河北省石家庄市启明学校2020-2021学年第一学期八年级数学期末模拟测试题（五）

河北省石家庄市启明学校2020-2021学年第一学期八年级数学期末模拟测试题（五）

河北省石家庄市启明学校 2020-2021 学年第一学期八年级数学期末模拟测试题（五） 一、精心选择（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用 2B 铅缩涂黑） 1．（2 分）式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 2．（2 分）在下列图形中，中心对称图形是（ ） A． B． C． D． 3．（2 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．3 或﹣3 B．﹣3 C．0 D．3 4．（2 分）小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为 50.47g，用四舍五入法将 50.47 精确到 0.1 的 近似值为（ ） A．50 B．50.0 C．50.4 D．50.5 5．（2 分）已知 a、b、c 为三角形的边长，则图 2 中甲、乙、丙三个三角形和图 1 中的△ABC 全等的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 6．（2 分）估计 的值在（ ） A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 7．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，当∠ ACE＝35°时，∠BAD 的度数是（ ） A．55° B．40° C．35° D．20° 8．（2 分）下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（2 分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于 60°”时，假设三角形的最大内角不 小于 60°不成立，则有三角形的最大内角（ ） A．小于 60° B．等于 60° C．大于 60° D．大于或等于 60° 10．（2 分） ＝（ ） A． B． C． D． 11．（2 分）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC、AC 于 D、E 两点， ∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC 的度数为（ ） A．130° B．95° C．90° D．85° 12．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，BF 平分∠ABC， 交 CD 于点 E，交 AC 于点 F．若 AB＝10，BC＝6，则 CE 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二 、准确填空（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.请你把答案写在横线上） 13．（3 分）8 的立方根是 ． 14．（3 分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有 条． 15．（3 分）计算： ＝ ． 16．（3 分）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为 ． 17．（3 分）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为 ． 18．（3 分）如图，△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，△ACB 的顶 点 A 在△DCE 的斜边 DE 上，若 AD＝ ，AE＝ ，则 BC＝ ． 三、挑战技能（本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分） 19．（6 分）计算： 20．（6 分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB 相交于点 O． 求证：△OBC 是等腰三角形． 21．（6 分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 是格点三角形． （1）在图 1 中，以点 C 为对称中心，作出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形 DEC， 在题后横线上直接写出 AB 与 DE 的位置关系： ； （2）在图 2 中，以 AC 所在的直线为对称轴，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形 AFC，并在后横线上直接写出△BCF 是什么形状的特殊三角形： ． 22．（6 分）当 x﹣y＝2 时，求 的值． 第二部分实践与应用 23．（8 分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题 是：如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC+AB＝1 丈，BC＝3 尺，求 AC 的长为多 少尺？（说明：1 丈＝10 尺） 24．（8 分）观察下列各式： 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第 4 个算式为： ； （2）求 的值； （3）诸直接写出 的结果． 25．（9 分）已知：如图 1，OM 是∠AOB 的平分线，点 C 在 OM 上，OC＝5，且点 C 到 OA 的距离为 3．过点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D、E，易得到结论：OD+OE ＝ ； （1）把图 1 中的∠DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 不垂直时（如图 2），上述结论是否 成立？并说明理由； （2）把图 1 中的∠DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 的反向延长线相交于点 D 时： ① 请在图 3 中画出图形； ② 上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段 OD、OE 之间 的数量关系，不需证明． 26．（9 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边△BDE，连接 AD、CD． （1）求证：AD＝CD； （2） ① 画图：在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小（要求：写出作图过程并画出图 形，不用说明作图依据）； ② 当 BC＝2 时，求出 BH+EH 的最小值． 参考答案与试题解析 一、精心选择（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用 2B 铅缩涂黑 ） 1．（2 分）式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 x﹣1≥0，通过解该不等式即可求 得 x 的取值范围． 【解答】解：根据题意，得 x﹣1≥0， 解得，x≥1． 故选：C． 2．（2 分）在下列图形中，中心对称图形是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项错误； B．不是中心对称图形，故此选项错误； C．不是中心对称图形，故此选项错误； D．是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 3．（2 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．3 或﹣3 B．﹣3 C．0 D．3 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出 x 的值． 【解答】解：依题意得：x2﹣9＝0 且 x≠0， 解得 x＝±3． 故选：A． 4 ． （2 分）小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为 50.47g，用四舍五入法将 50.47 精确到 0.1 的近似值为（ ） A．50 B．50.0 C．50.4 D．50.5 【分析】根据四舍五入法可以解答本题． 【解答】解：50.47≈50.5（精确到 0.1）， 故选：D． 5．（2 分）已知 a、b、c 为三角形的边长，则图 2 中甲、乙、丙三个三角形和图 1 中的△ABC 全等的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS 与 SAS），即可求得答案． 