2020年秋九年级数学上册 第4章解直角三角形的应用

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2020年秋九年级数学上册 第4章解直角三角形的应用

‎4.4 解直角三角形的应用 第1课时 与仰角、俯角有关的实际问题 知识点 1 与仰角、俯角有关的实际问题 ‎1.如图4-4-1所示,在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75°,若AC=‎6米,则树高BC为(  )‎ A.6sin75°米 B.米 C.米 D.6tan75°米 ‎ ‎ 图4-4-1‎ ‎     ‎ 图4-4-2‎ ‎2.如图4-4-2,在高出海平面‎100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=________米.‎ ‎3.如图4-4-3,某客船失事之后,本着“关爱生命,救人第一”的宗旨,搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救,搜救过程中,假设直升机飞到A处时,发现前方江面上B处有一漂浮物,从A处测得B处的俯角为30°,已知该直升机一直保持在距江面‎100米高度飞行搜索,飞行速度为‎10米/秒,求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方.(结果精确到0.1秒,≈1.73)‎ 图4-4-3‎ 7‎ 知识点 2 与夹角有关的实际问题 ‎4.如图4-4-4,将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为20°,若楔子沿水平方向前移‎8 cm(如箭头所示),则木桩上升了(  )‎ 图4-4-4‎ A.8tan20° cm B. cm C.8sin20° cm D.8cos20° cm ‎5.2017·丽水如图4-4-5是某小区的一个健身器材,已知BC=‎0.15 m,AB=‎2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离.(精确到‎0.1 m)(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)‎ 图4-4-5‎ 图4-4-6‎ ‎6.2017·深圳如图4-4-6,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为‎20 m,DE的长为‎10 m,则树AB的高度是(  )‎ A.‎20 ‎ m B.‎‎30 m C.‎30 ‎ m D.‎‎40 m ‎7.2017·阜新改编如图4-4-7,从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°,底部D的俯角为45°,两楼的水平距离BD为‎24 m,那么楼CD的高度约为________m.(结果精确到‎1 m,参考数据:sin37°≈0.602,cos37°≈0.799,tan37°≈0.754)‎ 7‎ 图4-4-7‎ ‎   ‎ 图4-4-8‎ ‎8.某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度.如图4-4-8,他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°,再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°,AB=‎62 m,根据这个兴趣小组测得的数据,求得浦宁之珠的高度CD约为________m.(参考数据:sin56°≈0.83,tan56°≈1.49,结果精确到‎0.1 m)‎ ‎9.2017·广元如图4-4-9,某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸,救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A,B两个探测点探测到地下C处有生命迹象.已知A,B两点相距‎8米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度.(结果保留根号)‎ 图4-4-9‎ ‎10.2016·湘西州测量计算是日常生活中常见的问题.如图4-4-10,建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB,从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°,观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据:sin50°≈0.8,tan50°≈1.2).‎ ‎(1)若已知CD=‎20米,求建筑物BC的高度;‎ ‎(2)若已知旗杆的高度AB=‎5米,求建筑物BC的高度.‎ 7‎ 图4-4-10‎ ‎ ‎ ‎11.张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,如图4-4-11,山坡与水平面成30°角(即∠MAN=30°),在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进‎20米,到达B处,又测得大树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内),求这棵大树CD的高度.(结果精确到‎0.1米,参考数据:≈1.732)‎ 图4-4-11‎ ‎    ‎ 详解详析 7‎ ‎1.D ‎2.100 [解析] 由题意得,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,AC=‎100米,‎ ‎∴BC=AC=‎100米.‎ ‎3.解:过点B作BD⊥AD于点D,则BD=‎100米,‎ 在Rt△ABD中,tan∠BAD=,‎ ‎∴AD==‎100 ‎米.‎ ‎∵直升机的飞行速度为‎10米/秒,‎ ‎∴飞行时间为100 ÷10=10 ≈17.3(秒),‎ ‎∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行约17.3秒可到达漂浮物的正上方.‎ ‎4.A ‎5.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,则四边形EFBC是矩形.‎ ‎∵OD⊥CD,‎ ‎∴AE∥OD,‎ ‎∴∠A=∠BOD=70°.‎ 在Rt△AFB中,∵AB=2.70 m,‎ ‎∴AF=2.70×cos70°≈2.70×0.34=0.918(m),‎ ‎∴AE=AF+FE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1(m).‎ 答:端点A到地面CD的距离约为1.1 m.‎ ‎6.B 7.42‎ ‎8.188.5 [解析] 根据题意得∠CAD=45°,∠CBD=56°,AB=62.‎ ‎∵在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,‎ ‎∴AD=CD.‎ ‎∵AD=AB+BD,‎ ‎∴BD=AD-AB=CD-62.‎ ‎∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=,‎ ‎∴BD=,‎ ‎∴=CD-62,∴CD≈188.5.‎ 即浦宁之珠的高度CD约为188.5 m.‎ ‎9.解:过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,‎ 7‎ 由已知可得,AB=8米,∠CBD=45°,∠CAD=30°,‎ ‎∴AD=,BD=,‎ ‎∴AB=AD-BD=-,‎ 即8=-,‎ 解得CD=(4 +4)米,‎ 即生命所在点C的深度是(4 +4)米.‎ ‎10.解: (1)由题意得∠ACD=90°,∠BDC=45°,∴BC=CD·tan∠BDC=20×1=20(米).‎ 答:建筑物BC的高度为20米.‎ ‎(2)设CD=x米,同(1)得BC=CD=x米,AC≈1.2x米.∵AB=‎5米,∴x+5=1.2x,解得x=25,∴BC=‎25米.‎ 答:建筑物BC的高度约为25米.‎ ‎11.解:如图,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E,则BE∥AN.‎ ‎∵∠CAN=45°,∠MAN=30°,‎ ‎∴∠CAB=15°.‎ ‎∵BE∥AN,‎ ‎∴∠DBE=∠MAN=30°.‎ ‎∵∠CBE=60°,∴∠CBD=30°.‎ ‎∵∠CBD=∠CAB+∠ACB,‎ ‎∴∠CAB=∠ACB=15°,‎ ‎∴AB=BC=20.‎ 在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BC=20,‎ ‎∴CE=BC·sin∠CBE=20×=10 ,‎ BE=BC·cos∠CBE=20×=10.‎ 在Rt△DBE中,∠DBE=30°,BE=10,‎ ‎∴DE=BE·tan∠DBE=10×=,‎ ‎∴CD=CE-DE=10 -≈11.5(米).‎ 7‎ 答:这棵大树CD的高度大约为11.5米. ‎ 7‎
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