2019年山东威海中考数学试题（解析版）

2019年山东威海中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年威海中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年山东省威海市初中学业考试 数 学 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ ‎{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共1２小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的4个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均不得分）‎ ‎{题目}（2019年威海T1．） -3的相反数是 A．-3 B．3 C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，因此本题选B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}{类别:易错题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T2．）据央视网报道，2019年1~4月份我国社会物流总额为88.9万亿元人民币，“88.9万亿”用科学计数法表示为 A．8.89×1013 B．8.89×1012 C．88.9×1012 D．8.89×1011‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“88.9万亿”改写成88 900 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为8.89´1013．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T3．）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点。已知坡角为20°，山高BC=2千米。用科学记算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案} A．‎ ‎{解析}本题考查了三角函数的定义，及科学计算器的使用，sinα=，所以斜边AB=，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用－坡度}‎ ‎{考点:计算器－三角函数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T4．）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是 A． B． C． D．‎ ‎{答案} C．‎ ‎{解析}本题考查了几何体的三视图，其中俯视图是指从上往下看，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单组合体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T5．）下列运算正确的是 A．（a2）3＝ａ5 B．3a2+a ＝3ａ3 C．a5÷a2＝ａ3（a≠0） D．a(a+1) ＝a2+1‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了整式乘法公式，A项考查了幂的乘方公式，正确结果应该是a6；B项考查的是整式的加法就是合并同类项，而选项B中两项不是同类项，因此不能合并； C项考查的是同底数幂的除法，结果正确；D项考查了单项式乘以多项式，正确结果是a2+a．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:整式加减}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{考点:单项式乘以多项式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T6．）为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理。欲反映学校感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是 A．条形统计图 B．频数直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了统计图的选择，其中反映各部分占总体百分比的是扇形统计图，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{考点:统计图的选择}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T7．）如图，E是□ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F。添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF ‎ C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质与判定，平行四边形的对边平行，□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，选项A添加∠ABD＝∠DCE可得∠BDC＝∠DCE，从而得BD∥EC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形BCED为平行四边形；选项B添加DF＝CF ，加上AD∥BC易得△DEF≌△CBF，从而得DE＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形BCED为平行四边形；选项D中∠AEC＝∠CBD，加上AD∥BC，易证BD∥EC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形BCED为平行四边形；添加选项C不能判定四边形BCED为平行四边形，故本题选C．‎ ‎{分值}‎ ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}‎ ‎{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T8．）计算 －3)０＋－（－）－１的结果是 A．１＋ B．１＋2 C． D．1＋4‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了实数运算，包括零指数幂，二次根式的化简，负指数幂，原式＝1－（－）＝1＋4，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-6-3]实数}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T9．）解不等式组 时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎ ‎ ‎{答案} D．‎ ‎{解析}本题考查了解一元一次不等式组，并把解集在数轴上正确表示出来，解答过程如下：‎ 解不等式①，得x≤－1；‎ 解不等式②，得x＜5；‎ 将两不等式解集表示在数轴上如下：‎ 因此本题选D．．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{考点:在数轴上表示不等式的解集}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}（2019年威海T10．）已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是 A．2023 B．2021 C．2020 D．2019‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一元二次方程的解，根与系数关系，由“a是方程x2+x-3=0的两个实数根”可得a2＋a－3＝0，所以a2＝3－a，代入a2－b＋2019中，得原式＝3－a －b＋2019＝3－（a ＋b）＋2019，由a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根可得a ＋b＝－1，所以原式＝3－（－1）＋2019＝2023，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-21-1]一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的解}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T11．）甲乙施工队分别从两端修一条长度为380米的公路.在施工过程中,乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成修路任务。下表是根据每天工程进度绘制而成的．‎ 施工时间/天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 累计完成施工量/米 ‎35‎ ‎70‎ ‎105‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎215‎ ‎270‎ ‎325‎ ‎380‎ 下列说法错误的是 A．