中考数学专题复习练习：有理数的乘除

中考数学专题复习练习：有理数的乘除

‎《有理数的除法》典型例题一 例　计算：（1）； （2）‎ 分析：（1）题应选用除法法则（二）；（2）题应先把带分数化成假分数，然后运用除法法则（一）进行计算．‎ 解：（1） （除法法则（二））‎ ‎（2）‎ ‎ （将带分数化成假分数）‎ ‎ （除法法则（一））‎ ‎ （乘法法则）‎ 说明：要注意负数的倒数仍是负数．‎ ‎《有理数的除法》典型例题二 例 计算：‎ ‎（1）（－25.6）÷（－0.064）；（2）．‎ 分析 根据两个数相除确定符号的方法，我们先确定商的符号，再把绝对值相除．‎ 解 （1）（－25.6）÷（－0.064）‎ ‎＝＋（25.6÷0.064）‎ ‎＝400；‎ ‎（2）‎ 说明： （1）小学学过的一个数除以一个分数的方法在这里仍然适用，即除以一个数等于乘以这个数的倒数；（2）在小学除法可以转化为乘法进行，这里依然可以进行．这里和小学不同就在于确定商的符号；（3）在除法中零是不能做除数的．‎ ‎《有理数的除法》典型例题三 例 化简（1） （2） （3）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 说明：分数线“－”相当于“÷”的作用，利用有理数除法法则可化简带有分数线的数．‎ 有理数的除法》典型例题四 例 计算：‎ ‎（1）；（2）．‎ 分析 （1）是连除法运算，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以把除法变为乘法来做．（2）是乘除混合运算，但做法和（1）类似．‎ 解 （1）方法一 方法二：‎ ‎（2）‎ 说明：（1）在连除和乘除混合运算中，如果含有分数一般将其变为乘法运算比较方便；（2）在除法和乘除混合运算中，不满足结合律和交换律；（3）连除运算和乘除混合运算也可以像几个有理数相乘一样先确定符号，确定符号的方法和几个数相乘确定符号的方法基本相同．‎ ‎《有理数的除法》典型例题五 例 计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 说明：有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号通常先算括号里面的；如果无括号，则按照“先乘除、后加减”的顺序进行，如第（3）题；在将混合运算中的除法转化为乘法后，有时运用乘法运算律会简化计算．如第（1）题；第（2）题是将除法转化乘法后，逆用了乘法分配律；第（4）题是将转化成为．达到简化计算的目的．‎ ‎《有理数的除法》典型例题六 例 填空 ‎（1）如果，那么 ‎（2）如果，那么 ‎（3）如果，那么 ‎（4）如果，那么 解：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＝‎ 说明：此题是有理数除法法则中符号确定的应用，它将有理数除法，同号得正，异号得负，运用代数的方法表示出来。（1）（2）题是异号两数相除；（3）题是同号两数相除；（4）题是0除以任何不为0的数都为0。‎ ‎《有理数的除法》典型例题七 例 三个数a、b、c为不等于零的有理数，其积是负数，其和是正数．求的值．‎ 分析：根据多个有理数相乘的符号法则，可知，若a、b、c的积为负，则有奇数个负数，又其和为正，则a、b、c三个数中必有二正一负．再根据绝对值的意义，化简绝对值．‎ 解：因为，所以a、b、c三个数中必有二正一负．‎ 所以．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题一 例 计算：‎ ‎（1）（－2）×（－7）；（2）．‎ 分析 （1）和（2）都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘．‎ 解 （1）（－2）×（－7）＝＋（2×7）＝14．‎ ‎（2）．‎ 说明：（1）为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的．（2）我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题二 例 计算：时，应首先（ ）‎ A．把小数化为分数，或者把分数化为小数 B．利用符号法则确定乘积的符号 C．把带分数化为假分数 D．考虑怎样使用乘法结合律或者交换律 分析 有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值．‎ ‎ 解 选B．‎ ‎ 说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用．