中考数学试题分类大全31 解直角三角形的应用

中考数学试题分类大全31 解直角三角形的应用

一、选择题 ‎1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE为‎5m，AB为‎1.5m ‎ 二、填空题 ‎1．（2010山东济宁）如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎(第15题)‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为‎30m，则电梯楼的高BC为 米（精确到0.1）.（参考数据： ）‎ ‎【答案】82.0‎ ‎3．（2010江西）如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝‎20米，则树高AB＝ 米（用计算器计算，结果精确到‎0.1米） ‎ ‎【答案】 ‎ ‎4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东 ‎30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在 船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中 距灯塔S的最近距离是 海里（不作近似计算）。‎ ‎【答案】‎ ‎5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。‎ ‎【答案】15‎ ‎6．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）‎ ‎【答案】‎ ‎7．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD的面积为 。‎ ‎【答案】或 ‎8．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB的坡度︰，‎ 则该坡的坡角= .‎ 图5‎ ‎【答案】30°‎ B A E D C ‎30°‎ ‎（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）‎ ‎ A．（）m B．（）m ‎ C． m D．‎‎4m ‎【答案】A ‎9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了‎1000m，则他升高了 A．m B．‎500m C．m D．‎‎1000m ‎【答案】A ‎ ‎10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝‎5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）‎ A．‎5‎米 B．‎10米 C．‎15米 D．‎10‎米 ‎【答案】A．‎ 三、解答题 ‎1．（2010安徽省中中考） 若河岸的两边平行，河宽为‎900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为‎5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据：）‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为‎5m，每层楼高‎3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝‎16cm，求塔吊的高CH的长．‎ 解：‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为‎610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．‎ ‎（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；‎ ‎（2）求大楼的高度CD（精确到‎1米）‎ ‎【分析】（1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝‎610米，在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．‎ ‎【答案】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；‎ ‎（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，故BE＝DEtan39°． ‎ 因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）‎ ‎ 答：大楼的高度CD约为‎116米．‎ ‎【涉及知识点】解直角三角形 ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．‎ ‎4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为‎4米.‎ ‎（1）求新传送带AC的长度；‎ ‎（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出‎2米的通道，试判断距离B点‎4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)‎ ‎【答案】（1）如图，作AD⊥BC于点D ……………………………………1分 Rt△ABD中， ‎ AD=ABsin45°=4……2分 ‎ 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°‎ ‎∴AC=2AD=≈………………………3分 ‎ 即新传送带AC的长度约为米． ………………………………………4分 ‎（2）结论：货物MNQP应挪走． ……………………………………5分 解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 ……………………6分 ‎ 在Rt△ACD中，CD=AC cos30°=‎ ‎ ∴CB=CD—BD=≈2.1 ‎ ‎∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ‎ ∴货物MNQP应挪走． …………………………………………………………8分 ‎5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为‎10m，测角仪的高度CD为‎1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。‎ ‎（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ ‎【答案】‎ ‎6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）‎ 光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以‎50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知）‎ 北 北 A B C ‎60°‎ ‎45°‎ ‎（第23题）‎ ‎【答案】过C作CD⊥AB于D点，‎ 由题意可知AB=50×20=‎1000m，‎ ‎∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°，‎ ‎∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000，‎ 解得CD==500（）m≈‎366m．‎ ‎7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进‎5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为‎26.65m，小杨的眼睛离地面‎1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（≈1.732，结果精确到‎0.1m）．‎ A B C D E ‎【答案】解：设AB、CD的延长线相交于点E ‎∵∠CBE=45º CE⊥AE ∴CE=BE………………………（2分）‎ ‎ ∵CE=26.65-1.65=25 ∴BE=25 ‎ ‎ ∴AE=AB+BE=30 ……………………………………………（4分）‎ 在Rt△ADE中，∵∠DAE=30º ‎ ‎∴DE=AE×tan30 º =30×=10…………………（7分）‎ ‎ ∴CD=CE-DE=25-10≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9分）‎ ‎ 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为‎7.7m ……………………（10分）‎ ‎（注：不作答不扣分）‎ A B C D E ‎8．