甲队每天修路20米 B．乙队第一天修路15米 ‎ C．乙队技术改进后每天修路35米 D．前7天甲、乙两队修路长度相等 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了自变量与因变量的变化关系，从表格当中可以看出，从第1天到第4天每天变化规律相同，而到了第5天变化规律发生改变，这正是其中所说的乙队停工一天，从而推断出甲队每天修路20米，因此A正确;通过两队的合作可以算得乙队一天修路15米，所以B正确； 根据第6天累计完成施工量，能得出乙队改进技术后每天修路35米，因此C正确；因为知道甲队每天修路20米，那么前7天甲队一共修了140米，而第7天两队累计完成施工量270米，从而可算得乙队前7天修路的长度为130米，可见前7天甲乙两队修路长度不等，所以D错误，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-19-1-1]变量与函数}‎ ‎{考点:函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T12．）如图，⊙P与x轴交于点A（-5，0），B（1，0），与y轴正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了圆周角定理、勾股定理的运用，由已知圆周角的度数联想到同弧所对圆心角的度数，进而连接A、PBP，得∠APB=120度，此时△AP B就是顶角为120度的等腰三角形，过点p作PF⊥x轴于点F，容易求得AF=3，所以OF=2，进而得PG=2.在Rt△APF中，∠AP F=60度，AF=3，利用三角函数可求得FP=，AP=，所以OG=FP=，CP= AP=，在Rt△PCG中，利用勾股定理可得CG=，所以OC=CG+OG=，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}=‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）‎ ‎{题目}（2019年威海T13．）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝ °‎ ‎{答案}68‎ ‎{解析}本题考查了平行线的性质及三角形内角和与外角定理的应用，由AB∥CD可得∠2＝∠3，因为∠3是△ABE的外角，所以∠3＝∠1+∠E＝45°+23°=68°，所以∠2＝68°．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}（2019年威海T14．）分解因式:2x2－2x＋＝ .‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了因式分解法中的提公因式法和完全平方公式，先提公因式 ‎，然后再用完全平方公式进行分解。．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T15．）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ ‎ ‎ ‎ ‎{答案}3‎ ‎{解析}本题考查了全等三角形的判定和三角形中位线定理。由题中的“CE⊥BC，∠BEC＝∠DEC” 可想到延长BC、AD交于点F，此时根据角边角定理，可证得三角形ECF全等于三角形ECB，从而得到FC=CB，又因为AB∥DC，根据平行线分线段成比例定理可得FD=DA，从而得到DC是△FAB的中位线，再由三角形中位线定理可得DC=AB =×6=3。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:平行线分线段成比例}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T16．）一元二次方程3x２＝4－2x的解是 ‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了运用公式法解一元二次方程。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-2-2]公式法}‎ ‎{考点:公式法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T17．）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝ °.‎ ‎{答案}30°‎ ‎{解析}本题考查了等腰直角三角形和解直角三角形。由△ABC是等腰直角三角形，联想三线合一可过点C作AB的垂线垂足为F，设CF=1则AB=2,由AB＝BD可得BD=2。过点D作DE⊥ AB于点E，易知DE=CF=1，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ADC＝30°。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}（2019年威海T18．）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数y＝的图像上运动，且始终保持线段AB＝的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM.则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数图像上点的坐标特点线段的最小值问题。解题过程如下：过点A作x轴的垂线AC，过点B作y轴的垂线BD，AC与BD相交于点F，连接OF。当点O、F、M在同一直线上时OM最短。此时OM垂直平分AB。设点A坐标为（m，m+4），则点B坐标为（m+4，m）。点F坐标为（m，m）。因为点A在反比例函数y＝的图像上，所以m(m+4)=k，解方程得m= ，OF= = = ，此时OM=OF+FM= =。‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共7小题，共66分）‎ ‎{题目}（2019年威海T19．）小明和小刚约定周末到某体育馆打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米。小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍.若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发。求小明和小刚两人的速度。‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的应用。‎ ‎{答案}解：色小明步行的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟 解之，得x=50‎ 经检验x=50是原方程的解。‎ 当x=5时，3x=3×50=150‎ 答：小明和小刚两人的速度分别为50米/分钟，150米/分钟。‎ ‎{分值}（7分）‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式方程的应用（行程问题）}‎ ‎{题目}（2019年威海T20．）在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1、2、3。每次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内。小明现已取球三次，得分分别为1分，3分，2分.小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分，请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率。‎ ‎{解析}本题考查了．‎ ‎{答案}解：5×2.2=11，11-1-2-3=5‎ 二 一 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1,1）‎ ‎（2,1）‎ ‎（3,1）‎ ‎2‎ ‎（1,2）‎ ‎（2,2）‎ ‎（3,2）‎ ‎3‎ ‎（1,3）‎ ‎（2,3）‎ ‎（3,3）‎ 共有9种等可能结果，其中后面两次不少于5分的有三次，所以发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率是。‎ ‎{分值}（8分）‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{题目}（2019年威海T21．）‎ ‎（1）阅读理解 如图，点A、B在反比例函数y=的图像上连接AB，取线段AB的中点C，分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图像于点D，点E、F、G的横坐标分别为n－1，n，n＋1（n>1）.小红通过观察反比例函数y=的图像，并运用几何知识得出结论：‎ AE＋BG＝2CF，CF＞DF 由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：‎ 若ｎ＞1，则 .‎ ‎（2）证明命题 小东认为：可以通过“若a－b≥0，则a≥b”思路证明上述命题.‎ 小青认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题.‎ 请你选择一种方法，证明（1）中的命题. ‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数的图像与性质．