2019年云南省中考数学模拟试卷(一)含答案解析

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2019年云南省中考数学模拟试卷(一)含答案解析

‎2019年云南省中考数学模拟试卷(一)‎ 一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎1.|﹣2|的相反数是   .‎ ‎2.在函数y=中,自变量x的取值范围是   .‎ ‎3.若x、y为实数,且|x+3|+=0,则 的值为   .‎ ‎4.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是   (只需添加一个即可)‎ ‎5.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是   .‎ ‎6.为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算:1+5+52+53+…+52015的值是   .‎ ‎ [来源:学+科+网]‎ 二、选择题(本大题共8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,满分32分)‎ ‎7.一个数用科学记数法表示为2.37×105,则这个数是(  )‎ A.237 B.2370 C.23700 D.237000‎ ‎8.下列运算正确的是(  )‎ A.3a+2a=5a2 B.3﹣3= C.2a2•a2=2a6 D.60=0‎ ‎9.在正方形,矩形,菱形,平行四边形,正五边形五个图形中,中心对称图形的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎10.在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A(﹣4,﹣1),B(1,1),将线段AB平移后得到线段A′B′,若点A′的坐标为(﹣2,2),则点B′的坐标为(  )‎ A.(4,3) B.(3,4) C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)‎ ‎11.下面空心圆柱形物体的左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.某鞋店一天卖出运动鞋12双,其中各种尺码的鞋的销售量如下表:则这12双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别是(  )‎ 码(cm)‎ ‎23.5‎ ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ ‎25.5‎ 销售量(双)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ A.25,25 B.24.5,25 C.25,24.5 D.24.5,24.5‎ ‎14.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠‎ BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=4,则AE的长为(  )‎ A. B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9个小题,满分70分)‎ ‎15.先化简,再求值:(1+)÷,其中x=﹣1.‎ ‎16.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:AB=DE.‎ ‎17.当前,“校园ipad现象已经受到社会的广泛关注,某教学兴趣小组对”“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查.小文将调查数据作出如下不完整的整理:‎ 频数分布表 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎   ‎ 无所谓 ‎   ‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ ‎(1)请求出共调查了多少人;并把小文整理的图表补充完整;‎ ‎(2)小丽要将调查数据绘制成扇形统计图,则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度?‎ ‎(3)若该校有3000名学生,请您估计该校持“反对”态度的学生人数.‎ ‎18.学校运动会上,九(1)班啦啦队买了两种矿泉水,其中甲种矿泉水共花费80元,乙种矿泉水共花费60元.甲种矿泉水比乙种矿泉水多买20瓶,且乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水价格的1.5倍.求甲、乙两种矿泉水的价格.‎ ‎19.有四张正面分别标有数字﹣1,0,1,2的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.‎ ‎(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字“﹣1”的概率;‎ ‎(2)随机抽取一张卡片,然后不放回,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率.‎ ‎20.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB段是恒温阶段,BC段是双曲线y=的一部分,请根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求0到2小时期间y随x的函数解析式;‎ ‎(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时?‎ ‎21.