2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

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2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

2020 年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)2020 的倒数是( ) A.2020 B.﹣2020 C. 쳌쳌 D. 쳌쳌2.(3 分)下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.(3 分)下列计算正确的是( ) A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2 C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a•2a2=2a2 4.(3 分)一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”, 掷小正方体后,观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( ) A. B. C. D. 5.(3 分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的 速度小于下山的速度.在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是( ) A. B. C. D. 6.(3 分)数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习,并将全班同学的 答题情况绘制成条形统计图.由图可知,全班同学答对题数的众数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 7.(3 分)若关于 x 的分式方程 5 的解为正数,则 m 的取值范围为( ) A.m<﹣10 B.m≤﹣10 C.m≥﹣10 且 m≠﹣6 D.m>﹣10 且 m≠﹣6 8.(3 分)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支 2 元,百合每支 3 元.小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 9.(3 分)有两个直角三角形纸板,一个含 45°角,另一个含 30°角,如图 ① 所示叠放, 先将含 30°角的纸板固定不动,再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转,使 BC∥DE, 如图 ② 所示,则旋转角∠BAD 的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 10.(3 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x =1,结合图象给出下列结论: ① ac<0; ② 4a﹣2b+c>0; ③ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大; ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 3 分,满分 21 分) 11.(3 分)2020 年初新冠肺炎疫情发生以来,近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线.将数据 4000000 用科学记数法表示为 . 12.(3 分)在函数 y 中,自变量 x 的取值范围是 . 13.(3 分)如图,已知在△ABD 和△ABC 中,∠DAB=∠CAB,点 A、B、E 在同一条直线 上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可) 14.(3 分)如图是一个几何体的三视图,依据图中给出的数据,计算出这个几何体的侧面 积是 . 15.(3 分)等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4,则这个等腰三角形的周长是 . 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上,点 C 坐标为(2, ﹣2),并且 AO:BO=1:2,点 D 在函数 y (x>0)的图象上,则 k 的值为 . 17.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点 A1(0,2)变 换到点 A2(6,0),得到等腰直角三角形 ② ;第二次滚动后点 A2 变换到点 A3(6,0), 得到等腰直角三角形 ③ ;第三次滚动后点 A3 变换到点 A4(10,4 ),得到等腰直角三 角形 ④ ;第四次滚动后点 A4 变换到点 A5(10+12 ,0),得到等腰直角三角形 ⑤ ;依 此规律…,则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 . 三、解答题(本题共 7 道大题,共 69 分) 18.(10 分)(1)计算:sin30° (3 )0+| | (2)因式分解:3a2﹣48 19.(5 分)解方程:x2﹣5x+6=0 20.(8 分)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C、D 为 ⊙ O 上的两个点, ,连接 AD, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是 ⊙ O 的切线. (2)若直径 AB=6,求 AD 的长. 21.(10 分)新冠肺炎疫情期间,某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们 的志愿服务时间进行统计,整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题: (1)本次被抽取的教职工共有 名; (2)表中 a= ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °; (4)若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 工大约有多少人? 志愿服务时间(小时) 频数 A 0<x≤30 a B 30<x≤60 10 C 60<x≤90 16 D 90<x≤120 20 22.