2010年吉林省通化市中考数学试卷

2010年吉林省通化市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•通化）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、‎2x‎﹣2‎‎=‎‎1‎‎2‎x‎2‎ B、（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x3‎ ‎ C、x3•x4=x7 D、（x﹣2）2=x2﹣4‎ 考点：负整数指数幂；同底数幂的乘法。‎ 分析：利用同底数幂的乘法法则计算．‎ 解答：解：A、错误，应等于‎2‎x‎2‎；‎ B、错误，应等于3x4；‎ C、正确；‎ D、错误，应等于x2﹣4x+4．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了同底数幂相乘法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方法则，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂相除法则，同底数幂相除，底数不变指数相减．幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．‎ ‎2、（2010•通化）二次函数y=x2的图象向左平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（　　）‎ ‎ A、y=（x+2）2 B、y=x2+2‎ ‎ C、y=（x﹣2）2 D、y=x2﹣2‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 分析：按照“左加右减，上加下减”的规律．‎ 解答：解：向左平移2个单位，将抛物线y=x2先变为y=（x+2）2．‎ 故选A．‎ 点评：考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．‎ ‎3、（2010•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）‎ ‎ A、有一个内角大于60° B、有一个内角小于60°‎ ‎ C、每一个内角都大于60° D、每一个内角都小于60°‎ 考点：反证法。‎ 分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．‎ 解答：解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．‎ 点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．‎ 反证法的步骤是：‎ ‎（1）假设结论不成立；‎ ‎（2）从假设出发推出矛盾；‎ ‎（3‎ ‎）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．‎ ‎4、（2010•通化）已知，圆锥的母线长为5cm，高线长是3cm，则圆锥的底面积是（　　）‎ ‎ A、3πcm2 B、9πcm2‎ ‎ C、16πcm2 D、25πcm2‎ 考点：圆锥的计算；勾股定理。‎ 分析：根据勾股定理，求得底面半径是‎5‎‎2‎‎﹣‎‎3‎‎2‎=4，再根据圆面积公式，求得圆锥的底面积是16π．‎ 解答：解：由于圆锥的底面半径，高，母线组成直角三角形，所以由勾股定理知：底面半径是‎5‎‎2‎‎﹣‎‎3‎‎2‎=4，‎ ‎∴圆锥的底面积=π×42=16πcm2．‎ 故选C．‎ 点评：熟练运用勾股定理，理解圆锥的相关概念．‎ ‎5、（2010•通化）经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎9‎ B、‎‎1‎‎6‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎1‎‎2‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，‎ ‎∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是‎1‎‎9‎，故选A．‎ 点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎6、（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）‎ ‎ A、5m B、‎2‎‎5‎m ‎ C、‎4‎‎5‎m D、‎10‎‎3‎m 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．‎ 解答：解：∵AB=10米，tanA=BCAC=‎1‎‎2‎．‎ ‎∴AC=4‎5‎，BC=2‎5‎米．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．‎ ‎7、（2010•通化）在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（　　）‎ ‎ A、平均数 B、众数 ‎ C、中位数 D、方差 考点：统计量的选择。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据题意可得：由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．‎ 解答：解：由于总共有15个人，第8位选手的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道自己的成绩和中位数．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．‎ ‎8、（2010•通化）如果函数y=2x的图象与双曲线y=kx（k≠0）相交，则当x＜0时，该交点位于（　　）‎ ‎ A、第一象限 B、第二象限 ‎ C、第三象限 D、第四象限 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据题意和函数的图象性质可知，直线经过一、三象限，因为函数y=2x的图象与双曲线y=kx（k≠0）相交，所以双曲线也经过一、三象限，则当x＜0时，该交点位于第三象限．‎ 解答：解：因为函数y=2x的系数k=2＞0，所以函数的图象过一、三象限；‎ 又由于函数y=2x的图象与双曲线y=kx（k≠0）相交，则双曲线也位于一、三象限；‎ 故当x＜0时，该交点位于第三象限．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ ‎9、（2010•通化）如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2‎3‎），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（　　）‎ ‎ A、（﹣‎3‎‎2‎，‎8‎‎5‎） B、（﹣‎3‎，1）‎ ‎ C、（﹣‎4‎‎5‎，‎9‎‎5‎） D、（﹣1，‎3‎）‎ 考点：切线的性质；坐标与图形性质。