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)求证:AC⊥BD;‎ ‎(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.‎ ‎22.如图,点A、B、C、D均在⊙O上,FB与⊙O相切于点B,AB与CF交于点G,OA⊥CF于点E,AC∥BF.‎ ‎(1)求证:FG=FB.‎ ‎(2)若tan∠F=,⊙O的半径为4,求CD的长.‎ ‎23.如图,射线AM平行于射线BN,∠B=90°,AB=4,C是射线BN上的一个动点,连接AC,作CD⊥AC,且AC=2CD,过C作CE⊥BN交AD于点E,设BC长为a.‎ ‎(1)求△ACD的面积(用含a的代数式表示);‎ ‎(2)求点D到射线BN的距离(用含有a的代数式表示);‎ ‎(3)是否存在点C,使△‎ ACE是以AE为腰的等腰三角形?若存在,请求出此时a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎1.|﹣2|的相反数是 ﹣2 .‎ ‎【考点】15:绝对值;14:相反数.‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.‎ ‎【解答】解:|﹣2|的相反数是-2,‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎2.在函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥1 .‎ ‎【考点】E4:函数自变量的取值范围.‎ ‎【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以x﹣1≥0,解不等式可求x的范围.‎ ‎【解答】解:根据题意得:x﹣1≥0,‎ 解得:x≥1.‎ 故答案为:x≥1.‎ ‎ ‎ ‎3.若x、y为实数,且|x+3|+=0,则 的值为 ﹣1 .‎ ‎【考点】23:非负数的性质:算术平方根;16:非负数的性质:绝对值.‎ ‎【分析】首先根据非负数的性质列式求出x、y的值,然后代入代数式进行计算即可得解.‎ ‎【解答】解:根据题意得:x+3=0,且y﹣3=0,‎ 解得x=﹣3,y=3.‎ 则原式=﹣1.‎ 故答案是:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,要使ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 ∠ABC=90° (只需添加一个即可)‎ ‎【考点】LF:正方形的判定;L5:平行四边形的性质.‎ ‎【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,添加一个条件符合正方形的判定即可.‎ ‎【解答】解:条件为∠ABC=90°,‎ 理由是:∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形,‎ 故答案为:∠ABC=90°.‎ ‎ ‎ ‎5.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .‎ ‎【考点】H3:二次函数的性质;H5:二次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】‎ 把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.‎ ‎【解答】解:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,‎ ‎∴代入得:,‎ 解得:b=2,c=3,‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣(x﹣1)2+4,‎ 顶点坐标为(1,4),‎ 故答案为:(1,4).‎ ‎ ‎ ‎6.为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+…+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算:1+5+52+53+…+52015的值是  .‎ ‎【考点】1E:有理数的乘方.‎ ‎【分析】根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解.‎ ‎【解答】解:设M=1+5+52+53+…+52015,‎ 则5M=5+52+53+54…+52016,‎ 两式相减得:4M=52016﹣1,‎ 则M=.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,满分32分)‎ ‎7.一个数用科学记数法表示为2.37×105,则这个数是(  )‎ A.237 B.2370 C.23700 D.237000‎ ‎【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,n的值取决于原数变成a时,小数点移动的位数,n的绝对值与小数点移动的位数相同.把2.37的小数点向右移动5位,求出这个数是多少即可.‎ ‎【解答】解:2.37×105=237000.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.下列运算正确的是(  )‎ A.3a+2a=5a2 B.3﹣3= C.2a2•a2=2a6 D.60=0‎ ‎【考点】49:单项式乘单项式;35:合并同类项;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂.‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:(A)原式=5a,故A不正确;‎ ‎(C)原式=2a4,故C不正确;‎ ‎(D)原式=1,故D不正确;‎ 故选(B)‎ ‎ ‎ ‎9.