2010年湖北省十堰市中考数学试卷

2010年湖北省十堰市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2010•江津区）﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎ A、3 B、﹣3‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎﹣‎‎1‎‎3‎ 考点：绝对值。‎ 分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．‎ 解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．‎ 故选A．‎ 点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•十堰）下列运算中正确的是（　　）‎ ‎ A、a3a2=a6 B、（a3）4=a7‎ ‎ C、a6÷a3=a2 D、a5+a5=2a5‎ 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则计算即可．‎ 解答：解：A、应为a3a2=a3+2=a5，故本选项错误；‎ B、应为（a3）4=a3×4=a12，故本选项错误；‎ C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；‎ D、a5+a5=（1+1）a5=2a5，正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．‎ 需注意的是幂的乘方和同底数幂的乘法的区别：‎ 幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．‎ ‎3、（2010•十堰）据人民网5月20日电报道：中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米，相当于12个三峡水库2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、4.94766×1013 B、4.94766×1012‎ ‎ C、4.94766×1011 D、4.94766×1010‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．1亿=108．‎ 解答：解：4 947.66亿=4 947.66×108=4.947 66×1011．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|‎ ‎＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎4、（2010•十堰）若一个几何体的三视图如下图所示：则这个几何体是（　　）‎ ‎ A、三棱柱 B、四棱柱 ‎ C、五棱柱 D、长方体 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．‎ 解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．‎ 故选A．‎ 点评：主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．‎ ‎5、（2010•十堰）某电脑公司试销同一价位的品牌电脑，一周内销售情况如表所示：要了解哪种品牌最畅销，公司经理最关心的是上述数据中的（　　）‎ ‎ A、平均数 B、众数 ‎ C、中位数 D、方差 考点：统计量的选择。‎ 分析：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是对电脑品牌销售情况作调查，那么应该是看哪个品牌销售得多，故值得关注的是众数．‎ 解答：解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．‎ ‎6、（2010•十堰）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　）‎ ‎ A、50° B、60°‎ ‎ C、70° D、80°‎ 考点：旋转的性质。‎ 分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．‎ 解答：解：依题意旋转角∠A′CA=40°，‎ 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°﹣40°=50°，‎ 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．‎ 点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．‎ ‎7、（2010•十堰）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（　　）‎ ‎ A、12cm2 B、18cm2‎ ‎ C、24cm2 D、30cm2‎ 考点：梯形中位线定理。‎ 分析：过A作AG⊥BC，交EF与H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．‎ 解答：解：过A作AG⊥BC，交EF与H，‎ ‎∵EF是梯形ABCD的中位线，‎ ‎∴AD+BC=2EF，AG=2AH，‎ ‎∵△AEF的面积为6cm2，即‎1‎‎2‎EF•AH=6cm2，‎ ‎∴EF•AH=12cm2，‎ ‎∴S梯形ABCD=‎1‎‎2‎（AD+BC）•AG=‎1‎‎2‎×2EF×2AH=2EF•AH=2×12cm2=24cm2．‎ 故选C．‎ 点评：此题比较简单，考查的是梯形的中位线定理，即梯形的中位线等于上下底和的一半．‎ ‎8、（2010•十堰）下列命题中，正确命题的序号是（　　）‎ ‎①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ‎②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ‎③对角线相等的四边形是矩形 ‎④对角互补的四边形内接于圆 ‎ A、①② B、②③‎ ‎ C、③④ D、①④‎ 考点：命题与定理。