北师大版第四章相似图形之相似三角形的相似模型讲义

北师大版第四章相似图形之相似三角形的相似模型讲义

相似模型（一）（讲义）Ø知识点睛1.六种相似基本模型：DE∥BC∠B=∠AED∠B=∠ACDA型AD是Rt△ABC斜边上的高AC∥BD∠B=∠C当两个三角形相似且有公共边时，借助对应边成比例往往可以得到a2=bc形式的关系．例如：“母子型”中△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD△ACD∽△BCA→___________△ADB∽△CDA→___________母子型X型2.相似、角相等、比例线段间的关系：相似往往与_______________等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过___________________来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成____________来观察和分析．3.影子上墙：______________、______________、______________是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．19 △DEH∽△ABC△DHG∽△ABC△HEF∽△ABCØ精讲精练1.如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_________，_________．第1题图第2题图2.如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=_________，AC=_________，BC=________．19 第3题图第4题图1.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．①请写出图中所有的相似三角形_____________________；②若BD，则CE=________.2.如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME交BD于点G．（1）写出图中的三对相似三角形；（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG．3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，给出以下三19 对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABO．其中相似的有_____________（填写序号）．1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2，，则△BCD的面积是（）A．B．C．D．2.如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:FD=_____________．第8题图第9题图3.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则BM:DN=_____________．4.如图，直线l1∥l2，若AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE=_________．第10题图第11题图第12题图19 1.如图，在□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．2.如图所示，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上．求证：．4.数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．第14题图第15题图5.小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．9米B．28米C．米D．米19 1.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，则塔高AB为（）A．24mB．22mC．20mD．18m相似模型（一）（习题）Ø巩固练习1.如图，在锐角三角形ABC中，高CD，BE相交于点H，则图中与△CEH相似（除△CEH自身外）的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第1题图第2题图第3题图2.如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AC，BE交于点F．19 若DE:EC=1:2，则BF:EF=________．1.如图，小明在A时刻测得某树的影长为2m，B时刻又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则AC:AB=（）A．B．C．D．第4题图第5题图3.如图，已知□ABCD，过点B的直线依次与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G．若BE=5，EF=2，则FG的长为_________．4.如图，梯形ABCD的中位线EF分别交对角线BD，AC于点M，N，AD=1，BC=3，则EF=________，MN=________．第6题图第7题图5.如图，D是AB的中点，AF∥CE，若CG:GA=3:1，BC=8，则AF=________．6.如图，P是□ABCD的对角线BD上一点，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．有下列结论：①△RQA∽△RTD；②；19 ③；④.其中正确的是________.1.如图，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是AC上的点，若AF⊥BE，垂足为F．求证：∠BFD=∠C．3.如图，一同学在某时刻测得1m长的标杆竖直放置时影子长为1.6m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2m，留在墙上的影子高为1m，则旗杆的高度是_________．第11题图第12题图4.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影子长为2m，则电线杆的高度为____________．5.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B是CD的中点，且CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，19 小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m，2m，那么塔高AB=_________．第13题图第14题图1.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为_________．相似模型（二）（讲义）Ø课前预习1.按要求解决下列问题：①如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是线段BD上一点，连接AC，CE，AC⊥CE．求证：△ABC∽△CDE．②如图，将两个全等的等腰直角三角形如图摆放（顶点A重合），所有的点都在同一平面内．请找出图中的相似三角形（不包括全等）．19 ③如图，已知A是等边三角形PQR的边RQ延长线上的点，B是QR延长线上的点．若∠APB=120°，请找出图中的相似三角形．Ø知识点睛1.相似综合模型一线三等角图形特征三等角结论△ABC∽△CDE旋转放缩图形19 特征成比例线段共端点结论△ABC∽△ADE或△ABD∽△ACE1.与相似相关的特征①直角结构——斜直角放正，得相似②平行结构——作平行，得相似（构造X型、A型）Ø精讲精练1.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE=5，AB=8，则S△ABF:S△FCE=_____．19 1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°．P为下底BC上一点（不与点B，C重合），连接AP，过点P作射线PE交线段DC于点E，使得∠APE=∠B．若DE:EC=5:3，则BP=_________．2.如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=，则MF的长是（）A．B．C．1D．3.如图，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．将△DAE绕点A顺时针旋转若干角度，得到△AD′E′，连接BD′，CE′．若AC=3，AB=4，则_________．第4题图第5题图19 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC，CD⊥AB于D，点E是线段AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交线段BC于点F，连接EF，则_________．2.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=，则点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．3.在平面直角坐标系中，将一含30°角的直角三角板放置在坐标系中．（1）如图1，若该三角板直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为(-1，2)，∠ABO=30°，顶点B在第一象限，则点B的坐标为_______．（2）如图2，若该三角板直角顶点落在点C(2，2)，顶点A的坐标为(3，0)，∠ABC=30°，顶点B在第一象限，则点B的坐标为___________．图1图2第8题图4.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则_________．5.如图，在△ABC中，AE=CE，BC=CD．求证：ED=3EF．（多种做法）19 1.如图1，直线l与△ABC三边所在直线分别交于点E，F，D，且BF:AF=2:3，EF:FD=5:4，求AD:CD的值．（多种做法）2.在下图中，根据线段DE补全△DEF，使得△DEF与△ABC相似．（△DEF的顶点F在直线DE的上方）3.将三角形纸片ABC按如图1所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，AB=AC=3，BC=4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF=___________．19 图1备用第13题图1.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动，设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则t的值为________．2.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E在BC边上，AB=3，CD=2，BC=7．若△ABE与△ECD相似，则CE=___________．相似模型（二）（习题）Ø巩固练习1.如图，等腰Rt△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=，D为AC上一点．若∠APD=45°，则CD=______．第1题图第2题图2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=．点P在线段AB上，若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=__________．3.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置．若点B的坐标为(2，4)，则点D的坐标是__________．19 第3题图第4题图第5题图1.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF．设，则给出下列结论：①△ABE∽△ECF；②AE平分∠BAF；③当k=1时，△ABE∽△ADF．其中正确的是_____________．2.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，有下列说法：①AC⊥DE；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④△AFE∽△DFC；⑤AD∥BC；⑥四边形ABCD面积的最大值为．其中正确的是__________．3.如图，D是Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF．求证：AF⊥AB．19 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F．求证：（1）；（2）△BCE∽△ADM；（3）猜想AM与BE的位置关系，并说明理由．2.如图，在△ABC中，AF:FB=2:3，延长BC至点D，使得BC=2CD，求的值．19 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，直线l：y=-2x+4分别与x轴、y轴相交于B，C两点．（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________．（2）在直线l上是否存在点P，使得△APO是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，AB=AC=4，BC=5，若以B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则CF=______．19 第10题图第11题图第12题图1.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC，CD上，若以M，N，C为顶点的三角形与△AED相似，则CM的长为_________．2.如图，在Rt△ABC中，AB=3cm，AC=6cm．动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时动点N从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在某一时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．19