在正方形,矩形,菱形,平行四边形,正五边形五个图形中,中心对称图形的个数是(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】R5:中心对称图形.‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.‎ ‎【解答】解:正方形,是中心对称图形;‎ 矩形,是中心对称图形;‎ 菱形,是中心对称图形;‎ 平行四边形,是中心对称图形;‎ 正五边形,不是中心对称图形;‎ 综上所述,是中心对称图形的有4个.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A(﹣4,﹣1),B(1,1),将线段AB平移后得到线段A′B′,若点A′的坐标为(﹣2,2),则点B′的坐标为(  )‎ A.(4,3) B.(3,4) C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)‎ ‎【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移.‎ ‎【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.‎ ‎【解答】解:由A点平移前后的纵坐标分别为﹣1、2,可得A点向上平移了3个单位,‎ 由A点平移前后的横坐标分别为﹣4、﹣2,可得A点向右平移了2个单位,‎ 由此得线段AB的平移的过程是:向上平移3个单位,再向右平移2个单位,‎ 所以点A、B均按此规律平移,由此可得点B′的坐标为(1+2,1+3),即为(3,4).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.下面空心圆柱形物体的左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】U2:简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】找出从几何体的左边看所得到的视图即可.‎ ‎【解答】解:从几何体的左边看可得,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】C4:在数轴上表示不等式的解集.‎ ‎【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.,可得答案.‎ ‎【解答】解:由数周轴示的不等式的解集,得﹣1<x≤2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎13.某鞋店一天卖出运动鞋12双,其中各种尺码的鞋的销售量如下表:则这12双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别是(  )‎ 码(cm)‎ ‎23.5‎ ‎24‎ ‎24.5‎ ‎25‎ ‎25.5‎ 销售量(双)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ A.25,25 B.24.5,25 C.25,24.5 D.24.5,24.5‎ ‎【考点】W5:众数;W4:中位数.‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义求解可得.‎ ‎【解答】解:由表可知25出现次数最多,故众数为25;‎ ‎12个数据的中位数为第6、7个数据的平均数,故中位数为=25,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=4,则AE的长为(  )‎ A. B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】N2:作图—基本作图;L5:平行四边形的性质.‎ ‎【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BAD,则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF,BO=FO=BF=3,再根据平行四边形的性质得AF∥BE,得出∠1=∠3,于是得到∠2=∠‎ ‎3,根据等腰三角形的判定得AB=EB,然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE,最后利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.‎ ‎【解答】解:连结EF,AE与BF交于点O,如图 ‎∵AB=AF,AO平分∠BAD,‎ ‎∴AO⊥BF,BO=FO=BF=3,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴AF∥BE,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∴AB=EB,‎ ‎∵BO⊥AE,‎ ‎∴AO=OE,‎ 在Rt△AOB中,AO===,‎ ‎∴AE=2AO=2.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共9个小题,满分70分)‎ ‎15.先化简,再求值:(1+)÷,其中x=﹣1.‎ ‎【考点】6D:分式的化简求值.‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=•=,‎ 当x=﹣1时,原式=.‎ ‎ ‎ ‎16.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:AB=DE.‎ ‎【考点】KD:全等三角形的判定与性质;JA:平行线的性质.‎ ‎【分析】首先利用平行线的性质可以得到∠A=∠EDF,∠F=∠BCA,由AD=CF可以得到AC=DF,然后就可以证明△ABC≌△DEF,最后利用全等三角形的性质即可求解.