中考数学专题复习练习：分式的基本性质

中考数学专题复习练习：分式的基本性质

经典例题与习题 例01 下列分式的变形是否正确，为什么？‎ ‎（1） （2）‎ 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，是基本性质的生果组成部分，应特别注意.‎ 解 （1）∵已知分式中已隐含了，∴用分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.‎ ‎（2）因为已知分式中，没限制，可以取任意数，当然也包括了，当分式的分子、分母都乘以时，分式没意义，故（2）是错误的.‎ 例02 写出下列等式中的未知分子或未知分母。‎ ‎（1） （2）‎ 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，是由乘以得到的，由分式的基本性质，也要乘以，所以括号内应填 ‎（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，除以得到右边分子，按照分式的基本性质，，故括号内应填 解：（1）‎ ‎（2）‎ 例03 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.‎ ‎（1） （2）‎ 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？‎ ‎（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.‎ ‎（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.‎ 解：（1）法1：原式 ‎ ‎ ‎ 法2：原式 ‎ ‎ ‎ （2）原式 说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.‎ 例04 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.‎ ‎（1） （2）‎ 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.‎ ‎（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 例05 已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.‎ 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.‎ 解：当时，‎ 时，‎ ‎∵不论取什么实数，是一个定值 ‎∴，∴‎ ‎∵ ∴‎ 把代入原式，得 ‎∴、的关系为；定值为 例06 已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P牛顿/，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？‎ 解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为，上底面积为.‎ ‎ 则,‎ ‎∴‎ ‎∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：‎ ‎(牛顿/)‎ 答：桌面受到的压强为牛/.‎ ‎ 说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题 例07 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：‎ ‎（1）； （2）； （3）； （4）．‎ 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．‎ 解：（1）同时改变分子和分式的符号，得 ‎ ；‎ ‎（2）同时改变分母和分式的符号，得 ‎ ；‎ ‎（3）先确定是分母的符号，再变号，得 ‎ ；‎ ‎（4）先确定是分子的符号，然后变号，得 ‎ ．‎ 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成 或；‎ ‎2．对于（4）题，也可处理成的形式．‎ 例08 不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．‎ 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．‎ 解：．‎ 说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．‎ ‎2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．‎ 例09 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）．‎ 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式．‎ 解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．‎ ‎（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．‎ ‎（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．‎ ‎（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：‎ ‎（4）此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式可得．‎ 说明 ‎ 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；‎ ‎2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当，时，．（2）、（3）题同理．‎ 例10 化简下列各式：‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．‎ 解： （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．‎ ‎2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．‎ ‎3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．‎ 解答题 ‎1．不改变分式的值，把下列分子、分母中的各项系数化为整数 ‎（1） （2） （3） ‎ ‎（4） （5） （6）‎ ‎2．不改变分式的值，使下列分式中分子、分母的最高次项系数化为正数 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎3．解答：‎ 将分式的分子、分母化为整式，且不改变分式的值 ‎4．求值：‎ 已知，求分式的值 ‎5．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数 ‎（1） （2） （3）‎ ‎6．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项系数化为正数 ‎（1） （2）‎ ‎7．解答：‎ 为何值时，分式的值为正数？‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）‎ ‎3．‎ ‎4．‎ ‎5．（1）（2）（3）‎ ‎6．（1）（2）‎ ‎7．且 ‎1.不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中的各项系数都化为整系数．‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）．‎ 参考答案：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）．‎ ‎1.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）．‎ 参考答案：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）．‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）；‎ ‎（2）等式的左边的分子、分母________得到右边 ‎（3）等式的左边_________得到右边 ‎（4）不改变分式值，使分式分子、分母不含负号：‎ ‎①；②；③；④；‎ ‎⑤‎ ‎2．填空题 ‎（1）当，满足关系式________时，分式的值等于 ‎（2）要使分式，则_________‎ ‎（3）‎ ‎（4）若，则=__________‎ ‎（5）不改变分式的值，使分式分子、分母的最高次项系数化为正数：=_______‎ ‎3．填空题 ‎（1）当________时，等式成立 ‎（2）不改变分式值，把分式分子分母中各项系数化为整数：=__________‎ ‎（3）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=________‎ ‎（4）分式的值为负，则的取值范围是_________‎ ‎（5）如果分式的值为0，则=_________‎ 参考答案：‎ ‎1．（1），（2）乘以（3）除以（4），，，，‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）4（5）‎ ‎3．（1）（2）（3）（4）（5）‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列各等式中成立的有（）个 ‎①；②；‎ ‎③；④‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（2）与分式的值相等的分式是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）若把分式中的、都缩小5倍，则分式的值（）‎ ‎（A）缩小3倍 （B）不变 ‎（C）扩大3倍 （D）缩小6倍 ‎（4）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下面式子中正确的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）下列变形正确的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）与分式的值相等的分式是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）当分式的值为0时，的值为（）‎ ‎（A）2 （B） （C）1 （D）或1‎ ‎（3）把分式中的、都扩大2倍，则分式的值（）‎ ‎（A）不变 （B）扩大2倍 （C）缩小2倍 （D）扩大4倍 ‎（4）若分式与的值相等，则的值为（）‎ ‎（A）1 （B） （C）0 （D）4‎ ‎（5）若、和都不为0，则化简得（）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）‎ ‎3．选择题 ‎（1）若分式有意义，则、满足的关系是（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）当时，化简的结果是（）‎ ‎（A） （B）2 （C）0 （D）1‎ ‎（3）已知分式的值为正数，则的取值范围是（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）且 参考答案：‎ ‎1．（1）A（2）A（3）B（4）C（5）C ‎2．（1）D（2）B（3）B（4）B（5）C ‎3．（1）D（2）A（3）D