人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 综合练习（解析版）

人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 综合练习（解析版）

1 / 7 人教版九年级数学 第 21 章 一元二次方程 综 合练习（含答案） 一、选择题（本大题共 5 道小题） 1. 下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定有实数根的 是(　　) A. a＞0 B. a＝0 C. c＞0 D. c＝0 2. 一元二次方程 x2－6x－5＝0 配方后可变形为(　　) A. (x－3)2＝14 B. (x－3)2＝4 C. (x＋3)2＝14 D. (x＋3)2＝4 3. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋ax－2b＝0 的两实数根，且 x 1＋x2＝－2， x1·x2＝1，则 ba 的值是(　　) A. 1 4 B. －1 4 C. 4 D. －1 4. 有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则 下列方程中符合题意的是(　　) A. 1 2x(x－1)＝45 B. 1 2x(x＋1)＝45 C. x(x－1)＝45 D. x(x＋1)＝45 5. 定义新运算：a★b＝a(1－b)，若 a，b 是方程 x2－x＋1 4m＝0(m＜1)的两根， 则 b★b－a★a 的值为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 与 m 无关 二、填空题（本大题共 5 道小题） 6. 在 x2+　　　　+4=0 的横线上添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个相等 的实数根. 7. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－k＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取 值范围是________． 8. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入为 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元，则该地区居民 人均年收入平均增长率为　　　　.(用百分数表示) 9. 关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－2m＋1＝0 的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是________． 2 / 7 10. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2-c=0 有两个相等的实数根，则1 푎+c 的值 等于　　　　. 三、解答题（本大题共 7 道小题） 11. 解一元二次方程 3x2=4-2x. 12. 解方程：2(x－3)2＝x2－9. 13. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽 子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为 4 元时，每天能出售 500 个，并且售 价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个．为了维护消费者利益，物价部门规定， 该品牌粽子售价不能超过进价的 200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽 子定价，使超市每天的销售利润为 800 元． 14. 已知：点 O 到△ABC 的两边 AB、AC 所在直线的距离相等，且 OB＝OC. (1)如图①，若点 O 在边 BC 上，求证：AB＝AC; (2)如图②，若点 O 在△ABC 的内部，求证：AB＝AC； (3)若点 O 在△ABC 的外部，AB＝AC 成立吗？请画图表示． 　　 图①　　　　　　　　图② 15. 已知关于 x 的方程 x2＋mx＋m－2＝0. (1)若此方程的一个根为 1，求 m 的值； (2)求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 3 / 7 16. 某地区 2014 年投入教育经费 2900 万元，2016 年投入教育经费 3509 万 元． (1)求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率． (2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四， 结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入教育经费 4250 万 元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经费是否 能达到 4250 万元？请说明理由． (参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4) 17. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年 3 月份的 14000 元 /m2 下降到 5 月份的 12600 元/m2. (1)问 4、5 两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据： 0.9≈0.95) (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月份该市的商品房成交 均价是否会跌破 10000 元/m2？请说明理由． 4 / 7 人教版九年级数学 第 21 章 一元二次方程 综 合练习-答案 一、选择题（本大题共 5 道小题） 1. 【答案】D　【解析】该方程是一元二次方程，则有 a≠0，该一元二次方程 根的判别式为 b2－4ac＝16－4ac，要使原方程一定有实数根，只需 b2－4ac≥0 即 可．A 选项中 a＞0，若 c＞0，16－4ac 可能小于 0，不符合题意；B 选项中一元 二次方程 a 不能为 0，不符合题意；C 选项同 A 选项，不符合题意；D 选项中当 c＝0 时，b2－4ac＝16＞0，符合题意，故选 D. 2. 【答案】A　【解析】x2－6x－5＝0，x2－6x＝5，x2－6x＋9＝5＋9，(x－3)2 ＝14，故选 A. 3. 