初中数学中考知识点分类大全集+中考复习第12章全等三角形补差题等精品大全集

初中数学中考知识点分类大全集+中考复习第12章全等三角形补差题等精品大全集

初中数学中考知识点分类大全集+中考复习第12章全等三角形补差题等精品大全集专题八统计与概率第二十二章统计初步高频考点考查频率所占分值考情分析1.用样本估计总体2.数据分析中的平均数、众数、中位数3.数据分析中的方差、标准差、极差4.条形统计图、扇形统计图、折线统计图5.频数、频率6.频数分布表、频数分布直方图及频数折线图★★★★★★★★★★★★★★9～12分智能图谱第51讲全面调查与抽样调查知识能力解读（一）全面调查和抽样调查（1）全面调查：考察全体对象的调查叫作全面调查（也叫普查）.（2）抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查办法称为抽样调查.（二）总体、个体、样本、样本容量（拓展）总体是指要考察的全体对象，个体是指组成总体的每一个考察对象，从总体中取出的一部分个体叫作这个总体的一个样本，样本中个体的数量叫作样本容量.注意总体和个体是特指数据，是表示事物某一特征的数据，不是指事物本身.（三）随机抽样在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样. 具体做法是：（1）将每个个体编号；（2）将写有这些编号的纸条或小球放入盒子并搅匀；（3）用抽签的方法抽出一个编号，这个编号对应的个体就被选入样本.也可使用计算器产生随机数来模拟试验.（四）等距抽样（拓展）从总体中抽取样本时，每隔一定的间隔抽取一个个体的方法叫等距抽样，如抽取等号码就是一种等距抽样.（五）分层抽样（拓展）先将总体分成几层，然后再在各层中进行简单随机抽样的方法叫分层抽样.注意用分层抽样的方式所获得的样本，一般具有较好的、广泛的代表性和合理性，因此在实践中应用较普遍.（六）用样本估计总体在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况.所以当样本容量取得恰当，且抽样的方法科学时，可以用样本的特征来估计总体的特征.注意用样本估计总体时，样本必须具有代表性.方法技巧归纳（一）调查方式的选择方法（1）判断一种调查方式是否合适，要看这种调查方式是否具有可行性和代表性.（2）在现实生活中，用简单的随机抽样方法选中的样本要既有代表性，又有随机性，在不影响样本代表性的前提下，也可以釆取另外的抽样方法，但应该保证调查对象在总体中有代表性.点拨普查适合于所调查的数据较少，所费的人力、物力较少的情况，抽样调查适合于不追求精确的数据信息或者收集数据所费人力、物力、时间较多的情况.（二）简单随机抽样的判別方法样本的选取方法是否为简单随机抽样，一般从以下几个方面来判断：（1）选取的样本是否具有代表性；（2）选取的样本容量是否合适；（3）选取的样本各层次是否有遗漏；（4）样本是否可代表总体.点拨选取样本时，容量越大，样本的情况越能反映总体的情况，因此抽样时样本容量要合适，而且要保证每个个体都有可能成为调查对象.（三）总体、个体、样本、样本容量的识别方法对于抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的识别主要依据定义，明确考察对象，正确区分并作出判断.（四）用样本估计总体的方法利用样本估计总体，常见的是用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差，用样本频数分布估计总体频数分布等.易混易错辨析易混易错知识1.全面调查与抽样调查相混淆.全面调查与抽样调查是进行调查、收集数据的两种方式，这两种方式各有所长，各有所短.全面调查收集的数据全面而精确，但却需要花费大量的时间、人力和物力；抽样调查虽然省时、省力，但收集的数据没有全面调查那样准确.2.抽样调查时，选取的样本不合理.在选取样本时，由于对样本不理解，选出的样本不具有代表性而出现错误.对抽样调查的样本选取认识错误中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查调查方式的选择以及用样本估计总体的思想，题目内容多与实际相联系，特别是图表信息题及具有时代气息的题目更是中考的热点，题型常以选择题、填空题、解答题的形式出现，多为中低档题. （一）调查方式的选择（二）样本与总体（三）用样本估计总体第52讲数据的收集、整理与描述知识能力解读（—）收集数据的一般步骤第一步：明确调查问题；第二步：确定调查对象；第三步：选择调查方法；第四步：展开调查；第五步：记录结果；第六步：得出结论.（二）数据的整理数据的整理方法：列表法.对于收集到的数据，往往需要整理才能看出数据的分布规律，常采用表格，利用划记法来整理数据，从而可以清楚地看出所需要调查的情况.所谓划记法就是用“正”字的每一划（笔画）代表一个数据.（三）扇形统计图用圆代表总体，每一个扇形代表总体中的一部分，通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分比，这样的统计图叫作扇形统计图.（1）通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总数量的百分比.（2）扇形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.绘制扇形统计图的一般步骤：（1）将数据分组整理，列出统计表；（2）分别计算各部分在整体中所占的百分比；（3）分别计算各部分相应的扇形圆心角的度数；（4）用圆规画圆，再利用量角器作出各圆心角，从而把圆面按百分比分成若干个扇形；（5）分别将各部分占整体的百分比及相应的名称标注在扇形上，并填写标题.（四）条形统计图条形统计图一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据.条形统计图的作用：能清晰地表示各个项目的实际数据.（五）折线统计图折线统计图是用一个单位长度来表示一定的数量，用折线起伏来表示数量增减变化的一种统计图.绘制折线统计图的一般步骤：（1）画出横纵两条互相垂直的数轴（有时不画箭头）分别表示两个不同的项目；（2）根据横纵各个方向上的各对对应的项目数据描点；（3）用线段依次把相邻两点连接起来.折线统计图的作用：能清晰地显示各个项目的数据在一段时间内的变化，分析数据的变化趋势.（六）频数分布直方图（1）定义：根据频数的分布绘制的条形统计图叫作频数分布直方图.（2）结构：频数分布直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成.横轴表示分组情况，纵轴表示频数，条形图是直方图的主体部分，每一条都是立于横轴之上的一个矩形，底边长都相等，且等于组距，高分别等于各组的频数.（3）画频数分布直方图的步骤：①计算极差；②决定组距与组数；③决定分点，写出各组范围；④列出频数分布表⑤画出频数分布直方图.（4）相关概念：①组距：把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.②频数：落在各个小组内的数据的个数称为频数.（七）频数折线图为了更直观地反映数据的变化规律，我们也常常采用频数折线图.在频数分布直方图中，把每个小矩形的上端宽的中点顺次连接，就得到频数折线图.（八）统计图表的选择 常见的统计图表有频数分布表、扇形统计图、频数分布直方图和频数折线图，它们都能在各个范围之内直观清楚地反映数据.扇形统计图能准确地反映出各部分数量占总数量的百分比.频数分布直方图能准确地反映出各部分的具体数量.频数折线图则能反映出各部分数据的变化趋势.因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图表.注意（1）如果需要表示的数据是分散的，并且需要清晰地表示各组的实际数据，那么使用条形统计图较为适宜.（2）如果需要表示各组数据占整体的百分比，那么使用扇形统计图较为适宜.（3）如果需要清晰地显示各组的数据在一段时期内的变化，或分析数据的变化趋势，那么使用折线统计图较为适宜.方法技巧归纳（一）收集数据的方法收集数据时，应首先明确要调查的问题，确定要调查的对象；其次，选用合适的调查方法进行调查，并正确记录调查结果，通过对记录结果的分析，得出结论.（二）统计图表的应用统计表：将收集到的数据制成表格的形式，使数据直观、清楚，便于进行分析；条形统计图：能清楚地反映每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地反映出各部分在总体中所占的比例.（三）条形图与直方图的识別技巧条形图和直方图非常相似，但又有区别，我们要区分清楚：条形图和直方图都用来描述数据，这是它们的相同之处.但它们的侧重点不同：条形图突出各组的具体数据，侧重比较数据之间的差别，而直方图侧重表示各组频数的分布情况，用于判别各组之间的频数的差别.从图表上看，条形图横轴上的数据是孤立的；而直方图横轴上的数据是连续的；条形图中，各长方形是分开的；而直方图中，各长方形是靠在一起的.（四）从统计图中获取信息的技巧对于多种统计图综合考查的题目，要利用它们提供的信息解答问题，注意不同统计图中相关数据的对应关系.易混易错辨析易混易错知识1.条形图与直方图.条形图与直方图是极其相似的，但又有所不同：条形图突出各組的具体数据，横轴上的数据是独立的，各长方形是分开的；直方图侧重各组频数的分布情况，横轴上的数据是连续的，各长方形是靠在一起的.2.扇形统计图所表示的意义.扇形统计图形象地表示了每一部分所占总体比例的大小，而不是表示每部分的大小.3.对频数分布直方图中小矩形的长和宽表示的意义理解不到位致错.（一）绘制扇形统计图时，计算各部分的百分比之和不等于100%而出错（二）绘制图形不标准致错中考试题研究中考试题研究本讲的考点也是中考的热点之一，主要考查频数的计算、各种统计图表的设计以及对统计得到的数据和制作的统计图表进行分析，从中获取有用的信息，题型多以选择题、填空题出现，有时也有较简单的解答题，多为中、低档的题目.（一）获取图表信息由统计图表获取信息，关键是明确图表中数据所表示的意义，依据所表示的实际意义获取正确的信息.（二）利用统计图表解决实际问题第53讲平均数、中位数和众数（一）平均与加权平均数 1平均数若一组数据为，它们的平均数为，则.平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小或者是集中趋势.一组数据的平均数只有一个.2加权平均数（1）一般地，若个数的权分别是，则叫作这个数的加权平均数.（2）在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫作，这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.3平均数的性质数据的平均数为，则的平均数为；的平均数为（为常数）.点拨（1）当所给数据比较离散时，一般选用公式计算算术平均数.（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式.（3）当数据较大、较多且在某一个常数附近摆动时，用公式计算较容易，其中是原数据与的差组成的新数据的平均数.（二）中位数将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.注意（1）一组数据的中位数是唯一的.（2）当数据个数为奇数时，它的中位数一定是这组数据中的某一个；当一组数据的个数为偶数时，它的中位数不一定是这组数据中的某一个.（三）众数一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.一组数据中，众数可能不止一个.拓展：平均数、中位数、众数的区别与联系名称区别联系平均数（1）平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起相应平均数的变动；（2）—组数据中平均数唯一；（3）平均数不一定是原数据中的数据（1）平均数、中位数及众数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用最为广泛；（2）在实际问题中，求得的平均数、中位数和众数都有单位，它们的单位都与原数据的单位相同中位数（1）某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中存在个别极端数据时，可用中位数来描述其集中趋势；（2）—组数据中中位教唯一；（3）中位数不一定是原数据中的数据众数（1）众数着眼于对各数据出现频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；（2）—组数据中众数不一定唯一；（3）众数一定是原数据中的数据（四）平均数、中位数和众数的使用 平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势.类别特点平均数计算要用到所有数据，能够充分利用数据提供的信息，但受极端值的影响较大中位数一组数据中某些数据多次重复出现时，常使用众数，不易受极端值的影响众数需要很少计算，不易受极端值的影响方法技巧归纳（一）平增数、中位数、众数的计算方法对一组数据的平均数、中位数、众数，要严格按照其定义进行计算，特别是中位数的计算，要注意数据的个数是奇数还是偶数，数据个数为偶数时，其中位数是中间两个数据的乎均数（大小顺序排列后），一组数据的平均数只有一个，而众数可能不止一个.（二）利用平均数、中位数、众数解决实际问题的方法平均数、众数、中位数都反映了一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛.这三个统计量的各自特点是：（1）用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用，但计算比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响.（2）用众数作为一组数据的代表，着眼于对各数据出现的次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量.（3）用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势.（三）平均数、众数、中位数帮你做决策平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势的量，它们刻画了一组数据的“平均水平”，但它们各有特点：计算平均数时，所有的数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息.