中考数学专题复习解直角三角形的实际应用专题卷训练（pdf，含解析）

中考数学专题复习解直角三角形的实际应用专题卷训练（pdf，含解析）

2020 年中考数学解直角三角形的实际应用专题卷训练 1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小 组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱 BC 和塔冠 BE)进行了测量. 如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121 m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37°，从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5 m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45°.请你求出塔冠 BE 的高度.(结果精确到 0.1 m， 参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 2 ≈1.41) 解:在 Rt△ACB 中，AC=121，∠A=37°， ∴tanA= u u = u 121 ≈0.75，∴BC≈90.75， 由题知 AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5. 在 Rt△DCE 中，∠EDC=45°， ∴tan∠EDC= u ut =1，∴EC=97.5， ∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8. 答:塔冠 BE 的高度约为 6.8 m. 2.[2019·衡阳] 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先 在坡面 D 处测得楼房顶部 A 的仰角为 30°，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然 后向楼房方向继续行走 10 米到达 E 处，测得楼房顶部 A 的仰角为 60°，已 知坡面 CD=10 米，山坡的坡度 i=1∶ 3 (坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽 度的比)，求楼房 AB 高度.(结果精确到 0.1 米)(参考数据: 3 ≈1.73， 2 ≈1.41) 解:过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，交 AE 于点 F.作 DG⊥BC 于点 G，则 DG=BH， DH=GB. 设楼房 AB 的高为 x 米，则 EB= 3 3 x 米， ∵坡度 i=1∶ 3 ，CD=10 米， ∴坡面 CD 的铅直高度 DG 为 5 米，坡面的水平宽度 CG 为 5 3 米， 在 Rt△ADH 中，tan∠ADH= t tt ， ∴DH= 3 (x-5). ∴5 3 +10+ 3 3 x= 3 (x-5)， 解得 x=15+5 3 ≈23.7(米). 所以楼房 AB 的高度约为 23.7 米. 3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图 3① 是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 AB， CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15 cm. (1)求坐垫 E 到地面的距离. (2)根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒 适.小明的腿长约为 80 cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E'，求 EE' 的长. ( 结 果 精 确 到 0.1 cm ， 参 考 数 据 :sin64°≈0.90 ， cos64°≈0.44 ， tan64°≈2.05) 解:(1)如图①，过点 E 作 EM⊥CD 于点 M， 由题意知∠BCM=64°， EC=BC+BE=60+15=75(cm)， ∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)， 故坐垫 E 到地面的距离为 67.5+32=99.5(cm). (2)如图②所示，过点 E'作 E'H⊥CD 于点 H， 由题意知 E'H=80×0.8=64(cm)， 则 E'C= ' t sin∠ut = 64 sin64 °≈71.1(cm)， ∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm). |类型 2| 两直角三角形在高线异侧 4.[2019·铜仁]如图，A，B 两个小岛相距 10 km，一架直升机由 B 岛飞往 A 岛， 其飞行高度一直保持在海平面以上的 h km，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测 得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45°和 60°，已知 A，B，P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h.(结果取整数， 3 ≈1.732) 解:由题意得，∠PAB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km， 在 Rt△APM 和 Rt△BPM 中，tan∠PAM= 㐹 = 3 ，tan∠PBM= 㐹 =1， ∴AM= 3 = 3 3 h，BM=h. ∵AM+BM=AB=10，即 3 3 h+h=10， 解得 h=15-5 3 ≈6. 答:h 约为 6 km. 5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码 头 A 的北偏西 60°方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方 向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里. (1)填空:∠BAC= ，∠C= ； (2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP.(结果保留根号) 解:(1)30° 45° (2)设 BP=x 海里. 由题意，得 BP⊥AC，则∠BPC=∠BPA=90°. ∵∠C=45°， ∴∠CBP=∠C=45°，则 CP=BP=x. 在 Rt△ABP 中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°. ∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP= 3 x， ∴ 3 x+x=10，解得 x=5 3 -5， 则 BP=5 3 -5. 答:观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3 -5)海里. 6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真 空集热管 DE 与支架 CB 所在直线相交于点 O，且 OB=OE；支架 BC 与水平 线 AD 垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架 AB 与水平 线 夹 角 ∠ BAD=65° ， 求 OB 的 长 度 .( 结 果 精 确 到 1 cm ； 温 馨 提 示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 解:设 OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x. ∵∠ADE=30°，∴OC= 1 2 OD=95+x， ∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x. ∵tan∠BAD= u u ，∴2.14≈ 95 - 40 ， 解得:x≈9， ∴2x=18，即 OB 的长度约为 18 cm. |类型 3| 其他类型 7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛 C，D，某渔船在海中的 A 处测得小岛 D 位于东北方向上，且相距 20 2 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达 点 B 处，此时测得小岛 C 恰好在点 B 的正北方向上，且相距 50 n mile，又 测得点 B 与小岛 D 相距 20 5 n mile. (1)求 sin∠ABD 的值； (2)求小岛 C，D 之间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 解:(1)过 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△AED 中，AD=20 2 ，∠DAE=45°， ∴DE=20 2 ×sin45°=20. 在 Rt△BED 中，BD=20 5 ， ∴sin∠ABD= t t = 20 20 5 = 5 5 . (2)过 D 作 DF⊥BC 于 F， 在 Rt△BED 中，DE=20，BD=20 5 ， ∴BE= t 2 - t 2 =40. 易知四边形 BFDE 是矩形， ∴DF=EB=40，BF=DE=20， ∴CF=BC-BF=30. 在 Rt△CDF 中，CD= t 2 + u 2 =50， ∴小岛 C，D 之间的距离为 50 n mile. 8.[2019·镇江]在三角形纸片 ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用 5 张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②). (1)∠ABC= °； (2)求正五边形 GHMNC 的边 GC 的长. (参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7) ① ② 解:(1)30 [解析]∵五边形 ABDEF 是正五边形， ∴∠ABD=( 5 - 2 ) ×180 ° 5 =108°， ∠DBG=∠BAC=78°， ∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°， 故答案为:30. (2)作 CQ⊥AB 于 Q， 在 Rt△AQC 中， sin∠QAC= u u ， ∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8. 在 Rt△BQC 中，∠ABC=30°， ∴BC=2QC=19.6， ∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6. 9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车 货厢的示意图.已知汽车货厢高度 BG=2 米，货厢底面距地面的高度 BH=0.6 米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为 2 米，高(EF)和宽都是 1.6 米.通过计算判断:当 sinα= 3 5 ，木箱底部顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，木箱 上部顶点 E 会不会触碰到汽车货厢顶部. 解:∵BH=0.6，sinα= 3 5 ，∴AB= t sin = 0 . 6 3 5 =1， ∴AH=0.8. ∵AF=FC=2，∴BF=1， 作 FQ⊥BG 于点 Q，作 EP⊥FQ 于点 P， ∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH， ∴△EFP∽△ABH，△FBQ≌△ABH， ∴ t t = ，BQ=BH=0.6，即 t 0 . 8 = 1 . 6 1 ， ∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2 米， ∴木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货厢顶部.