2020年河南省鹤壁市中考数学一模试卷 (含解析)

2020年河南省鹤壁市中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年河南省鹤壁市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 1 的相反数是 A. 1 B. 1 C. D. 3 2. 北京时间 2019 年 4 月 10 日人类首次直接拍摄到黑洞的照片，它是一个 “超巨型”质量黑洞，位于室女座星系团中一个超大质量星系 ＀ 的 中心，距离地球 5500 万光年．数据“5500 万光年”用科学记数法表示为 A. 䁥䁥 1䁥 光年 B. 䁥 1䁥 ＀ 光年 C. . 1䁥 光年 D. . 1䁥 光年 . 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的名称是 A. 圆锥 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 棱锥 . 关于数据：25，26，23，27，26，23， 2䁥. 下列说法正确的是 A. 中位数是 27 B. 众数是 23 和 26 C. 极差是 6 D. 平均数是 2. . 下列运算正确的是 A. 香 2 香 2 2 B. 2香 ܽ 12香 1 香 1C. 2香 2 香 D. 2 ＀ ܽ 1 ܽ 2 . 若一元二次方程 2 2 䁥 无实数根，则一次函数 ܽ 1 ܽ 1 的图象不经过 第 象限 .A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 . 求不等式组 2 ܽ 1 ͳ 䁥 2 䁥 的整数解是 A. 1，2 B. 1，1，2 C. 1 ，1，2 D. 1 ，0，1，2 ＀. 如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是 A. B. C. D. 9. 如图，在 䳌䁨 中， 䁨 9䁥. 为边 CA 延长线上一点， ‴㜲㜲 䳌 ， 䳌 2 ，则 ‴ 的大小为 A. 2B. C. ＀D. ＀ 1䁥. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 1䳌1䁨1 、 2䳌2䁨2䁨1 、 䳌䁨䁨2 、 、 䳌䁨䁨1的顶点 1 、 2 、 、 、 均在直线 ܽ 上，顶点 䁨 、 䁨2 、 䁨 、 、 䁨 在 x 轴上，若点 䳌1的坐标为 11 ，点 䳌2 的坐标为 2 ，那么点 1䁥 的坐标为 A. 111䁥 B. 2 9 2 ＀ C. 2 9 12 ＀ D. 2 9 12 9 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 11. ＀ .1 䁥 ܽ 2ܿ ______． 12. 小芳的爸爸买了一篮梨回家，小芳想分给家里的每一个人，如果每人分 3 个，那么剩下 3 个梨； 如果每人分 4 个，那么还差 2 个梨．小芳家共有___________人，小芳爸爸买了___________个 梨． 1. 小明有两双不同的运动鞋，上学时，小明从中任意拿出两只，恰好能配成一双的概率是______． 1. 如图，AB 是 的直径，BT 是 的切线，若 䳌 ， 䳌 2 ， 则阴影部分的面积是______． 1. 如图，在等腰直角三角形 䳌䁨 中， 䁨 2 ， 䁨 9䁥 ， 䁨‴ ， ，则 BE 的长 为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分） 1. 先化简，再求值： 1 1 2 2ܽ 2 ，其中 ， ． 1. 如图，以 䳌䁨 的边 AB 为直径的 与边 AC 相交于点 D，BC 是 的切线，E 为 BC 的中点，连接 AE、DE． 1 求证：DE 是 的切线； 2 设 䁨‴ 的面积为 1 ，四边形 ABED 的面积为 2. 若 2 1 ， 求 tan䳌䁨 的值； 在 2 的条件下，若 ‴ 2 ，求 的半径长． 1＀. 如图，反比例函数 的图象经过点 1 ，直线 ܽ 䁥 与双曲线 在第二、 四象限分别相交于 P，Q 两点，与 x 轴、y 轴分别相交于 C，D 两点． 1 求 k 的值； 2 当 2 时，求 䁨 的面积； 连接 OQ，是否存在实数 b，使得 䁚 䁨 ？若存在，请求出 b 的值；若不存在，请说 明理由． 19. 