中考九年级数学学练测101相似图形

中考九年级数学学练测101相似图形

第十单元相似图形相似图形 1．[2017·兰州]已知2x＝3y(y≠0)，则以下结论成立的是()小题热身A 图32－1C 3．[2017·重庆B卷]已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶1【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ABC∶S△DEF＝1∶4，故选A.A 4．[2017·杭州]如图32－2，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()图32－2B 一、必知6知识点1．相似图形相似图形：形状相同的图形称为相似图形．相似多边形：对应角________，对应边_________的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做_________．相似三角形：对应角________，对应边_________的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫________，通常用字母k表示；全等三角形是相似比为_____的特殊的相似三角形．考点管理相等成比例相等成比例相似比1相似比 2．比例线段ad＝bc 【智慧锦囊】 2 3．由平行线截得的比例线段定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段_________．4．相似三角形的性质性质：(1)相似三角形的对应角_______，对应边_________；(2)相似三角形周长之比等于_________；(3)相似三角形的面积之比等于相似比的_______；(4)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于_________．成比例相等成比例相似比平方相似比 5．相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1：两个角__________的两个三角形相似．判定定理2：两边对应成比例，且_________的两个三角形相似．判定定理3：三边对应_________的两个三角形相似．对应相等夹角相等成比例 【智慧锦囊】重要结论：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似．如图32－3，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则△ABC∽△CBD∽△ACD.图32－3 6．相似多边形的性质性质：(1)相似多边形的周长之比等于__________；(2)相似多边形的面积之比等于相似比的________．相似比平方 二、必会2方法1．相似三角形的基本图形(1)平行线型：如图32－4，若CD∥AB，则有△OCD∽△OAB；图32－4 (2)斜线型：如图32－5，若∠1＝∠A，则有△OCD∽△OAB，特别是右图中，当△OCD∽△OAB时，有OC2＝OA·OD；图32－5 (3)旋转型：如图32－6，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠1＝∠2，∠D＝∠A，则有△OCD∽△OBA.图32－6 2．分类讨论思想近几年中考常出现有关相似图形的多解问题，这类题特征是不给出几何图形，要求分类讨论．解这种问题时要注意不能漏解． 平行线分线段成比例定理图32－7B 图32－84 2．[2017·长春]如图32－9，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为_____．图32－96 相似三角形的判定[2017·杭州]如图32－10，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；图32－10解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠C，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC； 图32－11 (1)求证：△ADF∽△ACG； (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．图32－12 【点悟】判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；另外还可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 相似三角形的性质[2017·湘潭]如图32－13，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则S△ADE∶S△ABC＝________．图32－131∶4 1．[2017·连云港]如图32－14，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是()图32－14D 【解析】已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2，A选项中BC与DF不是对应边；B选项中的∠A和∠D是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A＝∠D；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4，根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2.因此A，B，C选项错误，D选项正确． 2．一副三角板叠放位置如图32－15，则△AOB与△COD的面积之比为________．图32－151∶3 【解析】首先设BC＝x，根据题意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD与AB的长，又可得△AOB∽△COD，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得△AOB与△COD的面积之比．【点悟】相似三角形面积之比等于相似比的平方． 相似三角形与圆[2017·衢州]如图32－16，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连结OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.图32－16(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r的长． 【解析】(1)利用切线的性质可得∠CDO＝90°，根据垂直的性质得∠E＝90°，再加∠C是公共角，易得△COD∽△CBE；(2)利用勾股定理易求BC＝15，结合第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例的性质可求圆的半径．解：(1)∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°，∵BE⊥CD于点E，∴∠E＝90°，∵∠CDO＝∠E＝90°，∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE； 1．[2017·菏泽]如图32－17，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连结PA交⊙O于点C，连结BC.(1)求证：∠BAC＝∠CBP；(2)求证：PB2＝PC·PA；(3)当AC＝6，CP＝3时，求sin∠PAB的值．【解析】(1)根据题意可知PB⊥AB，∠ACB＝90°，依据同角的余角相等可证∠BAC＝∠CBP；(2)∵∠BAC＝∠CBP，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PAB，(3)∵AC＝6，CP＝3，依据PB2＝PC·PA可以直接求出PB的长，从而在Rt△APB中可以直接求出sin∠PAB的值．图32－17 解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠PBA＝90°，∴∠PBC＋∠CBA＝90°，∴∠BAC＝∠CBP； 2．[2017·德州]如图32－18，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图32－18 【解析】(1)连结OE，只需证OE⊥DE，即得DE是⊙O的切线，再连结CE，利用圆的性质与直角三角形的性质，易证∠OED＝∠ACD＝90°，从而获得结论；(2)根据AE∶EB＝1∶2，易得BE与BA之比，通过证明Rt△BEC∽Rt△BCA，获得BC，BE，BA间的数量关系，据此构建方程可求解AE的长．变式跟进2答图 3．如图32－19，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图32－19 【解析】(1)如答图，连结AE，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE；(2)连结DE，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．变式跟进3答图 【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥”． 相似三角形对应高线的比的应用[2016·怀化]如图32－20，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高线，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，EH与AD交于点M，已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．图32－20 如图32－21①，课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高线AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图②，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边的长．图32－21 必明3易错点1．求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位．2．证明两个三角形相似时，要注意将对应顶点写在对应位置上．3．相似多边形的面积比等于相似比的平方，要注意与周长比的区别． 相似三角形易错点扫描图32－22 【错解】C【错因】运用平行线分线段成比例定理时，容易出现没有按“对应”来写比例线段的错误．【正解】D 【点悟】(1)相似三角形要考虑不同的对应情况，思维全面，不能漏解；(2)善于利用平行线构造比例线段，表示相似图形时，要特别注意对应点的正确写法以及对应边与对应角的寻找，不然很容易因疏忽而出现错误．