‎ ‎ 就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号），这样就增加了运算步骤．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题三 例 计算 分析：此题可先用乘法交换律、结合律将算式变形为，再计算，也可以先确定积的符号，然后在计算绝对值时，再运用交换律、结合律，使运算简便．‎ 解法1：原式 解法2：原式 说明：本例的第二种解法比第一种解法简便．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题四 例 计算：‎ ‎ 分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些．本题中，由于“81”是9（第一个因数的分母的倍数），‎ ‎“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算．‎ 解 ‎ ‎ ‎ ‎ 说明：（l）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分．‎ ‎ （2）上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现．‎ ‎ 概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”．‎ ‎《《有理数的乘法》典型例题五 例 计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）17.6×（－10）×（－0.5）．‎ 分析 （1）和（2）是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的．‎ 解 （1）‎ ‎（2）17.6×（－10）×（－0.5）‎ ‎＝－176×（－0.5）‎ ‎＝88．‎ 说明：（1）乘法法则是对两个数相乘而言的，当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；（2）由该题我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题六 例 计算：‎ ‎（1）；（2）．‎ 解 （1）‎ ‎（2）‎ 说明：在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化．初学者中间分别相乘的步骤是为避免出错而设的，熟练之后可以省略．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题七 例 计算：2002×20032003－2003×20022002．‎ 分析 所乘积位数较多，直接计算较麻烦，两组因数结构相同，应该利用这一特点．‎ 解 2002×20032003－2003×20022002‎ ‎ ＝2002×（2003×10001）－2003×（2002×10001）‎ ‎ ＝2002×2003×10001－2003×2002×10001‎ ‎ ＝0．‎ 说明： 冷静分析，尽量“绕”过繁琐的计算，这是计算中必须注意的．小括号的出现与“消失”，更是灵活性的体现．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题八 例 用简便方法计算 ‎（1）211×555＋445×789＋555×789＋211×445；‎ ‎（2）－3.14×35.2＋6.28×（－23.2）－1.57×36.8．‎ 分析：第（1）题是含有加法和乘法的混合运算，但仔细观察发现，只要把211×555与211×445交换位置，然后就可利用结合律将前两项结合，后两项结合，即分成两组，再分别在每组中“逆用”分配律即可．也可将445×789与211×445交换位置，方法同上．第（2）题粗看起来似乎没有什么简便算法，但如果仔细观察就会发现．3.14、6.28和1.57之间的倍数关系，因此也可逆用乘法分配律进行简便计算．‎ 解：（1）211×555＋445×789＋555×789＋211×445‎ ‎＝211×445＋445×789＋555×789＋211×555‎ ‎＝445×（211＋789）＋555×（789＋211）‎ ‎＝445×1000＋555×1000‎ ‎＝（445＋555）×1000＝1000000．