‎ ‎【解答】证明:∵AB∥DE,‎ ‎∴∠A=∠EDF 而BC∥EF,‎ ‎∴∠F=∠BCA,‎ ‎∵AD=CF,‎ ‎∴AC=DF,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF,‎ ‎∴AB=DE.‎ ‎ ‎ ‎17.当前,“校园ipad现象已经受到社会的广泛关注,某教学兴趣小组对”“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查.小文将调查数据作出如下不完整的整理:‎ 频数分布表 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎ 0.1 ‎ 无所谓 ‎ 5 ‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8[来源:学科网]‎ ‎(1)请求出共调查了多少人;并把小文整理的图表补充完整;‎ ‎(2)小丽要将调查数据绘制成扇形统计图,则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度?‎ ‎(3)若该校有3000名学生,请您估计该校持“反对”态度的学生人数.‎ ‎【考点】V8:频数(率)分布直方图;V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)首先用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数,然后求无所谓的人数和赞成的频率即可;‎ ‎(2)赞成的圆心角等于赞成的频率乘以360°即可;‎ ‎(3)根据题意列式计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)观察统计表知道:反对的频数为40,频率为0.8,‎ 故调查的人数为:40÷0.8=50人;‎ 无所谓的频数为:50﹣5﹣40=5人,‎ 赞成的频率为:1﹣0.1﹣0.8=0.1;‎ 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎0.1‎ 无所谓 ‎5‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ 统计图为:‎ 故答案为:5.0.1;‎ ‎(2)∵赞成的频率为:0.1,‎ ‎∴扇形图中“赞成”的圆心角是360°×0.1=36°;‎ ‎(3)0.8×3000=2400人,‎ 答:该校持“反对”态度的学生人数是2400人.‎ ‎ ‎ ‎18.学校运动会上,九(1)班啦啦队买了两种矿泉水,其中甲种矿泉水共花费80元,乙种矿泉水共花费60元.甲种矿泉水比乙种矿泉水多买20瓶,且乙种矿泉水的价格是甲种矿泉水价格的1.5倍.求甲、乙两种矿泉水的价格.‎ ‎【考点】B7:分式方程的应用.‎ ‎【分析】设甲种矿泉水的价格为x元,则乙种矿泉水价格为1.5x,根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶,列出分式方程,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:设甲种矿泉水的价格为x元,则乙种矿泉水价格为1.5x,‎ 由题意得:﹣=20,‎ 解得:x=2,‎ 经检验x=2是原分式方程的解,‎ 则1.5x=1.5×2=3,‎ 答:甲、乙两种矿泉水的价格分别是2元、3元.‎ ‎ ‎ ‎19.有四张正面分别标有数字﹣1,0,1,2的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.‎ ‎(1)随机抽取一张卡片,求抽到数字“﹣1”的概率;‎ ‎(2)随机抽取一张卡片,然后不放回,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率.‎ ‎【考点】X6:列表法与树状图法.‎ ‎【分析】(1)根据概率公式可得;‎ ‎(2)先画树状图展示12种 等可能的结果数,再找到符合条件的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果,其中抽到数字“﹣1”的只有1种,‎ ‎∴抽到数字“﹣1”的概率为;‎ ‎(2)画树状图如下:‎ 由树状图可知,共有12种等可能结果,其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果,‎ ‎∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为.‎ ‎ ‎ ‎20.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB段是恒温阶段,BC段是双曲线y=的一部分,请根据图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)求0到2小时期间y随x的函数解析式;‎ ‎(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时?‎ ‎【考点】GA:反比例函数的应用;FH:一次函数的应用.[来源:学*科*网]‎ ‎【分析】(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得B点坐标,根据待定系数法,可得答案;‎ ‎(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得相应的自变量的值,根据有理数的减法,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)当x=12时,y==20,B(12,20),‎ ‎∵AB段是恒温阶段,‎ ‎∴A(2,12),‎ 设函数解析式为y=kx+b,代入(0,10),和(2,20),得 ‎,解得,‎ ‎0到2小时期间y随x的函数解析式y=5x+10;‎ ‎(2)把y=15代入y=5x+10,即5x+10=15,解得x1=1,‎ 把y=15代入y=,即15=,解得x2=16,‎ ‎∴16﹣1=15,‎ 答:恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有15小时.