中考数学经典压轴题大集合(二)(含解答)-
中考数学压轴题大集合（二）17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.[解]（1）C（5，-4）；（2）能。连结AE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°.在△ABE与△PBA中，AB2＝BP·BE,即,又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA.∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE.（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ·EQ.Q点位置有三种情况：①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程：①当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合题意；②当Q2点在线段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°∴点Q2为AQ2在BE上的垂足，∴AQ2==4.8（或）.∴Q2点的横坐标是2+AQ2·∠BAQ2=2+3.84=5.84,-46-
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,∴点Q2（5.84，-2.88）,③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，即得t=，〖注:此处也可由列得方程；或由AQ32=Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗∴Q3点的横坐标为8+3t=，Q3点的纵坐标为，即Q3（，）.方法二：如上所设与添辅助线,直线BE过B(8,0),C(5,-4),∴直线BE的解析式是.设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,∵易证∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽Rt△EAB,∴,即,∴t=,进而点Q3的纵坐标为，∴Q3（，）.方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,∴∠Q3AB=∠Q3EA，,在Rt△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,∴可得直线AF的解析式为,-46-
又直线BE的解析式是,∴可得交点Q3（，）.18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h）(h>0)，交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i)求拉杆⑤DE的长度；FGxyCBOA图4(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tg∠FOG=tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？[解]（1）用顶点式，据题意设y=ax2+h代入A（d，0）得a=∴y=x2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9据题意OE=d，设D（d，yD）点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，∴DE=5米。(ii)拉杆⑤DE的长度不变。（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h，得：yF=h(1－k2)tg∠FOG=tg∠CAO，=解得（∵0
0设的两根为，则+，3.（2006上海浦东）已知：二次函数图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数的图象与x轴必有两个不同的交点；（3）如果函数的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式．[解]（1）∵二次函数图象的顶点在x轴上，∴，．∴．又∵，∴．∴这个函数图象的开口方向向上．（另解：∵这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴相交，∴这个函数图象的开口方向向上．（2）∵，∴这个函数是二次函数．．∵，∴，．∴Δ>0．∴函数的图象与x轴必有两个不同的交点．（3）由题意，得，．∵，∴．而，点C的坐标为（0，-1）．-46-
∴．∴．∴．∴．∴．∴所求的函数解析式为．4.（2005天津）已知二次函数.（1）若a=2，c=-3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b的值；（2）若a=2，b+c=-2，b>c，且二次函数的图像经过点（p,-2），求证：b≥0；（3）若a+b+c=0，a>b>c，且二次函数的图像经过点（q,-a），试问当自变量x=q+4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.[解]（1）当a=2，c=-3时，二次函数为，∵该函数的图像经过点（-1，-2），∴，解得b=1.（2）当a=2，b+c=-2时，二次函数为∵该函数的图像经过点（p，-2），∴，即于是，p为方程的根，∴判别式△=又∵b+c=-2，b>c，∴b>-b-2，即b>-1，有b+8>0∴.（3）∵二次函数的图像经过点（q，-a）,∴.∴q为方程的根，于是，判别式△=-46-
又∵∴△=又，且a>b>c，知a>0，c<0∴3a-c>0∴∴q为方程的根，∴或.当时，若，则.∵a>b≥0，∴，即，∴若，则.∴当时，二次函数所对应的函数值大于0.5.（2006江苏盐城）已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB，过B作BC⊥AB，交AE于点C.(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；-46-
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．
[解](1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝yAOBxCDGH∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，∴△ABO∽△ABC，∴，由此可求得：AC＝方法二：由题意知：tan∠OAB=(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD，即化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k-16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-16.（2006广东广州）已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0)．(1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n-46-
满足的条件；若不存在，请说明理由．[解]（1）△∵∴△∴该抛物线与轴有两个不同的交点。（2）由题意易知点、的坐标满足方程：，即由于方程有两个不相等的实数根，因此△，即………………….①由求根公式可知两根为：，∴分两种情况讨论：第一种：点在点左边，点在点的右边∵∴∴……………….②∴……………………….③由②式可解得…………………………..④第二种：点、都在点左边∵∴∴……………….⑤∴……………………….⑥由⑤式可解得……….⑦-46-