‎ 分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．‎ 解答：解：①由平行四边形的判定定理知正确；‎ ‎②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；‎ ‎③对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；‎ ‎④对角互补的四边形内接于圆，正确．‎ 故选D．‎ 点评：此题综合考查平行四边形、菱形、矩形的判定及内接于圆的四边形的条件．‎ ‎9、（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=‎1‎x的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围为（　　）‎ ‎ A、﹣‎1‎‎2‎‎＜x＜0‎ B、0‎‎＜x＜‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎2‎‎＜x＜1‎ D、1‎‎＜x＜‎‎3‎‎2‎ 考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。‎ 分析：首先根据题意推断方程x3+x﹣1=0的实根是函数y=x2+1与y=‎1‎x的图象交点的横坐标，再利用两个图象在坐标系中的位置即可判定推断方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围．‎ 解答：解：依题意得方程x3+x﹣1=0的实根是函数y=x2+1与y=‎1‎x的图象交点的横坐标，‎ 这两个函数的图象如图所示，‎ ‎∴它们的交点在第一象限，‎ 当x=1时，y=x2+1=2，y=‎1‎x=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方；‎ 当x=‎1‎‎2‎时，y=x2+1=1‎1‎‎4‎，y=‎1‎x=2，此时反比例函数的图象在抛物线的上方；‎ ‎∴方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围为‎1‎‎2‎＜x＜1．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．‎ ‎10、（2010•十堰）如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：动点问题的函数图象。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：延长CE交AB于G，△AEG和△FEG都是直角三角形，运用勾股定理列出y与x的函数关系式即可判断出函数图象．‎ 解答：解：如右图所示，延长CE交AB于G．设AF=x，AE2﹣FE2=y；‎ ‎∵△AEG和△FEG都是直角三角形 ‎∴由勾股定理得：AE2=AG2+GE2，FE2=FG2+EG2∴AE2﹣FE2=AG2﹣FG2即y=22﹣（x﹣2）2=x2+4x 有函数关系式可以看出，C选项中的函数图象与之对应．‎ 故选C．‎ 点评：本题为几何与函数相结合的题型，同学们应注意运用勾股定理的重要性，它就是解决此题的关键．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11、（2010•十堰）分解因式：a2﹣4b2= ．‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 解答：解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．‎ 点评：本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．‎ ‎12、（2010•十堰）在函数y=x﹣2‎x﹣3‎中，自变量x的取值范围是 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：根据分式与根式有意义的条件可得‎&x﹣2≥0‎‎&x﹣3≠0‎，解可得答案．‎ 解答：解：根据题意，使函数有意义条件是：‎&x﹣2≥0‎‎&x﹣3≠0‎，‎ 解得：x≥2且x≠3；‎ 故答案为x≥2且x≠3．‎ 点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上有自变量时，还要考虑分母不等于零．‎ ‎13、（2010•十堰）如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3= 度．‎ 考点：平行线的性质；直角三角形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠3与∠4的和，再根据直角三角形两锐角互余求出∠4，∠3即可求得．‎ 解答：解：如图，∵l1∥l2，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，‎ ‎∵∠1=∠2=35°，‎ ‎∴∠3+∠4=110°，‎ ‎∵∠P=90°，∠2=35°，‎ ‎∴∠4=90°﹣35°=55°，‎ ‎∴∠3=110°﹣55°=55°．‎ 点评：本题主要利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质求解．‎ ‎14、（2010•十堰）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则点P关于原点O对称的点P′的坐标为 ．‎ 考点：关于原点对称的点的坐标。‎ 分析：根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进行解答．‎ 解答：解：根据关于原点对称的点的坐标特点，得 点P′的坐标为（﹣m，﹣n）．‎ 点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：‎ ‎（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；‎ ‎（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；‎ ‎（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．