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)求证:AC⊥BD;‎ ‎(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.‎ ‎【考点】LA:菱形的判定与性质;L5:平行四边形的性质;T7:解直角三角形.‎ ‎【分析】(1)根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB,从而判定平行四边形ABCD是菱形,根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论;‎ ‎(2)分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE,从而利用OE=AE﹣AO求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠CAB=∠ACB,‎ ‎∴AB=CB,‎ ‎∴▱ABCD是菱形.‎ ‎∴AC⊥BD;‎ ‎(2)在Rt△AOB中,cos∠CAB==,AB=14,‎ ‎∴AO=14×=,‎ 在Rt△ABE中,cos∠EAB==,AB=14,‎ ‎∴AE=AB=16,‎ ‎∴OE=AE﹣AO=16﹣=.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,点A、B、C、D均在⊙O上,FB与⊙O相切于点B,AB与CF交于点G,OA⊥CF于点E,AC∥BF.‎ ‎(1)求证:FG=FB.‎ ‎(2)若tan∠F=,⊙O的半径为4,求CD的长.‎ ‎【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理;M2:垂径定理;T7:解直角三角形.‎ ‎【分析】(1)根据等腰三角形的性质,可得∠OAB=∠OBA,根据切线的性质,可得∠FBG+OBA=90°,根据等式的性质,可得∠FGB=∠FBG,根据等腰三角形的判定,可得答案;‎ ‎(2)根据平行线的性质,可得∠ACF=∠F,根据等角的正切值相等,可得AE,根据勾股定理,可得答案.‎ ‎【解答】(1)证明:∵OA=OB,‎ ‎∴∠OAB=∠OBA,‎ ‎∵OA⊥CD,‎ ‎∴∠OAB+∠AGC=90°.‎ ‎∵FB与⊙O相切,‎ ‎∴∠FBO=90°,‎ ‎∴∠FBG+OBA=90°,‎ ‎∴AGC=∠FBG,‎ ‎∵∠AGC=∠FGB,‎ ‎∴∠FGB=∠FBG,‎ ‎∴FG=FB;‎ ‎(2)如图,‎ 设CD=a,‎ ‎∵OA⊥CD,‎ ‎∴CE=CD=a.‎ ‎∵AC∥BF,‎ ‎∴∠ACF=∠F,‎ ‎∵tan∠F=‎ tan∠ACF==,即=,‎ 解得AE=a,‎ 连接OC,OE=4﹣a,‎ ‎∵CE2+OE2=OC2,‎ ‎∴(a)2+(4﹣a)2=4,‎ 解得a=,‎ CD=.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,射线AM平行于射线BN,∠‎ B=90°,AB=4,C是射线BN上的一个动点,连接AC,作CD⊥AC,且AC=2CD,过C作CE⊥BN交AD于点E,设BC长为a.‎ ‎(1)求△ACD的面积(用含a的代数式表示);‎ ‎(2)求点D到射线BN的距离(用含有a的代数式表示);‎ ‎(3)是否存在点C,使△ACE是以AE为腰的等腰三角形?若存在,请求出此时a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】KY:三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)先根据勾股定理得出AC,进而得出CD,最后用三角形的面积公式即可;‎ ‎(2)先判断出∠FDC=∠ACB,进而判断出△DFC∽△CBA,得出,即可求出DF,即可;‎ ‎(3)分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)在Rt△ABC中,AB=4,BC=a,‎ ‎∴AC==,‎ ‎∴CD=AC=,‎ ‎∵∠ACD=90°,‎ ‎∴S△ACD=AC•CD=‎ ‎(2)如图1,过点D作DF⊥BN于点F,‎ ‎∵∠FDC+∠FCD=90°,∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°,‎ ‎∴∠FDC=∠ACB,‎ ‎∵∠B=∠DFC=90°,‎ ‎∴∠FDC=∠ACB,‎ ‎∵∠B=∠DFC=90°,‎ ‎∴△DFC∽△CBA,‎ ‎∴,‎ ‎∴DF=BC=a,‎ ‎∴D到射线BN的距离为a;‎ ‎(3)存在,①当EC=EA时,‎ ‎∵∠ACD=90°,‎ ‎∴EC=EA=AD,‎ ‎∵AB∥CE∥DF,‎ ‎∴BC=FC=a,‎ 由(2)知,△DFC∽△CBA,‎ ‎∴,‎ ‎∴FC=AB=2,‎ ‎∴a=2,‎ ‎②当AE=AC时,如图2,AM⊥CE,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵AM∥BN,‎ ‎∴∠2=∠4,‎ ‎∴∠1=∠4,‎ 由(2)知,∠3=∠4,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∵∠AGD=∠DFC=90°,‎ ‎∴△ADG∽△DCF,‎ ‎∴,‎ ‎∵AD==,AG=a+2,CD=,‎ ‎∴,‎ ‎∴a=4+8,‎ 即:满足条件的a的值为2或4+8.‎ ‎ ‎
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