【答案】A　【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－a＝－ 2，x1·x2＝－2b＝1，则 a＝2，b＝－1 2 ，∴ba＝(－1 2)2＝1 4 ，故选 A. 4. 【答案】A　【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场，每队参加 x－1 场比赛，共比赛 1 2x(x－1)场比赛，根据题意列出一元二次方程 1 2x(x－1)＝45.故选 A. 5. 【答案】A　【解析】∵a，b 是方程 x2－x＋1 4m＝0 的两根，∴a2－a＝－1 4m， b2－b＝－1 4m， a＝b(1－b)－a(1－a)＝b－b2－a＋a2＝－(b2－b)＋(a2－a)＝1 4m－1 4m＝0. 二、填空题（本大题共 5 道小题） 6. 【答案】4x(或-4x，只写一个即可)　[解析]一元二次方程有两个相等的实根， 则 b2-4ac=b2-16=0，解得 b=±4，所以一次项为 4x 或-4x. 7. 【答案】k＞－9 4 　【解析】∵一元二次方程 x2＋3x－k＝0 有两个不相等的实 数根，∴b2－4ac＝32－4×1×(－k)＞0，即 9＋4k＞0，解得 k＞－9 4. 5 / 7 8. 【 答 案 】 40% 　[ 解 析 ] 设 该 地 区 居 民 人 均 年 收 入 平 均 增 长 率 为 x ， 则 20000(1+x)2=39200， 解得 x1=0.4，x2=-2.4(舍去)， ∴该地区居民人均年收入平均增长率为 40%. 故答案为:40%. 9. 【答案】m＞1 2 　【解析】一元二次方程两实数根之积为负，则方程应满足 条件{b2－4ac＞0 x1·x2＝c a ＜0，即{4－4（1－2m）＞0 1－2m＜0 ，解得 m＞1 2. 10. 【答案】2　[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0，整理得 4ac-8a=-4，4a(c-2)=-4. ∵方程 ax2+2x+2-c=0 是一元二次方程， ∴a≠0， 等式 4a(c-2)=-4 两边同时除以 4a， 得 c-2=-1 푎，则1 푎+c=2. 三、解答题（本大题共 7 道小题） 11. 【答案】 解:3x2=4-2x，即 3x2+2x-4=0， Δ=b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0， ∴x= -2 ± 52 6 ， ∴x1= -1 + 13 3 ，x2= -1 - 13 3 . 12. 【答案】 解：原方程可化为 2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，(1 分) 2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(2 分) (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，(3 分) (x－3)(x－9)＝0，(4 分) ∴x－3＝0 或 x－9＝0，(5 分) ∴x1＝3，x2＝9.(7 分) 【一题多解】原方程可化为 x2－12x＋27＝0， 这里 a＝1，b＝－12，c＝27， 6 / 7 ∵b2－4ac＝(－12)2－4×1×27＝36>0， ∴x＝－b ± b2－4ac 2a ＝12 ± 36 2 × 1 ＝12 ± 6 2 ， ∴原方程的根为 x1＝3，x2＝9. 13. 【答案】 解：设上涨 x 元， (4＋x－3)(500－ x 0.1×10)＝800，(2 分) x2－4x＋3＝0，(4 分) ∴x1＝1，x2＝3. 3×200%＝6，∵x＝3 时，售价为 7 元，而 7＞6，(6 分) ∴应取 x＝1， ∴x＝1 即售价为 5 元时使超市每天的销售利润为 800 元．(8 分) 14. 【答案】 (1)证明：如图①，过点 O 分别作 OE⊥AB，OF⊥AC，E、F 分别是垂足，由题 意知，OE＝OF，OB＝OC， 解图① ∴Rt△OEB≌Rt△OFC， ∴∠B＝∠C，从而 AB＝AC. (2)证明：如图②，过点 O 分别作 OE⊥AB，OF⊥AC，E、F 分别是垂足，由题 意知，OE＝OF. 在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中， ∵OE＝OF，OB＝OC， 解图② ∴Rt△OEB≌Rt△OFC. ∴∠OBE＝∠OCF， 又由 OB＝OC 知∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC. (3)解：不一定成立． 7 / 7 (注：当∠A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB＝AC；否 则，AB≠AC，如示例图③) 　　 解图③ 15. 【答案】 (1)解：将 x＝1 代入 x2＋mx＋m－2＝0，得 12＋1×m＋m－2＝0， 解得 m＝1 2.(1 分) (2) 证明：一元二次方程 x2＋mx＋m－2＝0 的根的判别式为： b2－4ac＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.(2 分) ∵不论 m 取何实数，(m－2)2≥0， ∴(m－2)2＋4＞0，即 b2－4ac＞0， ∴不论 m 取何实数，原方程都有两个不相等的实数根．(4 分) 16. 【答案】 解：(1)设 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率为 x，(1 分) 由题意得：2900(1＋x)2＝3509，(3 分) 解得 x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意舍去)．(4 分) 答：2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率为 10%.(5 分) (2)按 10%的增长率，到 2018 年投入教育经费为 3509(1＋10%)2＝4245.89(万 元)．(7 分) 因为 4245.89＜4250，(8 分) 所以教育经费不能达到 4250 万元． 答：按此增长率到 2018 年该地区投入的教育经费不能达到 4250 万元．(9 分) 17. 【答案】 解：(1)设 4、5 两月平均每月降价的百分率为 x，根据题意，得 14000(1－x)2＝12600. 化简，得(1－x)2＝0.9. 解得 x1≈0.05，x2≈1.95(不合题意，舍去)． 因此，4、5 两月平均每月降价的百分率约为 5%. (2)如果按此降价的百分率继续回落，估计 7 月份的商品房成交均价为 12600(1－ x)2＝12600×0.9＝11340>10000. 由此可知，7 月份该市的商品房成交均价不会跌破 10000 元/m2.