‎ 或211×555＋445×789＋555×789＋211×445‎ ‎＝211×555＋211×445＋555×789＋445×789‎ ‎＝211×（555＋445）＋789×（555＋445）‎ ‎＝211×1000＋789×1000‎ ‎＝（211＋789）×1000‎ ‎＝1000000‎ ‎（2）－3.14×35.2＋6.28×（－23.2）－1.57×36.8‎ ‎＝－1.57×2×35.2＋1.57×4×（－23.2）－1.57×36.8‎ ‎＝1.57×〔－2×35.2＋4×（－23.2）－368.8〕‎ ‎＝1.57×（－70.4－92.8－368.8）‎ ‎＝1.57×（－200）‎ ‎＝－314．‎ 说明：分配律在有理数的运算以及今后的代数式运算及变形中都有着广泛的应用．它的顺用（即从左到右）与逆用（从右到左）对于不同形式的计算与变形起着简化作用．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题九 例 用“＞”或“＜”填空：‎ 若m、n为有理数，则 ‎（1）若，且，则；‎ ‎（2）若，且，则；‎ ‎（3）若，且，则；‎ ‎（4）若，且，则。‎ 解：（1） （2） （3） （4）‎ ‎《有理数的乘法》典型例题十 例 有理数在数轴的位置如图，则下面关系中正确的个数为（ ）‎ ‎① ② ③ ④‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 分析 由图可知且，因为，而 所以，①正确．‎ 由乘法法则知，②正确．‎ 因为，所以 所以③正确．‎ 因为，且 所以，所以，④错．‎ 综合起来有3个关系正确，应选C．‎ 解 选C．‎ 说明：（1）做这类题首先应详细观察图形，列出图形中给我们的信息；（2）把图中给的信息加以选择，结合有理数的运算法则加以应用，就可以使问题得到解决．‎ ‎《有理数的乘法》典型例题十一 例 如图给出的两个数我们可以得出如下结论，试通过改变表示数或数的点，其中一点的位置，使上面的两个结论同时发生改变．‎ 分析 要使结论发生改变，我们就应考虑到可能得到的结论；由题可知结论可能有以下可能，和，而从前两个结论和后两个结论中各拿出一个进行组合我们就得到可能得到的结论：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 下面我们就试着调整或的位置，看是否可以得到上面的结论．‎ ‎（1）调整和一点的位置要使，这时只能有，且和都不为0，所以，这就是说结论（1）不可能由调整和其中一点的位置得到．‎ ‎（2）同理，当时，，不成立．‎ ‎（3）、（4）我们容易发现是不能通过调整的位置得到的，因为要使，且，这时必须有，这时就得不到和，所以我们只有考虑调整的位置．‎ 因为，又，所以，而这时，这就是说当我们把的位置调整到原点时，就得到结论（3）；‎ 因为，所以，且这时，，这就是说当我们把的位置移动到原点的左侧时我们就可以得到结论（4）．‎ 解 如图①当的位置移动到原点时，可以得 如图②、③、④，当的位置移动到原点的左侧时，可以得 所以，图①、②、③、④所示改变的位置的方法，都可以使原有的两个结论同时发生改变．‎ 说明： 这类问题结论不惟一，所以我们要尽可能考虑的全面一些．‎ ‎《有理数的除法》填空题 ‎1．一个数与0.02的积是－0.6，这个数是____；‎ ‎2．如果，那么；（填“＞”“＜”或“＝”）‎ ‎3．两个数的商是，被除数是，则除数是_______；‎ ‎4．写下列各数的倒数－3____，，，－1____；‎ ‎5．用“＞”或“＜”填空：‎ ‎（1）如果，那么；‎ ‎（2）如果，那么；‎ ‎（3）如果，那么；‎ ‎（4）如果，那么．‎ 参考答案：‎ ‎1．－30 2．＜ 3． 4．，－1 5． （1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＞．‎ ‎《有理数的除法》选择题 ‎1．若，必有（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）或 （D）以上结论均不对 ‎2．下列说法中正确的是（ ）．‎ ‎（A）0除以任何数都得0 （B）有理数的商必小于被除数 ‎（C）互为相反数的积为负数 （D）0没有倒数 ‎3．一个有理数和它的相反数之积（ ）．‎ ‎（A）一定不大于0 （B）一定不小于0‎ ‎（C）符号必为正 （D）符号必为负 ‎4．若，那么下列式子成立的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5．下列说法中不正确的是（ ）．‎ ‎（A）一个数与它的倒数之积是1‎ ‎（B）一个数与它相反数之商是－1‎ ‎（C）两个数的商为－1，这两个数互为相反数 ‎（D）两个数的积为1，这两个数互为倒数 参考答案：‎ ‎1． C 2． D 3．