(10 分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出 发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km,在行驶过程中乙车速 度始终保持 80km/h,甲车先以一定速度行驶了 500km,用时 5h,然后再以乙车的速度行 驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y(km) 与所用时间 x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h 到达绥芬河; (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式, 不用写出自变量 x 的取值范围; (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h 时,甲、 乙两车第一次相距 40km. 23.(12 分)综合与实践 在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步 发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验. 实践发现: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠纸片, 使点 A 落在 EF 上的点 N 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展平,连接 AN, 如图 ① . (1)折痕 BM (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图中△ABN 是什么特殊三角形?答: ;进一步计算出∠MNE= °; (2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG, 把纸片展平,如图 ② ,则∠GBN= °; 拓展延伸: (3)如图 ③ ,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处,并且折痕交 BC 边 于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平,连接 AA'交 ST 于点 O,连接 AT. 求证:四边形 SATA'是菱形. 解决问题: (4)如图 ④ ,矩形纸片 ABCD 中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处,并且折痕交 AB 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平.同学们小组讨论后, 得出线段 AT 的长度有 4,5,7,9. 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 . 24.(14 分)综合与探究 在平面直角坐标系中,抛物线 y x2+bx+c 经过点 A(﹣4,0),点 M 为抛物线的顶点, 点 B 在 y 轴上,且 OA=OB,直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2,6),如图 ① . (1)求抛物线的解析式; (2)直线 AB 的函数解析式为 ,点 M 的坐标为 ,cos∠ABO= ; 连接 OC,若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P,将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 点 P 的坐标为 ; (3)在 y 轴上找一点 Q,使得△AMQ 的周长最小.具体作法如图 ② ,作点 A 关于 y 轴 的对称点 A',连接 MA'交 y 轴于点 Q,连接 AM、AQ,此时△AMQ 的周长最小.请求出 点 Q 的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点 N,使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 2020 年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)2020 的倒数是( ) A.2020 B.﹣2020 C. 쳌쳌 D. 쳌쳌【解答】解:2020 的倒数是 쳌쳌 , 故选:C. 2.(3 分)下面四个化学仪器示意图中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意; B、不是轴对称图形,故本选项不合题意; C、不是轴对称图形,故本选项不合题意; D、是轴对称图形,故本选项符合题意. 故选:D. 3.(3 分)下列计算正确的是( ) A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+ab+b2 C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a•2a2=2a2 【解答】解:A.a+2a=(1+2)a=3a,此选项计算正确; B.(a+b)2=a2+2ab+b2,此选项计算错误; C.(﹣2a)2=4a2,此选项计算错误; D.a•2a2=2a3,此选项计算错误; 故选:A. 4.(3 分)一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”, 掷小正方体后,观察朝上一面的数字出现偶数的概率是( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵掷小正方体后共有 6 种等可能结果,其中朝上一面的数字出现偶数的有 2、 4、6 这 3 种可能, ∴朝上一面的数字出现偶数的概率是 , 故选:A. 5.(3 分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的 速度小于下山的速度.在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是( ) A. B. C. D. 【解答】解:因为登山过程可知: 先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的速度小于下山的速度. 所以在登山过程中,他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是 B. 