（2010山东青岛）A 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】‎ 解：设CD = x．‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 在Rt△BCD中，‎ tan48° = ，‎ 则，‎ ‎∴. ……………………4分 ‎∵AD＋BD = AB，‎ ‎∴．‎ 解得：x≈43．‎ 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是‎43米． ………………… 6‎ ‎9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由降为，已知原滑滑板AB的长为‎4米，点D、B、C在同一水平地面上。‎ （1） 改善后滑滑板会加餐长多少米？‎ （2） 若滑滑板的正前方能有‎3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有‎6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。‎ ‎（参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位）。‎ A B C D 第20题图 ‎【答案】‎ ‎10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高‎1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进‎40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．‎ ‎【答案】‎ 解：在Rt△AFG中，‎ ‎ ∴……………（2分）‎ ‎ 在Rt△ACG中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴…………（4分）‎ ‎ 又 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ∴…………………………（7分）‎ ‎ ∴（米）‎ ‎ 答：这幢教学楼的高度AB为米．（8分）‎ ‎11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分) ‎ 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移 动的速度为‎30千米/时，受影响区域的半径为‎200千米，B市位 于点P的北偏东75°方向上，距离点P ‎320千米处. ‎ ‎(1) 说明本次台风会影响B市；‎ ‎（2）求这次台风影响B市的时间.‎ ‎【答案】‎ ‎(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,‎ 由条件知, PB = 320, ÐBPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,‎ ‎∴本次台风会影响B市. ---4分 ‎(2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.‎ 由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, ‎ ‎∴P1P2 = 2=240, --- 4分 ‎∴台风影响的时间t = = 8(小时). --- 2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为和，已知，，，．‎ ‎（1）求路基底部AB的宽；‎ ‎（2）修筑这样的路基‎1000米，需要多少土石方？‎ ‎（第21题）‎ ‎【答案】1）作于E，于F，则，‎ ‎（第21题）‎ 在Rt△ADE中，∵，∴．‎ 在Rt△CFB中，∵，∴，∴．‎ 在梯形ABCD中，又∵EF＝CD＝10，‎ ‎∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（米）． …6分 ‎（2）在梯形ABCD中，∵AB＝16，，，‎ ‎∴面积为（平方米），‎ ‎∴修筑‎1000米路基，需要土石方：（立方米）． …4分 ‎13．（2010浙江绍兴）如图,小敏、小亮从A,B两地观测空中C处一个气球,分 别测得仰角为30°和60°,A,B两地相距‎100 m.当气球 沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时,在A处测得气 球的仰角为45°.‎ ‎（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；‎ 第20题图 ‎（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）.‎ ‎【答案】‎ 解:(1) 作CD⊥AB,C/E⊥AB,垂足分别为D,E.‎ 第20题图 第21题图 ‎ ∵ CD ＝BD·tan60°, ‎ CD ＝（100＋BD）·tan30°, ‎ ‎∴（100＋BD）·tan30°＝BD·tan60°, ∴ BD＝50, CD ＝50≈‎86.6 m， ‎ ‎∴ 气球的高度约为‎86.6 m. ‎ ‎(2) ∵ BD＝50, AB＝100, ∴ AD＝150 , ‎ 又∵ AE ＝C/E＝50, ∴ DE ＝150－50≈63.40， ‎ ‎∴ 气球飘移的平均速度约为‎6.34米/秒. ‎ ‎14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB=‎4米，斜面距离BC=‎4.25米，斜坡总长DE=‎85米．‎ ‎（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；‎ ‎（2）若这段斜坡用厚度为‎17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?‎ 参考数据 cos20°0.94，‎ sin20°0.34，‎ sin18°0.31，‎ cos18°0.95‎ ‎17cm ‎（第19题）‎ A B C D E F ‎【答案】(1) cos∠D=cos∠ABC==0.94， ‎ ‎∴∠D20°． ‎ ‎（2）EF=DEsin∠D=85sin20°85×0.34=28.9(米) ， ‎ 共需台阶28.9×100÷17=170级． ‎ ‎15．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度‎33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在‎30米高的光岳楼顶P处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A点的俯角为60º ‎，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30º（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）‎ ‎【答案】由题意知∠PAO＝60º，∠B＝30º，在Rt△POA中，，，OA＝30÷＝，在在Rt△POB中，，，OA＝30÷＝，∴AB＝OB－OA＝－＝‎ ‎16．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是‎3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况显示牌BC的高度．‎ ‎【答案】解：在Rt△ABD,AB＝‎3m，∠ADB ＝45°所以．‎ Rt△ACD中，AD＝‎3m，∠ADC＝60°所以．所以路况显示牌BC的高度为m．‎ ‎17．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长‎20m，风筝B的引线（线段BC）长‎24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.‎ ‎ （1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？‎ ‎（2）求风筝A与风筝B的水平距离.‎ ‎ (精确到‎0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,‎ tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732） 全品中考网 A B ‎45°‎ ‎60°‎ C E D ‎(第19题图)‎ ‎【答案】解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．