数学下册第二章二次函数4二次函数y=ax2+bx+c的图象第2课时二次函数y=ax2+bx+c的图象习题课件北师大版
4
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象
第
2
课时
1.
会推导二次函数
y=ax
2
+bx+c
的对称轴和顶点坐标公式
,
并利用此解决一些问题
.(
重点
)
2.
用配方法推导
y=ax
2
+bx+c
的对称轴和顶点坐标公式
.(
难点
)
用配方法把
y=ax
2
+bx+c
化成
y=a(x+h)
2
+k
的形式，
y=ax
2
+bx+c
【
总结
】
1.
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的对称轴与顶点坐标：
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象是一条
_______
,
对称轴是直线
x=
____
,
顶点坐标是
______________
.
抛物线
2.
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象和性质
:
函数
二次函数
y=ax
2
+bx+c(a,b,c
是常数
,a≠0)
图象
a>0
a<0
开口
方向
向
___
向
___
对称轴
顶点
坐标
_____________
____________
上
下
增减性
在对称轴的左侧，即当
时，
y
随着
x
的增
大而
_____
.
在对称轴的
右侧，即当 时，
y
随着
x
的增大而
_____
在对称轴的左侧，即当
时，
y
随着
x
的增
大而
_____
.
在对称轴的
右侧，即当 时，
y
随着
x
的增大而
_____
最值
当 时，
y
有最
___
值为
______
当 时，
y
有最
___
值为
________
减小
增大
增大
减小
小
大
(
打
“
√
”
或
“
×
”
)
(1)
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的对称轴与
c
的值无关
.( )
(2)
当
a<0
时
,
二次函数
y=ax
2
+bx+c
有最小值
.( )
(3)
二次函数
y=ax
2
+bx+c
与
y
轴的交点坐标是
(0,c).( )
(4)
二次函数
y=2(x-2)
2
+3
的最小值是
2.( )
√
×
√
×
知识点
1
y=ax
2
+bx+c
的对称轴、顶点坐标及其性质
【
例
1】
(2012
·
徐州中考
)
二次函数
y=x
2
+bx+c
的图象经过点
(4,3),(3,0).
(1)
求
b,c
的值
.
(2)
求出该二次函数图象
的顶点坐标和对称轴
.
(3)
在所给坐标系中画出
二次函数
y=x
2
+bx+c
的图象
.
【
思路点拨
】
(1)
把已知点的坐标代入表达式
,
然后解关于
b,c
的二元一次方程组即可
.
(2)
通过配方把函数表达式转化为
y=a(x-h)
2
+k
的形式
,
即可确定顶点坐标与对称轴
.
(3)
通过描点法画出图象即可
.
【
自主解答
】
(1)
由题意得
(2)
由
(1)
知函数表达式是
y=x
2
－
4x+3
，可化为
y=(x
－
2)
2
－
1
，
∴其顶点坐标是
(2
，－
1)
，对称轴为直线
x
＝
2
．
(3)
如图所示
:
【
总结提升
】
确定二次函数
y=ax
2
+bx+c
的对称轴和顶点坐标的
“
两种方法
”
和
“
两点注意
”
两种方法
:
(1)
利用配方法把
y=ax
2
+bx+c
化成
y=a(x-h)
2
+k
的形式
.
(2)
直接代入公式 求解
.
两点注意
:
(1)
使用配方时
,
要和解方程时的配方法区别开
,
把二次项系数
化为
1
时
,
要提取
a,
而不能除以
a.
(2)
使用公式法时
,
要找准
a,b,c
的值
.
知识点
2
抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
a,b,c
的关系
【
例
2】
如图为二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
的图象
,
则下列说法
:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④
当
-1
0.
其中正确的个数为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【
解题探究
】
1.
由抛物线的图象开口向下，可知
a
___
0.
2.
由抛物线和
x
轴的两个交点
(-1
，
0)
，
(3
，
0)
，确定抛物线的
对称轴是多少？
提示：
抛物线的对称轴是
3.
由抛物线的对称轴方程确定
a
与
b
的关系
.
提示：
∵抛物线的对称轴是
x=1,
即
∴
2a+b=0.
＜
4.
观察图象可知
,
当
x=1
时
,y=a+b+c
__
0.
5.
观察图象可知
,
当
-1
>
②③④
C
【
总结提升
】
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象特征与
a,b,c
的符号关系
字母符号
图象的特征
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b=0
对称轴为
y
轴
ab>0
对称轴在
y
轴左侧
ab<0
对称轴在
y
轴右侧
c=0
经过原点
c>0
与
y
轴正半轴相交
c<0
与
y
轴负半轴相交
题组一
:
y=ax
2
+bx+c
的对称轴、顶点坐标及其性质
1.
二次函数
y=x
2
-4x+5
的顶点坐标为
(
)
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(2,-1) D.(-2,1)
【
解析
】
选
B.∵y=x
2
-4x+5=x
2
-4x+4+1=(x-2)
2
+1,∴
顶点坐标为
(2,1).
2.(2013
·
内江中考
)
若抛物线
y=x
2
-2x+c
与
y
轴的交点坐标为
(0,-3),
则下列说法不正确的是
(
)
A.
抛物线的开口向上
B.
抛物线的对称轴是直线
x=1
C.
当
x=1
时
y
的最大值为
-4
D.
抛物线与
x
轴的交点坐标为
(-1,0),(3,0)
【
解析
】
选
C.
