2009中考数学分类汇编-矩形、菱形、正方形

2009中考数学分类汇编-矩形、菱形、正方形

‎19．矩形、菱形、正方形 一、选择题 ‎1.（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中 点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎5cm D．‎‎6cm N M F E D C B A ‎2.．（2009年山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ m n n n ‎（2）‎ ‎（1）‎ ‎3.（2009 黑龙江大兴安岭）在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：①；②；③ ‎ ‎；④，正确的 （ ）‎ A．②③ B．③④ ‎ C．①②④ D．②③④ ‎ B A C D ‎4．(2009年河北)如图1，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC等于（ ）‎ ‎ A．20 B．15‎ ‎ C．10 D．5‎ ‎5.（2009年兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6.（2009年济南）如图，矩形中，过对角线交点作交于 则的长是（ ）‎ A．1.6 B．‎2.5 C．3 D．3.4‎ ‎ ‎ ‎7.（2009年凉山州）如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）‎ A． C D A B E B． ‎ C． D．‎ ‎8.（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎9.（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为‎20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确 的个数为（ ）‎ ‎ ①DE=‎3cm； ②EB=‎1cm； ③．‎ ‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 A B C D E ‎10.（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．2‎ A′‎ G D B C A ‎11．（2009年广西南宁）如图2，将一个长为‎10cm，宽为‎8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ A B C D 图2‎ ‎12.（2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D B C A N M O ‎13．（2009桂林百色）如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放 A B C Q R M D 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿 图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个 过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ‎（ ）．‎ A．2 B． C． D．‎ ‎14．（2009河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎15.（2009年杭州市）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）‎ A．35° B．45° C．50° D．55°‎ A D E P C B F ‎16.(2009年义乌)如图，一块砖的外侧面积为，那么图中残留部分墙面的面积为 A． A． A． A．‎ ‎17.（2009年台湾） 如图(八)，长方形ABCD中，E点在上，且平分ÐBAC。‎ A B C E D ‎ 若=4，=15，则rAEC面积为何？‎ ‎ (A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。‎ ‎18. （2009年台湾）图(十二)中，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、‎ ‎ 丁四个矩形，其中P在上，且：=：=4：3。‎ A B P D C 甲 乙 丙 丁 ‎ ‎ 下列对于矩形是否相似的判断，何者正确？‎ ‎ (A) 甲、乙不相似 (B) 甲、丁不相似 (C) 丙、乙相似 ‎ (D) 丙、丁相似。‎ ‎19.（2009年滨州）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）‎ A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形 ‎【关键词】矩形的判定.‎ ‎【答案】A ‎20.（2009仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．‎ A、 B、‎2 C、3 D、‎ ‎21.（2009年桂林市、百色市）如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿 A B C Q R M D 图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个 过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ‎（ ）．‎ A．2 B． C． D．‎ ‎22.（2009年郴州市）如图2是一张矩形纸片ABCD，AD=‎10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=‎6cm，则CD=（　　）‎ A．‎4cm B．‎6cm C．‎8cm D．‎‎10cm x y O C B A ‎23.（2009年长春）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎24．（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形 ‎25．（2009年甘肃庆阳）如图4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎26.（2009年烟台市）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）‎ A．‎73cm B．‎74cm C．‎75cm D．‎‎76cm ‎80cm ‎①‎ ‎70cm ‎②‎ ‎27.（2009泰安）如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎28.（2009年湘西自治州）13．在下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．两条对角线相等的四边形是矩形 ‎ B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎29．（2009年南宁市）如图2，将一个长为‎10cm，宽为‎8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎30. （2009年重庆市江津区）如图：在菱形ABCD中，AC＝6, BD＝8,则菱形的边长为（ ）‎ A. 5 B. ‎10 ‎‎ C. 6 D.8‎ ‎31.（2009年包头）下列图形中，既是图形的有（）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎32.（2009年长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎ C． D．‎ O D C A B ‎33.（2009年莆田）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）‎ Q P R M N ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎4‎ ‎9‎ y x O ‎ A．处 B．处 C．处 D．处 ‎34．（09湖北宜昌）如图1，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．‎ 基本图案 图‎1 A． B． C． D．‎ ‎35．（2009年漳州）如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎36. （2009年赤峰市）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是 （ ）‎ ‎ A、三角形 B、平行四边形 C、矩形 D、正方形 A B D C E ‎37．（2009四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =D A．1:3 B．3:‎8 C．8:27 D．7:25‎ A B C D E ‎38．（2009四川绵阳）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形a " ，剪口与折痕所成的角a 的度数应为 A．15°或30° B．30°或‎45° ‎C．45°或60° D．30°或60° ‎39．（2009眉山）下列命题中正确的是( )‎ A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形是轴对称图形 D．等腰梯形的对角线相等 ‎40．（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ） ‎ ‎（A） 70° （B） 65° （C） 50° （D） 25° ‎ E D B C′‎ F C D′‎ A ‎41.(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） ‎ A． B． C．3 D．‎ A D E P B C 二．填空 ‎1.（2009年湘西自治州）长方形一条边长为‎3cm，面积为‎12cm2，则该长方形另一条边长为 cm．