浙教版九年级上册二次函数专题之函数最值问题(教师版）

浙教版九年级上册二次函数专题之函数最值问题(教师版）

二次函数专题之函数最值问题 ‎【类型综述】‎ 二次函数的图像、性质问题中，求给定区间内函数的最值，是中考数学的热点问题．‎ 对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的一部分来说，则未必。‎ 常见的两种类型分别为：‎ 一是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。‎ 一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论，根据题意建立方程求解。难点是有时分类讨论次数较多，计算比较繁琐，容易出错。‎ ‎【典例分析】‎ ‎【例1】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为9，则的值为（　　）‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=- =-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选：B．‎ ‎【变式1】已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（ ）‎ A．最小值―3 B．最小值3 C．最大值―3 D．最大值3‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），‎ ‎∴-3=1-m+n，‎ ‎∴n=-4+m，‎ 代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.‎ ‎∴代数式mn+1有最小值-3.‎ 故选A.‎ ‎【变式2】已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【详解】‎ ‎∵点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y＝﹣x2的图象上，‎ ‎∴y1＝﹣t2，y2＝﹣(t+2)2＝﹣t2﹣2t﹣2，‎ ‎∴AB2＝(t+2﹣t)2+(y2﹣y1)2‎ ‎＝22+(﹣t2﹣2t﹣2+t2)2‎ ‎＝4+(﹣2t﹣2)2‎ ‎＝4(t+1)2+4‎ ‎∴AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质可知：‎ 当t＝﹣1时，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2‎ 当t＝2时，AB2取得最大值，AB2＝4×(2+1)2+4＝40，AB＝2，‎ 故答案为：2.‎ ‎【变式3】已知二次函数，当自变量满足时，y的最大值为a，最小值为b，则的值为________．‎ ‎【答案】9．‎ ‎【详解】‎ 二次函数，‎ 该函数图象开口向上，对称轴为直线，‎ 当自变量满足时，的最大值为，最小值为，‎ 当时，取得最大值，当时，函数取得最小值，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：9．‎ ‎【例2】已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）‎ ‎（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；‎ ‎（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．‎ ‎【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得：‎ ‎△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，‎ 解得：a≥；‎ ‎（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，‎ 当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5，‎ 故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；‎ ‎（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，‎ 函数在x＝m+2时，取得最小值，‎ ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；‎ ‎②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，‎ 函数在顶点处取得最小值，‎ 即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；‎ ‎③当m＞2时，‎ 函数在x＝m时，取得最小值，‎ ymin＝am2﹣4am+a+1；‎ 综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．‎ ‎【变式1】二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 二次函数y=-（x-1）2+5的大致图象如下：‎ ‎①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，‎ 解得：m=-2，m=2(舍去)．‎ 当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，‎ 解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；‎ ‎②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，‎ 解得：m=-2．‎ 当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，‎ 解得：n=2.5，‎ 或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值，‎ ‎2m=-（n-1）2+5，n=2.5，‎ ‎∴m=，‎ ‎∵m＜0，‎ ‎∴此种情形不合题意，‎ 所以m+n=-2+2.5=0.5．‎ 故选：B．‎ ‎【变式2】已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（    ）‎ A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，分类讨论： （1）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，有m＜1，此时y随x的增大而减小， ∴当x=m+1时，函数取得最小值，y最小值=m=（m+1）2-2（m+1）+2， 方程无解． （2）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1， 解这个不等式，即 0≤m≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1， ∴m=1． （3）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大， ∵当x=m时，函数取得最小值，y最小值=m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃） ∴m=1或2． 故选：C． ‎ ‎【变式3】在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线y=ax2+bx-3a（a<0）上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．‎ ‎（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）‎ ‎（2）若a=－1，当t－1≤x≤t时，函数y=ax2+bx-3a（a<0）的最大值为y1，最小值为y2‎ ‎，且y1-y2=2，求t的值；‎ ‎（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）或时，抛物线与线段有一个交点．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（-1，0），B（0，4）， 点A在抛物线y=ax2+bx-3a（a＜0）上， ∴b=-2a， ∴抛物线y=ax2+bx-3a=a（x-1）2-4a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-4a）． 故答案为：；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎②当时，即时，．‎ ‎∴．‎ ‎③当时，．‎ 解得，（舍去）．‎ ‎④当时，．‎ 解得，（舍去）．‎ ‎∴或．‎ ‎（3）①把代入抛物线，得．‎ ‎∵抛物线与线段只有一个公共点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎②当抛物线顶点在线段上时，则顶点坐标为．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴或时，抛物线与线段有一个交点．‎ ‎【例3】已知点A （1，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点．‎ ‎（1）用a的代数式表示b；‎ ‎（2）若1≤a≤2，求‎-‎b‎2a的范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设当1≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n（用a的代数式表示）．‎ ‎【解答】解：（1）把A （1，1）代入y＝ax2+bx+4得，1＝a+b+4，‎ ‎∴b＝﹣a﹣3；‎ ‎（2）∵b＝﹣3﹣a，‎ ‎∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x‎-‎a+3‎‎2a）2‎-a‎4‎-‎9‎‎4a+‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴对称轴为直线x‎=‎a+3‎‎2a，‎ ‎∵1≤a≤2，‎ ‎∴‎5‎‎4‎‎≤‎1‎‎2‎+‎3‎‎2a≤‎2，‎ ‎∴‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎2；‎ ‎（3）∵‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎2，1≤x≤2，‎ ‎∴当x‎=‎a+3‎‎2a时，n‎=-a‎4‎-‎9‎‎4a+‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∵抛物线开口向上，‎ ‎∴离对称轴越远，函数值越大，‎ ‎①当‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎‎3‎‎2‎时，x＝2函数值最大，‎ ‎∴m＝4a﹣2a﹣6+4＝2a﹣2，‎ ‎∴m﹣n＝2a‎+a‎4‎+‎9‎‎4a-‎9‎‎2‎=‎9a‎4‎+‎9‎‎4a-‎‎9‎‎2‎，‎ ‎②当‎3‎‎2‎‎＜-b‎2a≤‎2时，x＝1函数值最大，‎ ‎∴m＝a﹣a﹣3+4＝1，‎ ‎∴m﹣n═a‎4‎‎+‎9‎‎4a-‎‎3‎‎2‎．‎ ‎【变式1】已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（　　）‎ A．﹣19或 B．6或或－10 C．﹣19或6 D．6或或－19‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：∵二次函数，‎ ‎∴当时，即m＜-4，‎ ‎∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，‎ ‎∴当x=-2时，，得m=-19；‎ 当时，即-4≤m≤8时，‎ ‎∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，‎ ‎∴当时，，得（舍去），；‎ 当时，即m＞8，‎ ‎∵当-2≤x≤4时，y的最大值是15，‎ ‎∴当x=4时，，得（舍去）；‎ 综上可得，m的值是-19或6.‎ 故选：C．‎ ‎【变式2】当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）‎ A． B．或 C．2或 D．2或或 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为直线x=m，‎ ‎①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，‎ 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，‎ 解得m=，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；‎ ‎②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，‎ 此时，m2+1=4，‎ 解得m=﹣，m=（舍去）；‎ ‎③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，‎ 此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，‎ 解得m=2，‎ 综上所述，m的值为2或﹣．‎ 故选C．‎ ‎【变式3】已知，抛物线y=ax²-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)（x1

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