北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案

北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案

北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案 ‎(考试时间：120分钟　满分：120分)‎ 分数：____________　‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题 3分，共18分，每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．计算sin 45°的值等于 (　C　)‎ A． B． C．1 D． ‎2．某斜坡的长为100 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则这个斜坡的坡度为 (　C　)‎ A．30° B．60° C． D． ‎3．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若sin A＝，则cos A的值是(　D　)‎ A． B． C． D． ‎4．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测量日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5˚，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(　B　)‎ A.asin 26.5˚ B． C．acos 26.5˚ D． ‎5．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sin B＝，则DF的长等于 (　C　)‎ A． B． C． D．2 第5题图 ‎6．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，cos A＝ ，则下列结论中：①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S菱形ABCD＝15 cm2.正确的个数为 (　D　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎ 第6题图 ‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题 3分，共18分)‎ ‎7. 已知α为锐角，且sin (α＋10°)＝，则α等于__50__度．‎ ‎8．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图的形状，那么折痕PQ的长是____cm.‎ ‎9．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°.若AB＝2 km，则A，C两点之间的距离为__(2＋2)__km.‎ 第9题图 ‎10．某中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°.如图，已知原来设计的楼梯长为4.5 m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面____m.‎ ‎ 第10题图 11． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，‎ 则BC的长为__4__．‎ ‎12．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，∠B＝30°，则△ABC的面积等于__15或10__．‎ 选择、填空题答题卡 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 得分 答案 C C D B C D 二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________‎ ‎7．__50__　　　　 8.____ 9.__(2＋2)__‎ ‎10．____　 11.__4__ 12．__15或10__‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．2cos230°－sin30°＋.‎ 解：原式＝2×－＋ ‎＝1＋＋.‎ ‎14．先化简，再求代数式÷的值，其中a＝2sin 60°＋tan 45°. ‎ 解：原式＝·(a＋1)‎ ‎＝·(a＋1)‎ ‎＝.‎ ‎∵a＝2×＋1＝＋1.‎ ‎∴原式＝＝.‎ ‎15．在Rt△ABC中，∠C＝90°.‎ ‎(1)已知c＝25，b＝15，求a；‎ ‎(2)已知a＝，∠A＝60°，求b，c.‎ 解：(1)根据勾股定理可得：‎ a＝＝20.‎ ‎(2)∵△ABC为直角三角形，∠A＝60°，‎ ‎∴∠B＝30°，‎ ‎∴c＝2b，‎ 根据勾股定理可得：6＋b2＝(2b)2，‎ 解得b＝，则c＝2.‎ ‎16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：‎ ‎(1)BC的长；‎ ‎(2)sin ∠ADC的值．‎ 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵cos C＝，‎ ‎∴∠C＝45°，‎ 在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，‎ ‎∴AE＝CE＝1，‎ 在Rt△ABE中，tan B＝，‎ 即＝，∴BE＝3AE＝3，‎ ‎∴BC＝BE＋CE＝4.‎ ‎(2)∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD＝BC＝2，‎ ‎∴DE＝CD－CE＝1，‎ ‎∵AE⊥BC，DE＝AE，‎ ‎∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝.‎ ‎17．(兴化市期末)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量出AB＝180 m，CD＝60 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长).‎ 解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，‎ ‎∴HE＝CD＝60 m，‎ 设CH＝DE＝x m，‎ 在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，‎ ‎∴BE＝x m，在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，‎ ‎∴AH＝x m，由AH＋HE＋EB＝AB＝180 m，‎ 得到x＋60＋x＝180，‎ 解得x＝30，即CH＝30 m，‎ 答：该段运河的河宽为30 m．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．如图，O是坐标原点，边长为2的菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，cos ∠AOC＝ ，函数 y＝(x<0) 的图象经过顶点B，求k的值．‎ 解：作AD⊥OC于D，‎ ‎∵OA＝2，∠AOC＝60°，‎ cos ∠AOC＝＝，‎ ‎∴OD＝1，‎ ‎∴AD＝＝，‎ ‎∴点A的坐标为(－1，)，‎ ‎∴点B的坐标为(－3，)，‎ ‎∵点B在函数y＝(x<0)的图象上，‎ ‎∴k＝－3×＝－3.‎ ‎19．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是 45° ，沿斜坡走2米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为 30° ，且斜坡AF的坡比为1∶2.则小明从点A走到点D的过程中，求：‎ ‎(1)上升的高度；‎ ‎(2)大树BC的高度(结果保留根号).‎ 解：(1)过点D作DH⊥AC交CA的延长线于H，延长BD，‎ CE交于点G.‎ ‎∵AD＝2，＝，DH2＋AH2＝AD2，‎ ‎∴5DH2＝20，∴DH＝2.‎ ‎∴上升的高度为2米．‎ ‎(2)由(1)可知，DH＝2，∠G＝30°，‎ ‎∴AH＝4，∴GH＝2，AG＝4＋2，‎ 设BC＝x，‎ ‎∵∠BAC＝45°，∠G＝30°，‎ ‎∴AC＝x，CG＝x，‎ ‎∵CG－AC＝AG，‎ ‎∴x－x＝4＋2，‎ 解得x＝5＋3.‎ 答：大树BC的高度为(5＋3)米．‎ ‎20．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)‎ 解： 过点A作AD⊥BC，交BC于点D，‎ 则点D 距观测点A最近．‎ 依题意有∠BAD＝45°，‎ ‎∠ACD＝60°，‎ BC＝30×0.5＝15(海里).‎ 设AD＝x海里．‎ ‎∵tan ∠ACD＝＝， tan ∠BAD＝＝1，‎ ‎∴CD＝x海里，BD＝x海里．‎ ‎∴x＋x＝15，解得x＝.‎ ‎∵÷30＝(小时)，‎ 答：渔船从B点开始行驶小时离观测点A的距离最近．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．(房山区期末)如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米(结果保留根号)?‎ 解：在Rt△BCE中，‎ ‎∵BC＝3，‎ ‎∠BEC＝90°，‎ ‎∠BCE＝45°，‎ ‎∴BE＝CE ‎＝BC·cos 45°‎ ‎＝3×＝3，‎ 在Rt△BDE中，DE＝BE·tan 30°＝，‎ ‎∴CD＝CE－DE＝3－，‎ 答：胡同左侧的通道拓宽了(3－)米．‎ ‎22．重庆某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝50°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°.CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米.‎ ‎(1)求斜坡AB的坡度i；‎ ‎(2)求DC的长．‎ ‎ 解：(1) AB的坡度 i＝1∶2.4.‎ ‎(2)在Rt△BCF中，‎ BF＝＝CF.‎ 在Rt△CEF中，‎ EF＝＝.‎ ‎∵BE＝4米，∴BF－EF＝CF－＝4，‎ 解得CF＝16. ∴DC＝CF＋DF＝16＋5＝21(米).‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．(绍兴中考)如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，‎ 托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.‎ ‎(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；‎ ‎(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1 cm).‎ ‎(参考数据：≈1.732，≈2.449)‎ 解：(1)∵AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形，‎ ‎∴AC∥DE，∴∠DFB＝∠CAB，‎ ‎∵∠CAB＝85°，‎ ‎∴∠DFB＝85°.‎ ‎(2)作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°，‎ ‎∴CG＝10，AG＝10，‎ ‎∵BD＝40，CD＝10，‎ ‎∴CB＝30，‎ ‎∴BG＝＝10，‎ ‎∴AB＝AG＋BG ‎＝10＋10 ‎≈10＋10×2.449‎ ‎＝34.49‎ ‎≈34.5 cm，‎ 答：A，B之间的距离为34.5 cm.‎