‎ ‎2．（2009白银市）如图6，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．‎ ‎3．（2009泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 。‎ ‎4.（2009江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离则 度．‎ ‎1‎ A B C ‎5. （2009年烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．‎ ‎6.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 ．‎ ‎【关键词】矩形、正方形、菱形的性质及判定 ‎【答案】正方形（对角线互相垂直的四边形均可）‎ ‎7.(2009年牡丹江市)矩形中，对角线、交于点，于若则 ．‎ ‎8．（2009年甘肃白银）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．‎ ‎ ‎ ‎9．（2009年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为‎10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积 ‎= cm2．‎ ‎10．（2009年长春）如图，，矩形的顶点在直线上，则 度．‎ D A B C m l ‎65°‎ ‎11．（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．‎ A B C D E F ‎12. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．‎ ‎（1）线段的长是 ，‎ 的度数是 ；‎ ‎（2）连结，求证：四边形是平行四边形；‎ ‎（3）求四边形的面积．‎ ‎13．（09湖北宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 ．‎ ‎14.（2009年莆田）如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ‎ ‎，使得该菱形为正方形．答案：或或等A B C D D C B A O O ‎15.(2009年上海市)17．在四边形中，对角线与互相平分，交点为．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．‎ ‎16. （2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）‎ ‎17.(2009年安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为‎1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走‎2009米停下，则这个微型机器人停在______点。‎ ‎18.(2009成都)如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____．‎ ‎ ‎ ‎19. (2009年安顺)若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度。‎ ‎20.（2009湖北省荆门市）如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．‎ ‎21.（2009年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．‎ ‎22．矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 平方单位．‎ ‎23、(2009年鄂州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC已知BC＝CD＝AC＝2，AB＝，则BD的长为________.‎ ‎25．（2009年崇左）如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为 ． ‎ D C E B A ‎27．(2009年甘肃定西)如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．‎ ‎28. (2009年本溪)如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ．3‎ ‎【关键词】菱形的周长 ‎【答案】3‎ O B A H C C ‎31．（2009年牡丹江）矩形中，对角线、交于点，于若则 ．‎ ‎33．（2009 年佛山市）正方形有　　　　　　　条对称轴．‎ ‎34．（2009年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．‎ A D C B E ‎35．（2009年湖北十堰市） 的平行四边形是是菱形（只填一个条件）．‎ ‎36．（2009年漳州）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．‎ ‎37．（2009年哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．‎ ‎38．(2009年温州)如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是 ‎ ‎39．（2009临沂）如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．‎ D C B A E P ‎41．（2009年赤峰市）菱形的对角线长分别是‎16cm、‎12cm，周长是 。‎ ‎42.（2009贺州）如图，正方形ABCD的边长为‎1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．‎ B C E A D F ‎43.（2009青海）如图3，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，‎ A D C B 图3‎ O 需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．‎ ‎44.（2009辽宁朝阳）已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为______________．‎ ‎45.(2009年梅州市)如图4，把一个长方形纸片沿折叠后，点 分别落在的位置．若，则等于_______度．‎A E D C F B D1‎ C1‎ 图4‎ 三．解答题 ‎1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. ‎ ‎(1) 求证：DE－BF = EF．‎ ‎(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． ‎ ‎(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．‎ A D G C B F E ‎2．（2009年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．‎ ‎3．（2009 年佛山市）如图，在正方形中，．若，求的长．‎ D F C B E A ‎4．（2009 年佛山市）（1）列式：与的差不小于；‎ ‎（2）若（1）中的（单位：）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加，‎ 则正方形的面积至少增加多少？‎ ‎5.（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.‎ ‎（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.‎ ‎（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.‎ ‎6. (2009年达州)如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.‎ ‎7．（2009年中山）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．‎ ‎（1）求矩形的面积；‎ ‎（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．‎ ‎8．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． ‎ O D C B A ‎（1）求证：△ABD是正三角形； ‎ ‎（2）求 AC的长（结果可保留根号）． ‎ ‎9．（2009肇庆）如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． ‎ A D E F C G B ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：．‎ ‎10．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；‎ ‎11.（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．‎ ‎（1）求证：AD＝CE；‎ ‎（2）填空：四边形ADCE的形状是 ★ ．‎ ‎12. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.‎ ‎（1）求证：AM=DM；‎ ‎（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．‎ ‎13．（2009年日照市）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎14.（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.