2020年上海市静安区中考数学一模试卷

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文档介绍

2020年上海市静安区中考数学一模试卷

‎2020年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎ ‎ ‎1. 已知a=x+‎y,b=x−‎y,那么ab的值为( ) ‎ A.‎2‎x B.‎2‎y C.x−y D.‎x+y ‎ ‎ ‎2. 已知点P在线段AB上,且AP:PB=‎2:3‎,那么AB:PB为( ) ‎ A.‎3:2‎ B.‎3:5‎ C.‎5:2‎ D.‎‎5:3‎ ‎ ‎ ‎3. 在‎△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE // BC,AD:DB=‎4:5‎,下列结论中正确的是( ) ‎ A.DEBC‎=‎‎4‎‎5‎ B.BCDE‎=‎‎9‎‎4‎ C.AEAC‎=‎‎4‎‎5‎ D.‎ECAC‎=‎‎5‎‎4‎ ‎ ‎ ‎4. 在Rt△ABC中,‎∠C=‎90‎‎∘‎,‎∠A、‎∠B、‎∠C所对的边分别为a、b、c,如果a=‎3b,那么‎∠A的余切值为( ) ‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎10‎‎10‎ ‎ ‎ ‎5. 如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,设OA‎→‎‎=‎a‎→‎,OB‎→‎‎=‎b‎→‎,下列式子中正确的是( ) ‎ A.DC‎→‎‎=a‎→‎+‎b‎→‎ B.DC‎→‎‎=a‎→‎−‎b‎→‎ C.DC‎→‎‎=−a‎→‎+‎b‎→‎ D.DC‎→‎‎=−a‎→‎−‎b‎→‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 如果将抛物线y=x‎2‎‎−2‎平移,使平移后的抛物线与抛物线y=x‎2‎‎−8x+9‎重合,那么它平移的过程可以是( ) ‎ A.向右平移‎4‎个单位,向上平移‎11‎个单位 B.向左平移‎4‎个单位,向上平移‎11‎个单位 C.向左平移‎4‎个单位,向上平移‎5‎个单位 D.向右平移‎4‎个单位,向下平移‎5‎个单位 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)‎ ‎ ‎ ‎ 因式分解:x‎2‎‎−5x=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知f(x)=‎‎3x+1‎,那么f(3)‎=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 方程x−1‎x+1‎‎=‎‎1‎‎2‎的根为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知:xy‎=‎‎3‎‎4‎,且y≠4‎,那么x−3‎y−4‎‎=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中,边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G,AD=‎6‎,那么AG=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如果两个相似三角形的对应边的比是‎4:5‎,那么这两个三角形的面积比是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为‎60‎度,已知A、C两点间的距离为‎15‎米,那么大楼AB的高度为________米.(结果保留根号) ‎ ‎ ‎ ‎ 某商场四月份的营业额是‎200‎万元,如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同,都为x(x>0)‎,六月份的营业额为y万元,那么y关于x的函数解式是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 矩形的一条对角线长为‎26‎,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为‎5‎‎13‎,那么该矩形的面积为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知二次函数y=a‎2‎x‎2‎‎+8a‎2‎x+a(a是常数,a≠0)‎,当自变量x分别取‎−6‎、‎−4‎时,对应的函数值分别为y‎1‎、y‎2‎,那么y‎1‎、y‎2‎的大小关系是:y‎1‎ ‎>‎ y‎2‎(填“‎>‎”、“‎<‎”或“=”). ‎ ‎ ‎ ‎ 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD中,AD // BC,AD=‎4‎,BC=‎9‎,点E、F分别在边AB、CD上,且EF是梯形ABCD的“比例中线”,那么DFFC‎=‎________. ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ‎ ‎ 如图,有一菱形纸片ABCD,‎∠A=‎60‎‎∘‎,将该菱形纸片折叠,使点A恰好与CD的中点E重合,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上,联结EF,那么cos∠EFB的值为________. ‎ 三、解答题:(本大题共7题,满分78分)‎ ‎ ‎ ‎ 先化简,再求值:x−yx+2y‎÷‎x‎2‎‎−‎y‎2‎x‎2‎‎+4xy+4‎y‎2‎,其中x=sin‎45‎‎∘‎,y=cos‎60‎‎∘‎. ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,在Rt△ABC中,‎∠ACB=‎90‎‎∘‎,AC=‎20‎,sinA=‎‎3‎‎4‎,CD⊥AB,垂足为D. ‎ ‎(1)求BD的长;‎ ‎ ‎ ‎(2)设AC‎→‎‎=‎a‎→‎,BC‎→‎‎=‎b‎→‎,用a‎→‎、b‎→‎表示AD‎→‎.