故选:B. 6.(3 分)数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习,并将全班同学的 答题情况绘制成条形统计图.由图可知,全班同学答对题数的众数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解答】解:由条形统计图可得, 全班同学答对题数的众数为 9, 故选:C. 7.(3 分)若关于 x 的分式方程 5 的解为正数,则 m 的取值范围为( ) A.m<﹣10 B.m≤﹣10 C.m≥﹣10 且 m≠﹣6 D.m>﹣10 且 m≠﹣6 【解答】解:去分母得:3x=﹣m+5(x﹣2), 解得:x 쳌 , 由方程的解为正数,得到 m+10>0,且 m+10≠4, 则 m 的范围为 m>﹣10 且 m≠﹣6, 故选:D. 8.(3 分)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支 2 元,百合每支 3 元.小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 【解答】解:设可以购买 x 支康乃馨,y 支百合, 依题意,得:2x+3y=30, ∴y=10 x. ∵x,y 均为正整数, ∴ , , 㔳 , , ∴小明有 4 种购买方案. 故选:B. 9.(3 分)有两个直角三角形纸板,一个含 45°角,另一个含 30°角,如图 ① 所示叠放, 先将含 30°角的纸板固定不动,再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转,使 BC∥DE, 如图 ② 所示,则旋转角∠BAD 的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 【解答】解:如图,设 AD 与 BC 交于点 F, ∵BC∥DE, ∴∠CFA=∠D=90°, ∵∠CFA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD, ∴∠BAD=30° 故选:B. 10.(3 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x =1,结合图象给出下列结论: ① ac<0; ② 4a﹣2b+c>0; ③ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大; ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解答】解:抛物线开口向上,因此 a>0,与 y 轴交于负半轴,因此 c<0,故 ac<0, 所以 ① 正确; 抛物线对称轴为 x=1,与 x 轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是 有 4a﹣2b+c=0,所以 ② 不正确; x>1 时,y 随 x 的增大而增大,所以 ③ 正确; 抛物线与 x 轴有两个不同交点,因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的 实数根,所以 ④ 正确; 综上所述,正确的结论有: ①③④ , 故选:C. 二、填空题(每小题 3 分,满分 21 分) 11.(3 分)2020 年初新冠肺炎疫情发生以来,近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线.将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106 . 【解答】解:将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106, 故答案为:4×106. 12.(3 分)在函数 y 中,自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2 . 【解答】解:由题可得, 쳌 쳌 , 解得 , ∴自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2, 故答案为:x≥﹣3 且 x≠2. 13.(3 分)如图,已知在△ABD 和△ABC 中,∠DAB=∠CAB,点 A、B、E 在同一条直线 上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 AD=AC(∠D=∠C 或∠ABD= ∠ABC 等) .(只填一个即可) 【解答】解:∵∠DAB=∠CAB,AB=AB, ∴当添加 AD=AC 时,可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC; 当添加∠D=∠C 时,可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC; 当添加∠ABD=∠ABC 时,可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC. 故答案为 AD=AC(∠D=∠C 或∠ABD=∠ABC 等). 14.(3 分)如图是一个几何体的三视图,依据图中给出的数据,计算出这个几何体的侧面 积是 65 π . 【解答】解:由三视图可知,原几何体为圆锥, S 侧 •2 π r•l 2 π ×5×13=65 π . 故答案为:65 π . 15.(3 分)等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4,则这个等腰三角形的周长是 10 或 11 . 【解答】解: ① 3 是腰长时,三角形的三边分别为 3、3、4, ∵此时能组成三角形, ∴周长=3+3+4=10; ② 3 是底边长时,三角形的三边分别为 3、4、4, 此时能组成三角形, 所以周长=3+4+4=11. 综上所述,这个等腰三角形的周长是 10 或 11. 故答案为:10 或 11. 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上,点 C 坐标为(2, ﹣2),并且 AO:BO=1:2,点 D 在函数 y (x>0)的图象上,则 k 的值为 2 . 【解答】解:如图,∵点 C 坐标为(2,﹣2), ∴矩形 OBCE 的面积=2×2=4, ∵AO:BO=1:2, ∴矩形 AOED 的面积=2, ∵点 D 在函数 y (x>0)的图象上, ∴k=2, 故答案为 2. 17.