‎ ‎ (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；‎ ‎ ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；‎ ‎ (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．‎ ‎16．（2009年孝感） 三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．‎ 请回答：‎ ‎（1）牧童B的划分方案中，牧童 ▲ （填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（3分）‎ ‎（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）‎ ‎17.（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE. ‎（1）求证：△ABE≌△ACE ‎（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是 菱形？并说明理由. ‎18.（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图7放置，，求证：四边形为菱形．‎ C D E M A B F N ‎20. （2009山西省太原市）如图，是边上一点，．‎ ‎（1）在图中作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）在（1）中，过点画的垂线，垂足为点，交于点，连接，将图形补充完整，并证明四边形是菱形．‎ A O E N M ‎21. （2009山西省太原市）‎ 问题解决 图（1）‎ A B C D E F M N 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 图（2）‎ N A B C D E F M ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ ‎22. （2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎ （1）求证：四边形是菱形；‎ ‎ （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？‎ A D F C E G B ‎24. (2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。‎ （1） 求证：BD=CD；‎ （2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。‎ ‎（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求的值．‎ ‎25.（2009年北京市）阅读下列材料：‎ 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：‎ ‎（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；‎ ‎（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. ‎ ‎26. （2009年北京市）在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段 EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.‎ ‎29．（2009年安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．‎ ‎60°‎ ‎……‎ d L 第19题图 ‎（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；‎ ‎（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎30.（2009年安徽）．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 能拼成一个矩形（非正方形）．‎ ‎（1）画出拼成的矩形的简图；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎31.（2009年郴州市）如图9，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．‎ D C E B A ‎ ‎ ‎32.(2009年陕西省)‎ 问题探究 ‎（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．‎ ‎（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．‎ 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．‎ ‎33.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求的值．‎ D A B C E F ‎34.（2009威海）如图1，在正方形中，分别为边上的点，，连接交点为．‎ ‎（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；‎ ‎1）‎ D C B A O H G F E E B A D C G F H ‎）‎ ‎（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为3cm，，则图3中阴影部分的面积为_________．‎ ‎35.（2009年贵州省黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。‎ ‎（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。‎ ‎（2）求h的值。‎ ‎36.（2009年江苏省）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．‎ A D C F E B ‎（1）与有何等量关系？请说明理由；‎ ‎（2）当时，求证：是矩形．‎ ‎37.（2009年浙江省绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形中，点在边上，连，，则点为直角点．‎ ‎（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；‎ ‎（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求 的长．‎ ‎ ‎ ‎38．（2009年广西南宁）如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.‎ ‎（1）求∶的值；‎ ‎（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；‎ ‎（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ 图13-1‎ A D C B E 图13-2‎ B C E D A F P F ‎39.（2009年清远）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．‎ 求证：‎ E B C G D F A ‎40.（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．‎ 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．‎ A C B D P Q ‎42.（2009年广州市）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。‎ ‎（1）若AG=AE，证明：AF=AH；‎ ‎（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；‎ ‎（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。‎ ‎44.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.‎ O A B C M N ‎（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 ‎ 旋转的度数；‎ ‎（3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.‎ ‎45.（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．‎ ‎ （1）求证：DA⊥AE；‎ ‎ （2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．‎ A B C D E F ‎ ‎ ‎46．(2009年南充)如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．‎ 求证：．‎ D C B A E F G ‎48．(2009年湖州)如图：已知在中，‎ ‎，为边的中点，过点作，‎ 垂足分别为.‎ （1） 求证：；‎ ‎（2）若，求证：四边形是正方形. ‎ D C B E A F ‎49．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ ‎．‎ ‎51.（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=‎4cm，AD=‎10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.‎ ‎⑴求证：EF+GH=‎5cm；‎ ‎⑵求当∠APD=90o时，的值．‎ ‎52.(2009年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．‎ ‎（1）证明；‎ C B A D ‎（第19题）‎ ‎（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．‎ ‎53．（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．