为帮助社区一位白血病儿童，某校团委向全校 800 名学生发起了爱心捐款活动，为了解学生捐 款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的扇形统计 图和条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题： 1 本次抽样调查了几名学生？并补全条形统计图； 2 求被调查学生捐款的平均数和中位数； 估计全校捐款金额在捐款平均数以上的学生人数． 20. 如图，为了测量旗杆的高度 BC，在距旗杆底部 B 点 10 米的 A 处，用高 1.米的测角仪 DA 测得旗杆顶端 C 的仰角 䁨‴ 为 2 ，求旗杆 BC 的高度． 结 果精确到 䁥.1 米 【参考数据 ݅2 䁥.9 ， ܿ2 䁥.2 ， 香2 1.2＀ 】 21. 某学校计划采购 A、B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元． 1 求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元； 2 若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半， 两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？ 在 2 的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 22. 如图，在 䳌䁨 中，已知 䳌 䁨 ， 䳌䁨 ，且 䳌䁨≌ ‴䁨 ，将 ‴䁨 与 䳌䁨 重合 在一起， 䳌䁨 不动， ‴䁨 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 始 终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点． 1 求证： 䳌‴∽ ‴䁨 ； 2 探究：在 ‴䁨 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能， 请说明理由； 当线段 1 时，求出 BE 的长，并求此时重叠部分的面积． 23. 如图，已知二次函数 香 2 ܽ ܽ 2香 䁥 的图象经过 1䁥 、 䳌䁥 两点． 1 求该二次函数的解析式； 2 点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足 䳌 䁨 是坐标原点 ，求点 D 的坐标； 点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA 分别交 BC、y 轴于点 E、F， 若 ‴䳌 、 䁨‴䁨 的面积分别为 1 、 2 ，求 1 2 的最大值． 【答案与解析】 1.答案：B 解析：解： 1 的相反数是 1 ． 故选：B． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.答案：D 解析：解：5500 万 䁥䁥䁥䁥䁥䁥 ， 数据“5500 万光年”用科学记数法表示为 . 1䁥 光年． 故选：D． 科学记数法的表示形式为 香 1䁥 的形式，其中 1 香 1䁥 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ͳ 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 香 1䁥 的形式，其中 1 香 1䁥 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3.答案：C 解析：解：根据题意得：该几何体的名称是圆柱， 故选 C． 根据几何体的三视图确定出几何体的名称即可． 此题考查了由三视图判断几何体，能识别三视图表示的几何体是解本题的关键． 4.答案：B 解析：解：把这组数据从小到大排列为：20，23，23，25，26，26，27，最中间的数是 25，则中位 数是 25； 平均数是： 2䁥 ܽ 2 ܽ 2 ܽ 2 ܽ 2 ܽ 2 ܽ 2 2 2 ； 极差是： 2 2䁥 ； 23 和 26 都出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 23 和 26； 故选 B． 根据平均数、众数、中位数及极差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可． 