由
y
＝
x
2
－
2x+c
知
a
＞
0
，所以抛物线的开口向
上，选项
A
正确；对称轴是直线 选项
B
正
确．因为抛物线开口向上，所以抛物线有最低点，因此
y
有
最小值，选项
C
不正确；将
(0
，－
3)
代入
y
＝
x
2
－
2x+c
得
c
＝
－
3
，所以抛物线表达式为
y
＝
x
2
－
2x
－
3
，解方程
x
2
－
2x
－
3
＝
0
得
x
＝
3
或－
1
，所以抛物线与
x
轴的交点坐标为
(
－
1
，
0)
，
(3
，
0)
，选项
D
正确．
3.(2013
·
襄阳中考
)
二次函数
y=-x
2
+bx+c
的图象如图所示
,
若点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在此函数图象上
,
且
x
1
y
2
【
解析
】
选
B.
根据二次函数的图象性质可知当
x<1
时
,y
随着
x
的增大而增大
;∵x
1
0,
所以有最小值
;
配方得
y=(x+1)
2
-6,
所以最小值为
-6,
也可由顶点坐标公式得到最小值为
-6.
5.
当
k
分别取
-1,1,2
时
,
函数
y=(k-1)x
2
-4x+5-k
都有最大值吗
?
请写出你的判断
,
并说明理由
.
若有
,
请求出最大值
.
【
解析
】
当
k=-1
时
,
函数为
y=-2x
2
-4x+6,
配方
,
得
y=-2(x+1)
2
+8,∵
二次项系数
-2<0,∴
函数有最大值
,
当
x=-1
时
,y
的最大值
为
8;
当
k=1
时
,
函数为
y=-4x+4,
是一次函数
,
无最大值
;
当
k=2
时
,
函数为
y=x
2
-4x+3,∵
二次项系数
1>0,
∴
二次函数开口向上
,
无最大值
.
题组二
:
抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
a,b,c
的关系
1.(2013
·
呼和浩特中考
)
在同一平面直角坐标系中
,
函数
y=mx+m
和函数
y=-mx
2
+2x+2(m
是常数
,
且
m≠0)
的图象可能
是
(
)
【
解析
】
选
D.
选项
A
中一次函数中的
m
＜
0
，而抛物线中的
m
＞
0
，故此项错误；选项
B
中一次函数中的
m
＜
0
，而由抛物线的对
称轴 可知
m
＞
0
，故此项错误；选项
C
中一次函数中的
m
＞
0
，而由抛物线的开口向上得
-m
＞
0
，则
m
＜
0
，故此项错误；排除
A
，
B
，
C
，故选
D.
2.
已知二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
的图象如图所示
,
对称轴为
下列结论中，正确的是
( )
A.abc>0 B.a+b=0
C.2b+c>0 D.4a+c<2b
【
解析
】
选
D
．观察图象可知，
a
＞
0,c
＜
0,
由对称轴可知
b
＞
0,
所以
abc
＜
0
；由对称轴可知 解得
a=b
；由对称轴可
知，抛物线上横坐标为
1
的点与横坐标为
-2
的点关于对称轴对
称，由图象可知，当
x=1
时，函数值小于
0
，把
x=-2
代入
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
可得，
4a-2b+c
＜
0,
即
4a+c<2b
．
【
高手支招
】
(1)
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c,
当横坐标
x=1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴的上方
,
则
y=a+b+c>0;
当
x=1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴上
,
则
y=a+b+c=0;
当
x=1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴下方
,
则
y=a+b+c<0.
(2)
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c,
当横坐标
x=-1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴的上方
,
则
y=a-b+c>0;
当
x=-1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴上
,
则
y=a-b+c=0;
当
x=-1
时
,
若图象上的对应点在
x
轴下方
,
则
y=a-b+c<0.
3.(2013·
巴中中考
)
已知二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
的图象
如图所示
,
则下列结论中正确的是
(
)
A.ac>0
B.
当
x>1
时
,y
随
x
的增大而减小
C.b-2a=0
D.x=3
是关于
x
的方程
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
的一个根
【
解析
】
选
D.∵a
＞
0
，
c
＜
0,∴ac
＜
0,A
错；当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，
B
错；
C
错；∵抛物线过
(3,0)
，∴
D
正确
.
4.(2013·
宁波中考
)
如图，二次函数
y=ax
2
+bc+c
的图象开口向
上，对称轴为直线
x=1
，图象经过
(3
，
0)
，下列结论中正确的
一项是
( )
A.abc<0 B.2a+b<0
C.a-b+c<0 D.4ac-b2<0
【
解析
】
选
D.
根据题干图示知，抛物线开口方向向上，
则
a
＞
0
．
抛物线的对称轴 则
b
＜
0
．
抛物线与
y
轴交于负半轴，则
c
＜
0
，
所以
abc
＞
0
，故
A
选项错误；
∴
2a+b=0
，故
B
选项错误；
∵
对称轴为直线
x=1
，图象经过
(3
，
0)
，
∴该抛物线与
x
轴的另一交点的坐标是
(-1
，
0)
，
∴当
x=-1
时，
y=0
，即
a-b+c=0
，故
C
选项错误；
根据题干图示知，该抛物线与
x
轴有两个不同的交点，则
Δ=b
2
-4ac
＞
0
，则
4ac-b
2
＜
0
，故
D
选项正确
.
【
想一想错在哪？
】
已知函数
y=-2x
2
+mx+m
的图象如图所示
,
且
OA=OC,
求
m
的值
.
提示
:
C
在
y
轴的正半轴上
,A
在
x
轴的负半轴上
,
当点
C
的坐标为
(0,m)
时
,
点
A
的坐标应为
(-m,0).