综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点存在，此时、应满足条件：，或。三、动态几何型压轴题1.（2001天津）已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．[解]（1）∵PQ∥BC，∴．∵BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴PQ＝．∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，PD＝AD－AP＝1．∵PQMN为正方形，DN＝PN－PD＝PQ－PD＝，∴y＝MN·DN＝cm2．（2）∵AP＝x，∴AN＝x．当o≤x＜时，y＝0；当≤x＜4时，；当4≤x＜时，y＝x；当≤x≤8时，y＝2（8－x）＝－2x＋16．（3）将y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）时，得x＝7，即P点距A点7cm；将y＝2代入时，得，即P点距A点cm．2.（2002上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．-46-
图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）[解]图1图2图3（1）解：PQ＝PB证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP＝NC＝MB．∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°． 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB．∴ PQ＝PB．（2）解法一由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．∵AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．-46-
得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．即 y＝x2－＋1（0≤x＜）．解法二作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．∴ PT＝CB＝PN．又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN ＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1∴ y＝x2－＋1（0≤x＜）． （3）△PCQ可能成为等腰三角形①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形， 此时x＝0 ②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）解法一： 此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．∴CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．当－x＝－1时，得x＝1．解法二： 此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．-46-
ONPQMCC1B1A1AB图13.（2006河北课改）如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与ONPQMCAB图2x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？[解]（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形.…………2分ONPQMCABCAB图2ONPQMC1C2B1A1A2B2图1（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC==2x+40(0≤x≤16).由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72.（3）解法一：当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC=-2x+104(16≤x≤32).由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72.解法二：在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.-46-
因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况.当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.4.(2004山东枣庄)如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝5，∠CAB＝45°，点O在BA上移动，以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．ABODC（1）求y与x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切？[解]（1）如图①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△ACE中，AC=5，∠CAB=45°，∴AE=CE=AC·sin45°=．∴BE=AB－AE=17－5=12，．∴ tanB=．∵CB切⊙O于点D，∴OD⊥BC．又=tanB=，∴BD=．∵S四边形AODC=S△ABC－S△BOD，∴－．ABCDEFO①ABCDOG②(2)过点C作CF⊥CB交AB于F．-46-
在Rt△BCF中，CF=BC·tanB=13×．∴x的取值范围是0＜x≤．（3）当⊙O与BC、AC都相切时，设⊙O与AC的切点为G，连结OG、OC（如图②），则OG=OD=x．∵ S△AOC+S△BOC=S△ABC，∴．∴ ．5.（2004浙江宁波）已知是半圆的直径，AB＝16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合)，PQ⊥AB，垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C．（1）当P点与O点重合时(如图1)，求⊙O2的半径r；图⑵图⑴AO（P）N·O2·O1MCQBP·AON·O2·O1MCQB（2）当P点在AB上移动时(如图2)，设PQ＝x，⊙O2的半径r．求R与x的函数关系式，并求出r取值范围．[解](1)连结OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D．∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切，∴OO2＝8－r，O1O2＝4＋r．∵四边形ODO2C是矩形，∴OD＝r，O1D＝4－r根据勾股定理得:，即:，∴r＝2．(2)∵AB是⊙O直径，PQ⊥AB．∴PQ2＝AP·PB．设⊙O1半径是a，则x2＝2a（16－2a）＝4（8a－a2）．连结OO2、O1O2、O2C，作O2D⊥AB于D∴＝，＝，-46-
，，根据勾股定理得:，即:，化简得:．∴，即．∵为0≤x≤8，∴0≤r≤8．AQB图⑴O（P）N·O2·O1MCBD图⑵P·AON·O2·O1MCQD6.（2005河北）如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM＝DC＝12[解]ABMCDPQ图3∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2得，解得t＝；A②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：即。由于Δ＝－704＜0∴无解，∴PB≠BQ-46-