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点 A1(0,2)变 换到点 A2(6,0),得到等腰直角三角形 ② ;第二次滚动后点 A2 变换到点 A3(6,0), 得到等腰直角三角形 ③ ;第三次滚动后点 A3 变换到点 A4(10,4 ),得到等腰直角三 角形 ④ ;第四次滚动后点 A4 变换到点 A5(10+12 ,0),得到等腰直角三角形 ⑤ ;依 此规律…,则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020 . 【解答】解:∵点 A1(0,2), ∴第 1 个等腰直角三角形的面积 2, ∵A2(6,0), ∴第 2 个等腰直角三角形的边长为 2 , ∴第 2 个等腰直角三角形的面积 4=22, ∵A4(10,4 ), ∴第 3 个等腰直角三角形的边长为 10﹣6=4, ∴第 3 个等腰直角三角形的面积 8=23, … 则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020; 故答案为:22020(形式可以不同,正确即得分). 三、解答题(本题共 7 道大题,共 69 分) 18.(10 分)(1)计算:sin30° (3 )0+| | (2)因式分解:3a2﹣48 【解答】解:(1)sin30° (3 )0+| | 4﹣1 =4; (2)3a2﹣48 =3(a2﹣16) =3(a+4)(a﹣4). 19.(5 分)解方程:x2﹣5x+6=0 【解答】解:∵x2﹣5x+6=0, ∴(x﹣2)(x﹣3)=0, 则 x﹣2=0 或 x﹣3=0, 解得 x1=2,x2=3. 20.(8 分)如图,AB 为 ⊙ O 的直径,C、D 为 ⊙ O 上的两个点, ,连接 AD, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是 ⊙ O 的切线. (2)若直径 AB=6,求 AD 的长. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵ , ∴∠BOD 180°=60°, ∵ , ∴∠EAD=∠DAB BOD=30°, ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠DAB=30°, ∵DE⊥AC, ∴∠E=90°, ∴∠EAD+∠EDA=90°, ∴∠EDA=60°, ∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°, ∴OD⊥DE, ∴DE 是 ⊙ O 的切线; (2)解:连接 BD, ∵AB 为 ⊙ O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∵∠DAB=30°,AB=6, ∴BD AB=3, ∴AD 3 . 21.(10 分)新冠肺炎疫情期间,某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工,对他们 的志愿服务时间进行统计,整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题: (1)本次被抽取的教职工共有 50 名; (2)表中 a= 4 ,扇形统计图中“C”部分所占百分比为 32 %; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为 144 °; (4)若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务,那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 工大约有多少人? 志愿服务时间(小时) 频数 A 0<x≤30 a B 30<x≤60 10 C 60<x≤90 16 D 90<x≤120 20 【解答】解:(1)本次被抽取的教职工共有:10÷20%=50(名), 故答案为:50; (2)a=50﹣10﹣16﹣20=4, 扇形统计图中“C”部分所占百分比为: 쳌 100%=32%, 故答案为:4,32; (3)扇形统计图中,“D”所对应的扇形圆心角的度数为:360°× 쳌 쳌 144°. 故答案为:144; (4)30000× 쳌 쳌 21600(人). 答:志愿服务时间多于 60 小时的教职工大约有 21600 人. 22.(10 分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同时出 发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km,在行驶过程中乙车速 度始终保持 80km/h,甲车先以一定速度行驶了 500km,用时 5h,然后再以乙车的速度行 驶,直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y(km) 与所用时间 x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)甲车改变速度前的速度是 100 km/h,乙车行驶 10 h 到达绥芬河; (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式, 不用写出自变量 x 的取值范围; (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 100 km;出发 2 h 时,甲、乙 两车第一次相距 40km. 【解答】解:(1)甲车改变速度前的速度为:500 出 5=100(km/h),乙车达绥芬河是时 间为:800÷80=10(h), 故答案为:100;10; (2)∵乙车速度为 80km/h, ∴甲车到达绥芬河的时间为: 쳌쳌쳌쳌 쳌 쳌䁜 , 甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为:y=kx+b(k≠0), 将(5,500)和( ,800)代入得: ൅ 쳌쳌 ൅ 쳌쳌 , 解得 쳌 ൅ 쳌쳌 , ∴y=80x+100, 答:甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y(km)与所用时间 x(h)之间的函数解析式为 y=80x+100( ); (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程为:800﹣80× 100(km), 40÷(100﹣80)=2(h), 即出发 2h 时,甲、乙两车第一次相距 40km. 故答案为:100;2. 23.(12 分)综合与实践 在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步 发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验. 