因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响；中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但不能充分利用所有的数据提供的信息；当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别大的意义.（四）统计图与平均数、众数、中位数的综合应用根据统计图获取相关信息，利用平均数、众数、中位数进行相关计算.易混易错知识易混易错知识1.混淆众数与数据出现的次数.众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是数据出现的次数.2.混淆算术平均数与加权平均数.由于部分学生对加权平均数的概念理解不透，只注重“平均”，常把不能直接用算术平均数的问题错误应用算术平均数求解.3.误认为一组敎据的众数只有一个.如果一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是众数，4.求中位数时，没有按顺序排列数据.中位数是指将数据按从小到大或从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数，它与数据个数有关，当该组数据有偶数个时，中位数等于中间两个数的平均数；当该组数据有奇数个时，中位数等于中间那个数，解题时常由于排列顺序出错导致错误.（一）对平均数的概念理解不透而导致出错（二）误将一个数出现的次数当作众数（三）求中位数时忘记排序而导致出错（四）忽视一组数据的众数可能不止一个 中考试题研究中考命题规律（一）对基本概念的理解（二）利用平均数、众数、中位数解决实际问题第54讲方差知识能力解读（一）方差（1）概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫作这组数据的方差，记作.（2）方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定.点拨：数据，的方差为，则（1），的方差为（为常数）；（2）的方差为（为不为零的常数）.（二）用计算器求方差使用计算器计算方差通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键（如键），便可求出方差.注意不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.（三）拓展：度量数据波动程度的其他量（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差.（2）平均差：一组数据中每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，叫作这组数据的平均差，即为：.（3）标准差：方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，即点拨（1）极差受极端值的影响较大.（2）标准差的单位与原始数据的单位相同.方法技巧归纳（一）方差的计算方法计算方差时，首先计算平均数，然后代入方差公式计算即可.（二）方差的实际应用方差刻画的是数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.利用方差，我们可以解决实际生活中的“优胜劣汰”问题。易混易错辨析易混易错知识1.易将方差与标准差弄混.标准差是方差的算术平方根，标准差的单位是原数据的单位，方差的单位是原数据单位的平方.例如原数据的单位是分，则方差的单位是分2.2.忽视方差判定数据稳定性的作用. 在对数据作评价时，方差是刻画数据波动程度的特征量，用来判定数据的稳定程度.对方差的意义理解不透，在具体问题中搞不清该用方差衡量还是用平均数衡量，导致错误中考试题研究中考命题规律方差历来是中考的必考点之一，主要考查它的计算和简单的应用，题型主要是填空题、选择题及解答题，多为中低档题，多与平均数、众数、中位数以及统计图、统计表综合在一起进行考查.（一）对方差作用的理解（二）方差的计算（三）方差的实际应用第二十一章　作图与设计考情分析高频考点考查频率所占分值1.作一条线段等于已知线段★★5～8分2.作一个角等于已知角★3.作角的平分钱★4.作线段的垂直平分线★★★5.作已知直线的垂线★6.根据已知条件作三角形★★7.作三角形的外接圆★★智能图谱知识能力解读知能解读（一）尺规作图的概念在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。知能解读（二）基本作图1　作一条线段与已知线段相等已知：线段（如图所示）。求作：一条线段长度等于。作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。2　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。求作：，使作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点（2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点；3　作已知角的平分线已知：（如图所示）。求作：射线，使作法：（1）以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内相交于点（3）画射线则就是所求作的射线。4　作已知线段的垂直平分线已知：线段（如图所示）。求作：直线,使垂直平分线段。作法：（1）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；（2）过点作直线，则直线就是线段的垂直平分线。5　过已知点作已知直线的垂线（1）经过直线上一点作这条直线的垂线。已知：直线的垂线，使它经过点C。作法：①以点C的圆心，以任意长为半径画弧，交直线于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作直线，则直线就是所求的垂线。（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线。已知：直线和外一点（如图所示）。求作：的垂线，使它经过点C。作法：①任取一点使点和点在的两侧；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；③分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；④作直线，则直线就是所求的垂线。 知能解读（三）尺规作图的基本步骤（1）已知：写出已知的线段和角，画出图形。（2）求作：求作什么图形，它符合什么条件——具体化。（3）作法：应用“五种基本作图”（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平分已知角，经过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线），叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹。（4）结论：对所作图形下结论。知能解读（四）运用基本作图作三角形在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，、求作，按步骤一边画图一边写好作法。作法中不需要重述基本作图的过程。例如：已知线段和，如图所示，求作使作法：如图所示。①作线段②在的同侧作与交于点则就是所求作的三角形。知能解读（五）过不在同一直线上的三点作圆作圆，使它经过不同一直线上的三点欲作圆使之过，三点，不妨设圆心为，则必有点既在中的垂线上，也在的中垂线上，而与不共线，∴，的中垂线不平行，必相交于一点，由此可知即为交点，且点唯一，当三点位置一定时，可知半径也唯一，故所作圆唯一，如图所示。方法技巧归纳方法技巧（一）基本作图的运用方法基本作图是指作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过已知点作已知直线的垂线，运用上述五种基本作图，可以解决一些作图问题。注意尺规作图一定要准确地写出已知、求作、作法和最后的结果，图形上要保留作图痕迹，这是很重要的，也是作图过程的直观表现。方法技巧（二）利用基本作图作三角形的方法利用基本作图作三角形，常见的有已知三边三角形、已知两边及其夹角作三角形、已知两角及其夹边作三角形以及已知两边和其中一边上的高作三角形等。点拨本题应用了作一条线段等于已知线段和作已知直线的垂线两种基本作图，本题关键是先作出一边上的高。 方法技巧（三）尺规作图在实际生活中的应用现实中的很多设计问题都可以将其转化为尺规作图，利用尺规作图可以有效地解决生活、生产中的实际问题，现举例如下。点拨（1）三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，确定外心时，只需作出任意两边的垂直平分线即可。（2）圆中90°的圆周角所对的弦是直径，此结论是证直径的重要方法。易混易错辨析　易混易错知识在实际问题中，由于对题目理解不透，考虑不全导致错误。易混易错对题目要求和题意理解不透，导致漏掉解的情况而出错中考试题研究中考命题规律本讲知识在中考中所占比例较小，一般不单独考查，常和其他知识一直综合考查。主要是利用基本作图解决有关的实际问题，属基础题、低档题。中考试题（一）对基本作图的理解中考试题（二）动手操作与推理第二十章　圆考情分析高频考点考查频率所占分值1.垂径定理★★★12～20分2.圆心角、弧、弦之间的关系★3.圆周角定理★★4.圆内接四边形★5.三角形的外接圆与内切圆★★6.切线的判定及性质★★★7.切线长及切线长定理★8.正多边形的有关计算★9.弧长及扇形面积公式★★★10.圆锥的侧面积及全面积★★知能图谱 第47讲　圆的有关概念及性质知识能力解读知能解读（一）圆的概念1　概念（1）在描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆。其固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。（2）集合性定义：圆心为、半径为的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合。 2　圆的表示方法以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。3　圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。记忆口诀：圆有两要素，半径和圆心；半径定大小，圆心定位置。知能解读（二）圆的有关概念名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤知能解读（三）圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。知能解读（四）垂直定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，是的直径，是的弦，交于点，若，则注意（1）垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。 （2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1-47-2，是非直径的弦，是直径，若则。注意垂径定理的推论中，被平分的弦不能是直径，如果弦是直径，两直径互相平分，结论就不成立，如图所示，直径平分直径，但不垂直于。（1）垂直定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。（2）一条直线如果具有：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然具备其余三条。知能解读（五）圆心角的定义及与弧、弦之间的关系1　圆心角的定义顶点在圆心的角叫作圆心角。2.弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如图所示，在⊙中，若，则有，。（2）推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。（3）推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。以上三个关系可总结为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。注意圆心角的度数等于它所对弧的度数，不能说圆心角等于它所对的弧。知能解读（六）圆周角的定义及性质1.圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。圆周角具备两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内部的线段都是圆的弦。2.圆周角定理及推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（3）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 点拨（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等。（2）推论2给出了圆中一种常见的作辅助线的方法：若有直径，通常作直径所对的圆周角；反过来，若有的圆周角，通常作直径。知能解读（七）圆内接多边形（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。拓展：对角互补的四边形，其四个顶点在同一个圆上。方法技巧归纳方法技巧（一）运用垂径定理进行解题的方法在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：。根据此公式，在，，三个量中，知道任意两个量就可以求出第三个量。方法技巧（二）利用弧、弦、圆心角之间的关系解题在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等，对应的另外两组量也分别相等。点拨在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等，在证明圆心角或弦相等时常由相应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形，通过证明三角形全等来解决。方法技巧（三）利用圆周角的性质进行解题的方法在求圆周角或圆心角的度数时，通常要找出或构造出同弧（或等弧）所对的圆周角或圆心角。若题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，利用垂径定理或直角三角形求解。