③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得整理，得。解得（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。PAEEDCQBO图4（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。∴t＝。过点Q作QE⊥AD，垂足为E，∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。在RT△PEQ中，tan∠QPE＝PAEEDCQBO图5（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得，即。解得t＝9所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。7.（2005河南）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。[解]（1）过点D作DE⊥BC于E，∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，又∵DC＝2，∴EC＝＝2∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3∴S四边形ABPD＝＝4－x，即 y＝－x＋4(0＜x＜3）（2）当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为，∴①当⊙P与⊙D外切时，(x＋)2＝x2－4x＋8，解得 x＝此时四边形ABPD的面积y＝4－＝-46-
②当⊙P与⊙D内切时，(x＋)2＝x2－4x＋8，解得 x＝此时四边形ABPD的面积y＝4－＝∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为或8.（2005江苏宿迁）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）．（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．[解]（1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，解得 ＝1，＝2∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2；（2）①当0＜≤2时，S＝＝； ②当2＜≤3时，S＝＝； ③当3＜≤4.5时，S＝＝；（3）有；①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S1＝； ②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S2＝；③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S3＝；∵S1＜S2＜S3 ∴＝时，S有最大值，S最大值＝．-46-
9.（2005江苏泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠ACC′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；E′D′图2图3D′E′图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.[解]（1）BE=AD证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°CA=CB，CE=CD∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD∴BE=ADTS（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQT=60°∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ∴QT=QC=x∴RT=3－x∵∠RTS＋∠R=90°∴∠RST=90°∴y=×32－(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)（3）C′N·E′M的值不变证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°∵∠CNC′＋∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′∵∠E′=∠C′∴△E′MC∽△C′CN∴∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=-46-
10.（2005江苏南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．[解]（1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图1）O－3yBxAPQα图1∵点A坐标是（－10，0），∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10．又∵点B坐标是（－8，6），∴BQ＝6，OQ＝8．在Rt△OQB中，．∴OA＝OB＝10，．由翻折的性质可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10，∴四边形OAPB是菱形，∴PB∥AO，∴P点坐标为（－18，6），∴P1点坐标为（－18＋m，3）．（2）①当0＜m≤4时，（如图2）,过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1Q1＝6-3＝3，xOyBAP1A1O1B1Q1FαQβ图2P设O1B1交x轴于点F，∵O1B1∥BO，∴∠α＝∠β，在Rt△FQ1B1中，，∴，∴Q1F＝4，∴B1F＝＝5，∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，xOBAP1A1O1B1图3PSHFy∴AF＝AQ+QQ1+Q1F＝2+m+4＝6+m，∴周长l＝2（B1F＋AF）＝2（5＋6＋m）＝2m＋22；②当4＜m＜14时，（如图3）设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H，OSyBSxA由平移性质，得OH＝B1F＝5，此时AS＝m－4，-46-
∴OS＝OA－AS＝10－（m－4）＝14－m，∴周长l＝2（OH＋OS）＝2（5＋14－m）＝－2m＋38．11.（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。（1）写出C点的坐标；（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形。[解]（1）C（1，2）（2）过C作CEx轴于E，则CE＝2当动点N运动t秒时，NB＝t∴点Q的横坐标为3—t设Q点的纵坐标为yQ由PQ∥CE得∴∴点Q（）（3）点M以每秒2个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2tS△AMQ＝＝＝当t＝2时，M运动到A点，AMQ存在，∴t2∴t的取值范围是0≤t＜2（4）由S△AMQ＝。当-46-
（5）、①若QM＝QA∵QP⊥OA∴MP＝AP而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t即1＋t＝3—3tt＝∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。②若AQ＝AMAQ2＝AP2＋PQ2＝AQ=AM＝4—2t＝4—2t∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。③若MQ＝MAMQ2＝MP2＋PQ2＝∴＝解得t＝或t＝—1（舍去）∵0＜＜2∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。综上所述：当t＝、t＝或t＝△QMA都为等腰三角形。12.(2005浙江温州)如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。⑴求x为何值时，PQ⊥AC；-46-