‎ A B ‎45°‎ ‎60°‎ C E D ‎ 在Rt△ADC中，‎ ‎∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，‎ ‎∴AD﹦20×sin 60°﹦10≈‎‎17.32m ‎ 在Rt△BEC中，‎ ‎∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，‎ ‎∴BE﹦24×sin 45°﹦12≈16.97 ‎ ‎ ∵17.32>16.97‎ ‎ ∴风筝A比风筝B离地面更高．‎ ‎ （2）在Rt△ADC中，‎ ‎∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，‎ ‎∴DC﹦20×cos 60°﹦‎‎10 m ‎ 在Rt△BEC中，‎ ‎∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈‎‎16.97 m ‎ ∴EC－DC≈16.97－10﹦‎‎6.97m ‎ 即风筝A与风筝B的水平距离约为‎6.97m．‎ ‎18．（2010 山东济南）‎D A B C E 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=‎40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？‎ ‎【答案】解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，‎ ‎∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，‎ ‎∴ BG =AB·sin600=20，AG = AB·cos600=20‎ 同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，‎ ‎∴AF=EF=BG=20，‎ ‎∴BE=FG=AF-AG=20()米. ‎ ‎19．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以‎24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为‎240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）‎ ‎【答案】过点A作AD⊥BC于点D，‎ 在Rt△ADC中，由得tanC=∴∠C=30°∴AD=AC=‎ ‎×240=120(米)‎ 在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）‎ ‎120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）‎ 答：李强以‎12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．‎ ‎20．（2010江苏无锡）在东西方向的海岸线上有一长为‎1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西‎19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距‎40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．‎ ‎（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°，‎ ‎ ∴． ‎ ‎ ∴轮船航行的速度为km/时． ‎ ‎ (2)能．……（4分）‎ ‎ 作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，‎ 则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．‎ ‎∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，‎ ‎ ∴∴，∴EF=8． ‎ ‎ ∴AF=AE+EF=20．‎ ‎ ∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．‎ ‎21．（2010湖南邵阳，22，8分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为‎10米（AB＝‎10米），坡角为20°30（∠BAC＝20°30）的斜坡通道改造成坡角为12°30（∠BDC＝12°30）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处，求改造后的斜坡通道BD的长。（结果精确到‎0.1米,参考数据:sin12°30＝0.21,sin20°30＝0.35,sin69°30＝0.94）‎ ‎【答案】由题意，BC＝AB×sin20°30＝10×0.35＝3.5（米）；‎ 在Rt△BDC中，sin12°30＝，故BD＝≈16.7． ‎ ‎ 答：履行后斜坡通道BD的长约为‎16.7米．‎ ‎22．（2010重庆綦江县）据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒＝小时），并测得∠PAO＝59°，∠BPO＝45°．‎ 试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）．‎ ‎（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）‎ ‎【答案】设该轿车的速度为每小时v千米 ‎∵AB＝AO－BO，∠BPO＝45°‎ ‎∴BO＝PO＝‎‎0.1千米 又AO＝OP×tan59°＝0.1×1.6643‎ ‎∴AB＝AO－BO＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643‎ 即AB≈‎‎0.0066千米 而3秒＝小时 ‎∴v＝0.06643×1200≈‎79.716千米/小时 ‎∵79.716＜80‎ ‎∴该轿车没有超速．‎ ‎23．（2010 江苏连云港）（本题满分10分）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝‎1km．‎ ‎（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到‎0.1km）．（参考数据：≈1.73，sin74°≈，‎ cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）‎ AD BAD EBAD FEBAD QFEBAD PQFEBAD ‎【答案】‎ ‎24．（2010湖南衡阳）为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点‎3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°. ‎ ‎ 问：距离B点‎8米远的保护物是否在危险区内？9分 ‎【答案】在Rt△BDC中，BC==2，‎ 在Rt△ABC中，AB=2BC=4＜8‎ 所以离B点‎8米远的保护物在危险区内.‎ ‎25．（2010 黄冈）（9分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行‎2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.‎ 第23题图 ‎【答案】解：过M作MN⊥AC，此时MN最小，AN＝‎‎1500米 ‎26．（2010 山东莱芜）2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为‎36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到‎0.1米）‎ ‎（参考数据：）‎ B A C ‎（第20题图）‎ ‎【答案】解：过A作AD⊥CB，垂足为点D． ‎ B A C D 在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．‎ ‎∴AD=≈20.76． ‎ 在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．‎ ‎∴BD=≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ‎ 答：气球应至少再上升‎15.6米． ‎ ‎27．（2010福建宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁‎1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为‎0.66米，‎ 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；‎ ‎⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到‎0.01米）.