‎ ‎ ‎ ‎ 已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x‎2‎‎+bx+1‎(b为常数)的对称轴是直线x=‎1‎. ‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎ ‎ ‎(2)点A(8, m)‎在该抛物线上,它关于该抛物线对称轴对称的点为A‎′‎,求点A‎′‎的坐标;‎ ‎ ‎ ‎(3)选取适当的数据填入下表,并在如图所示的平面直角坐标系内描点,画出该抛物线. ‎ x ‎…‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎ 如图,在东西方向的海岸线l上有长为‎300‎米的码头AB,在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东‎45‎‎∘‎方向上;同一时刻,在A点正东方向距离‎100‎米的C处测得轮船M在北偏东‎22‎‎∘‎方向上. ‎ ‎(1)求轮船M到海岸线l的距离;(结果精确到‎0.01‎米)‎ ‎ ‎ ‎(2)如果轮船M沿着南偏东‎30‎‎∘‎的方向航行,那么该轮船能否行至码头AB靠岸?请说明理由. (参考数据:sin‎22‎‎∘‎≈0.375‎,cos‎22‎‎∘‎≈0.927‎,tan‎22‎‎∘‎≈0.404‎,‎3‎‎≈1.732‎.)‎ ‎ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ 如图,在梯形ABCD中,AD // BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,OD‎2‎=OB⋅OE. ‎ ‎(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;‎ ‎ ‎ ‎(2)如果BC=BD,AE⋅AF=AD⋅BF,求证:‎△ABE∽△ACD.‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中(如图),已知二次函数y=ax‎2‎+bx+c(其中a、b、c是常数,且a≠0‎)的图象经过点A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎,联结AB、AC. ‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎ ‎ ‎(2)点D是线段AC上的一点,联结BD,如果S‎△ABD‎:‎S‎△BCD=‎3:2‎,求tan∠DBC的值;‎ ‎ ‎ ‎(3)如果点E在该二次函数图象的对称轴上,当AC平分‎∠BAE时,求点E的坐标.‎ ‎ ‎ ‎ 已知:如图‎1‎,在‎△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边BC、DC上,AB‎2‎=BE⋅DC,DE:EC=‎3:1‎,F是边AC上的一点,DF与AE交于点G. ‎ ‎(1)找出图中与‎△ACD相似的三角形,并说明理由;‎ ‎ ‎ ‎(2)当DF平分‎∠ADC时,求DG:DF的值;‎ ‎ ‎ ‎(3)如图‎2‎,当‎∠BAC=‎90‎‎∘‎,且DF⊥AE时,求DG:DF的值.‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 参考答案与试题解析 ‎2020年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 二次根式的化简求值 ‎【解析】‎ 将a、b直接代入ab,利用平方差公式求值即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ a=x+‎y,b=x−‎y, ∴ ab=‎(x+y)(x−y)‎=x−y,‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 比例线段 ‎【解析】‎ 根据比例的合比性质直接求解即可.‎ ‎【解答】‎ 由题意AP:PB=‎2:3‎, AB:PB=‎(AP+PB)‎:PB=‎(2+3)‎:‎3‎=‎5:3‎;‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 由平行线证出‎△ADE∽△ABC,得出AEAC‎=DEBC=ADAB=‎‎4‎‎9‎,即可得出答案.‎ ‎【解答】‎ 故选:B. ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 锐角三角函数的定义 ‎【解析】‎ 根据余切函数的定义即可求解.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 在Rt△ABC中,‎∠C=‎90‎‎∘‎,‎∠A、‎∠B、‎∠C所对的边分别为a、b、c,a=‎3b, ∴ cotA=ba=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ ‎*平面向量 平行四边形的性质 ‎【解析】‎ 利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB‎→‎即可解决问题.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB // CD,AB=CD, ∵ AB‎→‎‎=AO‎→‎+‎OB‎→‎ ∴ DC‎→‎‎=AB‎→‎=−a‎→‎+‎b‎→‎,‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 二次函数图象与几何变换 ‎【解析】‎ 根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 抛物线y=x‎2‎‎−8x+9‎=‎(x−4‎)‎‎2‎−7‎的顶点坐标为‎(4, −7)‎,抛物线y=x‎2‎‎−2‎的顶点坐标为‎(0, −2)‎, ∴ 顶点由‎(0, −2)‎到‎(4, −7)‎需要向右平移‎4‎个单位再向下平移‎5‎个单位.