‎ ‎15、（2010•十堰）下图是根据某中学为地震灾区玉树捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，请根据统计图计算该校共捐款 元．‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：首先根据扇形统计图求得各年级的人数，再结合条形统计图求得共捐款数．‎ 解答：解：初一人数：3000×32%=960（人）；‎ 初二人数：3000×33%=990（人）；‎ 初三人数：3000×35%=1050（人）．‎ 该校共捐款数：960×15+990×13+1050×10=37770（元）．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．‎ 读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．‎ ‎16、（2010•十堰）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn+1的面积为Sn，通过逐一计算S1，S2，可得Sn= ．‎ 考点：等腰梯形的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：先求出一个小梯形的高和面积，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出四边形PnMnNnNn+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面积减上方的小三角形的面积即可．‎ 解答：解：如图，根据题意，小梯形中，‎ 过D作DE∥BC交AB于E，‎ ‎∵上底、两腰长皆为1，下底长为2，‎ ‎∴AE=2﹣1=1，‎ ‎∴△AED是等边三角形，‎ ‎∴高h=1×sin60°=‎3‎‎2‎，‎ S梯形=‎1‎‎2‎×（1+2）×‎3‎‎2‎=‎3‎‎4‎‎3‎，‎ 设四边形PnMnNnNn+1‎的上方的小三角形的高为x，‎ 根据小三角形与△AMnNn相似，ANn=2n，‎ ‎∴xh﹣x‎=‎‎1‎‎2n，‎ 解得x=h‎2n+1‎=‎1‎‎2n+1‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴Sn=S梯形﹣‎1‎‎2‎×1×‎‎1‎‎2n+1‎‎3‎‎2‎ ‎=‎3‎‎4‎‎3‎﹣‎1‎‎2n+1‎‎•‎‎3‎‎4‎．‎ 点评：解答本题关键在于看出四边形PnMnNnNn+1的面积等于一个小梯形的面积减掉它上方的小三角形的面积，而小三角形的面积可以利用相似三角形的性质求出，此题也就解决了．‎ 三、解答题（共9小题，满分72分）‎ ‎17、（2010•十堰）计算：‎‎（﹣2）‎‎3‎‎+∣﹣5∣﹣‎（‎3‎﹣2）‎‎0‎+2sin30°‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：由于负数的绝对值是它的相反数，任何不等于0的数的0次幂都等于1，sin30°=‎1‎‎2‎，分别利用这些结论即可求解．‎ 解答：解：原式=﹣8+5﹣1+2×‎1‎‎2‎=﹣3．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎18、（2010•十堰）先化简，再求值：‎（1﹣‎1‎x+1‎）÷‎1‎x‎2‎‎﹣1‎+（x﹣2）‎，其中x=‎‎6‎．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．‎ 解答：解：原式=xx+1‎‎•‎‎（x+1）（x﹣1）‎‎1‎+（x﹣2）（3分）‎ ‎=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）‎ 当x=‎6‎时，则原式的值为‎（‎6‎）‎‎2‎﹣2=4．（2分）‎ 点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．‎ ‎19、（2010•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE．‎ 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB=AC，所以两三角形全等．‎ 解答：证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，‎ ‎∴∠ADB=∠AEC=90°．‎ 在△ABD和△ACE中，‎&∠A=∠A‎&∠ADB=∠AEC‎&AB=AC，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（AAS）．‎ ‎∴BD=CE．‎ 点评：本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．‎ ‎20、（2010•十堰）某乡镇中学数学活动小组，为测量数学楼后面的山高AB，用了如下方法．如图所示，在教学楼底C处测得山顶A的仰角为60°，在教学楼顶D处，测得山顶A的俯角为45°．已知教学楼高CD=12米，求山高AB．（参考数据‎3‎=1.73‎2‎=1.41，精确到0.1米，化简后再代入参数数据运算）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：过D作AB的垂线，设垂足为E．在Rt△ABC中，可用AB表示出BC的长，进而可在Rt△ADE中，表示出AE的长；‎ 根据BE=AB﹣AE=12，即可求出山高AB的长度．‎ 解答：解：过D作DE⊥AB于E，则DE∥BC．‎ 设AB=h米．‎ 在Rt△ABC中，BC=h•cot60°=h•tan30°=‎3‎‎3‎h． （2分）‎ 在Rt△AED中，AE=DEtan45°=‎3‎‎3‎h． （2分）‎ 又AB﹣AE=BE=CD=12，‎ ‎∴h﹣‎3‎‎3‎h=12，（2分）‎ h=‎12‎‎1﹣‎‎3‎‎3‎=‎36‎‎3﹣‎‎3‎=‎‎36（3+‎3‎）‎‎6‎ ‎=18+6‎3‎=18+6×1.73‎ ‎=18+10.38≈28.4（米） （2分）‎ 答：山高AB是28.4米． （1分）‎ 点评：解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．