‎ A C D E B ‎【答案】解：⑴ ∵AD＝0.66，‎ ‎∴AE＝CD＝0.33.‎ 在Rt△ABE中，………………1分 ‎∵sin∠ABE＝＝，‎ ‎∴∠ABE≈12°. ………………4分 ‎∵∠CAD＋∠DAB＝90°，∠ABE＋∠DAB＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝∠ABE＝12°.‎ ‎∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°. ‎ ‎⑵ 解法一：‎ 在Rt△∠ABE中，‎ ‎∵sin∠CAD＝，‎ ‎∴CD＝AD·sin∠CAD＝0.66×sin12°≈0.14. ‎ 解法二：‎ ‎∵∠CAD＝∠ABE，‎ ‎∠ACD＝∠AEB＝90°，‎ ‎∴△ACD∽△BEA. ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴CD≈0.14. ‎ ‎∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是‎0.14米.‎ ‎28．（2010 四川巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间 测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基‎3.3米的一平坝内(如图11)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退‎6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高‎1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732)‎ ‎【答案】设AB=米，∠ACB=60°，则BC=米，∠ADB=45°，则BD=米，∴，=，AM=米 答：这棵树的高AM为‎12米。‎ ‎29．（2010江苏淮安）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点 ‎ E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=‎3米，BC=‎1米，CD=‎6米．求：‎ ‎(1) ∠D的度数；‎ ‎(2)线段AE的长．‎ 题25图 ‎【答案】解：（1）∵四边形BCEF是矩形，‎ ‎∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，‎ ‎∴∠BFA=∠CED=90°，‎ ‎∵CE=BF，BF=‎3米，‎ ‎∴CE=‎3米，‎ ‎∵CD=‎6米，∠CED=90°，‎ ‎∴∠D=30°.‎ ‎（2）∵sin∠BAF=， ∴，∵BF=‎3米，∴AB=米，‎ ‎∴米，∵CD=‎6米，∠CED=90°，∠D=30°，‎ ‎∴∴米，∴AE=米.‎ ‎30．（2010山东潍坊）路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为‎2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为‎12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：设灯柱BC的长为h米，过点A作AD⊥CD于点H，过B作BE⊥AH于点E，∴四边形BCHE为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°，在Rt△AEB中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcos30°＝，∴CH＝‎ ‎，又CD＝12，∴DH＝12－，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝＝，解得，h＝12－4（米），∴灯柱BC的高为（12－4）米．‎ ‎31.（2010湖南郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=‎40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数） ‎ 第22题 ‎【答案】解: 连结AC，与BD相交于点O ‎ 四边形ABCD是菱形 ACBD,ADB=CDB,AC=2AO ‎ ‎ 当ADC=时，ADC是等边三角形 ‎ AC=AD=AB=40 ‎ 当ADC=时，ADO=‎ AO=ADsinADO=40×=20‎ AC=40 ‎ 因此增加的高度为4040=400.73229（cm） ‎ ‎(说明：当ADC=时，求AC的长可在直角三角形用勾股定理)‎ ‎32. （2010湖北鄂州）如图，一艘舰艇在海面下‎500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行‎4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．‎ ‎【答案】‎ 解法一：作CF⊥AB于F，则，∴，∵，∴，∴，∴海底黑匣子C点距离海面的深度 解法二：作CF⊥AB于F，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴海底黑匣子C点距离海面的深度 ‎33. （2010江苏扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝‎10米，AE＝‎15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到‎0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ A B C D E ‎45°‎ ‎60°‎ ‎【答案】解：作BF⊥DE与点F，BG⊥AE于点G 在Rt△ADE中 ‎∵tan∠ADE=,‎ ‎∴DE=AE ·tan∠ADE=15‎ ‎∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10‎ ‎∴BG=5，AG=，‎ ‎∴EF=BG=5，BF=AG+AE=+15‎ ‎∵∠CBF=450‎ ‎∴CF=BF=+15‎ ‎∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7‎ 答：这块宣传牌CD的高度为‎2.7米．‎ ‎34. （2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图5，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以‎300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）‎ ‎【答案】A B ‎12千米 P C D G ‎60°‎ 图5‎ 解：延长CD交AB于G，则CG=12（千米）‎ 依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米）‎ 在Rt△PCD中：‎ PC=3，∠P=60°‎ CD=PC·tan∠P ‎ =3×tan60°‎ ‎ =‎ ‎∴12-CD=12-≈6.8（千米）‎ 答：这座山的高约为‎6.8千米.‎ ‎35. （2010云南楚雄）如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD＝‎50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN＝35°，然后沿河岸走了‎120米到达B处，测的∠CBN＝70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．‎ ‎（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70‎ Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）‎ ‎【答案】解：过点作，则．因为，‎ 所以，所以，所以 因为，所以四边形是平行四边形，所以，‎ 所以．‎ 在直角三角形中，因为，‎ 所以≈66．‎ 所以河流的宽度CE为‎66米．‎ ‎36. （2010湖北随州）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行‎2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.‎ 第23题图 ‎【答案】解：过M作MN⊥AC，此时MN最小，AN＝‎‎1500米 ‎37．（2010四川乐山）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固。