注意在圆内，同弧所对的圆周角相等是一个隐含条件，注意其在证明过程中的应用。方法技巧（四）利用圆内接四边形的性质求角的度数利用“圆内接四边形的对角互补”可以求一些不易求得的圆周角的度数。方法技巧（五）圆中两条线段长度之和最小的问题在圆中求两条线段长度之和最小的问题，通常通过转化，运用垂径定理和两点之间线段最短来解决，考查灵活运用知识的能力。易混易错辨析易混易错知识1.直径与弦的关系。直径是弦，但弦不一定是直径，只是过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦。2.在同一个圆中，一条弦所对的圆周角有两种情况，但解题时常因考虑不周漏解。3.应用垂径定理的推论时，对条件的理解不透致错。在应用垂径定理的推论时，平分弦作条件时，必须指出被平分的弦是非直径的弦，否则命题不一定成立。易混易错（一）求平行弦之间的距离出现错误易混易错（二）求一条弦所对的圆周角易漏解 中考试题研究中考命题规律垂径定理，圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系等内容是中考的必考内容，常在圆的半径、弦长的计算中运用。圆周角的知识常与其他的知识综合在一起考查，题型有选择题、填空题及简单的解答题或证明题，属中、低档题。中考试题（一）利用圆的相关概念求解中考试题（二）利用圆的相关概念推理证明第48讲点和圆、直线和圆的位置关系知识能力解读知能解读（一）点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点在圆外点拨（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。知能解读（二）确定圆的条件条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作出无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆注意（1）“不在同一条直线上”这个条件不可忽略。（2）“确定”一词理解为“有且只有”，说明这样的圆是存在的，并且是唯一的。知能解读（三）三角形的外接圆与外心（1）三角形外接圆的相关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心。（2）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。拓展锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，即三角形的外心随三角形的形状变化其位置也发生变化，如图所示。（1）“接”是说明三角形的顶点和圆的关系，而“内”“外”是相对的概念，以一个图为准，说明另一个图在它里面或外面。（2）任何一个三角形的外心均是其两边中垂线的交点，只要三角形确定，其外心和外接圆就唯一确定。知能解读（四）直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离图形公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称交点割线切点切线——点拨（1）设的半径为，圆心到直线的距离为则有：①直线和相交；②直线和相切；③直线和相离。（2）判断直线和圆的位置关系有两种方法：一是根据定义即可公共点个数判定；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定。知能解读（五）切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可简单地理解为“二推一”。知能解读（六）切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。点拨切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。知能解读（七）三角形的内切圆（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。点拨（1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径；（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。方法技巧归纳方法技巧（一）点和圆的位置关系的判别方法点和圆的位置关系，主要依据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断：点与圆心的距离大于半径，点在圆外；点与圆心的距离感等于半径，点在圆上；点与圆心的距离小于半径，点在圆内，反之亦然。点拨确定点与圆的位置关系的方法是计算点到圆心的距离，与半径比较大小，若知道点与圆的位置关系，可判断圆的半径与点到圆心的距离的大小关系。方法技巧（二）三角形外接圆的应用方法三角形的外接圆的有关性质的应用主要有两个方面：一是求外接圆的半径；二是利用外接圆性质解决某些实际问题。点拨直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆。方法技巧（三）直线和圆的位置关系的判别方法直线和圆的位置关系要依据圆心到直线的距离和半径的大小关系进行判断，有相离、相切、相交三种情形。点拨根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系。①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交。方法技巧（四）切线的判定方法圆的切线的判定方法通常分为两种情况：若题目给出直线和圆，但没有给出公共点时，需“作垂直，证半径”，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定；若题目给出直线和圆的公共点时，利用“连半径，证垂直”的方法进行判定。 方法技巧（五）切线性质的应用方法当题目中给出圆的切线时，通常要作出过切点的半径，构造直角三角形解决问题。点拨利用切线的性质构造直角三角形是解决此类问题常用的方法。方法技巧（六）切线长定理的应用切线长定理包括线段相等的角相等两个结论，利用该定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及线段的垂直关系等。图是切线长定理的一个基本图形，可以得出很多结论，如①②③;　④⑤等。注意本题中的两个常识性结论请牢记，以后可以直接用于填空题和选择题的计算中：一是三条切线（本题中的）围成的三角形的周长等于切线长（或）的2倍，二是方法技巧（七）三角形内切圆的应用三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等。解决内切圆的问题，还应利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质，构造直角三角形解决问题。点拨本题不仅应用了三角形内心的性质，而且应用了切线的性质，综合运用两性质是解决问题的关键。易混易错辨析易混易错知识1.三角形的外心与内心混淆。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等，而内心是三角形三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。2.直线和圆的位置关系与线段和圆的位置关系混淆。易混易错（一）证明某直线是圆的切线时，无论直线是否经过圆上一点，都连接圆心与直线上的一点而致错易混易错（二）混淆线段和圆有一个公共点与直线和圆有一个公共点致错中考试题研究中考命题规律本讲的内容是中考的必考内容，主要考查直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆及切线长定理等内容，题型有选择题、填空题和证明题、多为中、低档题。中考试题（一）与切线有关的求解问题中考试题（二）与切线有关的推理论证问题中考试题（三）创新问题的求解点拨本题是阅读理解题，解答阅读理解题的关键是读懂题意，根据题中提供的方法与信息进行解题。第49讲　与圆有关的计算知能解答（一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心（如图1-49-1所示）。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径（如图所示）。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角（1-49-1所示）。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图1-49-1所示）。知能解读（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积点拨（1）由正边形的内角与外角互补，正边形的中心角等于外角，可得正边形的内角与中心角互补。（2）正六边形的边长等于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍。知能解读（三）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意 （1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。知能解读（四）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是②即其中为扇形的弧长，为半径。点拨（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位。知能獬读（五）圆锥的侧面积与全面积（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，其计算公式为圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。方法技巧归纳方法技巧（一）正多边形的有关计算的技巧在解决正多边形的有关计算时，通过作正边形的半径和连接圆心与边的中点的线段，把正边形分成个直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。 方法技巧（二）利用弧长公式进行计算的方法在弧长公式中，已知中的任意两个量，就可以求出第三个量。方法技巧（三）利用扇形面积公式进行计算的方法已知扇形面积，弧长圆心角，半径中的任意两个量，可求出另外的两个量。在利用扇形面积公式时，要根据条件灵活选用合适的公式计算。方法技巧（四）圆锥的侧面积、全面积的求法圆锥的侧面展开图是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面圆的周长。在解决有关圆锥的计算时，关键是理清立体图形与平面展开图的联系与区别，特别是不要混淆底面圆的半径和展开图扇形的半径。点拨此题中扇形的面积就是圆锥的侧面积。方法技巧（五）求圆锥侧面上两点之间的最短距离在圆锥侧面上求最短距离，先把圆锥侧面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解。点拨圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，利用勾股定理解决问题。易混易错辨析易混易错知识1.对弧长或扇形面积公式中的理解错误。2.混淆弧长公式与扇形面积公式。3.混淆圆锥的底面半径和扇形的半径。圆锥的底面半径是扇形是以扇形的弧长为周长的圆的半径，而扇形的半径是扇形围成的圆锥的母线。易混易错（一）对弧长或扇形面积公式中的理解错误易混易错（二）不能正确区分圆锥的侧面展开图的扇形半径和圆锥底面半径，导致错误中考试题研究中考命题规律利用圆的周长、弧长、圆的面积、扇形的面积计算公式解决相关的几何计算和简单几何组合图形的计算是中考的必考内容之一，常以填空题、选择题及解答题的形式出现，难度适中。计算圆锥的侧面积、表面积这一部分知识，常与实际生活相联系，是中考的热点之一，既考查学生掌握知识的情况，又考查学生运用知识解决实际问题的能力。中考试题（一）直接运用公式求解中考试题（二）求阴影部分的面积中考试题（三）圆的综合运用专题三方程(组)与不等式(组）第七章一元一次次方程与二元一次方程组考情分析高频考点考查频率所占分值1.一元一次方程及方程的解★5～12分2.等式的性质★★3.解一元一次方程★4.由实际问题列方程(组）★★5.一元一次方程的应用★6.二元一次方程组的解★★7.解二元一次方程组★★ 8.二元一次方程(组)的应用★★★智能图谱第15讲一元一次方程知识能力解读知能解读（一）方程及一元一次方程的有关概念（1）方程：含有未知数的等式叫作方程.注意判断一个式子是不是方程，要看两个条件：一是等式；二是含有未知数.二者缺一不可.（2）一元一次程：只含有一个未知数(元)，含未知数的项的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.方程(其中是未知数是已知数，并且)叫作一元一次方程的标准形式.一元一次方程具有三个特点:①未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；②含有一个未知数；③含未知数的项的次数是1.三者缺一不可.（3）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值,叫作方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根).（4）解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 注意判断一个数(或一组数)是不是某方程的解，只需看两点：（1）它（或它们）是方程中未知数的值；（2）将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解.二者缺一不可.知能解读（二）等式及其性质（1）等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫等式.像，，，这样的式子，都是等式.我们可以用表示一般的等式.（2）等式的性质：（3）等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等，即如果，那么；（4）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果，那么；如果，那么.拓展等式还具有下列性质：（1）对称性：如果，那么，即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式；（2）传递性：如果，且，那么，这一性质也叫等量代换.