⑵设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；⑶当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)[解]（1）∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ∴4－x＝2×2x，∴x＝，∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC；（2）当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝x∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－（3）当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，∴HC＝x，∴BP＝HC∵BD＝CD，∴DP＝DH，∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，∴OP＝OQ∴S△PDO＝S△DQO，∴AD平分△PQD的面积；（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。13.（2005上海静安）如图4，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．（1）求的值；（2）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．[解]（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，-46-
∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，∴．（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，∵OE是⊙C的弦，，在Rt△ACF中，AF=AC·=，∵AF+OF=OA，∴.∴函数解析式为．函数定义域为（3）⊙C可能与⊙O相切．在Rt△AOD中，OD=．当⊙C与⊙O相切时，OC=，∵CD==，，∴．∴⊙C与OA相于点O，不符合题意．∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为14.（2005上海闵行）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，．点E在AD边上，且，连结CE．点P是AB边上的一个动点，过点P作，交BC于点Q．设，．ABCDPEQ(1)求的值；(2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当时，求x的值．[解](1)过点A作，垂足是点F．∵，，，，∴．在Rt△ABF中，，∴．(2)分别延长BA、CE，交于点G．∵，，∴．∵，∴，-46-
∵，∴，即得．∵，，∴，即，．由，，得．所以，y与x的函数解析式是，．(3)当时，得，解得．所以，当时，．15.16.（2006广东课改）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。[解](1)作BQ⊥x轴于Q.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠BAQ＝∠COA＝60°在RtΔBQA中,BA=4,∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,∴OQ=OA-AQ=7-2=5∵点B在第一象限内,∴点B的的坐标为(5,)(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,∴点P的坐标为(4,0)-46-
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4∴点P的坐标为(-4,0)∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)(2)若∠CPD=∠OAB∵∠CPA=∠OCP+∠COP而∠OAB=∠COP=60°,∴∠OCP=∠DPA此时ΔOCP∽ΔADP∴∵∴,AD=AB-BD=4-=AP=OA-OP=7-OP∴得OP=1或6∴点P坐标为(1,0)或(6,0).17.（2006上海静安）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．（1）求证：△AOB∽△BDC；（2）设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域．（3）△BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．[解](1)∵大⊙O与CD相切于点C，∴∠DCO=90°.∴∠BCD+∠OBC=90º,∵CB⊥AD，∴∠ABO+∠OCB=90º,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠BCD=∠ABO.∵小⊙O与AB相切于点A，∴∠BAO=90°.∴∠CBD=∠BAO．∴△AOB∽△BDC．(2)过点O作OH⊥BC，垂足为H．∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90º，∴四边形OABH是矩形.∵BC是大⊙O的弦，∴BC=2BH=2OA=2，-46-
在Rt△OAB中，AB=．∵△AOB∽△BDC，∴，∴，∴函数解析式为，定义域为．(2)当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，∴EBEC．当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．则设OC=x,则CE=,,(负值舍去).∴OC=.综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．18.（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）[解]（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴，．-46-
∴FG＝＝3cm．∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC．∴x＝＝×3＝1.5（s）．∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5cm．∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH．∴．∴．∴AH＝（x＋5），FH＝（x＋5）．过点O作OD⊥FP，垂足为D．∵点O为EF中点，∴OD＝EG＝2cm．∵FP＝3－x，∴S四边形OAHP＝S△AFH－S△OFP＝·AH·FH－·OD·FP＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x）＝x2＋x＋3（0＜x＜3．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．则S四边形OAHP＝×S△ABC∴x2＋x＋3＝××6×8∴6x2＋85x－250＝0解得x1＝，x2＝－（舍去）．∵0＜x＜3，∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．19.（2006河北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ-46-