‎ 分析：先利用切线AC求出OC=2=‎1‎‎2‎OA，从而∠BOD=∠AOC=60°，则B点的坐标即可求出．‎ 解答：解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴，‎ ‎∵⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2‎3‎），即OC=2，‎ ‎∴AC是圆的切线．‎ ‎∵OA=4，∠OAC=30°，∠AOC=60°，∠BOD=60°，‎ ‎∴OD=1，BD=‎3‎，即B点的坐标为（﹣1，‎3‎）．故选D．‎ 点评：本题综合考查了圆的切线长定理和坐标的确定，是综合性较强的综合题，关键是根据切线长定理求出相关的线段，并求出相对应的角度，利用直角三角形的性质求解．‎ ‎10、（2010•通化）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（　　）‎ ‎ A、1﹣‎3‎‎3‎ B、1﹣‎‎3‎‎4‎ ‎ C、‎1‎‎2‎ D、‎‎3‎‎3‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；正方形的性质。‎ 分析：此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．‎ 解答：解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．‎ 根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．‎ 在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，‎ ‎∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．‎ ‎∴∠OAD=∠OAB′=30°．‎ 又AD=1，∴OD=‎3‎‎3‎．‎ ‎∴公共部分的面积=2×‎1‎‎2‎×‎3‎‎3‎×1=1×‎3‎‎3‎=‎3‎‎3‎．故选D．‎ 点评：本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11、（2010•通化）截止2008年5月28日12时，全国共接受国内外社会各界为地震灾区人民捐赠款物约为3 480 000万元．那么3 480 000万元用科学记数法表示为 万元．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：3 480 000万元用科学记数法表示为3.48×106万元．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12、（2010•通化）在平面内，⊙O的半径为5cm，直线l到圆心O的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．‎ 考点：直线与圆的位置关系。‎ 分析：因为直线l与圆心的距离小于半径，所以直线与圆相交．‎ 解答：解：∵⊙O的半径为5cm，直线l到圆心O的距离为3cm，3＜5，‎ ‎∴直线l与圆相交．‎ 点评：本题考查直线与圆位置关系的定义，①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切．‎ ‎13、（2010•通化）现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.85米，方差分别为S甲2=0.32，S乙2=0.26，则身高较整齐的球队是 队．‎ 考点：方差；算术平均数。‎ 分析：根据方差的意义解答．‎ 解答：解：∵s甲2＞s乙2，‎ ‎∴身高较整齐的球队是乙队．‎ 故填乙．‎ 点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎14、（2010•通化）已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．‎ 考点：二次函数的图象。‎ 分析：由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y＞0时x的取值范围．‎ 解答：解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，‎ 根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），‎ 观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．‎ 点评：此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=ax2+bx+c的完整图象．‎ ‎15、（2010•通化）直线y=﹣2x﹣4交x轴、y轴于点A、B，O为坐标原点，则S△AOB= ．‎ 考点：一次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：首先求出直线y=﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点A、B的坐标，然后利用这些坐标表示三角形的相关线段的长度，再根据三角形的面积公式即可求出结果．‎ 解答：解：∵直线y=﹣2x﹣4中，﹣bk=﹣‎﹣4‎‎﹣2‎=﹣2，b=﹣4，‎ ‎∴直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣4），‎ ‎∴OA=2，OB=4，‎ ‎∴S△AOB=‎1‎‎2‎×|﹣2|×|﹣4|=‎1‎‎2‎×2×4=4．‎ 点评：此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b与x轴的交点为（﹣bk，0），与y轴的交点为（0，b）．‎ ‎16、（2010•通化）如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=‎3‎，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是 ．（计算结果保留π）‎ 考点：扇形面积的计算。‎ 分析：△ABC中，BC=1，AC=‎3‎，根据勾股定理得到AB的长为2．顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．‎ 解答：解：由题意知：S=‎90π×4‎‎360‎+‎90π×3‎‎360‎=‎7π‎4‎．‎ 点评：本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•通化）解方程：x（x+8）=16‎ 考点：解一元二次方程-配方法。‎ 专题：配方法。‎ 分析：首先把左边的式子展开，利用配方法配成完全平方式直接开平方即可．‎ 解答：解：x2+8x+42=16+42，‎ ‎（x+4）2=32，‎ ‎∴‎x+4=±4‎‎2‎ ‎∴x=±4‎2‎﹣4‎．‎ 点评：本题考查了利用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎18、（2010•通化）小王制定一个玩飞行棋的游戏规则为：抛掷两枚均匀的正四面体骰子（四面依次标上数字1，2，3，4）掷得点数和之为5时才“可以起飞”，请你根据规则计算“‎ 可以起飞”的概率．