2021年中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题（学生版）

2021年中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题（学生版）

专题30尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。2.尺规作图的五种基本情况(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。3.对尺规作图题解法写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。4.中考要求(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.(4)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).【例题1】(2020•台州)如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点 C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是(　　)A．AB平分∠CADB．CD平分∠ACBC．AB⊥CDD．AB＝CD【对点练习】(2019•丽水模拟题)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(　　)A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【例题2】(2020•辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　　．【对点练习】(2019武汉)如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　　． 【例题3】(2020•武威)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．(2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【对点练习】(2019•广东模拟题)如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．一、选择题1．(2020•河北)如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是(　　)A．a，b均无限制B．a＞0，b＞12DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜12DE的长2．(2020•襄阳)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(　　)A．DB＝DEB．AB＝AEC．∠EDC＝∠BACD．∠DAC＝∠C3．(2020•贵阳)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(　　) A．无法确定B．12C．1D．24.(2019•河北模拟题)如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是(　　)　A．B．C．D．5.(2019•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6.(2019•湖南长沙)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(　　)A．20°B．30°C．45°D．60° 7.(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(　　)A．(SAS)B．(SSS)C．(ASA)D．(AAS)二、填空题8．(2020•苏州)如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　　．9．(2019济南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　　． 10.(2019甘肃省兰州市)如图，矩形ABCD，∠BAC＝600.以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.三、解答题(一)11．(2020•陕西)如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．(保留作图痕迹．不写作法)12．(2020•长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．(3)画射线OC，射线OC即为所求(如图)．请你根据提供的材料完成下面问题．(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．(填序号) ①SSS②SAS③AAS④ASA(2)请你证明OC为∠AOB的平分线．13．(2020•福建)如图，C为线段AB外一点．(1)求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．14．(2020•北京)已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP＝　　．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC(　　)(填推理的依据)．∴∠ABP=12∠BAC．15．(2020•达州)如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；(2)判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．16．(2019•六盘水模拟题)如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆(任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹)17.(2020大连模拟)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n． 18.(2019•四川省达州市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，求DE的长．19.(2019•广东)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若=2，求的值．20.(2019•广西贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)： 如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．21.(2019山东枣庄)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．22.(2019•湖北孝感)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；(1)线段CD与CE的大小关系是　　；(2)过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值． 23.(2019平谷二模)下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2，(1)在直线l上任取一点A；(2)连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B(点A，B不重合)；(3)连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；(4)作直线PH，交直线l于点H．所以直线PH就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明：∵PH平分∠APB， ∴∠APH=．∵PA=，∴PH⊥直线l于H．()(填推理的依据)24.(2019•甘肃庆阳)已知：在△ABC中，AB＝AC．(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　　．25.(2019•广东广州)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．(1)尺规作图：作弦CD，使CD＝BC(点D不与B重合)，连接AD；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD的周长．四、解答题(二)26.已知线段a、b，画一条线段，使其等于． 27.如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．28.求作一个角等于已知角∠MON(如图1)．图(1)图(2)29.如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．30.如图(1)，已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB(写出作法，画出图形)图(1)图(2)31.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案(保留作图痕迹，不写作法)． 32.已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．图(1)图(2)33.如图(1)所示，已知线段a、b、h(h＜b)．求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．图(1)34.如图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)．35.如图，已知钝角△ABC，∠B是钝角． 求作：(1)BC边上的高；(2)BC边上的中线(写出作法，画出图形)．