实践发现: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠纸片, 使点 A 落在 EF 上的点 N 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展平,连接 AN, 如图 ① . (1)折痕 BM 是 (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图中△ABN 是什么特殊三角形?答: 等边三角形 ;进一步计算出∠MNE= 60 °; (2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BG, 把纸片展平,如图 ② ,则∠GBN= 15 °; 拓展延伸: (3)如图 ③ ,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处,并且折痕交 BC 边 于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平,连接 AA'交 ST 于点 O,连接 AT. 求证:四边形 SATA'是菱形. 解决问题: (4)如图 ④ ,矩形纸片 ABCD 中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处,并且折痕交 AB 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平.同学们小组讨论后, 得出线段 AT 的长度有 4,5,7,9. 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 7,9 . 【解答】解:(1)如图 ① ∵对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合, ∴EF 垂直平分 AB, ∴AN=BN,AE=BE,∠NEA=90°, ∵再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上的点 N 处, ∴BM 垂直平分 AN,∠BAM=∠BNM=90°, ∴AB=BN, ∴AB=AN=BN, ∴△ABN 是等边三角形, ∴∠EBN=60°, ∴∠ENB=30°, ∴∠MNE=60°, 故答案为:是,等边三角形,60; (2)∵折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处, ∴∠ABG=∠HBG=45°, ∴∠GBN=∠ABN﹣∠ABG=15°, 故答案为:15°; (3)∵折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处, ∴ST 垂直平分 AA', ∴AO=A'O,AA'⊥ST, ∵AD∥BC, ∴∠SAO=∠TA'O,∠ASO=∠A'TO, ∴△ASO≌△A'TO(AAS) ∴SO=TO, ∴四边形 ASA'T 是平行四边形, 又∵AA'⊥ST, ∴边形 SATA'是菱形; (4)∵折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处, ∴AT=A'T, 在 Rt△A'TB 中,A'T>BT, ∴AT>10﹣AT, ∴AT>5, ∵点 T 在 AB 上, ∴当点 T 与点 B 重合时,AT 有最大值为 10, ∴5<AT≤10, ∴正确的数值为 7,9, 故答案为:7,9. 24.(14 分)综合与探究 在平面直角坐标系中,抛物线 y x2+bx+c 经过点 A(﹣4,0),点 M 为抛物线的顶点, 点 B 在 y 轴上,且 OA=OB,直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2,6),如图 ① . (1)求抛物线的解析式; (2)直线 AB 的函数解析式为 y=x+4 ,点 M 的坐标为 (﹣2,﹣2) ,cos∠ABO = ; 连接 OC,若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P,将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 点 P 的坐标为 (﹣2,2)或(0,4) ; (3)在 y 轴上找一点 Q,使得△AMQ 的周长最小.具体作法如图 ② ,作点 A 关于 y 轴 的对称点 A',连接 MA'交 y 轴于点 Q,连接 AM、AQ,此时△AMQ 的周长最小.请求出 点 Q 的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点 N,使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得: ൅ 쳌 ൅ ,解得 ൅ 쳌 , 故直线 AB 的表达式为:y x2+2x; (2)点 A(﹣4,0),OB=OA=4,故点 B(0,4), 由点 A、B 的坐标得,直线 AB 的表达式为:y=x+4; 则∠ABO=45°,故 cos∠ABO ; 对于 y x2+2x,函数的对称轴为 x=﹣2,故点 M(﹣2,﹣2); OP 将△AOC 的面积分成 1:2 的两部分,则 AP AC 或 AC, 则 或 ,即 或 ,解得:yP=2 或 4, 故点 P(﹣2,2)或(0,4); 故答案为:y=x+4;(﹣2,﹣2); ;(﹣2,2)或(0,4); (3)△AMQ 的周长=AM+AQ+MQ=AM+A′M 最小, 点 A′(4,0), 设直线 A′M 的表达式为:y=kx+b,则 ൅ 쳌 ൅ ,解得 ൅ , 故直线 A′M 的表达式为:y x , 令 x=0,则 y ,故点 Q(0, ); (4)存在,理由: 设点 N(m,n),而点 A、C、O 的坐标分别为(﹣4,0)、(2,6)、(0,0), ① 当 AC 是边时, 点 A 向右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 C,同样点 O(N)右平移 6 个单位向上 平移 6 个单位得到点 N(O), 即 0±6=m,0±6=n,解得:m=n=±6, 故点 N(6,6)或(﹣6,﹣6); ② 当 AC 是对角线时, 由中点公式得:﹣4+2=m+0,6+0=n+0, 解得:m=﹣2,n=6, 故点 N(﹣2,6); 综上,点 N 的坐标为(6,6)或(﹣6,﹣6)或(﹣2,6).
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