（要求用树状图或列表法求解）‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，让“可以起飞”的情况数除以总情况数即为所求的概率．‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∴一共有16种情况，掷得点数和之为5时的有4种情况，‎ ‎∴“可以起飞”的概率为‎4‎‎16‎=‎1‎‎4‎．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎19、（2010•通化）如图，是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．‎ 考点：弧长的计算。‎ 分析：可观察此图是一个圆锥的展开面，则利用小圆周长是弧长，列出方程求解即可．‎ 解答：解：这个几何体是圆锥，假设图中小圆的半径为r，（1分）‎ ‎∵扇形弧长等于小圆的周长，‎ 即l=‎120‎‎360‎•2π•8‎=2 •π •r（8分）‎ ‎∴r=l‎2π=‎‎8‎‎3‎．（10分）‎ 点评：本题的关键是理解底面积的周长是弧长，然后列方程求解．‎ ‎20、（2010•通化）已知反比例函数y=‎kx的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点（1，5）．‎ ‎（1）求这两个函数的解析式；‎ ‎（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象的对称性。‎ 专题：方程思想；待定系数法。‎ 分析：（1）将（1，5）分别代入解析式y=‎kx和y=3x+m，即可求出k和m的值，从而求出函数解析式；‎ ‎（2）将所得解析式组成方程组，即可解出函数图象的另一个交点坐标．‎ 解答：解：（1）将（1，5）代入解析式y=‎kx，得：k=1×5=5；‎ 将（1，5）代入解析式y=3x+m，得：m=2；‎ 故两个函数的解析式为y=‎2‎x、y=3x+2．‎ ‎（2）将y=‎5‎x和y=3x+2组成方程组为：‎&y=‎‎5‎x‎&y=3x+2‎，‎ 解得：‎&x=1‎‎&y=5‎，‎&x=﹣‎‎5‎‎3‎‎&y=﹣3‎．‎ 于是可得函数图象的另一个交点坐标为（﹣‎5‎‎3‎，﹣3）．‎ 点评：此题是一综合题，既要能熟练正确求出方程组的解，又要会用待定系数法求函数的解析式．‎ ‎21、（2010•通化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC平分线，AD=20．求BC的长．‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：已知了AD的长，那么可用BC表示出AC，CD的长．根据AC﹣CD=AD来求BC的值．‎ 直角△ACB中，已知∠A的度数，可以用BC和正弦函数表示出AC的长；‎ 直角△ABC中，因为∠CBA=90﹣30=60°，BD平分∠ABC，可以求出∠DBC的度数．可用BC和正切函数来表示出CD的长，然后求出BC的长．‎ 解答：解：∵∠C=90°，∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠DBA=30°．‎ ‎∴AD=DB=20．‎ ‎∵∠BDC=∠BAD+∠DBA=60°，‎ ‎∴sin∠BDC=BCBD=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴BC=10‎3‎．‎ 点评：两直角三角形有公共边时，利用公共边进行求解是解此类题的基本方法．‎ ‎22、（2010•通化）某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工程队费用多少元？‎ 考点：分式方程的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：应求出甲乙工程队的工效．时间明显，应根据工作总量来列等量关系．关键描述语是：甲、乙两队合作完成工程需要20天．等量关系为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1，然后分情况分析后比较所需费用．‎ 解答：解：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要2x天，（1分）‎ 根据题意得‎1‎x‎+‎1‎‎2x=‎‎1‎‎20‎，（2分）‎ 解得x=30‎ 经检验，x=30是原方程的解，且x=30，2x=60都符合题意．（2分）‎ ‎∴应付甲队30×1000=30000（元）．‎ 应付乙队30×2×550=33000（元）．‎ 答：公司应选择甲工程队，应付工程总费用30000元．（3分）‎ 点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．‎ ‎23、（2010•通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：‎ ‎（1）求y与x的关系式；‎ ‎（2）当x取何值时，y的值最大？‎ ‎（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）因为y=（x﹣50）w，w=﹣2x+240‎ 故y与x的关系式为y=﹣2x2+340x﹣12000．‎ ‎（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．‎ ‎（3）令y=2250时，求出x的解即可．‎ 解答：解：（1）y=（x﹣50）•w=（x﹣50）•（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣1200‎ ‎∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣12000． （3分）‎ ‎（2）y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450‎ ‎∴当x=85时，y的值最大．（6分）‎ ‎（3）当y=2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250‎ 解这个方程，得x1=75，x2=95‎ 根据题意，x2=95不合题意应舍去 ‎∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元． （10分）‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．‎ ‎24、（2010•通化）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．‎ ‎（1）求点D到BC的距离DH的长；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；开放型；分类讨论。