【解答】解：如图： 在△ABC 和△MNK 中， ， ∴△ABC≌△NKM（SAS）； 在△ABC 和△HIG 中， ， ∴△ABC≌△GHI（AAS）． ∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是：乙和丙． 故选：B． 6．（2 分）估计 的值在（ ） A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 【分析】直接得出 的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵ ， ∴ ， 故选：C． 7．（2 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，当∠ ACE＝35°时，∠BAD 的度数是（ ） A．55° B．40° C．35° D．20° 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵CE 是∠ACB 的平分线，∠ACE＝35°， ∴∠ACB＝2∠ACE＝70°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°， 故选：D． 8．（2 分）下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质 1 和性质 2 逐一判断即可得． 【解答】解：A． ＝2，故本选项不符合题意； B．（ ）2＝2，故本选项符合题意； C．﹣ ＝﹣2，故本选项不符合题意； D．（﹣ ）2＝2，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（2 分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于 60°”时，假设三角形的最大内角不 小于 60°不成立，则有三角形的最大内角（ ） A．小于 60° B．等于 60° C．大于 60° D．大于或等于 60° 【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论． 【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于 60°”时， 假设三角形的最大内角不小于 60°不成立，则有三角形的最大内角小于 60°． 故选：A． 10．（2 分） ＝（ ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质 4 化简可得． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ， 故选：D． 11．（2 分）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC、AC 于 D、E 两点， ∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC 的度数为（ ） A．130° B．95° C．90° D．85° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC ＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BDA 的度数，计算出结果． 【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵∠B＝60°，∠BAD＝70°， ∴∠BDA＝50°， ∴∠DAC＝ ∠BDA＝25°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95° 故选：B． 12．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，BF 平分∠ABC， 交 CD 于点 E，交 AC 于点 F．若 AB＝10，BC＝6，则 CE 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°， 根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出 EC＝FC，再利用相似三角形 的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°， ∵BF 平分∠CBA， ∴∠CBF＝∠FBD， ∴∠CFB＝∠BED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵BF 平分∠CBA，∠BCF＝∠BGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵∠A＝∠A，∠FGA＝∠ACB＝90°， ∴△AFG∽△ABC， ∴ ＝ ， ∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°， ∴AC＝8， ∴ ＝ ， ∵FC＝FG， ∴ ＝ ， 解得：FC＝3， 即 CE 的长为 3． 补充方法：设 CF＝FG＝x，在 Rt△AFG 中，∵AF2＝FG2+AG2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3， ∴CE＝CF＝3． 故选：A． 二、准确填空（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.请你把答案写在横线上） 13．（3 分）8 的立方根是 2 ． 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果． 【解答】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2． 14．（3 分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有 5 条． 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：五角星的对称轴共有 5 条， 故答案为：5． 15．（3 分）计算： ＝ 4 ． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝5﹣1 ＝4． 故答案为 4． 16．（3 分）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为 3 ． 【分析】过 C 作 CF⊥AO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角 的两边的距离相等可得 CF＝CM，进而可得答案． 【解答】解：过 C 作 CF⊥AO， ∵OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB， ∴CM＝CF， ∵OC＝5，OM＝4， ∴CM＝3， ∴CF＝3， 故答案为：3． 17．（3 分）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为 1 ． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母 x﹣3＝0，得到 x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值． 【解答】解：方程两边都乘 x﹣3， 得 x﹣3m＝2m（x﹣3） ∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣3＝0， 解得 x＝3， 当 x＝3 时，m＝1 故 m 的值是 1， 故答案为：1 18．（3 分）如图，△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，△ACB 的顶 点 A 在△DCE 的斜边 DE 上，若 AD＝ ，AE＝ ，则 BC＝ 2 ． 【分析】由等腰三角形的性质可得 AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝ ∠CED＝45°，可证△ADC≌△BEC，可得 AD＝BE＝ ，∠D＝∠BEC＝45°，由勾 股定理可求 AB＝2 ，即可求 BC 的长． 【解答】证明：如图，连接 BE， ∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形 ∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠CED＝45° ∴∠DCA＝∠BCE，且 AC＝BC，DC＝EC， ∴△ADC≌△BEC（SAS） ∴AD＝BE＝ ，∠D＝∠BEC＝45°， ∴∠AEB＝90° ∴AB＝ ＝2 ∵AB＝ BC ∴BC＝2 故答案为：2 三、挑战技能（本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分） 19．