1）由反比例函数图象上点的横坐标，表示出A，D，B点的纵坐标，根据得到结论：‎ AE+BG=2CF，CF＞DF，即可得到命题：＞.‎ ‎（2）选择小东的思路证明结论＞，把看作，把看作证明结论.‎ ‎{答案}解：（1）∵A，D，B都在反比例的图象上，且点E，F，G的横坐标分别为n-1，n，n+1（n＞1），‎ ‎∴AE=BG=DF=.‎ 又∵AE+BG=2CF，‎ ‎∴CF=‎ 又∵CF＞DF，n＞1，‎ ‎∴＞，即＞.‎ 故答案为＞.‎ ‎（2）选择选择小东的思路证明结论＞，‎ ‎∵n＞1，‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴＞.‎ ‎{分值}（8分）‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:其他反比例函数综合题}‎ ‎{题目}（2019年威海T22．）下图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的示意图。已知汽车货箱高度BG＝2米，货厢底面与地面的高度h＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米。通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货箱顶部。‎ ‎{解析}本题考查了利用直角三角形解决测高问题可由货厢底面与地面的高度算出AB的长，进而得出BF的长，再解直角三角形得出KQ的长，与EF比大小即可．‎ 答案}解：过点B做BH垂直于地面，交地面于点H，交直线EF于点K。‎ 在Rt△AHB中，BH＝0.6，sin∠BAH＝，∴AB＝，∴FB＝AF－AB＝１.‎ 在Rt△FKB中，FB＝1，sin∠BKF＝sin∠BAH＝，可得BK＝，再由勾股定理可得FK＝‎ ‎，∵＜1.6，∴木箱上部顶点E会触碰到汽车货箱顶部。‎ ‎{分值}（9分）‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{题目}（2019年威海T23．）在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像时，甲写错了一次项的系数，列表如下：‎ x ‎…‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ Y甲 ‎…‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎…‎ 乙写错了常数项，列表如下：‎ x ‎…‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ Y乙 ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎14‎ ‎…‎ 通过上述信息，解决下列问题：‎ ‎（1）求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式；‎ ‎（2）对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x 时，y的值随x的值的增大而增大；‎ ‎（3）若关于x的方程ax2+bx+c= k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围.‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象及性质；掌握待定系数法求函数解析式，熟练函数图象是解题的关键．（1）由甲同学的错误可知，由乙同学提供的数据选，；，，代入解析式求出和即可；‎ ‎（2）的对称轴为直线，抛物线开口向下；‎ ‎（3）有两个不相等的实数根，判别式△即可；‎ ‎{答案}解：（1）由甲同学的错误可知，‎ 由乙同学提供的数据选，；，，‎ 有，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）的对称轴为直线，‎ 抛物线开口向下，‎ 当时，的值随的值增大而增大；‎ 故答案为；‎ ‎（3）方程有两个不相等的实数根，‎ 即有两个不相等的实数根，‎ ‎△，‎ ‎；‎ ‎{分值}（10分）‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:含参系数的二次函数问题}‎ ‎{考点:函数自变量的取值范围}‎ ‎{题目}（2019年威海T24．）（12分）如图，在正方形ABC D中，AB＝10cm.E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F。E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止。设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒。‎ ‎（1）求证：CE＝EF ‎（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）求△BEF面积的最大值。‎ ‎{解析}此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键．‎ ‎{答案}解：（1）证明：过作，交于，交于，‎ 四边形是正方形，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 四边形是正方形，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）解：在中，由勾股定理得：，‎ ‎，‎ 由题意得：，‎ ‎，‎ 由（1）知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（3）解：，‎ ‎，‎ 当时，有最大值是；即面积的最大值是．‎ ‎ ‎ ‎{分值}‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{题目}（2019年威海T25．）‎ ‎（1）方法选择 如图①四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC， BD，AB＝BC＝AC。求证：BD＝AD＋CD。‎ 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM……‎ 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD……‎ 请你选择一种方法证明。‎ ‎（2）类比探究 ‎【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD。BC是⊙O的直径，AB＝AC，试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论。‎ ‎【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系是 。‎ ‎（3）拓展猜想 ‎（第25题图②）‎ ‎（第25题图①）‎ 如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a:b:c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系是 。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第25题图④）‎ ‎（第25题图③）‎ ‎ ‎ ‎{解析}这是一道几何综合题，本题考查了圆周角定理，等边三角形，等腰直角三角形，含30°角的直角三角形的性质与判定，全等三角形及相似三角形的判定与性质．‎ ‎{答案}（1）证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM 在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，在⊙O中，∠ADB＝∠ACB＝60°，‎ 在△ADM中，∵DM＝AD，∠ADB＝60°‎ ‎∴△ADM是等边三角形。‎ ‎∴∠MAD＝60°，AM＝AD，‎ ‎∴∠BAM＝∠CAD，‎ 又∵AB＝AC，AM＝AD，‎ ‎∴△ABM≌△ACD，‎ ‎∴BM＝CD ‎∴BD＝DM+MB＝AD＋CD ‎（2）【探究1】BD＝ AD＋CD CD证明：在AD的左侧作∠ADM＝90°，交BD于点M，‎ 在⊙O中，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，‎ 在△ABC中，∵AB＝AC，∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝∠ACB＝45°，‎ 在△ADM中，∵∠ADM＝90°，∠ADB＝45°，‎ ‎∴AM＝AD，DM＝AD ‎∵∠CAB＝90°，∠ADM＝90°，‎ ‎∴∠BAM＝∠CAD，‎ 又∵AB＝AC，AM＝AD，‎ ‎∴△ABM≌△ACD，‎ ‎∴BM＝CD∴BD＝DM+MB＝AD＋CD ‎【探究2】BD＝2AD＋2CD ‎（3）BD＝‎ ‎{分值}（12分）‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{考点:圆与相似的综合}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:等边三角形的判定}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