原大坝的横断面是梯形ABCD，如图（9）所示，已知迎水面AB的长为‎10米，∠B＝60，背水面DC的长度为‎10‎米，加固后大坝的横断面为梯形ABED。若CE的长为‎5米。‎ ‎（1）已知需加固的大坝长为‎100米，求需要填方多少立方米；‎ ‎（2）求新大坝背水面DE的坡度。（计算结果保留根号）‎ ‎【答案】解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图（1）所示 在Rt△ABF中，AB＝‎10米，∠B＝60。所以sin∠B＝ ‎ DG＝5‎ 所以S 需要填方：100（立方米）‎ ‎（2）在直角三角形DGC中 ，DC＝10，‎ 所以GC＝‎ 所以GE＝GC＋CE＝20‎ 所以坡度i＝‎ 答：（1）需要土石方‎1250立方米。（2）背水坡坡度为 ‎38. （2010江苏徐州）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为‎12m．求旗杆的高度．‎ ‎【答案】‎ ‎39. （2010云南昆明）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为‎60m，这栋高楼有多高？（结果精确到‎0.1m，参考数据：）‎ ‎【答案】解：过点A作BC的垂线，垂足为D点 ‎ 由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD = 60°, AD = ‎60m ‎ 在Rt△ACD中，∠CAD = 45°, AD⊥BC ‎ ∴ CD = AD = 60 ‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴ BD = AD·tan∠BAD ‎= 60 ‎ ‎∴BC = CD+BD ‎= 60+60 ‎ ‎≈ 163.9 (m)　　　　 ‎ 答：这栋高楼约有‎163.9m． ‎ ‎40. （2010陕西西安） 在一次测量活动中，同学们要测量某公园湖的码头 全品中考网 A与它正东方向的亭子B之间的距离，如图，他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得点P与码头A之间的距离为‎200米。请你运用以上测得的数据求出码头A与亭子B之间的距离。（结果精确到‎1米，参考数据：‎ ‎）‎ ‎【答案】解：过点P作PH⊥AB，垂足为H，则∠APH=30°，‎ ‎∠BPH=43°。 ‎ 在Rt△APH中，‎ AH=100，PH=AP ‎ 在Rt△PBH中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：码头A与亭子B之间的距离约为‎262米。‎ ‎41．（2010四川内江）（9分）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为‎200米。求小河的宽度(结果保留根号).‎ 解：‎ A 北 C 北 B 南 西 西 东 东 南 ‎【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D. 1分 A 北 C 北 B 南 西 西 东 东 南 D 根据题意，∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°. 2分 ‎∴∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD，‎ ‎∴AD＝CD， ‎ ‎∴BD＝BC－CD＝200－AD. 4分 ‎ 在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，‎ ‎∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝(200－AD) ， 7分 ‎∴AD＋AD＝200，‎ ‎∴AD＝＝300－100. 9分 答：该河段的宽度为(300－100)米.‎ ‎42．（2010湖北襄樊） 如图4，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为‎240米，求这栋大楼的高度．‎ 图4‎ ‎【答案】解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D．‎ 则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=‎240米．‎ 在Rt△ACD中，tan∠CAD=，‎ ‎∴AD=．‎ 在Rt△ABD中，tan∠BAD=，‎ ‎∴BD=AD·tan30°=80．‎ ‎∴BC=CD－BD=240－80=160．‎ 答：这栋大楼的高为‎160米．‎ ‎43．（2010 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长‎500米，高‎10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽‎3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.‎ ‎（1）求加固后坝底增加的宽度AF；‎ ‎（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）‎ ‎【答案】（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H.∵ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DHEG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH·tan∠ADH=10×tan45°=10，‎ 在Rt△FGE中， i=1：=,∴FG=EG=10.∴AF=FG+GH-AH=10+3-10=10-7.‎ ‎（2）设防洪堤长为l，∵加宽部分主体的体积V=S梯形AFED×l=(3+10-7)×10×500=25000-10000‎ 答：加固后坝底增加的宽度为（10-7）米，需土石（25000-10000）立方米.‎ ‎44．（2010 云南玉溪）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图8，若, 求B、C两点间的距离．‎ C B A 图8‎ ‎【答案】解：过A点作AD⊥BC于点D， …………1分 在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ‎∵AB=4,‎ ‎∴BD=2, ∴AD=2. …………4分 ‎ 在Rt△ADC中，AC=10，‎ ‎∴CD===2 . …………5分 ‎∴BC=2+2 . …………6分 答：B、C两点间的距离为2+2. …………7分45．（2010 天津）A B C D ‎45°‎ ‎60°‎ 第（23）题 永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为，再往摩天轮的方向前进‎50 m至D处，测得最高点A的仰角为．‎ 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（，‎ 结果保留整数）．‎ ‎【答案】解：根据题意，可知，，.‎ 在Rt△中，由，得.‎ 在Rt△中，由，‎ 得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ∵ ，‎ ‎∴ ，即. ‎ ‎∴ .‎ 答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为‎118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8‎ ‎46．（2010 内蒙古包头）如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，已知甲建筑物高米．‎ ‎（1）求乙建筑物的高；‎ ‎（2）求甲、乙两建筑物之间的距离（结果精确到‎0.01米）．‎ D 乙 C B A 甲 ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】解：（1）过点作于点，‎ D 乙 C B A 甲 E 根据题意，得，‎ 米， （2分）‎ 设，则，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎（米）． （6分）‎ ‎（2），，‎ ‎（米）． （8分）‎ ‎47．（2010 湖南湘潭）如图，我护航军舰在某海域航行到B处时，灯塔A 在我军舰的北偏东60o的方向；我军舰从B处向正东方向行驶‎1800米到达C处，此时灯塔A在我军舰的正北方向．求C处与灯塔A的距离（结果保留四个有效数字）．