（6 分）计算： 【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后取绝对值后合并即可． 【解答】解：原式＝ ﹣ + ﹣1 ＝ ﹣3 + ﹣1 ＝﹣ ﹣1． 20．（6 分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB 相交于点 O． 求证：△OBC 是等腰三角形． 【分析】由“HL”可证 Rt△ABC≌Rt△DBC，可得∠ACB＝∠DBC，可证△OBC 是等腰 三角形． 【解答】证明：∵AC＝DB，BC＝BC ∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL） ∴∠ACB＝∠DBC ∴OB＝OC ∴△OBC 是等腰三角形 21．（6 分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 是格点三角形． （1）在图 1 中，以点 C 为对称中心，作出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形 DEC， 在题后横线上直接写出 AB 与 DE 的位置关系： AB∥DE，AB＝DE ； （2）在图 2 中，以 AC 所在的直线为对称轴，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形 AFC，并在后横线上直接写出△BCF 是什么形状的特殊三角形： 等腰直角三角形 ． 【分析】（1）根据中心对称的性质画出图形即可判断． （2）根据轴对称的性质画出图形即可判断． 【解答】解：（1）△DEC 即为所求．AB∥DE，AB＝DE． 故答案为 AB∥DE，AB＝DE． （2）△ACF 即为所求． △BCF 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 22．（6 分）当 x﹣y＝2 时，求 的值． 【分析】首先对分式进行化简，然后将 x﹣y＝2 时代入即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ， x﹣y＝2 时． ． 第二部分实践与应用 23．（8 分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题 是：如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC+AB＝1 丈，BC＝3 尺，求 AC 的长为多 少尺？（说明：1 丈＝10 尺） 【分析】设 AC＝x，可知 AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：1 丈＝10 尺， 设 AC＝x， ∵AC+AB＝10， ∴AB＝10﹣x． ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即 x2+32＝（10﹣x）2． 解得：x＝4.55， 即 AC＝4.55 尺． 24．（8 分）观察下列各式： 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第 4 个算式为： ； （2）求 的值； （3）诸直接写出 的结果． 【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此 （1）可以猜想到接下来的第 4 个算式为： ， （2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果； （3）第（2）题进一步扩展到 n 项即可．详见解答过程． 【解答】解： （1）依题意：接下来的第 4 个算式为： 故答案为 （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ （3） 原式＝ ＝ ＝ ＝ 25．（9 分）已知：如图 1，OM 是∠AO B 的平分线，点 C 在 OM 上，OC＝5，且点 C 到 OA 的距离为 3．过点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D、E，易得到结论：OD+OE＝ 8 ； （1）把图 1 中的∠DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 不垂直时（如图 2），上述结论是否 成立？并说明理由； （2）把图 1 中的∠DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 的反向延长线相交于点 D 时： ① 请在图 3 中画出图形； ② 上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段 OD、OE 之间 的数量关系，不需证明． 【分析】先利用勾股定理求出 OD，再利用角平分线定理得出 DE＝CD，即可得出结论； （1）先判断出∠DCQ＝∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出 DQ＝PE，即可得出 结论； （2） ① 依题意即可补全图形； ② 同（1）的方法即可得出结论． 【解答】解：∵CD⊥OA， ∴∠ODC＝90°， 在 Rt△ODC 中，CD＝3，OC＝5， ∴OD＝ ＝4， ∵点 C 是∠AOB 的平分线上的点， ∴DE＝CD＝3， 同理，OE＝4， ∴OD+OE＝4+4＝8， 故答案为 8； （1）上述结论成立，理由：如图 2，过点 C 作 CQ⊥OA 于 Q，CP⊥OB 于 P， ∴∠OQC＝∠EPC＝90°， ∴∠AOB+∠POQ＝180°， 由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°， ∴∠POQ＝∠DOE， ∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点 C 是∠AOB 的平分线上，且 CQ⊥OA，CP⊥OB， ∴CQ＝CP， ∵∠OQC＝∠EPC＝90°， ∴△CQD≌△CPE（ASA）， ∴DQ＝PE， ∵OD＝OQ﹣DQ，OE＝OP+PE， ∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8； （2） ① 补全图形如图 3， ② 上述结论不成立，OE﹣OD＝8， 理由：过点 C 作 CQ⊥OA 于 Q，CP⊥OB 于 P， ∴∠OQC＝∠EPC＝90°， ∴∠AOB+∠POQ＝180°， 由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°， ∴∠POQ＝∠DOE， ∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点 C 是∠AOB 的平分线上，且 CQ⊥OA，CP⊥OB， ∴CQ＝CP， ∵ ∠OQC＝∠EPC＝90°， ∴△CQD≌△CPE（ASA）， ∴DQ＝PE， ∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE， ∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+O Q＝OP+OQ＝8． 26．（9 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边△BDE，连接 AD、CD． （1）求证：AD＝CD； （2） ① 画图：在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小（要求：写出作图过程并画出图 形，不用说明作图依据）； ② 当 BC＝2 时，求出 BH+EH 的最小值． 【分析】（1）证明△ABC≌△ABD（SAS），可得 AC＝AD． （2） ① 作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′，连接 EB′交 AC 于 H，点 H 即为所求． ② 连接 AB′，证明△ABB′是等边三角形即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC，∠ABC＝60° ∵AE＝EB， ∴BC＝BE， ∵△BED 是等边三角形， ∴BE＝BD，∠ABD＝60°， ∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD＝60°，BC＝BD， ∴△ABC≌△ABD（SAS）， ∴AC＝AD． （2） ① 作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′，连接 EB′交 AC 于 H，点 H 即为所求． ② 连接 AB′， ∵AC⊥BB′，CB＝CB′， ∴AB＝AB′， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∵AE＝EB， ∴B′E⊥AB， 在 Rt△BEB′中，∵BB′＝4，∠EBB′＝60°， ∴EB′＝BB′•sin60°＝2 ， ∴EH+HB 的最小值＝EH+HB′＝EB′＝2