‎ ‎21、（2010•十堰）暑假快到了，老家在十堰的大学生张明与王艳打算留在上海，为世博会做义工．虚心争取到6个义工名额，分别安排在中国馆园区3个名额，世博轴园区园区2个名额，演艺中心园区1个名额，学校把分别标号为1，2，3，4，5，6的六个质地大小均相同的小球，放在不透明的袋子里，并规定标号1，2，3，的中国馆，标号4，5的到世博轴，标号6的到演艺中心，让张明，王艳各摸1个．‎ ‎（1）求张明到中国馆做义工的概率；‎ ‎（2）求张明，王艳各自在世博轴，演艺中心做义工的概率（两人不同在一个园区内）．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：（1）列举出所有情况，看摸到标号1，2，3的情况占总情况的多少即可；‎ ‎（2）看两人同时摸到标号4，5，或只摸到6的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：（1）张明，王艳各摸一球可能出现的结果有6×5=30个，它们出现的结果可能性相等，张明到中国馆的结果有15个，∴张明到中国义工的概率P中国馆=‎15‎‎30‎=‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）张明，王艳在世博轴，演艺中心的结果共4个，其概率为P=‎4‎‎30‎=‎2‎‎15‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．注意本题是不放回实验．‎ ‎22、（2010•十堰）（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）连接OA，OB，当△AOB的面积为‎15‎‎2‎时，求直线AB的解析式．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：综合题；待定系数法。‎ 分析：（1）设出函数解析式，用待定系数法解答；‎ ‎（2）设出B点坐标，利用三角形的面积建立等式，列方程解答．‎ 解答：解：（1）设函数解析式为y=kx，‎ 将A（1，4）代入解析式得：k=1×4=4，‎ 所以函数解析式为y=‎4‎x．‎ ‎（2）作AD⊥BD．‎ 设B点坐标为（x，y），‎ 于是S△ABD﹣S四边形﹣S△AOE﹣S△BOF=S△AOB，‎ 所以（﹣x+1）（﹣y+4）×‎1‎‎2‎﹣[1×（﹣y）]﹣2﹣2=‎15‎‎2‎，整理得xy﹣4x+y=19，‎ 与y=‎4‎x著称方程组得：‎&xy﹣4x+y=19‎‎&y=4x，‎ 解得‎&x=﹣4‎‎&y=1‎．‎ 故B（﹣4，﹣1）．‎ 设一次函数解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入解析式得‎&k+b=4‎‎&﹣4k+b=﹣1‎，‎ 解得函数解析式为y=x+3．‎ 点评：‎ 此题涉及一次函数和反比例函数的性质、函数图象的交点坐标和函数解析式组成的方程组的解的关系、待定系数法求函数解析式等知识，是一道很好的综合题．‎ ‎23、（2010•十堰）如图所示，某地区对某种药品的需求量y1（万件），供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=﹣x+70，y2=2x﹣38，需求量为0时，即停止供应．当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．‎ ‎（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．‎ ‎（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？‎ ‎（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 分析：（1）令需求量与供应量相等，联立两函数关系式求解即可；‎ ‎（2）由图象可以看出，价格在稳定价格到需求量为0的价格这一范围内，需求量低于供应量；‎ ‎（3）通过对供应量和需求量相等时，需求量增至34+6（万件），对供应量的价格补贴a元，即x=x+a，联立两函数方程即可求解．‎ 解答：解：（1）由题意得‎&y‎1‎=﹣x+70‎‎&y‎2‎=2x﹣38‎ 当y1=y2是，即﹣x+70=2x﹣38‎ ‎∴3x=108，x=36‎ 当x=36时，y1=y2=34，所以该药品的稳定价格为36（元/件）稳定需求量为34（万件）．‎ ‎（2）令y1=0，得x=70，由图象可知，当药品每件价格在大于36小于70时，该药品的需求量低于供应量．‎ ‎（3）设政府对该药品每件补贴a元，则有‎&34+6=﹣x+70‎‎&34+6=2（x+a）﹣38‎解得‎&x=30‎‎&a=9‎ ‎∴政府部门对该药品每件应补贴9元．‎ 点评：此题为函数方程、函数图象与实际结合的题型，同学们要注意这方面的训练．‎ ‎24、（2010•十堰）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．‎ ‎（1）求证O2C⊥O1O2；‎ ‎（2）证明：AB•BC=2O2B•BO1；‎ ‎（3）如果AB•BC=12，O2C=4，求AO1的长．‎ 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：代数几何综合题。‎ 分析：（1）⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，可证O1A⊥AO2，又O2A=O2C，O1A=O1B可证O2C⊥O2B，故可证．‎ ‎（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，三角形相似，进而证明出结论．‎ ‎（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，三角形相似，列出比例式，进而求出AO1的长．