‎ 分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；‎ ‎（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）画出图形，根据图形进行讨论：‎ ‎①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．‎ ‎∴cos∠1=cosC=‎8‎‎10‎=‎4‎‎5‎，∴QMQP=‎4‎‎5‎，∴cos∠1=cosC=‎8‎‎10‎=‎4‎‎5‎，∴QMQP=‎4‎‎5‎，即可求出x的值；‎ ‎②当PQ=RQ时，﹣‎3‎‎5‎x+6=‎12‎‎5‎，x=6；‎ ‎③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=‎1‎‎2‎CE=‎1‎‎4‎AC=2．由于tanC=QRCR=BACA，x=‎15‎‎2‎．‎ 解答：解：（1）∵∠A=Rt∠，AB=6，AC=8，‎ ‎∴BC=10．‎ ‎∵点D为AB中点，∴BD=‎1‎‎2‎AB=3．‎ ‎∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．‎ ‎∴△BHD∽△BAC，‎ ‎∴DHAC=BDBC，‎ ‎∴DH=BDBC•AC=‎3‎‎10‎×8=‎12‎‎5‎（3分）‎ ‎（2）∵QR∥AB，‎ ‎∴∠QRC=∠A=90度．‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△RQC∽△ABC，‎ ‎∴RQAB=QCBC，∴y‎6‎=‎10﹣x‎10‎，‎ 即y关于x的函数关系式为：y=‎﹣‎‎3‎‎5‎x+6．（6分）‎ ‎（3）存在，分三种情况：‎ ‎①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．‎ ‎∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，‎ ‎∴∠1=∠C．‎ ‎∴cos∠1=cosC=‎8‎‎10‎=‎4‎‎5‎，∴QMQP=‎4‎‎5‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎（﹣‎3‎‎5‎x+6）‎‎12‎‎5‎=‎4‎‎5‎，∴x=‎18‎‎5‎．‎ ‎②当PQ=RQ时，﹣‎3‎‎5‎x+6=‎12‎‎5‎，‎ ‎∴x=6．‎ ‎③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，‎ 于是点R为EC的中点，‎ ‎∴CR=‎1‎‎2‎CE=‎1‎‎4‎AC=2．‎ ‎∵tanC=QRCR=BACA，‎ ‎∴‎﹣‎3‎‎5‎x+6‎‎2‎=‎6‎‎8‎，‎ ‎∴x=‎15‎‎2‎．‎ 综上所述，当x为‎18‎‎5‎或6或‎15‎‎2‎时，△PQR为等腰三角形． （12分）‎ 点评：本题很复杂，把一次函数与三角形的知识相结合，使题目的综合性加强，提高了难度，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．‎ ‎25、（2010•通化）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．‎ ‎（1）求证：AB•AF=CB•CD；‎ ‎（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．‎ 考点：轴对称-最短路线问题；根据实际问题列一次函数关系式；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）需证CDAB‎=‎AFCB，由题意易证△DCF∽△ABC，所以还要证明AF=CF；‎ ‎（2）①根据勾股定理可求得AC=12，CF=AF=6，继而得出y=‎1‎‎2‎（x+9）‎×6=3x+27（x＞0）；‎ ‎②BC=9（定值），可得△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，又PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．此时DP=DE，PB+PA=AB，求出DE的值即可．‎ 解答：证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，‎ ‎∴DE垂直平分AC，‎ ‎∴AF=CF，∠DFA=DFC=90°，∠DAF=∠DCF．‎ ‎∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，‎ ‎∴∠DCF=∠DAF=∠B．‎ 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，‎ ‎∴△DCF∽△ABC．‎ ‎∴CDAB‎=‎CFCB，即CDAB‎=‎AFCB．‎ ‎∴AB•AF=CB•CD．‎ 解：（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，‎ ‎∴AC=AB‎2‎﹣BC‎2‎=‎15‎‎2‎‎﹣‎‎9‎‎2‎=12，‎ ‎∴CF=AF=6‎ ‎∴y=‎1‎‎2‎（x+9）‎×6=3x+27（x＞0）‎ ‎②∵BC=9（定值），‎ ‎∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小．‎ 由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，‎ ‎∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．‎ 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．‎ 此时DP=DE，PB+PA=AB．‎ 由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，‎ ‎△DAF∽△ABC．‎ EF∥BC，得AE=BE=‎1‎‎2‎AB=‎15‎‎2‎，‎ EF=‎9‎‎2‎．‎ ‎∴AF：BC=AD：AB，即6：9=AD：5．‎ ‎∴AD=10．‎ Rt△ADF中，AD=10，AF=6，‎ ‎∴DF=8．‎ ‎∴DE=DF+FE=8+‎9‎‎2‎=‎25‎‎2‎．‎ ‎∴当x=‎25‎‎2‎时，△PBC的周长最小，‎ 此时y=‎129‎‎2‎．‎ 点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了相似三角形、一次函数、勾股定理的有关知识．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ hbxglhl；137-hui；HJJ；zhjh；kuaile；littlenine；lanyan；csiya；leikun；MMCH；路斐斐；zcx；lbz；算术；CJX；lanyuemeng；zhehe；lzhzkkxx；xiu；开心；fuaisu；zhangCF；wenming；zhqd；lanchong；ln_86；张伟东；zxw；Linaliu；shenzigang。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日