此题考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新 排列后，最中间的那个数 最中间两个数的平均数 ，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出 现次数最多的数，极差是用最大值减去最小值． 5.答案：C 解析：解：A、结果是 香 2 2香 ܽ 2 ，故本选项错误； B、结果是 香 2 1 ，故本选项错误； C、结果是 香 ，故本选项正确； D、结果是 2 ，故本选项错误； 故选：C． 先根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可． 本题考查了乘法公式，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是 解此题的关键． 6.答案：D 解析： 本题考查了一元二次方程 香 2 ܽ ܽ 䁥香 䁥 的根的判别式 2 香 ：当 ͳ 䁥 ，方程有两个 不相等的实数根；当 䁥 ，方程有两个相等的实数根；当 䁥 ，方程没有实数根．也考查了一次函 数图象与系数的关系． 根据判别式的意义得到 2 2 ܽ 䁥 ，解得 1 ，然后根据一次函数的性质可得到一次 函数 ܽ 1 ܽ 1 图象经过的象限． 解： 一元二次方程 2 2 䁥 无实数根， 2 香 ܽ 䁥 1 ܽ 1 1 ܽ 1 ，即 ܽ 1 䁥 ， 1 1 1 ，即 1 2 ， 一次函数 ܽ 1 ܽ 1 的图象不经过第一象限． 故选 D． 7.答案：D 解析：【试题解析】 解： 解不等式 2 ܽ 1 ͳ 䁥 得： ͳ 2 ， 解不等式 2 䁥 得：： 2 ， 不等式组的解集为 2 2 ， 不等式组的整数解为 1 ，0，1，2， 故选 D． 先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求 出不等式组的解集． 8.答案：B 解析：【试题解析】 解：由题意，得四个小正方形组合成一个正方体的面， 是阴影， 1 是空白， 故选：B． 根据展开图折叠成几何体，四个小正方形组合成一个正方体的面，可得答案． 本题考查了几何体的展开图，利用四个小正方形组合成一个正方体的面是解题关键． 9.答案：C 解析： 本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出 䁨䳌 ，根据平行线的性 质求出 ‴ 的度数即可解答． 解： 在 䳌䁨 中， 䁨 9䁥 ， 䳌 2 ， 䁨䳌 9䁥 䳌 9䁥 2 ＀ ， ‴㜲㜲䳌 ， 䁨䳌 ‴ ＀ ． 故选 C． 10.答案：D 解析： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．设直线方程 ܽ 时，不要漏掉 䁥 这一条件． 首先利用待定系数法求得直线 12 的解析式，然后求得 1䁥 的坐标． 解： 䳌1 的坐标为 11 ，点 䳌2 的坐标为 2 ， 正方形 1䳌1䁨11 边长为 1，正方形 2䳌2䁨2䁨1 边长为 2， 1 的坐标是 䁥1 ， 2 的坐标是： 12 ， 代入 ܽ 䁥 得： 1 ܽ 2 ， 解得： 1 1 ， 则直线 12 的解析式是： ܽ 1. 1䳌1 1 ，点 䳌2 的坐标为 2 ， 点 的坐标为 ， 根据点的坐标规律，可知点 的坐标为 2 1 12 1 ， 点 1䁥 的坐标为 2 9 12 9 .故选 D .11.答案： 1 ܽ 2 解析：解：原式 2 2 1 ܽ 2 2 2 2 2 1 ܽ 2 2 1 ． 故答案为： 2 1 ． 直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12.答案：5；18 解析： 【试题解析】 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适 的等量关系列出方程，再求解．设小芳家有 x 个人，根据梨总数不变及“如果每人分 3 个，就剩下 3 个梨分不完，如果每人分 4 个，则还差 2 个梨才够分”列出方程，解方程即可． 解：设小芳家有 x 人 ܽ 2 ܽ 1＀答：小芳家有 5 人，爸爸买了 18 个梨． 故答案为 5；18． 13.答案： 1 解析：解：设其中一双鞋分别为 a， 香 ；另一双鞋分别为 b， ． 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，恰好能配成一双的有 4 种情况， 恰好能配成一双的概率是： 12 1 ， 故答案为： 1 ． 