2013山东菏泽中考数学试题

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2013山东菏泽中考数学试题

菏泽市二〇一三年初中学业水平考试 数学试题 注意事项: 1.本试题分为选择题和非选择题两部分,其中选择题 24 分,非选择题 96 分,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.用黑色、蓝色水笔或圆珠笔答卷,答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3.请将选择题的正确答案代号(ABCD)填写在相应的“答题栏”内,将非选择题的答案直接答在试卷上. 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中,只有 一项是正确的,请把正确的选项选出来并填在第三页该题相应的答题栏内. 1.(2013 山东菏泽,1,3 分)如果 a 的倒数是-1,那么 a2013 等于 A.1 B.-1 C.2013 D.-2013 【答案】B. 2.(2013 山东菏泽,2,3 分)如图,把一个长方形的纸片按图示对折两次,然后剪下一部分,为了得到一 个钝角为 120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为 A.15°或 30° B.30°或 45° C.45°或 60° D.30°或 60° 【答案】D. 3.(2013 山东菏泽,3,3 分)下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是 A. B. C. D. 【答案】C. 4.(2013 山东菏泽,4,3 分)在我市举行的中学生春季田径运动会上,参加男子跳高的 15 名运动员的成绩 如下表所示: 成绩(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高的中位数和众数分别是 A.1.70,1.65 B.1.70,1.70 C.1.65,1.70 D.3,4 【答案】A. 5.(2013 山东菏泽,5,3 分)如图,数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c,其中 AB=BC,如 果|a|>|c|>|b|,那么该数轴的原点 O 的位置应该在 A.点 A 的左边 B.点 A 与点 B 之间 C.点 B 与点 C 之间 D.点 C 的右边 cba A B C 【答案】C. 6.(2013 山东菏泽,6,3 分)一条直线 y=kx+b 其中 k+b=-5、kb=6,那么该直线经过 A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、三、四象限 【答案】D. 7.(2013 山东菏泽,7,3 分)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别 为 S1、S2,则 S1+S2 的值为 A.16 B.17 C.18 D.19 S2 S1 【答案】B. 8.(2013 山东菏泽,8,3 分)已知 b<0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列四个图像之一. x y -1 1O x y 1-1 O x y O x y O 试根据图象分析,a 的值应等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C. 二、填空题:本大题共同 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 3 分. 9.(2013 山东菏泽,9,3 分)明明同学在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结 果个数约为 4680000,这个数用科学记数法表示为__________. 【答案】4.68×106. 10.(2013 山东菏泽,10,3 分)在半径为 5 的圆中,30°的圆心角所对弧的弧长为__________(结果保留 π). 【答案】 5 3 . 11.(2013 山东菏泽,11,3 分)分解因式:3a2-12ab+12b2=__________. 【答案】3(a-2b)2. 12.(2013 山东菏泽,12,3 分)我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形 的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已 知等边三角形的边长为 2,则它的“面径”长可以是__________(写出 1 个即可). 【答案】 3 . 13.(2013 山东菏泽,13,3 分)如图,□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,  AEB=45°,BD=2, 将∆ABC 沿 AC 所在直线翻折 180°到其原来所在的同一平面内,若点 B 的落点记为 B',则 DB'的长为 _________. B' A C E A C E B D D B 【答案】 2 . 14.(2013 山东菏泽,14,3 分)如图所示,在∆ABC 中,BC=6,E、F 分别是 AB、AC 的中点,动点 P 在 射线 EF 上,BP 交 CE 于 D,  CBP 的平分线交 CE 于 Q,当 CQ= 1 3 CE 时,EP+BP=______. QD FE B C A P 【答案】12. 