．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；APCQBD（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．[解]（1）由题意知CQ＝4t，PC＝12－3t，∴S△PCQ=．∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，∴y=2S△PCQ．（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形， ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t，CP＝12－3t， ∴，解得t＝2． ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形．（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图2，若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，∴图2APCQBDMRt△QMD∽Rt△ABC，从而，∵QD=CQ=4t，AC＝12，AB=20，∴QM=．若PD∥AB，则，得，解得t＝．∴当t＝秒时，PD∥AB．（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．时间段为：2＜t≤3．四、几何探究型压轴题1.（2004福建南平）已知：如图①,A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B、设PA＝m,PB＝n.（1）当n＝4时，求m的值；-46-
（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？（图②、图③供解题时选用）AB图①P·OA·OA·O图②图③[解]（1）解法一：连结OB∵PB切⊙O于B∴∠OBP＝90O∴∵PO＝2+m，PB＝n，OB＝2∴当n＝4时，解得（舍去），∴m的值为解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线又∵PB切⊙O于B∴分∵PB＝n，PA＝m，PO＝m+4∴当n＝4时，解得（舍去），∴m的值为分（2）存在点C，使△PBC为等边三角形当∠OPB＝30O时，过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点．∴PB＝PC，∠OPB＝∠OPC∴∠BPC＝60O，∴△PBC为等边三角形连结OB，∠OBP＝90O,OB＝2，得OP＝4∴m＝PA＝OP－OA＝22-46-
（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D,当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求连结OB、OM，易得四边形OMDB为正方形．∴BD＝DP＝OM＝2∴n＝PB＝4由（l）得n＝4时，m＝∴当m＝时⊙O上存在唯气点M和PB构成以PB为底的等腰三角形…13分此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形（这3点分别是M，M1,M2其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M1是延长BO与⊙O的交点，M2是点B关于OP的对称点）ABP·OMDEF2.（2005福建南平）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=900，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，BCA图甲则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，21时，请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）[解]（1）正确画出分割线CD（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线，若画成直线不扣分）-46-
理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°∴△BCD∽△ACB（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为∴S=当n=5时,S=≈9.77当n=6时，S=≈2.44当n=7时,S=≈0.61∴当n=6时,2＜S＜3S=S×S②S=4S,S=4S3.（2005广西玉林）如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线AT上的一个动点(P与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．(1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．[解](1)连结AC．因为AT⊥AB，AB是⊙O的直径，所以AT是⊙O的切线．又PC是⊙O的切线，所以PA=PC．所以∠PAC=∠PCA．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°.所以∠ADC=∠PCD．所以PD=PC=PA．(2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形．-46-
因为AT⊥AB，CE⊥AB，所以AT∥CE．所以CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BP．所以CF/PD=EF/PA．所以CF=EF．(6分)可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形．(7分)(3)由(1)知，PA=PCPD，所以PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R．由(2)知，CF=EF，而CF=1/4R，所以EF=1/4PA．所以EF/PA=1/4．因为EF∥AT，所以BE/AB=EF/PA=1/4所以CE==BE在Rt△ACE中，因为tan∠CAE=/3．所以∠CAE=30°.所以∠PAC=90°-∠CAE=60°.而PA=PC，所以△PAC是等边三角形．所以∠APC=60°P点的作图方法见图．4.（2005湖南常德）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：FPDE(1)求证：CP是⊙O的切线。B(2)当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程。(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·BO成立？试写出你的猜想，并说明理由。[解](1)连结OC，证∠OCP=90°即可(2)∵∠B=30°∴∠A=∠BGP=60°∴∠BCP=∠BGP=60°∴ΔCPG是正三角形.∴PG=CP=∵PC切⊙O于C∴PC2=PD·PE=-46-
又∵BC=∴AB=6FD=EG=∴PD=2∴PD+PE=∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2－48x＋10=0(3)当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立。要让此结论成立，只要证明ΔBFG∽ΔBGO即可，凡是能使ΔBFG∽ΔBGO的条件都可以。5.（2005陕西）已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。PQMNab图①（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。（2）我们继续探究，发现用两条平行直ab图②线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。请你在图③中画出一种图形，使夹在PQMNab图④S1S2S3S4nm平行直线a和b之间的两条曲线段相等。ab图③（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。[解]PQMNab图例：（1）P（Q）MNab或-46-