首先设其中一双鞋分别为 a， 香 ；另一双鞋分别为 b， ，然后根据题意画树状图，由树状图即可求 得所有等可能的结果与恰好能配成一双的情况，再利用概率公式即可求得答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 14.答案：1 解析：解：如图：设 AT 与圆 O 相交于点 C，连接 BC 䳌 是 的切线 䳌 䳌 ， 又 䳌 䳌 䳌 䳌 䳌 2 䳌 是直径 䁨䳌 9䁥 䁨䳌 䁨䳌 䳌 䁨 䳌䁨 䁨 点 C 是 䁨䳌 的中点 阴影 䁨䳌 阴影 1 2 䳌 1 2 1 2 2 2 1故答案为：1 由题意可得： 䁨䳌 䁨䳌 䳌 ， 䳌 䳌 2 ，可得 䁨 䳌䁨 䁨 ，即点 C 是 䁨䳌的中点，则 阴影 䁨䳌 ，即 阴影 1 2 䳌 1 2 1 2 2 2 1 ． 本题考查了切线的性质，圆周角的定理，熟练运用这些性质是本题的关键． 15.答案：4 解析：解：如图，将 䳌䁨‴ 绕点 C 逆时针旋转 9䁥 得到 䁨䁨 ，连接 DF， 䁨䳌 9䁥 ， 䁨 䳌䁨 2 ， 䳌 12 ， 䁨䳌 䳌䁨 ， ， 䳌 9 ‴ ܽ 䳌‴ ， 将 䳌䁨‴ 绕点 C 逆时针旋转 9䁥 得到 䁨䁨 䁨䁨≌ 䳌‴䁨 䁨 䳌‴ ， 䁨䁨 䁨‴ ， 䁨䁨 䳌䁨 䁨䳌 ， 䁨䁨 䳌䁨‴ ， 䁨 9䁥 䁨‴ ， 䁨䳌 9䁥 ， 䁨 ܽ 䳌䁨‴ ， 䁨 ܽ 䁨䁨 䁨‴ ，且 䁨䁨 䳌䁨 ， 䁨 䁨 ， 䁨䁨≌ ‴䁨 ‴ 䁨 ， 在 䁨 中， 䁨 2 2 ܽ 䁨 2 ， 9 䳌‴ 2 9 ܽ 䳌‴ 2 ， 䳌‴ 故答案为：4 将 䳌䁨‴ 绕点 C 逆时针旋转 9䁥 得到 䁨䁨 ，连接 DF，由旋转的性质可得 䁨 䳌‴ ， 䁨䁨 ‴䁨 ， 䁨䁨 䳌䁨 䁨䳌 ， 䁨䁨 䳌䁨‴ ，即可证 䁨䁨≌ ‴䁨 ，可得 ‴ 䁨 ，根据勾股 定理可求 BE 的长度． 本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等 三角形是本题的关键． 16.答案：解： 1 1 2 2ܽ 2 ， 2 2 2 1 将 ， 代入原式得： 原式 1 1 1 ＀ ． 解析：将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用完全平方公式分解 因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果， 即可得到原式的值． 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘 除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式 分解因式后再约分． 17.答案： 1 证明：连接 OD， 䳌 䳌 䳌 ． 䳌 是直径， 䳌 9䁥 ， 䁨䳌 9䁥 ． ‴ 为 BC 的中点， ‴ 䳌‴ ， ‴䳌 ‴䳌 ， 䳌 ܽ ‴䳌 䳌 ܽ ‴䳌 ， 即 ‴ ‴䳌 ． 䳌䁨 是以 AB 为直径的 的切线， 䳌 䳌䁨 ， ‴䳌 9䁥 ， ‴ 9䁥 ， ‴ 是 的切线； 2 2 1 䳌 2䁨䳌 䁨 2 1 䳌䁨∽ 䳌 䳌 䳌 䁨 䳌 2 䁨 䳌 2 2 tan䳌䁨 䳌 2 2 ． tan䳌䁨 䳌 2 2 䳌䁨 䳌 2 2 ，得 䳌䁨 2 2 䳌 ‴ 为 BC 的中点 䳌‴ 2 䳌 ‴ 2 ， 在 ‴䳌 中，由勾股定理得 2 2 2 䳌 2 ܽ 䳌 2 ，解得 䳌 故 的半径 1 2 䳌 2 ． 解析： 1 连接 DO，由圆周角定理就可以得出 䳌 9䁥 ，可以得出 䁨䳌 9䁥 ，根据 E 为 BC 的中点可以得出 ‴ 䳌‴ ，就有 ‴䳌 ‴䳌 ， 䳌 可以得出 䳌 䳌 ，由等式的性质 就可以得出 ‴ 9䁥 就可以得出结论． 2 由 2 1 可得 䳌 的面积是 䁨‴ 面积的 4 倍，可求得 AD： 䁨 2 ：1，可得 AD： 䳌 2 ： 2. 则 tan䳌䁨 的值可求； 由 2 的关系即可知 䳌 䳌䁨 䳌 ，在 ‴䳌 中，由勾股定理即可求 AB 的长，从而求 的半径 本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定 定理的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键． 18.答案：解： 1 将点 1 代入 可得 ； 2 当 2 时，直线 PQ 的解析式为 2 ， 当 䁥 时， 2 ，即 䁨 2䁥ǡ 当 䁥 时， 2 ，即 䁥 2 ， 䁨 2 ． 䁨 1 2 䁨 1 2 2 2 2 ． 当 䁥 时，易知 C、D 点的坐标分别为 䁥 ， 䁥 ， 过 Q 作 䁚‴ 轴于点 E． 