三、解答题:本大题共 7 个小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(2013 山东菏泽,15,12 分) (1)计算:2-1-3tan30°+( 2 -1)0+ 12 +cos60° (2)解不等式 3 -1 5 1 1 242 xx x x   ( ) ≥ ,并指出它的所有的非负整数解 【答案】(1)原式= 1 3 13 1 2 32 3 2     = 23 . (2)解3 -1 5 1xx( ) 得 x>-2;解 1 242 x x ≥ 得 x≤ 7 3 , ∴-2<x≤ 7 3 , ∴不等式的所有的非负整数解为 0,1,2. 16.(2013 山东菏泽,16,12 分) (1)如图,在∆ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,D 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 边上,且 BE=BD, 连结 AE、DE、DC. ①求证:∆ABE≌∆CBD; ②若∠CAE=30°,求∠BDC 的度数. D E A B C (2)为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、 乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:信息一: 甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天;信息二:乙工厂每天加工的 数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍.根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品. 【答案】(1)①证明:∵∠ABC=90°, ∴∠DBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°, ∴∠ABE=∠CBD. 在△ABE 和△CBD 中, ∵ AB CB ABE CBD EB DB       , ∴△ABE≌△CBD ②解:∵AB=CB,∠ABC=90°, ∴△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠ECA=45°. ∵∠CAE=30°,∠BEA=∠ECA+∠EAC, ∴∠BEA=45°+30°=75°. 由①知∠BDC=∠BEA ∴∠BDC=75°. (2)解:设甲工厂每天加工 x 件新产品,则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品. 依题意列方程得:1200 1200 101.5xx, 解得:x=40, 经检验,x=40 是原方程的解, ∴1.5x=1.5×40=60. 答:甲、乙两个工厂每天分别能加工 40 件和 60 件新产品. 17.(2013 山东菏泽,17,14 分) (1)已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个实数根,求代数式(m2-m)(m- 2 m +1)的值. (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-x 的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于 A、B 两点. ①根据图像求 k 的值; ②点 P 在 y 轴上,且满足以点 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形,试写出点 P 所有可能的坐标. x B A y -1 O 【答案】(1)解:方法 1:∵m 是方程 x2-x-2=0 的一个实数根, ∴m2-m-2=0, ∴m2-m=2,m2=m+2. ∴原式= 2 22 mm m    = 222 mm m     = 22 m m   =2×2=4. 方法 2:解 x2-x-2=0 得:x1=-1,x2=2, ∴m=-1 或 m=2. 当 m=-1 时,把 m=-1 代入(m2-m)(m- 2 m +1)=4; 当 m=2 时,把 m=2 代入(m2-m)(m- 2 m +1)=4, ∴原式的值为 4. (2)解:①由图象知点 A 的横坐标为-1, ∵点 A 在一次函数 y=-x 的图象上, ∴点 A 的纵坐标 y=-(-1)=1. 又∵点 A 在反比例函数 y= k x 的图象上, ∴1= 1 k  , ∴k=-1. ②点 P 所有可能的坐标为 P1(0,2),P2(0,-2),P3(0, 2 ),P4(0,- 2 ). x B A y -1 P4 P3 P2 P1 O 18.(2013 山东菏泽,18,10 分)如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上一点.过点 C 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 D,取 CD 的中点 E,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P. (1)求证:AP 是⊙O 的切线; (2)若 OC=CP,AB=6,求 CD 的长. E D O C PB A 【答案】(1)证明:如图,连结 AC、AO. ∵BC 是⊙O 的直径, ∴AB⊥AC, ∴△ACD 是直角三角形, ∵点 E 是 CD 中点, ∴AE=CE, ∴∠EAC=∠ECA. ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC. ∵CD 是⊙O 切线, ∴∠DCB=90°, ∴∠ECA+∠OCA=90°, ∴∠EAC+∠OAC=∠OAP=90°, ∴AP 是⊙O 的切线. E D O C PB A (2)解:由(1)知△AOP 是直角三角形, ∵OC=CP, ∴OC=AC, ∵OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∠ACD=90°-∠ACB=90°-60°=30°. 在 Rt△ABC 中,∵AB=6, ∴AC= 6 23tan 60 3 AB  , 在 Rt△ACD 中, CD= 23 4cos30 3 2 AC  . 19.(2013 山东菏泽,19,10 分)“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题.某小区为了改善生态环境,促 进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为三类:厨余、可回收和其他,分别记为 a、b、c,并且设置了 相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为 A、B、C. (1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率; (2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 1000 吨生活垃圾,数据 统计如下(单位:吨): A B C a 400 100 100 b 30 240 30 c 20 20 60 试估计“厨余垃圾....”投放正确的概率. 【答案】解:(1)树状图如下: 由树状图可知垃圾投放正确的概率为 31=93 ; (2)“厨余垃圾”投放正确的概率为 400 2=400+100+100 3 . 20.(2013 山东菏泽,20,10 分)已知:关于 x 的一元二次方程 kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k 是整数). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2),设 y=x2-x1-2,判断 y 是否为变量 k 的函数?如果 是,请写出函数表达式;若不是,请说明理由. 【答案】解:(1)证明:⊿=(4k+1)2-4k(3k+3)=(2k-1)2, ∵k 是整数, ∴k≠ 1 2 ,2k-1≠0, ∴⊿=(2k-1)2>0, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)解方程得:    24 1 2 1 2 kk x k     , ∴x=3 或 x=1+ 1 k . ∵k 是整数, ∴ 1 k ≤1,1+ 1 k ≤2<3, 又∵x1<x2, ∴x1=1+ 1 k ,x2=3, ∴y=3-(1+ 1 k )-2=- 1 k , ∴y 是 k 的函数. 21.(2013 山东菏泽,21,10 分)如图,三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点 A、C 分别是一次函 数 y=- 3 4 x+3 的图像与 y 轴、x 轴的交点,点 B 在二次函数 y= 1 8 x2+bx+c 的图像上,且该二次函数 图像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形. (1)试求 b,c 的值、并写出该二次函数表达式; (2)动点 P 从 A 到 D,同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动,问: A B a C A B b C A B c C ①当 P 运动到何处时,有 PQ⊥AC? ②当 P 运动到何处时,四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少? O D CB A x y 【答案】解:(1)由 y=- 3 4 x+3, 令 x=0,得 y=3.∴点 A(0,3); 令 y=0,得 x=4.∴点 C(4,0). ∵△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形, ∴点 B 坐标为(-4,0). ∵平行四边形 ABCD, ∴点 D 坐标为(8,3). 将 B(-4,0)、D(8,3)代入二次函数 y= 1 8 x2+bx+c, 得 b=- 1 4 ,c=-3, ∴该二次函数的表达式为 y= 1 8 x2- 1 4 x-3. (2)①设点 P 运动了 t 秒时有 PQ⊥AC,此时 AP=t,CQ=t,AQ=5-t. ∵PQ⊥AC, ∴△APQ∽△CAO, ∴ 5 54 tt ,解得 t= 25 9 , 即当点 P 运动到与点 A 的距离为 25 9 个单位长度时,有 PQ⊥AC. ②∵S 四边形 PDCQ+S△APQ=S△ACD,S△ACD= 1 2 ×8×3=12, ∴当△APQ 的面积最大时,四边形 PDCQ 的面积最小, 当动点 P 运动 t 秒时 AP=t,CQ=t,AQ=5-t. 设△APQ 底边 AP 上的高为 h, 作 QH⊥AD 于 H,由△AQH∽△CAO 可得: (也可由∠HAQ=∠OCA sin∠HAQ=sin∠OCA 得到) 5 35 ht , 整理得:  3 55ht, ∴S△APQ=  13525tt   23 5 15 10 2 8t    , ∴当 t= 5 2 时,S△APQ 达到最大值 15 8 ,此时 S 四边形 PDCQ=12- 15 8 = 81 8 . 综上,当点 P 运动到距 A 点 5 2 个单位长度处时,四边形 PDCQ 面积最小,最小值为 81 8 . P O Q D CB A x y
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