误的是（ ） A．如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根 B．如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根 D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个 根必是 x＝1 6.若关于 x 的一元二次方程 x2－(a+5)x+8a＝0 的两个实数根分别为 2 和 b，则 ab＝ _____________. 7.已知一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两根分别为 a，b，则 a－1+b－1＝_____________. 8.已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2－3x+a＝0 的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6， 则 a 的值为_____________. 9.设 x1，x2 是一元二次方程 x2+5x－4＝0 的两个根，若 ，则 m＝ _____________. 10.（一题多法）已知方程 2x2+mx－4＝0 的一根为－2，求它的另一根和 m 的值. 11.已知关于 x 的方程 x2－2(k－1)x+k2＝0 有两个实数根 x1，x2. 1 1 1α β+ = − 1 5 ( )2 1 2 22 6 4 2x x x m+ − + = 2 （1）求 k 的取值范围； （2）若 ，求 k 的值. 12.已知一元二次方程 x2+3x－1＝0 的两根分别是 x1，x2，请利用根与系数的关系求： （1） ；（2） . 13.已知 x1，x2 是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0 的两个实数根. （1）是否存在实数 a，使－ x1+x1x2＝4+x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请 你说明理由. （2）求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数 a 的整数值. 14.已知两个数的和为 10，积为 8，求这两个数. 15.已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2+4(m－1)x+m2＝0 的两个非零实数根，问： x1 和 x2 能否同号？若能同号，请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由. 1 2 1 2 1x x x x+ = − 2 2 1 2x x+ 1 2 1 1 x x + 3 参考答案 1.A 解析 易得 α+β＝－(2m+3)，αβ＝m2， ∴ ，即 m2－2m－3＝0， ∴由 解得 m ＝3. 2.C 解析 由根与系数的关系可得 x1+x2＝－2，x1·x2＝k+1. ∵x1+x2－x1·x2<－1，∴－2－k－1<－1，解得 k>－2. ∵方程有实数根，∴b2－4ac≥0，即 22－4×1×(k+1)≥0，解得 k≤0，∴－20，即 b2－4ac>0，而此时方程 N 的根的判别式∆＝b2－4 ac>0，故它也有两个不相等的实数根.B 选项中方程 M 的两根符号相 同，即 ，而方程 N 的两根之积 ，也大于 0，故方程 N 的两个根也是同号的.C 选项中如果 5 是方程 M 的一个根，则有 25a+5b+c＝0①，我们只需要考虑将 代入方程 N 看是否成立即可，代入得 ②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除 以 25 得到的，故②式成立.D 选项中设方程 M 和方程 N 的一 个相同的根为 x 0 ，则有 ，整理，得 ，即 .因为 ax2+bx+c＝0 是 一元二次方程，所以 a≠0，所以 ，所以 x0＝±1，所以 ，选项 D 错误，故选 择 D． 6.4 解析 把 x＝2 代入方程 x2－(a+5)x+8a＝0 得 4－2(a+5)+8a＝0，解得 a＝1，根 据 x1+x2＝a+5 可得 2+b＝a+5＝6，所以 b＝4，故 ab＝4. 7. 解析 由根与系数的关系可得 a+b＝6，ab＝－5， ∴ . 8.－4 解析 由根与系数的关系可得 m+n＝3，mn＝A． ∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－m－n+1＝－6，即 mn－(m+n)＝－7，∴a－3＝－7，解得 ( ) 2 2 31 1 1m m β α α β αβ − +++ = = = − ( ) 2 2 2 2 3 0, 2 3 4 0, m m m m  − − = + − > 1 2 0cx x a ⋅ = > a c = 1 5x = 1 1 025 5x b a+ + = 2 2 0 0 0 0ax bx c cx bx a+ + = + + ( ) 2 0a c x a c− = − 2 02 2ax a= 2 0 1ax = 0 1x = ± 6 5 − 1 1 1 1 6 6 5 5 a ba b a b ab − − ++ = + = = = −− 4 a＝－4. 9.10 解析 由根与系数的关系可得 x1+x2＝－5，x1·x2＝－4. ∵ ，∴ ，∴－8x2－48－8x1+m＝2，∴ －8(x1+x2)－48+m＝2，∴40－48+m＝2，解得 m＝10. 10.解法 1：将方程的根 x＝－2 代入方程，得 2×(－2)2+m×(－2)－4＝0，∴m＝2. 将 m＝2 代入原方程得 2x2+2x－4＝0， 即 x2+x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝1. 