䁨 ， ， ， ‴ ‴䁚 ， 䁚 䁨 ， 1 2 䁨 1 2 䁚‴ ， 䁨 䁚‴ ，得 䁚 2 ， 点 Q 在双曲线 上， 2 ，得 2 ， 又 䁥 ， 2 ． 当 ͳ 䁥 时，易知 䁚 䁨 ܽ 䁨䁚 ， 䁚 ͳ 䁨 不符合题意． 综上所述，当 2 时， 䁚 䁨 ． 解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函 数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了 反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式． 1 根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得 ； 2 当 2 时，直线解析式为 2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出 䁨 2䁥 ， 䁥 2 ，然后根据三角形面积公式求解； 先表示出 䁨䁥 ， 䁥 ，根据三角形面积公式，由于 䁚 䁨 ，所以点 Q 和点 C 到 OD 的距离相等，则 Q 的横坐标为 ，利用直线解析式可得到 䁚 2 ，再根据反比例函数的图象上 点的坐标特征得到 2 ，然后解方程即可得到满足条件的 b 的值． 19.答案：解： 1 本次抽样调查了 ＀ 1䁥䁓 ＀䁥 名学生， 捐款 10 元的有 ＀䁥 ＀ ܽ ܽ ＀ ܽ 2 2＀ 人， 补全条形图如下： 2 捐款平均数为 ＀ܽ2＀1䁥ܽ1ܽ＀2䁥ܽ22 ＀䁥 1 元 ，中位数为 1ܽ1 2 1 ； ܽ＀ܽ2 ＀䁥 ＀䁥䁥 䁥 人 ， 答：估计全校捐款金额在捐款平均数以上的学生有 440 人． 解析： 1 根据捐款 5 元的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得 捐款 10 元的人数； 2 根据加权平均数和中位数的计算方法可得答案； 用样本中捐款 13 元以上的人数所占比例乘以总人数可得． 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键． 20.答案：解：过点 D 作 ‴ 䳌䁨 交 BC 于 E， 在 䁨‴ 中，有 䁨‴ 香2 ‴ 1.2＀ 1䁥 12.＀ 米， 故 BC 䳌‴ ܽ 䁨‴ 1. ܽ 12.＀ 1. 米， 答：旗杆的高度为 1. 米． 解析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关 系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 首先分析图形：根据题意构造直角三角形 䁨‴ ，解其可得 CE 的长，进而借助 䳌䁨 ‴䁨 ܽ ‴䳌 可解 即可求出答案． 21.答案：解： 1 设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元， ܽ 2 9䁥䁥䁥 䁥䁥䁥 ，解得 9䁥䁥䁥 䁥䁥䁥 ， 答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元； 2 设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调 䁥 香 台， 香 1 2 䁥 香 9䁥䁥䁥香 ܽ 䁥䁥䁥䁥 香 21䁥䁥䁥 ， 解得， 1䁥 香 12 1 ， 香 1䁥 、11、12，共有三种采购方案， 方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台， 方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台， 方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台； 设总费用为 w 元， 9䁥䁥䁥香 ܽ 䁥䁥䁥䁥 香 䁥䁥䁥香 ܽ 1＀䁥䁥䁥䁥 ， 当 香 1䁥 时，w 取得最小值，此时 21䁥䁥䁥䁥 ， 即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元． 解析： 1 根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； 2 根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案； 根据题意求出函数，结合 2 中的结果，即可求出答案． 