知能解读(三)一元一次方程的解法移项法则：方程中的任何一项都可以改变符号后从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项.这个法则叫作移项法则，移项的根据是等式的性质①.（2）解一元二次方程的一般步骤：变形名称具体做法变形依据注意事项去分母在方程得两边同乘各分母的最小公倍数等式的性质②（1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是一个多项式，需加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最大去大括号去括号法则、分赔律（1）不要漏乘括号里的项；（2）不要弄错符号移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程得另一边（记住移向要变号）等式的性质①（1）移项要变号；（2）不要丢项合并同类项把方程化为的形式合同同类项法则（1）未知数及其指数不变，系数相加；（2）不要漏项系数化为1在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解等式的性质②切记分子、分母置颠倒注意解方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活安排求解步骤.知能解读（四）实际问题与一元一次方程简单概括为“审、找、设、列、解、验、答”七个字.即：（1）审清题意和题目中的已知数、未知数；（2）找出能够表示应用题含义的一个等量关系；（3）根据这个等量关系设出需要的未知数，从而列出方程； （4）解这个方程，求出未知数的值；（5）检验解的合理性并写出答案（包括单位名称).注意列方程解应用题的注意事项步骤注意事项设未知数1.设未知数，一般是问什么就直接设什么；2.若直接设未知数有难度，可间接设未知数；3.设未知数时，必须写清楚未知数的单位名称，如“设火车的速度是”是不正确的，应是“设火车的速度千米/时”列方程1.列方程得等量关系是否正确；2.方程两边的量所用单位是否统一解答求得方程的解必须检验，看是否符合题意，是否使实际问题有意义知能解读（五）一元一次方程应用题常见的题型及数量关系归纳内容类型题中涉及的数量关系及公式等量关系注意事项和、差、倍、分问题增长量=原有量×增长率现有量=原有量+增长量现有量=原有量-降低量由题可知弄清“倍数”关系及“多少”关系等等积变形问题长方体体积=长×宽×高圆柱体体积（高，底面圆半径）变形前后体积相等要分清圆的半径、直径行程问题相遇问题路程=速度×时间时间=路程÷速度快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离相向而行，注意出发时间、地点追及问题速度=路程÷时间快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离同向而行，注意出发时间、地点调配问题从调配后的数量关系中找等量关系调配对象流动的方向和数量比例分配问题全部数量=各部分的数量之和把一份的数量设为工程问题工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量一般情况下，把总工作量设为1利润率问题商品的利润率=×100%找出利润、利润率、售价、进价之间的关系打几折就是按原售价的十分之几出售 商品利润=商品售价-商品进价（成本价）数字问题（包括月历表中的数字规律）设分别为一个两位数的个位、十位上数字，则这个两位数可表示为由题可知（1）对于月历表中的数字问题要弄清月历表中的数字规律（2）设间接未知数储蓄问题本金、利息、利率之间的关系式：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）由题可知分清利息和本息和注意以上把一元一次方程应用题几种常见的题型及其特点列表归纳出来，目的是帮助同学们加深理解和记忆，切不可把它当作学习的“拐杖”，死记题型，生搬硬套，要培养分析问题和解决问题的能力，掌握列一元一次方程解应用题的一般方法.方法技巧归纳方法技巧（一）一元一次方程的识别方法方程是一元一次方程的条件有三个:①只含有一个未知数；②含未知数的项的次数是1；③是整式方程且未知数的系数不为0.这三个条件缺一不可.点拨判断一个方程是不是一元一次方程，就看它是否符合：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③含未知数的项的次数都是1.三个条件缺一不可.方法技巧（二）方程的解的应用方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把方程的解代入可求出某些字母的值.点拨(1)把方程的解代入方程时，一定要“对号入座”，只把未知数用这个解来代替，其余不变.（2）当方程中含有多个字母时，指出是关于哪个字母的方程,哪个字母就是方程的未知数，而其他字母都相当于已知数.方法技巧（三）利用等式的性质进行变形利用等式的性质对等式变形时，应分析变形前、后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1，发生乘除变形的依据是等式的性质2.注意（1）等式变形时，等式两边必须进行完全相同的运算，等式才成立；（2）特别注意等式两边同除以一个数(或一个式子)时，这个除数(或除式)不能为0.方法技巧（四）一元一次方程的求解方法（1）解一元一次方程，一般通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，把一元一次方程“转化”成的形式.（2）解方程的过程中，关键要明确步骤，且能灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到），从而使计算简便.在整个求解过程中，注意要避免去分母、去括号、移项时犯错误，因此初学时，最好在求出方程的解后把方程的解代入原方程进行检验.1巧去括号，简化运算点拨对于含有多重括号的方程，关键是去括号，去括号时可以由里向外，也可以由外向里.2巧妙合并，简化过程点拨按常规方法应先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1,本题中如果这样做很繁琐.若将及分别看成一个整体，移项，合并同类项，解答就十分巧妙.3巧去分母，一举两得点拨当方程中分数的分子、分母都含有小数时，一般是运用分数的基本性质，使分子、分母同时扩大10的倍数，将小数化为整数，再去分母.在运用分数的基本性质时应灵活运用，有时在将小数化为整数的同时，可使分母变为1. 方法技巧（五）列一元一次方程解应用题的题型与方法（1）列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数，把等量关系中的各个部分分别用关于未知数的代数式表示出来，根据题中的等量关系列出方程.列方程解应用题中设未知数的方法主要有：①直接设未知数：所谓直接设未知数，就是题目里要求什么，就设什么是未知数.②间接设未知数：有些题目，采用直接设未知数的方法分析条件或列方程比较困难，而如果采用间接设未知数的方法，分析条件或列方程反而比较容易，这样可以间接设未知数，解完方程，再来求题目里所要求的未知量.一般地，如果题目里涉及的几个量之间存在某种数量关系或某种比例关系时，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法.其优点是：列方程和解方程的过程都比较容易.（2）列方程解应用题的三种常用分析方法：①等量分析法：找出题中的等量关系，分析等量关系的左、右两边是否相符.图示法：根据题意画出示意图，利用图形来分析数量间的关系，从而列出方程.（以线段示意图为主）列表法：对于较复杂的应用题,可以将题中的各个量列在表格中进行分析，从而找出等量关系列出方程.（3）—元一次方程是将具体问题“数学化”的重要模型，建模过程如下：这就是说，实际应用题虽然千变万化，种类较多，但都遵循这一思路，注意体会，下面通过一些题型说明其应用.①和、差问题点拨列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系.②打折销售问题点拨本题中的打折销售问题，正确表示售价，合理利用利润率公式是解题关键.③储蓄问题点拨“利息=本金×利率×期数”，正确表示出本息和是解题关键.④行程问题点拨解行程类的应用题，一般用“线段图示法”分析等量关系，直观明了，体现了数形结合的思想.点拨行程问题中常用的关系式：路程=速度×时间（及其关系式变形），在行程问题中一般有三种情况：①相遇问题：等量关系为“速度和×运动时间=距离”；②追及问题：等量关系为“(快行速度—慢行速度）×追及时间=距离”；③航行问题：等量关系为“顺水速度=静水速度+水流速度(及其关系式变形）”或“顺水速度—逆水速度=2倍的水流速度(及其关系式变形）”.本题中甲、乙两人行走的路程的示意图如图所示（图中实线表示甲走的路程，虚线表示乙走的路程). 由图可得出题中的等量关系为：甲走的路程+乙走的路程=在解决行程问题时，画出示意图，可帮助我们更直观地分析题意，找出等量关系.⑤调配问题⑥工程问题点拨此类题一般把总工作量看成1,由两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量来找等量关系，其主要等量关系为：工作量=工作效率×工作时间.⑦数字问题在有关数字问题的应用题中，要弄清数字与数的关系，能够正确表示多位数是解题的关键.如.这类应用题,一般设间接未知数列方程.点拨解答有关数字类问题关键是正确运用代数式表示两位数、三位数等多位数.如十位数字为，个位数字为的两位数可表示为；百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数可表示为.⑧优化方案问题由题意，得3C%+125(36—：y)=5025，点拨此题属于“方案决策类”问题，题中提供了三种门票的价格，故要买其中的两种有三种选择，而要用完所有的钱，就要使所买的两种门票所花钱数和等于总钱数，且要检验方案的可行性.⑨比赛中的积分问题点拨本题为比赛中的轵分问题，等量关系为“胜得分—负扣分=比赛得分”，正确表示出每一部分的分值是关键.易混易错辨析易混易错知识1.方程与等式、代数式的区别与联系.方程一定是等式，是含有未知数的等式；等式不一定是方程，因为等式中不一定含有未知数（如).因此可以简单地说，方程是特殊的等式.而等式的两边都是代数式，代数式不含“=”只含有运算符号.2.方程的解与解方程.方程的解和解方程是两个不同的概念，前者是求得的结果，后者是变形求得结果的过程；前一个“解”是名词,后一个“解”是动词，要区别开来.如是方程的解，而解方程是指求方程的解的过程.3.列方程解应用题中的常见错误.（1）忽略解题的第一步“设”，这容易出现两种错误：①不指出是代表什么意义的量，就用列方程；②指出表示的意义，但不写出的单位.（2）列方程时，单位不统一.（3）对于求得的解，不检验它是否符合实际意义，就盲目作答.易混易错（一）混淆分数基本性质与等式基本性质而致错易混易错（二）去分母时将不含分母的项漏乘，忽视分数线的括号作用易混易错（三）移项时忽视改变符号中考试题研究 中考命题规律本讲主要考点有一元一次方程的解法及列方程解应用题.对于一元一次方程的解法，单独命题很少，常与解应用题结合在一起进行考查.列方程解应用题是中考的必考内容，特别是一些社会经济、家庭生活、生产科技等与实际生产、生活密切相关的问题,是近几年中考中出现频率较高的题目.试题多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要考查学生收集和处理信息的能力、分析和解决实际问题的能力.在中考中以中档题出现，预计今后以社会热点、新闻事件为素材的题目，会成为应用题考查的一个热点.中考试题（一）方程模型的建立点拨找出等量关系是列方程的关系，考察了“由实际问题数学问题（方程模型）”的建模能力.中考试题（二）收集信息、处理信息，列方程点拨根据表中数据判断出该用户用水超过22立方米是解题关键.中考试题（三）利用方程解决实际问题第16讲二元一次方程组知识能力解读知能解读（一）二元一次方程和二元一次方程组的概念（1）二元一次方程：含有两个未知数（和），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.注意二元一次方程必须同时满足三个条件：①含有两个未知数，即未知数的系数不能为0；②含有未知数的项的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式.（2）二元一次方程组：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.常见形式有以下几种：①两个二元一次方程合在一起组成的方程组；②一个一元一次方程和一个二元一次方程合在一起组成的方程组；③两个含有不同未知数的一元一次方程组成的方程组.知能解读（二）一元二次方程的解和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.点拨（1）二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号联立表示.（2）在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的一个值，就可以相应地求出另一个未知数的值.因此，二元一次方程有无数个解.（3）一个二元一次方程有无数个解，但是并不是说任意一对数值都是它的解.（2）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.点拨（1）二元一次方程组的解是方程组中每一个方程的解.但方程组中每个方程的解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立，如（3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多个解，如 有的方程组无解，如知能解读（三）二元一次方程组的解法1消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.2代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫作代入消元法，简称代人法.其一般步骤如下：步骤名称具体做法目的注意1变形用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为（或）的形式选系数简单的方程变形2代入把（或）代入另一个没有变形的方程中消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程代入时要“只代不算”3解解代入后的一元一次方程求出一个未知数去括号时不要漏乘，移项时要变号4回代把求得的未知数的值代入变形后的方程中求出另一个未知数一般代入变形后的方程5写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为的形式3.