即方程的另一根为 1. 解法 2：设方程的另一根为 x1， 则根据一元二次方程根与系数的关系，得 ， ， 解得 x1＝1，m＝2. 11.分析：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac≥0，据此可求出 k 的取值范围； （2）结合（1）中 k 的取值范围去掉 的绝对值号，可得出 k 的值. 解：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得 . （2）依题意可得，x1+x2＝2(k－1)，由（1）可知 ，∴2(k－1) <0.由 ， 得－2(k－1)＝k2－1，解得 k1＝1（舍去），k2＝－3，∴k 的值是－3. 12.解：由一元二次方程根与系数的关系知 x1+x2＝－3，x1x2＝－1. （1） . （2） . 点拨：若方程 x2+px+ q＝0 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2＝－p，x1x2＝q.分别对 和 进行恒等变形，将它们分别化为含有 x1+x2 和 x1x2 的代数式，然后求解. 13.思路建立 （1）要求判断符合题意的 a 的值是否存在，需先根据一元二次方程根与 系数的关系用含 a 的式子分别表示出 x1+x2 和 x1 x2，假设－x1+x1x2＝4+x2 成立，将其变形， 把其中的 x1x2 及 x1+x2 用含 a 的代数式表示出来，得到关于 a 的方程，解方程即可；（2） 先将式子变形为 x1x2+(x1+x2)+1，再把 x1+x2 和 x1x2 用含 a 的式子表示后根据题意讨论，从 ( )2 1 2 22 6 4 2x x x m+ − + = 2 1 2 1 2 12 12 8 2x x x x x m+ ⋅ − + = 12 2 mx− + = − 1 42 2x −− = 1 2x x+ 1 2k ≤ 1 2k ≤ 1 2 1 2 1x x x x+ = − ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 1 2 1 22 3 2 1 11x x x x x x+ = + − = − − × − = 1 2 1 2 1 2 1 1 3 31 x x x x x x + −+ = = =− 2 2 1 2x x+ 1 2 1 1 x x + 5 而得到 a 的值. 解：（1）存在.∵x1，x2 是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0 的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知， ， . ∵一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0 有两个实数根， ∴∆＝4a2－4(a－6)·a≥0，且 a－6≠0， 解得 a≥0 且 a≠6. ∵－x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+(x1+x2)， 即 ，解得 a＝24， ∴存在实数 a，使－x+x1x2＝4+x2 成立，a 的值是 24. （2）∵ ，∴当(x 1+1)(x2+1) 为负整数且 a 为整数时，有 a－6＝6，a－6＝3，a－6＝2，a－ 6＝1，∴a＝12，9，8，7， ∴使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数 a 的整数值有 12， 9，8，7. 14.思路建立 要求出这两个数，我们可以设这两个数分别为 x1 和 x2，则有 x1+x2＝10， x1·x2＝8，再逆用一元二次方程根与系 数的关系写出相应的一元二次方程，然后解方程即可. 解：设这两个数分别为 x1 和 x2，则有 x1+x2＝10，x1·x2＝8， 所以以这两个数为根的一元二次方程为 x2－10x+8＝0， 解这个方程得 ， . 答：这两个数分别为 和 . 点拨：本题也可以先设一个未知数，然后列一元二次方程求解. 15.思路建立 求两根同号时 m 的取值范围，首先应根据方程有两个非零实数根，得到 ∆≥0，且 m2≠0，再根据根与系数的关系得到关于 m 的不等式组，从而求得 m 的取值范围. 解：因为关于 x 的一元二次方程 4x2+4(m－1)x+m2＝0 有两个非零实数根，则有： ∆＝[4(m－1)]2－4×4m2＝－32m+16≥0，且 m2≠0， ∴ ，且 m≠0. 又 x1，x2 是方程 4x2+4(m－1)x+m2＝0 的两个实数根， ∴由一元二次方程根与系数的关系， 1 2 6 ax x a = − 1 2 2 6 ax x a −+ = − 246 6 a a a a = −− − ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 61 1 1 16 6 6 a ax x x x x x a a a −+ + = + + + = − + =− − − 1 5 17x = + 2 5 17x = − 5 17+ 5 17− 1 2m≤ 6 得 x1+x2＝－(m－1)， . 假设 x1，x2 同号，则有两种可能：x1<0，x2<0；x1>0，x2>0. （1）若 x1<0，x2<0，则有 即 . 解这个不等式组，得 m>1. ∵ 且 m≠0 时方 程才有实数根， ∴此种情况不成立. （2）若 x1>0，x2>0，则有 即 解这个不等式组，得 m<1. 又∵ 且 m≠0，∴当 且 m≠0 时，两根能同号. 2 1 2 1 4x x m⋅ = 1 2 1 2 0, 0, x x x x + <  ⋅ > ( ) 2 1 0, 1 0.4 m m − − < > 1 2m≤ 1 2 1 2 0, 0, x x x x + >  ⋅ > ( ) 2 1 0, 1 0.4 m m − − > > 1 2m≤ 1 2m≤