‎ 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（第3题）‎ ‎54．（09湖南邵阳）如图（十二），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）用含的代数式表示的面积；‎ ‎（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，‎ O M A P N y l m x B O M A P N y l m x B E P F 图十二 ‎①当时，试探究与之间的函数关系式；‎ ‎②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？‎ ‎55.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． ‎ O D C B A ‎（1）求证：△ABD是正三角形； ‎ ‎（2）求 AC的长（结果可保留根号）． ‎ ‎56.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． ‎ A D E F C G B ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：．‎ ‎57．（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．‎ ‎（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ A D B E C F A D B E C F ‎（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求的长．‎ ‎58．（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎60．（2009年黄石市）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．‎ ‎（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？‎ A F N D C B M E O ‎61．（2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）‎ ‎（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）‎ O y x B E A D C F ‎62．（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．‎ D M A B C N ‎63．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．‎ 求证：．‎ A Q D E B P C O ‎．‎ ‎65.（2009年安徽）20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 能拼成一个矩形（非正方形）．‎ ‎（1）画出拼成的矩形的简图；‎ ‎【解】‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解】‎ ‎66.（2009湖北荆州年）‎ 把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。‎ ‎67.（2009年湖北荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M．‎ ‎⑴填空：Ａ点坐标为 ，D点坐标为 ；‎ ‎⑵操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．‎ 探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；‎ 探究2：设AP＝，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．‎ x y O Ｍ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图①‎ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图②‎ x y O Ｑ Ｐ ‎68．(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCB ；‎ B C A D M N ‎（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎69．（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.‎ ‎（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.‎ ‎（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.‎ ‎70．（2009厦门）23.已知四边形ABCD，AD//BC，连接BD.‎ (1) 小明说：“若添加条件，则四边形ABCD是矩形”‎ ‎.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.‎ (1) 若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD 是正方形．‎ ‎ ‎ ‎71.（2009四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．‎ ‎（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；‎ ‎（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F ‎（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．‎ ‎72．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．‎ 求证：．‎ A Q D E B P C O ‎73．（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．‎ ‎（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ A D B E C F A D B E C F ‎（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求的长．‎ ‎74．（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎8．（2009年黄石市）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．‎ ‎（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？‎ A F N D C B M E O ‎76．（2009年铁岭市）是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．‎ ‎（1）如图（a）所示，当点在线段上时．‎ ‎ ①求证：；‎ ‎②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；‎ ‎（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？‎ ‎（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．‎ A G C D B F E 图（a）‎ A D C B F E G 图（b）‎ ‎77.（2009青海）请阅读，完成证明和填空．‎ A A A B B B C C C D D O O O M M M N N N E 图12-1‎ 图12-2‎ 图12-3‎ ‎…‎ 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：‎ ‎（1）如图12-1，正三角形中，在边上分别取点，使，连接，发现，且．‎ 请证明：．‎ ‎（2）如图12-2，正方形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．‎ ‎（3）如图12-3，正五边形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．‎ ‎（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．‎ 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ‎ ‎ ．‎ ‎78.（2009呼和浩特）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．‎ E F G D A B C ‎79.（2009龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．‎ ‎（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．‎ ‎①求证：；‎ ‎②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；‎ ‎（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．‎ 试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．‎ C B M A N D ‎（图25-1）‎ C M B N A D ‎（图25-2）‎ ‎80.(2009年抚顺市)如图所示，已知：中，．‎ ‎（1）尺规作图：作的平分线交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）所作图形中，将沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，再展回到原图形，得到四边形．‎ 试判断四边形的形状，并证明；‎ B C A 若，求四边形的周长和的长．‎