‎ 东 北 ‎60o A C B ‎19题图 ‎ ‎ ‎【答案】解:在Rt△ABC中，∠C=90O ，BC=1800，∠ABC=30O，…………………1分 ‎ ………………………3分 ‎ 从而=600 ………………………4分 ‎ ≈1039 ………………………5分 答：C处与灯塔A的距离为‎1039米． ………………………6分 ‎48．（2010 贵州贵阳）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝‎0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知 驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的 长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的 长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你 判断并计算出正确的结果．（结果精确到‎0.1m）‎ ‎（图6）‎ ‎【答案】解：在△ABD中，∠ABD＝90，∠BAD＝18，BA＝10‎ ‎∴tan∠BAD＝‎ ‎∴BD＝10×tan 18‎ ‎∴CD＝BD―BC＝10×tan 18―0.5‎ 在△ABD中，∠CDE＝90―∠BAD＝72‎ ‎∵CE⊥ED ‎∴sin∠CDE＝‎ ‎∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72×（10×tan 18―0.5）≈2.6（m）‎ ‎ 答：CE为‎2.6m ‎ ‎49．（2010 甘肃）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走‎400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离．（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C. ………………………………………………1分 由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°.‎ ‎∵ ∠PBC是△APB的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30O. …………………3分 ‎∴ ∠PAB＝∠APB. ………………………………………………………4分 P A B C ‎30°‎ ‎60°‎ 北 东 故 AB=PB=‎400米． …………………………6分 在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400，‎ ‎∴ PC=PB …………………………8分 ‎=400×=（米）.…………………10分 ‎50．（2010湖北十堰）某乡镇中学数学活动小组，为测量数学楼后面的山高AB，用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C处测得山顶A的仰角为60°，在教学楼顶D处，测得山顶A的仰角为45°.已知教学楼高CD=‎12米，求山高AB.（参考数据=1.73，=1.41，精确到‎0.1米，化简后再代入参考数据运算）‎ A B C D E ‎（第20题）‎ ‎【答案】解：过D作DE⊥AB于E，而AB⊥BC，DC⊥BC，故四边形DEBC为矩形，则CD=BE，∠ADE=45°，∠ACB=60°.‎ 设AB=h 米，在Rt△ABC中，BC=h·cot60°=h·tan30°=h 在Rt△AED中，AE=DE·tan45°=BC·tan45°=h 又AB－AE=BE=CD=12‎ ‎∴h－h=12‎ ‎∴h===18+6×1.73=18+10.38≈28.4（米）‎ 答：山高AB是‎28.4米. ‎ ‎51．（2010 四川自贡）如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝‎15mm，DO＝‎24mm，DC＝‎10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。‎ ‎【答案】‎ ‎52．（2010 四川自贡）如图：把一张给定大小的长方形卡片ABCD放在宽度为‎10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长。‎ ‎（参考数据 sin32°≈0.5 cos32°≈0.8 tan32°≈0.6）‎ ‎【答案】‎ ‎53．（2010宁夏回族自治区）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°‎ ‎, 亭B在点M的北偏东60°,当小明由点M沿小道向东走‎60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走‎30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离．‎ ‎【答案】连结AN、BQ ‎∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向 ‎∴ --------------------------1分 在Rt△AMN中：tan∠AMN= ‎ ‎∴AN=-----------------------------------------3分 在Rt△BMQ中：tan∠BMQ=‎ ‎∴BQ=----------------------------------------5分 过B作BEAN于点E 则：BE=NQ=30‎ ‎∴AE= AN－BQ -----------------------------------8分 在Rt△ABE中,由勾股定理得：‎ ‎∴AB=60（米）‎ 答：湖中两个小亭A、B之间的距离为‎60米。---------------------------------------------------10分54．（2010青海西宁）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞C里发现了暗河（如图11）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A、B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A、B两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD．现已知A、B两村庄相距‎6千米.‎ (1) 求这条最近的简易公路CD的长（保留3个有效数字）；‎ (2) 每修建‎1千米的简易公路需费用16 000元，请求出修建该简易公路的最低费用（精确到个位）．‎ ‎(本题参考数据：≈1.414，≈1.732)‎ ‎ ， ‎ ‎ 图11‎ ‎【答案】解：如图：过C作CD⊥AB于D.…………………………………………………………1分 ‎ ‎ ‎ 设CD=x，依题得：‎ ‎ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°, ∠A=30°‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴…………………………………………………………2分 ‎ 同理：…………………………………………………………3分 ‎ ∵AD-BD=14‎ ‎ ∴…………………………………………………………4分 ‎ 解得：≈5.196（千米）…………………………………………6分 ‎ 5.196×16000=83136（元）……………………………………………7分 答：这条最近的简易公路长为‎5.196千米，修建简易公路的最低费用为83136元. ……8分 ‎55．（2010吉林长春）如图,望远镜调节好后,摆放在水平地面上,观测者用望远镜测物体时,眼睛(在A点)到水平地面的距离AD=‎91cm,沿AB方向观测物体的仰角α=33º,望远镜前端(B点)与眼睛(A点)之间的距离‎153cm,求点B到水平地面的距离BC的长(精确到‎0.1cm)‎ ‎【参考数据:】‎ ‎【答案】‎ ‎56．（2010鄂尔多斯）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已知测出树AB的影长AC为‎12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角（‎ ‎（1）求出树高AB ‎（2）因水土流失，此时树ABI沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变。（用图（2）解答）‎ ‎①求树与地面成45°角时的影长 ‎②求树的最大影长。