（2）PQMNab图例：PQMNab或（3）∵△PMN和△QMN同底等高。∴S△PMN＝S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4∵△POQ∽△NOM，∴∴S2＝∵，∴∴∵m＞n，∴∴S1+S2＞S3+S4故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。6.（2005重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。-46-
[解]（1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形∴＝PM·PE＝，＝PN·PF＝又∵BD是对角线∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC∵，∴＝∴（2）成立，理由如下：∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形仿（1）可证过E作EH⊥MN于点H，则∴同理可得又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A∴∴PM·PE＝PN·PF，即（3）方法1：存在，理由如下：由（2）可知，∴又∵，即，而，-46-
∴即∴，故存在实数或，使得方法2：存在，理由如下：连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、，即，即∴∴即∴∴，故存在实数或，使得7.（2006江西南昌）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN.②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°,则BM=CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②-46-
做对的得3分，选③做对的得5分）（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）②如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.[解]（1）选命题①证明：在图1中，∵∠BON=60°，∴∠CBM+∠BCN=60°.∵∠BCN+∠ACN=60°，∴∠CBM=∠ACN.又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°，∴△BCM≌△CAN.∴BM=CN.选命题②证明：在图2中，∵∠BON=90°，∴∠CBM+∠BCN=90°.∵∠BCN+∠DCN=90°，∴∠CBM=∠DCN.又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°，∴△BCM≌△CDN.∴BM=CN.选命题③证明：在图3中，∵∠BON=108°，∴∠CBM+∠BCN=108°∵∠BCN+∠DCN=108°，∴∠CBM=∠DCN.又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°，∴△BCM≌△CDN.∴BM=CN.（2）①当∠BON=时，结论BM=CN成立.②BM=CN成立.证明：如图5，连结BD、CE.在△BCD和△CDE中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∴△BCD≌△CDE.∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD.∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD.-46-
又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN.∴△BDM≌△ECN.8.（2006山东日照）阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC+BP·BD=AB2．证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90ｏ，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB2．当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．[解]（1）AP·AC+BP·BD=AB2还成立．证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=900，∴点C、D在以PM为直径的圆上，∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，由已知，AM·MD+BM·BC=AB2，∴AP·AC+BP·BD=AB2．（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②由图象可知：AB=AM-BM，③由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB2．9.（2006江苏宿迁）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r图①d＝a＋ra－r＜d＜a＋rd＝a－rd＜a－r所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；-46-
（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图②公共点的个数d＞a＋rd＝a＋ra≤d＜a＋rd＜a所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；图③（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．[解]图①（1）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a－r＜d＜a＋r2d＝a－r1d＜a－r0所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；图②（2）BCDFEd、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a≤d＜a＋r2d＜a4-46-
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）方法一：如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r．在Rt△OCF中，由勾股定理得：OF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r24a2－4ar＋r2＋a2＝r25a2＝4ar5a＝4r∴r＝a．BNE方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE．∵四边形BCMN为正方形∴∠C＝∠M＝∠N＝90°∴BD为⊙O的直径，∠BED＝90°MD∴∠BEN＋∠DEM＝90°C∵∠BEN＋∠EBN＝90°∴∠DEM＝∠EBN∴△BNE∽△EMD∴∴DM＝a由OE是梯形BDMN的中位线得OE＝（BN＋MD）＝a．（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．-46-