‎ 解答：解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，‎ ‎∴O1A⊥AO2，‎ ‎∴∠O2AB+∠BAO1=90°，‎ 又O2A=O2C，O1A=O1B，‎ ‎∴∠O2CB=∠O2AB，‎ ‎∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1，‎ 又O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°‎ ‎∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2，‎ ‎（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD．‎ ‎∵BD是⊙O1直径，‎ ‎∴∠BAD=90°．‎ 又由（1）可知∠BO2C=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，‎ ‎∴△O2BC∽△ABD，‎ O‎2‎BAB‎=‎BCBD‎，‎ ‎∴AB•BC=O2B•BD又BD=2BO1，‎ ‎∴AB•BC=2O2B•BO1．‎ ‎（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，‎ ‎∴△AO2B∽△DO2A，‎ AO‎2‎DO‎2‎‎=‎O‎2‎BO‎2‎A‎，‎ ‎∴AO22=O2B•O2D，‎ ‎∵O2C=O2A，‎ ‎∴O2C2=O2B•O2D①，‎ 又由（2）AB•BC=O2B•BD②，‎ 由①﹣②得O2C2﹣AB•BC=O2B2即42﹣12=O1B2，‎ ‎∴O2B=2又O2B•BD=AB•BC=12，‎ ‎∴BD=6∴2AO1=BD=6，‎ ‎∴AO1=3．‎ 点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，此题比较繁琐，做题时应该细心．‎ ‎25、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；‎ ‎（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 专题：计算题；证明题；压轴题。‎ 分析：（1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根；‎ ‎（2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2，则两交点之间距离为|x1﹣x2|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式；‎ ‎（3）分三种情况：只与抛物线y1有两个交点，只与抛物线y2有两个交点，直线过抛物线y1、y2的交点，观察图象，分别求出b的取值范围．‎ 解答：解：（1）分两种情况讨论．‎ ‎①当m=0时，方程为x﹣2=0，‎ ‎∴x=2方程有实数根．‎ ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）‎ ‎=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1‎ ‎=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，‎ ‎△≥0成立，‎ ‎∴方程恒有实数根．‎ 综合①②可知，m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根；‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2与x轴交点的横坐标，‎ 则x1+x2=‎3m﹣1‎m，x1x2=‎2m﹣2‎m．‎ 由|x1﹣x2|=‎‎（x‎1‎+x‎2‎）‎‎2‎‎﹣4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎‎（‎3﹣mm）‎‎2‎‎﹣‎‎4（2m﹣2）‎m ‎=‎‎（m+1）‎‎2‎m‎2‎ ‎=|m+1‎m|．‎ 由|x1﹣x2|=2，得|m+1‎m|=2，‎ ‎∴m+1‎m=2或m+1‎m=﹣2．‎ ‎∴m=1或m=﹣‎1‎‎3‎．‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y1=x2﹣2x，‎ y2=﹣‎1‎‎3‎（x﹣2）（x﹣4）．‎ 其图象如右图所示：‎ ‎（3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线 y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围．‎ ‎&y‎1‎=x‎2‎﹣2x‎&y=x+b‎，‎ 当y1=y时，得x2﹣3x﹣b=0，有△=9+4b=0得b=﹣‎9‎‎4‎．‎ 同理‎&y‎2‎=﹣‎1‎‎3‎x‎2‎+2x﹣‎‎8‎‎3‎‎&y=x+b，△=9﹣4（8+3b）=0，得b=﹣‎23‎‎12‎．‎ 观察图象可知，‎ 当b＜﹣‎9‎‎4‎，或b＞﹣‎23‎‎12‎直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点；‎ 由‎&y‎1‎=﹣2x‎&y‎2‎=﹣‎1‎‎3‎（x﹣2）（x﹣4）‎，‎ 当y1=y2时，有x=2或x=1．‎ 当x=1时，y=﹣1．‎ 所以过两抛物线交点（1，﹣1），（2，0）的直线为y=x﹣2．‎ 综上所述可知：当b＜﹣‎9‎‎4‎或b＞﹣‎23‎‎12‎或b=﹣2时，‎ 直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．‎ 点评：本题具有较强的综合性，考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lanchong；lzhzkkxx；zhjh；Linaliu；shenzigang；MMCH；HJJ；xinruozai；CJX；张伟东；bjy；zhangCF；wangcen；huangling；kuaile；zhangchao；hbxglhl；lanyuemeng；tiankong；mama258。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日