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程.这种方法叫作加减消元法，简称加减法.其一般步骤如下：步骤名称具体做法目的注意1变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数①选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单.②方程两边同乘某个数时不要漏乘2加减当同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程尽量避免出现未知数的系数为负数的情况3解解消元后得到的一元一次方程求出一个未知数4回代把求得的未知数的值代入方程组中的某个系数较简单的方程中求出另一个未知数求另一个未知数时选择系数较为简单的方程 5写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为点拨用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成如的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错.知能解读（四）三元一次方程组及其解法（1）定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.（2）解法：解三元一次方程组的方法与解二元一次方程组类似，只是多用一次消元，它的基本思路是：（3）解三元一次方程组的一般步骤如下：①把方程组中的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代入法或加减法消去这两组中的同一个未知数，得到一个含有另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组；③将所求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，求得第三个未知数的值，从而求出原方程组的解.注意（1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数；（2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次.知能解读（五）实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解应用题的分析方法和解题步骤与列一元一次方程解应用题类似，一般可按如下步骤进行：实际问题方程（组）解答.具体步骤如下：（1）审题，弄清题目中所给出的相等关系及已知量、未知量；（2）设未知数，其方法通常有两种：①直接设未知数，②间接设未知数，并用含未知数的代数式表示涉及的量；（3）找出能够包含未知数的等量关系，一般情况下，设几个未知数，就需要找几个等量关系；（4）列方程组,根据给定的相等关系建立方程组；（5）解方程组；（6）检验并作答，所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义，并写清单位名称.注意列二元一次方程组解应用题要比列一元一次方程解应用题复杂，而且要求正确地分析出题目中所给的两个等量关系，列出两个方程.方法技巧归纳(一）二元一次方程的识别方法判断一个方程是二元一次方程的标准有三个：一是整式方程；二是含有两个未知数；三是含未知数的项的次数都是1，三者缺一不可.注意(1)二元一次方程中未知数共有两个；（2)分母中不能出现未知数；（3)含未知数的项的次数为1.方法技巧（二）二元一次方程（组）的解的应用方法由二元一次方程(组）的解的定义，可知二元一次方程(组）的解一定满足该方程（组），把它代入方程(组），可求字母系数的取值.反过来，检验方程组的解的方法是将一对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足所有方程时, 才能说这对数值是此方程组的解.如果这对数值不满足其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解.点拨已知二元一次方程组的解，求二元一次方程组中含有的某些字母的值，可把已知解代入方程组中，再解关于这个字母的方程（组）.点拨根据二元一次方程解的定义，把给定的方程的解代入，得到待求字母的方程（组），求解即可.方法技巧（三）用代入法或加减法解二元一次方程组或三元一次方程组的规律技巧运用代入法解方程组的基本思路是：①当方程组中存在用一个未知数表示另一个未知数的方程时，可以直接应用代入法；②若方程组中含有未知数的系数为1（或-1)的方程时，选择这样的方程变形比较简单；③若方程组中不含未知数的系数是1(或-1)的方程，则选择未知数的系数的绝对值较小的方程变形比较简单.（2）加减法是通过“加减”达到消元目的的，解题时注意以下两点：①当方程组不能直接加减消元时，应根据等式的性质把方程两边同乘一个适当的数，使方程组中的某一未知数的系数相等或互为相反数，然后再进行加减消元；②当方程比较复杂时，要先将方程化简后再消元.点拨“代入消元法”与“加减消元法”是二元一次方程组的两种解法，要根据方程组中各个未知数的系数灵活选择法，消去系数简单的未知数.点拨方程组中，有些方程得常数项相等或成倍数关系，可以用消常数项的方法，找出两个未知数之间的关系.点拨利用加减法解三元一次方程组，观察方程组的特征，先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，再解这个二元一次方程组，最后求出第三个未知数的值.方法技巧（四）求二元一次方程的整数解的方法在求二元一次方程的特殊解时，一般先将原方程变形，用一个未知数表示出另一个未知数，然后将各种情况代入逐一讨论.点拨通常情况下，求二元一次方程的特殊解需要分类讨论，注意分类时要全面，不重复、不遗漏.方法技巧（五）利用方程与方程组的解相同，求某个字母的值点拨这里利用了二元一次方程组的解与二元一次方程的解相同，用含的式子表示二元一次方程，组的解，再把的值代入二元一次方程，从而解决问题.方法技巧（六）列二元一次方程组解应用题得方法（1）列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的方法步骤类似，所不同的是：①弄清题意和题目中的数量关系后，一般设两个未知数；②找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个等量关系列方程.在解有关一次方程组的问题时，一般设几个未知数，就需列几个方程.（2）注意以下技巧：①善于把题中各个量之间的关系，用图形(或表格）的形式表示出来，从而易于观察得到等量关系；②分类型归纳思考：对常见类型的应用题，为了迅速列方程，一方面需要熟知它们各自最简捷的列方程的思路；另一方面还要对其中有关量之间的运算关系了如指掌.1认真审题、合理设元审题与设元是列方程组解应用题的关键环节，设元是否合理，直接关系到所列方程组的繁简.点拨解法1是直接设未知数，解法2是间接设未知数，但就具体列方程组和解方程组而言，解法2较为合适，特别是解法1中的方程①极易出错.2借助表格，寻求等量关系的技巧 点拨根据题意判断出两班作为一个团体，总人数超过100人，根据单独购票款和联合购票款列出二元一次方程组是关键.3借助线段图示法，寻求等量关系用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系，列出方程.4借助图形，分析数量关系点拨这是应用二元一次方程组解决简单图形的形状、面积变化问题，是数与形结合的实例，借助图形来分析数量关系，是数学学习中的一种重要思想方法.易混易错辨析易混易错知识1.用加减法解方程组，将运算符号与性质符号混淆.将两个方程相减时，“减去一个数”应该等于“加上这个数的相反数”.在解题时容易把性质符号与运算符号混淆.2.列方程组解应用题时，忽视实际问题的意义造成错误.3.解方程组时，在去分母过程中出现漏乘常数项的错误.4.解三元一次方程组时消元目标不明确，导致第一次消元后还是含有三个未知数.易混易错（一）忽视“未知数系数不为零”的条件易混易错（二）用加减法解方程组对易弄错符号易混易错（三）列方程组解应用题时单位不统一易混易错（四）不能正确找出题中的等量关系中考试题研究中考命题规律本讲考点主要有二元一次方程组的解法及列方程组解应用题，是初中数学的重要内容，是历年来中考考查的重点和热点，题型有填空题、选择题和解答题.与社会有关的热点问题是应用题的命题重点，同时大了对方思想、转化思想的考察.中考试题（二）用代入消元法解方程点拨本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组是通过消元转化为一元一次方程来求解的，转化的基本方法是代入消元法和加减消元法，求解时要根据方程组中的每个方程的未知数的系数的特点选择合适的方法求解.中考试题（三）方程组的解和解方程组的综合应用中考试题（四）二元一次方程组中的新定义点拨本题以新定义运算的形式出现，使简单问题新颖化，能很好地考查同学们的阅读理解能力，新定义运算的关键是把新定义运算根据新定义运算的法则转化为我们熟悉的普通运算求解.本题中新定义的实质是解二元一次方程组，从而确定常数的值，最后转化为求代数式的值.中考试题（五）利用方程组解决实际问题中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的．）1．（3分）下列各数中最小的是　　A．B．C．0D．1 2．（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是　　A．B．C．D．4．（3分）如图，已知，，直线与交于点，与的平分线交于点，若，则的度数为　　A．B．C．D．5．（3分）若点在正比例函数的图象上，则点到坐标原点的距离为　　A．7B．5C．4D．36．（3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、中点，若，，则的周长为　　A．6B．8C．9D．107．（3分）将直线向右平移4个单位后得到直线，则的值为　　A．B．C．D．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点 ，使得是等腰三角形，则这样的点有　　A．4个B．5个C．6个D．7个9．（3分）如图，是直径，若，则的度数是　　A．B．C．D．10．（3分）已知抛物线经过的顶点、，直角顶点在轴的正半轴上，若抛物线的顶点在的内部，则的取值范围是　　A．B．C．D．二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共12分）11．（3分）计算：　　．12．（3分）半径为半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为　　．13．在平面直角坐标系中，是坐标原点，点是第二象限内一点，连接．若与轴的负半轴之间的夹角，，则点到轴的距离约为　　（用科学计算器计算，结果精确到．14．（3分）如图，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则的面积为　　． 15．（3分）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的平行四边形中，的最小值是　　．三、解答题（本题共11小题，共78分，解答应写出过程．）16．（5分）计算：．17．（5分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．18．（5分）如图，已知直线及点、，求作，使得经过点、，且圆心在直线上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．19．（5分）随着电子技术的飞速发展，在“提笔忘字”现象越发严重的今天，由央视推出的《中国汉字听写大会》唤醒了国民对汉字文化的学习，某中学举办“汉字听写大赛”，为了解九年级学生的汉字听写情况，现从参赛的学生中随机抽取了部分九年级学生的比赛成绩，并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．、个（仅含最大值，下同）、个、个、个请根据图中信息，回答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数，并补全上面的条形统计图；（2）若该中学共有3000名学生，试估计该校学生中汉字听写的成绩超过30个的学生人数；（3）根据统计图所提供的信息，读读你的感想．（不超过30个字）20．（7分）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边的延长线上一点，连接、，且．求证：．21．（7分）如图是某市中心一家大型购物商城墙面上的电子屏幕，好学的小希想利用所学的知识测量电子屏幕上下端之间的高度，于是她站在屏幕正前方的点处，测得电子屏幕上端处的仰角为，接着他正对电子屏幕方向前进到达点处，又测得电子屏幕上端处的仰角为，已知图中所有点均在同一平面内，小希的眼睛始终距离地面，，，请你根据以上测量数据，求该电子屏幕上下端之间的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到22．（7分）“滴滴出行”是一款涵盖出租车、专车、快车、顺风车等多项业务在内的一站式出行平台，如今已成为人们出行常用的“打车神器”，如图，分别是“滴滴出行” 旗下甲、乙两辆轿车某天油箱中的剩余油量（升与行驶时间（小时）的函数图象．（1）求所在直线的函数表达式；（2）如图甲、乙两辆轿车分别以90千米小时、80千米小时的行驶速度同时从某地出发，同向而行．那么当两车油箱中的剩余油量相同时，两车相距多少千米？23．（7分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳、、，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．24．（8分）如图，在中，，点是斜边上一点，以为圆心的分别与边、相切于点、，连接、．（1）求证：四边形是正方形；（2）若，，求的半径．25．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点，连接、、．（1）求该抛物线的解析式；（2）是直角三角形吗？