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是 明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答． 22.答案： 1 证明： 䳌 䁨 ， 䳌 䁨 ， 䳌䁨≌ ‴䁨 ， ‴䁨 䳌 ， 又 ‴䁨 ܽ 䁨‴ ‴䁨 䳌 ܽ 䳌‴ ， 䁨‴ 䳌‴ ， 䳌‴∽ ‴䁨 ； 2 能． 解： ‴䁨 䳌 䁨 ，且 ‴ ͳ 䁨 ， ‴ ͳ ‴䁨 ， ‴ ； 当 ‴ ‴ 时，则 䳌‴≌ ‴䁨 ， 䁨‴ 䳌 ， 䳌‴ 䳌䁨 ‴䁨 1 ， 当 ‴ 时，则 ‴ ‴ ， ‴ ܽ 䳌‴ ‴ ܽ 䁨‴ ， 即 䁨䳌 䁨‴ ， 又 䁨 䁨 ， 䁨‴∽ 䁨䳌 ， 䁨‴ 䁨 䁨 䁨䳌 ， 䁨‴ 䁨 2 䁨䳌 2 ， 䳌‴ 2 11 ； 䳌‴ 1 或 11 ． 若 ‴ ，此时 E 点与 B 点重合，M 点与 C 点重合，即 䳌‴ 䁥 ． 䳌‴ 1 或 11 或 0． 解：设 䳌‴ ， 又 䳌‴∽ ‴䁨 ， 䁨 䳌‴ 䁨‴ 䳌 ， 即： 䁨 ， 䁨 2 ܽ 1 2 ܽ 9 ， 䁨 1 2 ܽ 1 ， 当 时，AM 最短为 1 ， 又 当 䳌‴ 1 2 䳌䁨 时， 点 E 为 BC 的中点， ‴ 䳌䁨 ， ‴ 䳌 2 䳌‴ 2 ， 此时， ‴䁨 䁨 ， ‴ 䁨‴ 2 䁨 2 12 ， ‴ 1 2 1 12 9 2 ． 解析：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此 题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键． 1 由 䳌 䁨 ，根据等边对等角，可得 䳌 䁨 ，又由 䳌䁨≌ ‴䁨 与三角形外角的性质，易证 得 䁨‴ 䳌‴ ，则可证得： 䳌‴∽ ‴䁨 ； 2 首先由 ‴䁨 䳌 䁨 ，且 ‴ ͳ 䁨 ，可得 ‴ ，然后分别从 ‴ ‴ 与 ‴去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案； 首先设 䳌‴ ，由 䳌‴∽ ‴䁨 ，根据相似三角形的对应边成比例，易得 䁨 2 ܽ 1 2 ܽ 9 ，继而求得 AM 的值，利用二次函数的性质，即可求得线段 AM 的最小值，继而求得重 叠部分的面积． 23.答案：解： 1 把点 1䁥 和 䳌䁥 代入 香 2 ܽ ܽ 2 中，得： 香 ܽ 2 䁥 1香 ܽ ܽ 2 䁥 ，解得： 香 1 2 2 ， 二次函数的解析式为： 1 2 2 ܽ 2 ܽ 2 ； 2 当点 D 在 x 轴上方时，过 C 作 䁨㜲㜲䳌 交抛物线于点 D，如图， 、B 关于对称轴对称，C、D 关于对称轴对称， 四边形 ABDC 为等腰梯形， 䁨 䳌 ，即点 D 满足条件， 2 ； 当点 D 在 x 轴下方时， 䳌 䁨 ， 䳌㜲㜲䁨 ， 䁨䁥2 ， 设直线 AC 的解析式为 ܽ 2 ，把 1䁥 代入可得： 2 ， 直线 AC 的解析式为 2 ܽ 2 ， 设直线 BD 的解析式为 2 ܽ ，把 䳌䁥 代入可得： ＀ ， 直线 BD 的解析式为 2 ＀ ， 联立直线 BD 和抛物线解析式可得： 2 ＀ 1 2 2 ܽ 2 ܽ 2 ，解得： 䁥 或 1＀ ， 1＀ ； 综上所述，满足条件的点 D 的坐标为 2 或 1＀ ； 设 1 2 2 ܽ 2 ܽ 2 ， 䳌 ， 䁨 2 ， 䳌 1 2 1 2 2 ܽ 2 ܽ 2 2 ܽ 1 ܽ ， 䁨 1 2 2 ܽ 2ܽ2 1 ܽ1 ， 䁨 1 2 ， 䁨 1 2 1 1 2 1 ， 䳌䁨 1 2 2 ， 1 2 2 ܽ 1 ܽ ܽ 1 ＀ 2 ܽ 1 ， 当 ＀ 时， 1 2 有最大值，最大值为 1 ． 解析：本题考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，三角形的面积，平行线的判定 与性质，分类讨论思想． 1 把 A，B 的坐标代入，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； 2 分两种情况讨论：当点 D 在 x 轴上方时，则 䁨㜲㜲䳌 时，满足条件，由对称性即可求得 D 的坐 标；当点 D 在 x 轴下方时，证得 䳌㜲㜲䁨 ，待定系数法求直线 AC，BD 的解析式，再联立直线 BD 和抛物线解析式即可求得点 D 坐标； 可设出点 P 的坐标，表示出 䳌 ， 䁨 ， 䳌䁨 的面积，即可把 1 2 表示成关于 P 点坐标 的二次函数，根据二次函数的性质即可得到结论．