A 4．C 5．B ‎《有理数的除法》解答题 ‎1．（1）如果，求代数式的值．‎ ‎（2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求的值．‎ ‎2．计算：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ ‎3．当时，求下列各代数式的值．‎ ‎（1） （2） （3）‎ ‎（4） （5） （6）‎ ‎4．如果a、b、c为非0有理数，，请求出k的值．‎ ‎5．某校10名学生的中考数学分数分别为120，115，112，107，108，115，115，110，102，120，小明为了计算10名同学的数学平均分，他分别用这些成绩减去110，得到10，5，2，－3，－2，5，5，0，－8，10，然后他计算出新数据的平均数．‎ ‎（分）‎ 所以所求平均数为110＋2.4＝112.4（分）‎ 小明的运算有道理吗？你能简单地说明一下吗？若每个数都减去115结果会变吗？这种方法适合具有怎样特点的一组数据？‎ 参考答案 ‎1．（1） (2)－2‎ ‎2．（1） （2） （3） （4） （5）‎ ‎3．（1） （2） （3）－1 （4）4 （5） （6）‎ ‎4．－1或．‎ ‎5．略．‎ ‎《有理数的乘法》填空题 ‎1．用字母a、b、c表示乘法对于加法的分配律：__________；‎ ‎2．若，则；‎ ‎3．计算：；‎ ‎4．若，则；‎ ‎5．若a、b为整数且，则的最大值为_________．‎ 参考答案：‎ ‎1． 2． ＞ 3． －175.2 4．1 5．13‎ 选择题 ‎1．若a为有理数，则的值（ ）．‎ ‎（A）符号必为负 （B）符号必为正 ‎（C）一定不大于0 （D）一定不小于0‎ ‎2．若a、b为有理数，且，则（ ）．‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）且 ‎3．若，则的值为（ ）．‎ ‎（A）48 （B）－48 （C）0 （D）不能确定 ‎4．绝对值小于2004的所有整数的和与积分别为（ ）．‎ ‎（A）0和0 （B）1和0 （C）和0 （D）0和4008‎ ‎5．若a、b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示：‎ 下列式子正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1． C 2．C 3．B 4． A 5．C ‎《有理数的乘法》解答题 ‎1．（1）计算：‎ ‎①（－4）×（－0.07）×（－25）；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④（－17）×43＋17×（－21）－（－17）×164．‎ ‎（2）当时，求下列代数式的值：‎ ‎①；②；③；④．‎ ‎（3）一辆汽车沿一条东西向的公路行驶，它从A地沿这条公路向东以40千米/时行驶了2.5小时，又反向以45千米/时行驶了2小时，到达B地．问B地在A地的东边还是西边，它们之间的距离是多少千米？‎ ‎2．已知a、b为有理数，求代数式的值．‎ ‎3．计算：．‎ ‎4．计算：．‎ ‎5．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算．使其结果等于24．例如：1，2，3，4可作运算4×1×2×3＝24，现有四个有理数3，4，6，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24．‎ ‎6．有A、B、C三只杯子，其中A杯子口向下，B、C两只杯子口向上，要求每次翻动两只杯子使开口方向发生变化，经过若干次翻动，最终能否将三只杯子的开口都向上．若能请说出方案，若不能请简单做出解释．将3只杯子数改为5，7，…，（n为整数），情况又如何呢？‎ 参考答案 ‎1．（1）①－7 ② ③103 ④1700‎ ‎（2）①－11.5 ②57 ③60 ④0‎ ‎（3）40×2.5＝100，45×2＝90，B地在A地东边，距离为10千米．‎ ‎2．，原式＝（3－7）〔－3－（＋7）〕＝40‎ ‎3．－4‎ ‎4．‎ ‎5．（4－6＋10）×3；（10－4）×3－（－6）‎ ‎6．不能，因为设开口向下记为－1，开口向上记为1，初始状态可看作－1×1×1＝－1，若全开口向上可看作1×1×1＝1，而每次改变两个杯子的开口方向，即改变两个数的性质不变仍为－1，所以不能做到开口全向上．5，7，…，（n为整数）情况也相同．‎