请说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）问题探究：（1）如图1，点、、是上三点，，那么　　．（2）如图2，是边长为4的正方形的对角线，在正方形内部（不含边界）找一点，使得，在图中画出满足条件的点所形成的图形，并求出面积的最大值；问题解决：（3）如图3，将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中，点、、分别是家园小区门房及两个停车场，其中，，，为安全期间，在一点安装监控使面积最大，且，是否存在满足条件的点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的．）1．（3分）下列各数中最小的是　　A．B．C．0D．1【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得，各数中最小的是．故选：．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确． 故选：．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（3分）下列运算正确的是　　A．B．C．D．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：、原式，不符合题意；、原式不能合并，不符合题意；、原式，不符合题意；、原式，符合题意，故选：．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）如图，已知，，直线与交于点，与的平分线交于点，若，则的度数为　　A．B．C．D．【分析】先根据平行线的性质求出与的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：，，，．交的平分线于点，，． ，．故选：．【点评】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．5．（3分）若点在正比例函数的图象上，则点到坐标原点的距离为　　A．7B．5C．4D．3【分析】直接把点代入正比例函数，求出的值，然后根据勾股定理即可求得．【解答】解：点在正比例函数的图象上，，．故选：．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、中点，若，，则的周长为　　A．6B．8C．9D．10 【分析】因为四边形是矩形，所以，，，在中，可得，推出，因为．分别是．中点，所以，，，由此即可解决问题．【解答】解：四边形是矩形，，，，在中，，，．分别是．中点，，，，的周长为9，故选：．【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．7．（3分）将直线向右平移4个单位后得到直线，则的值为　　A．B．C．D．1【分析】根据右移减，可得答案．【解答】解：由题意，得新函数解析式为，化简，得，，， ，故选：．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用平移规律是解题关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点有　　A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】本题是开放性试题，由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．【解答】解：由题意可知：以、为腰的三角形有3个；以、为腰的三角形有2个；以、为腰的三角形有2个．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．9．（3分）如图，是直径，若，则的度数是　　 A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和平角的定义即刻得到结论．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查了圆周角定理，平角的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．10．（3分）已知抛物线经过的顶点、，直角顶点在轴的正半轴上，若抛物线的顶点在的内部，则的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】根据点、的坐标求出、的长，再求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线相交于，与轴交于，利用的正切值求出点到轴的距离，设抛物线的交点式解析式，整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在的内部列式求出的取值范围即可．【解答】解：如图，点，，，， 易得，，即，解得，抛物线经过，，对称轴为直线，设对称轴与直线相交于，与轴交于，则，，即，解得，设抛物线的解析式为，则，点在轴正半轴时，，解得，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，表示出抛物线的解析式，根据题意得出的不等式是解题的关键．二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共12分）11．（3分）计算：　　．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式． 故答案为：【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）半径为半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为　5　．【分析】易得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径；【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，圆锥的底面半径为，故答案为：5；【点评】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．13．在平面直角坐标系中，是坐标原点，点是第二象限内一点，连接．若与轴的负半轴之间的夹角，，则点到轴的距离约为　10.34　（用科学计算器计算，结果精确到．【分析】过点作轴于点，根据三角函数求出即可．【解答】解：过点作轴于点，如图所示，；故答案为：10.34．【点评】本题考查了解直角三角形以及点的坐标，由三角函数求出是解决问题的关键．14．（3分）如图，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则的面积为　6　． 【分析】根据题意可以分别设出点、点的坐标，根据点、、在同一条直线上可以得到、的坐标之间的关系，由可知点的横坐标是点的横坐标的2倍，从而可以得到的面积．【解答】解：方法一：设点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一点，且，点的坐标是，设过点，的直线的解析式为：，，解得，，又点在上，，解得，或（舍去），，故答案为：6．方法二：作轴于点，作轴于点，点在为函数图象上一点，，的面积是9，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点， ，，，，故答案为：6．【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．（3分）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的平行四边形中，的最小值是　4　．【分析】首先证明，当时，最短，只要证明四边形是矩形即可解决问题．【解答】解：四边形是平行四边形，，当时，最短，此时，，， 四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共11小题，共78分，解答应写出过程．）16．（5分）计算：．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、三次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、三次根式化简等考点的运算．17．（5分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．【分析】先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①得，，解不等式②得，，不等式组的解集为．不等式组的最大整数解为：．【点评】此题是一元一次不等式组的整数解题，主要考查了不等式得解法和不等式组的解集的确定及整数解的确定，解本题的关键是不等式的解法运用．18．（5分）如图，已知直线及点、，求作，使得经过点、，且圆心在直线上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【分析】先作线段的垂直平分线交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可．【解答】解：如图，为所作．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19．（5分）随着电子技术的飞速发展，在“提笔忘字”现象越发严重的今天，由央视推出的《中国汉字听写大会》唤醒了国民对汉字文化的学习，某中学举办“汉字听写大赛”，为了解九年级学生的汉字听写情况，现从参赛的学生中随机抽取了部分九年级学生的比赛成绩，并绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 、个（仅含最大值，下同）、个、个、个请根据图中信息，回答下列问题：（1）求本次抽取的学生人数，并补全上面的条形统计图；（2）若该中学共有3000名学生，试估计该校学生中汉字听写的成绩超过30个的学生人数；（3）根据统计图所提供的信息，读读你的感想．（不超过30个字）【分析】（1）根据频数百分比数据总数得出总人数，再分别计算和的人数；（2）超过30个的有和，计算两组的百分比的和，与3000相乘即可；（3）根据在“提笔忘字”现象越发严重的今天，由央视推出的《中国汉字听写大会》唤醒了国民对汉字文化的学习，这一主题，并针对学生成绩不好谈谈感想．【解答】解：（1）（名即本次抽取的学生人数为50名；（名，（名，补全的条形统计图如下： （2）（名答：估计该校学生中汉字听写的成绩超过30个的学生人数有1200名；（3）根据统计图提供的信息发现：九年级学生的听写能力普遍较低，书写水平令人担忧，给现在的语文教学敲响的警钟，从现在开始重视汉字书写，并注意笔画字形的正确性．【点评】本题考查了利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（7分）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边的延长线上一点，连接、，且．求证：．【分析】直接利用正方形的性质结合定理得出，进而得出答案．【解答】证明：四边形是正方形，，，，在和中，，，．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出 是解题关键．21．（7分）如图是某市中心一家大型购物商城墙面上的电子屏幕，好学的小希想利用所学的知识测量电子屏幕上下端之间的高度，于是她站在屏幕正前方的点处，测得电子屏幕上端处的仰角为，接着他正对电子屏幕方向前进到达点处，又测得电子屏幕上端处的仰角为，已知图中所有点均在同一平面内，小希的眼睛始终距离地面，，，请你根据以上测量数据，求该电子屏幕上下端之间的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到【分析】先记小希的眼睛依次为、，连接并延长交于点，根据在中，，在中，，可得，解得，进而得到．【解答】解：如图，记小希的眼睛依次为、，连接并延长交于点，由题可得，，，，，，，在中，，在中，，，，解得，，答：该电子屏幕上下端之间的高度为． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22．（7分）“滴滴出行”是一款涵盖出租车、专车、快车、顺风车等多项业务在内的一站式出行平台，如今已成为人们出行常用的“打车神器”，如图，分别是“滴滴出行”旗下甲、乙两辆轿车某天油箱中的剩余油量（升与行驶时间（小时）的函数图象．（1）求所在直线的函数表达式；（2）如图甲、乙两辆轿车分别以90千米小时、80千米小时的行驶速度同时从某地出发，同向而行．那么当两车油箱中的剩余油量相同时，两车相距多少千米？【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式；（2）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式，令求出值，将其代入中即可求出结论．【解答】解：（1）设所在直线的函数表达式为，将、代入中，得：，解得：，所在直线的函数表达式为． （2）设所在直线的函数表达式为，将、代入中，得：，解得：，所在直线的函数表达式为．令，解得：，．答：当两车油箱中的剩余油量相同时，两车相距20千米．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据点、的坐标，利用待定系数法求出所在直线的函数表达式；（2）点、的坐标，利用待定系数法求出所在直线的函数表达式．23．（7分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳、、，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳的概率是；（2）画树状图： 共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，在中，，点是斜边上一点，以为圆心的分别与边、相切于点、，连接、．（1）求证：四边形是正方形；（2）若，，求的半径．【分析】（1）先证明四边形为矩形，再根据，可得出四边形为正方形；（2）连接，先设圆的半径为，利用面积法，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：、分别为半圆的切线，，，四边形为矩形，，四边形为正方形；（2）解：连接，设的半径为．，，． 【点评】本题考查了切线的性质以及正方形的判定，切线垂直于过切点的半径，三个角为直角且有一组邻边相等的四边形为正方形，解题的关键是学会利用面积法，构建方程解决问题，属于中考常考题型．．