‎ ‎【答案】解（1）AB=ACtan30°=12×=4≈7(米)‎ ‎（2）①如图（2）B1N=AN=AB1sin45°=4×≈5（米）‎ NC1=NB1tan60°=≈8(米)‎ AC1=AN+NC1=5+8=13（米）‎ 答：树与地面成45°角时影长约13（米）‎ ‎②如图（2）当树与地央成60°角时影长最AC2（或树怀光线垂直时影长最大可光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）‎ AC2=2AB2≈1(米)‎ 答：树的最大影长约为‎14米。‎ ‎57．（2010新疆乌鲁木齐）某过街天桥的截面图为梯形，如图7所示，其中天桥斜面CD的坡度为是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为‎10m，天桥另一斜面AB的坡角 ‎ （1）写出过街天桥斜面AB的坡度；‎ ‎ （2）求DE的长；‎ ‎ （3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.01）‎ ‎【答案】解：（1）在° ‎ ‎ 的坡度 …………2分 ‎ （2）在中，‎ ‎°‎ ‎ 又 …………5分 ‎ （3）由（1）知中，°‎ ‎ ，即 …………7分 ‎ 解得 …………10分 ‎ 答：改建后需占路面宽度约为 …………11分 ‎58．（2010广西梧州）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，此时飞机的飞行高度是 AF=‎37米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是30°，飞机继续以相同的高度飞行‎3千米到B处，此时观测目标C的俯角是60°，求此山的高度CD。（精确到‎01千米）‎ E A B C D F ‎60°‎ ‎30°‎ ‎（参考数据：≈1414, ≈1732）‎ ‎【答案】‎ 解：Rt△ACE中，∠EAC=30°，则∠ACE=60°,tan∠ACE=,∴AE= CE·tan60°=CE Rt△BCE中，∠CBE=60°，则∠BCE=30°,tan∠BCE=,∴BE= CE·tan30°= CE,AB=AE-BE,即： CE-CE=3，∴CE=≈26（千米） 全品中考网 ‎∴CD=AF-CE=37-26≈11（千米）‎ ‎59．（2010广西南宁）某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图8所示，‎ ‎ 已知，,于点．‎ (1) 求的大小；‎ (2) 求的长度．‎ ‎【答案】解：（1）∵‎ ‎∴ 1分 ‎∵ 2分 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 4分 ‎ （2）∵ ∴ 5分 ‎ 在中，，‎ ‎ ∴ 6分 ‎ ‎ ‎∴() 8分 ‎60．（2010云南昭通）‎ 云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图7所示），AD∥BC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为‎18米，倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为‎8米，∠ADC=120°．‎ ‎（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到‎0.01米，参考数据）；‎ ‎（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到‎0.01米）‎ ‎【答案】解：分别过A、B作AM⊥BC于M、DN⊥BC于N， ………1分 在Rt△ABM中，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴AM=AB=9． ‎ ‎∵AM∥BC，AM⊥BC，DN⊥BC，‎ ‎∴AM=DN=9． …………………2分 ‎∵DN⊥AD，‎ ‎∴∠ADN=90°．‎ ‎ ∠CDN=∠ADC－∠AND=120°－90°=30°．‎ 延长FE交ＤＮ于Ｈ.‎ 在Rt△DHE中，cos∠EDH=,‎ ‎ ,‎ ‎∴DH=, ………………………………6分 ‎∴HN=DN－DH=9－=9－4×1.732≈2.07．（米） ……………8分 ‎（2）（米）．　　　　 ……………………………9分 ‎ 答：平均每天水位下降必须控制在‎0.01米以内，才能保证现水量至少使用20天．‎ ‎61．（2010辽宁大连）如图11，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处 ‎（1）求灯塔C到航线AB的距离；‎ ‎（2）若海轮的速度为‎20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）‎ ‎（参考数据：，）‎ 北 A B C 图11‎ ‎【答案】‎ ‎62．（2010贵州遵义）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=‎20‎m,为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F=45  ，求AF的长度（结果精确到‎1米，参考数据：≈1.414, ≈1.732）‎ ‎【答案】解法一：过点作于 1分 ‎ 在中，‎ ‎ ∵ 2分 ‎ ∴,即： 4分 ‎ (22题图) 又∵,∴ 5分 ‎ 又∵,∴ 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ ∴ 8分 ‎ ∵,∴ 9分 ‎ 答：的长为‎13米． 10分 解法二：过作于 1分 ‎ 在中，∴ 2分 ‎ 4分 ‎ ∴ 6分 在中，,∴ 7分 ‎∴ 8分 ‎∵,∴ 9分 ‎ 答：的长为‎13米． 10分63．（2010广西柳州）如图10，从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角分别为45°和30°，如果A、B两建筑物的距离为‎90m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，求热气球P的高度．（结果精确到‎0.01m，参考数据：≈1.732，≈1.414）‎ ‎45°‎ ‎30°‎ F E P B A ‎【答案】‎32.94m ‎ ‎64．（2010广东佛山）‎ 如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为为水平地面，假设摩天轮的直径为‎80米，最低点C离地面为‎6米，旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：‎ ‎（1）经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？‎ ‎（2）若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围‎3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？（精确到1平方公里）‎ ‎【答案】（1）从点C乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E，…………1分 ‎ 则∠COE=120°，…………………………………………2分 ‎ 延长CO与圆交于点F，作EG⊥OF于点G。…………3分 则∠GOE=60°，…………………………………………4分 在RT△EOG中，OG=40cos60°=‎20米，………………5分 ‎∴小明2分钟后离开地面高度DG=DC+CO+OG=‎66米，…4分 ‎ ‎ ‎（2）F即为最高点，她能看到的地面景物面积为 ‎ s=≈28平方公里。………………………8分 ‎65．（2010湖北宜昌）如图，华庆号船位于航海图上平面直角坐标系中的点A（10,2）处时，点C、海岛B的位置在y轴上，且。‎ ‎（1）求这时船A与海岛B之间的距离；‎ ‎（2）若海岛B周围‎16海里内有海礁，华庆号船继续沿AC向C航行有无触礁危险？请说明理由（7分）‎ ‎【答案】（1）证明：∵∠CBA＝30°, ∠CAB＝60°，90°． 1分 在Rt△ACB中, ∵,． 4分 ‎（2）在Rt△ACB中，tan60°=， , 6分 ‎（或BC≈17＞16）． 7分 答：无触礁危险.‎ ‎66．（2010辽宁本溪）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上.‎ ‎（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）‎ ‎（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分针到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）.‎ A M 北 东 B D P N ‎60°‎ ‎15°‎ ‎【答案】‎ ‎67．（2010辽宁沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题。