25．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点，连接、、．（1）求该抛物线的解析式；（2）是直角三角形吗？请说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；（2）根据、、的坐标，可求得三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；（3）假设存在符合条件的点；首先连接，根据、的坐标及（2）题所得三边的比例关系，即可判断出点符合点的要求，因此以、、为顶点的三角形也必与相似，那么分别过、作线段的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得的长，也就得到了点的坐标．【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点， ，解得：，则抛物线解析式为；（2）为直角三角形，理由为：对于抛物线解析式，即顶点坐标为，令，得到，即，根据勾股定理得：，，，，为直角三角形；（3）若，即点和点重合，如图1，连接，，且，，此时点坐标为．若点在轴上，则，如图2，过作交轴正半轴于， ，，即，点．若点在轴上，则，如图3，过作交轴正半轴于，△，，即，，点．符合条件的点有三个：，，．【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点是符合要求的点，是解决此题的突破口．26．（12分）问题探究： （1）如图1，点、、是上三点，，那么　　．（2）如图2，是边长为4的正方形的对角线，在正方形内部（不含边界）找一点，使得，在图中画出满足条件的点所形成的图形，并求出面积的最大值；问题解决：（3）如图3，将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中，点、、分别是家园小区门房及两个停车场，其中，，，为安全期间，在一点安装监控使面积最大，且，是否存在满足条件的点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据圆周角定理即可求出的度数；（2）由于是正方形的对角线，则，因为圆周角所对弦为直径，点在以为直径的半圆（不含、端点）图形上；过点作于点，则，从而可求出的最大值．（3）作的外接圆，连接、、、，当的面积最大，且时，由（2）可知：点与点重合，然后根据勾股定理即可求出点的坐标．【解答】解：（1）点、、是上三点，，故答案为：；（2）满足的点在以为直径的半圆（不含、端点）图形上；是正方形的对角线，，则，圆周角所对弦为直径， 点在以为直径的半圆（不含、端点）图形上；过点作于点，则，，边长为4的正方形，，，即最大值为4；（3）存在满足条件的点；作的外接圆，连接、、、，当的面积最大，且时，点与点重合，此时，点为符合条件的点，连接，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，，点在直线上，设直线交轴于点，则，，，，，在中，由勾股定理得：， ，点关于轴的对称点也符合题意；存在符合条件的点，坐标为或．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，三角形面积，不等式的性质等知识，需要学生灵活运用知识，综合程度较高；声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布中考复习题2009年16.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？17.某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1、图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了多少位学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布折线统计图. 图2图118.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点Ｅ.（１）求△BDE的周长；（２）点Ｐ为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.19.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20 ，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第3个平行四边形……依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积.2010年16．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．⑴试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；⑵请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．17．已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（－1，0），与轴的交点坐标为（0，3）． ⑴求出，的值，并写出此二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值为正数时，自变量的取值范围．第17题图第18题图18．如图，分别以的直角边AC及斜边AB向外作等边，等边．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．⑴试说明AC＝EF；⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．19．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行礼170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共有10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？2011年16．某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？ 第17题图BClDA17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.18．李老师为了解班里学生的作息时间表，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分（每组数据含最小值不含最大值）．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：（1）此次调查的总体是什么？（2）补全频数分布直方图；（3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数占全班人数的百分比是多少？时间(分钟)题19图BCEDAF0题18图1020304050181324频数(学生人数) 19．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．2012年16.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？17.如图，直线与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B。（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求在点C的坐标；若不存在，请说明理由。 题17图18.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数；参考数据：）题1819.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；………………………… 请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：==（2）用含n的代数式表示第n个等式：==（n为正整数）（3）求的值.2013年20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如【表1】和题20图所示的不完整统计图表.(1)请你补全下列样本人数分布表（【表1】）和条形统计图（题20图）；（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.21.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 22.如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1______S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.2014年20、如题20图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）。（参考数据：≈1.414，≈1.732）题20图21、某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，再一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.（1）求这款空调每台的进价： （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？22、某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如题22-1图和题22-2图所示的不完整的统计图。（1）这次被调查的同学共有名；（2）把条形统计图（题22-1图）补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐。据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 2015年20.老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同.老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果.题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.21.如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.22.某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？2016年20、某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务.（1）求这个工程队原计划每天修道路多少米？（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？21、如图9，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HCI，∠HCI=90°，若AC=a，求CI的长.图9 22、某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下体育活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项，为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：（1）这次活动一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于度；（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是人.2017年20.如是20图，在中，.（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）在（1）的条件下，连接AE，若,求的度数。 21.如图21图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，为锐角.（1）求证：;（2）若BF=BC,求的度数。22.某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如题22图表所示，请根据图表信息回答下列问题：（1）填空：①m=(直接写出结果)；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于度；（2） 如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？2018年20．（7分）（2018•广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？21．（7分）（2018•广东）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图．（1）被调查员工人数为　　人：（2）把条形统计图补充完整；（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？ 22．（7分）（2018•广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．第12章全等三角形补差题1班级：___________姓名：___________学号：___________一．解答题（共16小题）1．（2018•巴南区）如图，点A、C、F、D在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝CD，若∠A＝30°，求∠D的大小．2．如图，A、B、C、D在同一条直线上，AD＝BE，BC＝DF，∠ABC＝∠FDE，求证：AC ＝EF．3．（2018•乐山）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．4．（2018•昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．5．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．6．（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB． 7．（2018•苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．8．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC．第12章全等三角形补差题2班级：___________姓名：___________学号：___________9．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数． 10．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．11．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．12．（2018•南充）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．13．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．14．（2018•泸州）如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C． 15．（2018•泰州）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．16．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数． 第12章全等三角形补差题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．证明：∵AF＝CD，∴AF﹣CF＝CD﹣CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D＝30°．2．证明：∵AD＝BE，∴AB＝DE，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF，∴AC＝EF．3．证明：∵∠ABD+∠3＝180°∠ABC+∠4＝180°，且∠3＝∠4，∴∠ABD＝∠ABC在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD＝BC．4．证明：∵∠1＝∠2，∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC ∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC＝DE，5．证明：∵在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．6．证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；7．证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AC＝DF．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．8．证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．9．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB∵∠A＝55°，∠B＝88°∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37°∴∠F＝∠ACB＝37°10．解：结论：DF＝AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B，∵CE＝BF，∴CF＝BE，∵CD＝AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF＝AE．11．证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG．12．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C＝∠E．13．证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．14．证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C＝∠F．15．证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO． 16．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠4＝∠6＝67.5°，∴∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．第25章概率补差题学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________1．“打开电视机，正在播放的是足球比赛”，这是　　事件（填“随机”或“确定”）．2．“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是　　事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）3．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天是　　（必然事件、随机事件、不可能事件））4．（2018•辽阳）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，6个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是　　．5．从，0，π，6这4个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是　　．6．掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数是偶数的概率为　　．7．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是　　．8．任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是　　．9．如图，转动的转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是　　．10．用2，3，4这三个数字排成一个三位数，则排成的三位数是奇数的概率是　　．二．解答题（共13小题）11．在数字1、2、3中任选两个数组成一个两位数，请借助树状图或表格组成两位数能被3整除的概率． 12．（2017•河南）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，0，1．从袋中一次随机摸出两个小球，把上面标注的两个数字分别作为点M的横、纵坐标．（1）请用列表或画树状图的方法列出点M所有可能的坐标；（2）求点M在直线y＝﹣x﹣1上的概率．13．（2017•眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．（1）求袋中红球的个数；（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．14．（2018•锦州）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张（小猪佩奇）角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为　　．（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率． 15．（2018•兰州）在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的概率．16．（2018•徐州）不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀．（1）从中摸出1个球，恰为红球的概率等于　　；（2）从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是多少？（用画树状图或列表的方法写出分析过程）17．（2018•镇江）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，﹣1，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为2的概率．18．（2018•南通）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率． 19．（2018•苏州）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为　　；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．20．（2018•沈阳）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．21．（2018•昆明）为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动．现从A，B，C三支获胜足球队中，随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流．（1）请用列表或画树状图的方法（只选择其中一种），表示出抽到的两支球队的所有可能结果；（2）求出抽到B队和C队参加交流活动的概率．22．（2018•吉林）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率． 23．（2018•湘潭）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？ 第25章概率补差题参考答案与试题解析1．随机．2．随机．3．必然事件；4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．．二．解答题（共13小题）11．解：画树状图：共有6种等可能的结果数，其中组成两位数能被3整除的结果数为2，所以组成两位数能被3整除的概率．12．解：（1）由题意：列表法可得：点M的坐标为（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，1），（1，﹣1），（1，0）；（2）∵（0，﹣1），（﹣1，0）在直线y＝﹣x﹣1上，∴P（点M在直线y＝﹣x﹣1上）．13．解：（1）29010（个），290﹣10＝280（个），（280﹣40）÷（2+1）＝80（个），280﹣80＝200（个）．故袋中红球的个数是200个；（2）80÷290． 答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．14．解：（1）∵姐姐从4张卡片中随机抽取一张卡片，∴恰好抽到A佩奇的概率，故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果数为1，所以姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率．15．解：（1）画树状图得：共有12种等可能的结果（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）；（2）∵在所有12种等可能结果中，在函数y＝x+1的图象上的有（1，2）、（2，3）、（3，4）这3种结果，∴点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的概率为．16．解：（1）从中摸出1个球，恰为红球的概率等于，故答案为：；（2）画树状图： 所以共有6种情况，含红球的有4种情况，所以p，答：从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是．17．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为4，所以所取两点之间的距离为2的概率．18．解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，所以两次取出的小球标号相同的概率为．19．（2018•苏州）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为　　；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 【解答】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为．20．（2018•沈阳）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，所以两人之中至少有一人直行的概率为．21．（2018•昆明）为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动．现从A，B，C三支获胜足球队中，随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流．（1）请用列表或画树状图的方法（只选择其中一种），表示出抽到的两支球队的所有可能结果；（2）求出抽到B队和C队参加交流活动的概率．【解答】解：（1）列表如下：ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）由表可知共有6种等可能的结果；（2）由表知共有6种等可能结果，其中抽到B队和C队参加交流活动的有2种结果， 所以抽到B队和C队参加交流活动的概率为．22．（2018•吉林）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．【解答】解：列表得：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．23．（2018•湘潭）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？【解答】解：（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率．