‎ ‎★阅读材料：‎ ‎（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。例如，如图1，把海拔高度是‎50米、‎100米、‎150米的点分别连接起来，就分别形成‎50米、‎100米、‎150米三条等高线。‎ ‎（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）‎ 步骤一：根据两点A、B所在的等高线地形图，分别读出点A、B的高度；A、B两点的铅直距离=点A、B的高度差；‎ 步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为1：n，则A、B两点的水平距离=dn；‎ 步骤三：AB的坡度=；‎ 请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。‎ 某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3（示意图），小明每天从家A经过B沿着公路AB、BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P．该山城等高线地形图的比例尺为1:50000，在等高线地形图上量得AB=‎1.8厘米，BP=‎3.6厘米，CP=‎4.2厘米。‎ ‎（1）分别求出AB、BP、CP的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；‎ ‎（2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为‎1.3米／秒；当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为‎1米／秒）‎ 解：（1）AB的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），AB的坡度=；BP的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），BP的坡度=；CP的水平距离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米），CP的坡度= ① 。‎ ‎（2）因为，所以小明在路段AB、BP上步行的平均速度均为‎1.3米／秒。因为 ② ，所以小丁在路段CP上步行的平均速度约为 ③ 米／秒，斜坡AB的距离=（米），斜坡BP的距离=（米），斜坡CP的距离=（米），所以小明从家到学校的时间（秒）。小丁从家到学校的时间约为 ④ 秒。因此， ⑤ 先到学校。‎ ‎【答案】①，②，③1，④2121， ⑤小明 ‎68．（2010福建南平）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地.如图所示，我市的A、B两地相距‎20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上.现计划修建的一条高速铁路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为‎4km的圆形区域内.请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？‎ 第24题 A B P 北 北 ‎【答案】‎ ‎69．（2010天门、潜江、仙桃）如图，A、B两地被一大山阻隔，汽车从A地到B须经过C地中转.为了促进A、B两地的经济发展，现计划开通隧道，使汽车可以直接从A地到B地.已知∠A=30°，∠B=45°，BC=千米.若汽车的平均速度为45千米/时，则隧道开通后，汽车直接从A地到B地需要多长时间？(参考数据：)‎ ‎【答案】过点C作CD⊥AB交AB于点D，则 在Rt△BCD中，BD=BCcos45°=15,CD=BD=15，‎ 在Rt△ACD中，AD=‎ 所以AB=5+15，所以t=≈0.52.‎ 答：汽车直接从A地到B地需要0.52小时 ‎70．（2010云南曲靖）如图，小明家所住楼房的高度AB=‎10米，到对面较高楼房的距离BD=‎20米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为400，据此，小明便知楼房CD的高度。请你写出计算过程（结果精确到‎0.1米.参考数据：sin400≈0.64，cos400≈0.77，tan400≈0.84）.‎ ‎【答案】解：在Rt△ABP中，tan400=‎ BP= ‎ 在Rt△CDP中，‎ CD=31.90×0.84≈26.8（米）‎ 答：楼房CD的高度为‎26.8米. ‎ ‎71．（2010四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l‎0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．‎5米的人行道，问离原坡脚‎10米的建筑物是否需要拆除?请说明理由 ‎(参考数据压)‎ ‎【答案】当倾斜角为30°时，AD=，当倾斜角为45°时，AC=10，则C到建筑物的距离为，所以不需要拆除。‎ ‎72．（2010吉林）如图，在一滑梯侧面示意图中，BD//AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E，BC=‎1.8m，BD=‎0.5m，∠A=450，∠F=290。‎ ‎（1）求滑道DF的长（精确到‎0.1m）‎ ‎（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（精确到‎0.1m）‎ ‎（参考数据：sin290=0.48，cos290=0.87，tan290=0.55）‎ ‎【答案】‎ ‎73．（2010广东湛江）如图，小明在公园里放风筝，拿风筝的手B离地面高度为‎1.5米，风筝飞到C处时的线长BC为‎30米，这时测得∠CBD=60°.求此时风筝离地面的高度.（结果精确到‎0.1米，≈1.73）‎ ‎【答案】解：在Rt△BCD中 CD=BC·sin60°‎ ‎ =30×‎ ‎ =15‎ 在矩形AEDB中，DE=AB=1.5‎ ‎∴CE=CD+DE=15+1.5≈27.5（米）‎ 答：求此时风筝离地面的高度是‎27.5米.‎ ‎74．（2010广东清远）某课外活动小组测量学校旗杆的高度，当太阳光线与地面成35°角是，渢旗杆AB在地面上的投影BC的长为‎20米（如图5）.求旗杆AB的高度.（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）‎ ‎【答案】21.　解：由题意得：在Rt△ACB中，∠B＝90°‎ tanC＝………………………………（2分）‎ ‎∴AB＝BC·tanC………………………………（3分）‎ ‎＝20×tan35°‎ ‎＝20×0.7‎ ‎＝14（米）………………………………（4分）‎ 答：旗杆AB的高度是‎14米. ………………………………（5分）‎ ‎75．（2010湖南娄底）如图8，在一个坡角为20°的斜坡上方有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为‎10cm，求树高ＡＢ（精确到０.１ｍ）.‎ ‎（已知：sin20°≈0.342, cos20°≈0.940, tan20°≈0.364, sin52°≈0.788, cos52°≈0.616, tan52°≈1.280.供选用）‎ ‎【答案】解：如图，在Rt△BCD中，cos20° =，sin20° =，所以CD=BCcos20°=10×0.940=9.4，BD=BCsin20°=10×0.342=3.42.在Rt△ACD中，tan52° =，所以AD=CDtan52° =9.4×1.280=12.032.所以AB=AD－BD=12.032－3.42=8.612≈8.6.‎ ‎76．（2010湖北黄石）某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔.甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A 处测得塔尖M的仰角为α，塔座N的的仰角为β；乙在一楼B处只能望到塔尖M，测得仰角为θ（望不到底座），他们知道楼高AB＝‎20m，通过查表得：tanα＝0.5723,tanβ＝0.2191,tanθ＝0.7489；请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN的值.‎ ‎【答案】第24题 A B P 北 北 C 解：过P作PC⊥AB于C, 因为B在A的北偏东45°方向上，所以A在B的南偏西45方向°在RtΔPBC中，∵∠PBA=45°,∴∠BPC=45°‎ ‎∴BC=PC 在RtΔAPC中,∵∠BAP=45°-30°=15°‎ ‎∴ AC= 又∴AC+BC=AB,∴（ +1 ）PC=20‎ ‎∴ PC=4.226‎ ‎∵ 4.226>4 ,∴ 这条高速铁路不会穿越保护区