‎ 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)‎ ‎【答案】‎ x(x−5)‎ ‎【考点】‎ 因式分解-提公因式法 因式分解 ‎【解析】‎ 根据提公因式法,可分解因式.‎ ‎【解答】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 x‎2‎‎−5x‎=x(x−5)‎.‎ ‎【答案】‎ ‎10‎ ‎【考点】‎ 函数值 ‎【解析】‎ 将x=‎3‎代入f(x)=‎‎3x+1‎计算即可.‎ ‎【解答】‎ 当x=‎3‎是,f(3)=‎3×3+1‎=‎‎10‎,‎ ‎【答案】‎ x‎=‎‎3‎ ‎【考点】‎ 解分式方程 ‎【解析】‎ 根据分式方程的解法,方程两边同时乘以‎2(x+1)‎,将分式方程化为整式方程求解即可.‎ ‎【解答】‎ 方程两边同时乘以‎2(x+1)‎,得 ‎2(x−1)‎=x+1‎, 解得x=‎3‎, 经检验,x=‎3‎是原方程的根, ∴ 原方程的解为x=‎3‎,‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎4‎ ‎【考点】‎ 比例的性质 ‎【解析】‎ 根据分比性质可得答案.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ xy‎=‎‎3‎‎4‎,且y≠4‎, ∴ x−3‎y−4‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 三角形的重心 三角形中位线定理 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 由三角形的重心的概念和性质求解.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ AD、BE为‎△ABC的中线,且AD与BE相交于点G, ∴ G点是三角形ABC的重心, ∴ AG=‎2‎‎3‎AD=‎2‎‎3‎×6=4‎,‎ ‎【答案】‎ ‎16:25‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质 ‎【解析】‎ 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,据此即可求解.‎ ‎【解答】‎ 两个相似三角形面积的比是‎(4:5‎‎)‎‎2‎=‎16:25‎.‎ ‎【答案】‎ ‎15‎‎3‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ‎【解析】‎ 解直角三角形即可得到结论.‎ ‎【解答】‎ 由题意得,‎∠BAC=‎90‎‎∘‎,‎∠ACB=‎60‎‎∘‎,AC=‎15‎, ∴ tan∠ACB=ABAC=AB‎15‎=‎‎3‎, ∴ AB=‎3‎AC=‎15‎‎3‎,‎ ‎【答案】‎ y‎=‎‎200x‎2‎+400x+200‎ ‎【考点】‎ 二次函数的应用 ‎【解析】‎ 根据增长率问题公式列出函数解析式即可.‎ ‎【解答】‎ 根据题意,得 y=‎200(1+x‎)‎‎2‎ =‎200x‎2‎+400x+200‎.‎ ‎【答案】‎ ‎240‎ ‎【考点】‎ 矩形的性质 解直角三角形 ‎【解析】‎ 由矩形的性质和三角函数求出CD,由勾股定理求出AD,即可得出矩形的面积.‎ ‎【解答】‎ 如图所示: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ‎∠BAD=‎90‎‎∘‎,AC=BD=‎26‎, ∵ tan∠DAC=CDAC=‎‎5‎‎13‎, ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∴ CD=‎10‎, ∴ AD=AC‎​‎‎2‎−CD‎​‎‎2‎=‎26‎​‎‎2‎−10‎‎​‎‎2‎=24‎, ∴ 矩形的面积=AD×CD=‎24×20‎=‎240‎, 故答案为:‎240‎.‎ ‎【答案】‎ ‎>‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 求出二次函数的对称轴x=‎−4‎,由于函数开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,即可求解.‎ ‎【解答】‎ y‎=a‎2‎x‎2‎‎+8a‎2‎x+a=a‎2‎‎(x‎2‎+8x)+a=a‎2‎‎(x+4‎)‎‎2‎+a−16‎a‎2‎, ∴ 对称轴x=‎−4‎, ∵ x分别取‎−6‎、‎−4‎时,在对称轴左侧, ∴ y随x的增大而减小, ∴ y‎1‎‎>‎y‎2‎,‎ ‎【答案】‎ ‎2‎‎3‎ ‎【考点】‎ 梯形 相似三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 连接BD交EF于G,由EF是梯形ABCD的“比例中线”,得出EF‎2‎=AD×BC=‎36‎,EF=‎6‎,由平行线证出‎△BEG∽△BAD,‎△DFG∽△DCB,得出EGAD‎=‎BGBD,DFDC‎=GFBC=‎DGBD,求出EGAD‎+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1‎,即EG‎4‎‎+‎6−EG‎9‎=1‎,解得EG=‎‎12‎‎5‎,得出GF=‎6−EG=‎‎18‎‎5‎,即可得出答案.‎ ‎【解答】‎ 故答案为:‎2‎‎3‎. ‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎7‎ ‎【考点】‎ 等边三角形的性质与判定 翻折变换(折叠问题)‎ 解直角三角形 菱形的性质 ‎【解析】‎ 如图,连接BD.设BC=‎2a.在Rt△BEF中,求出EF,BF即可解决问题.‎ ‎【解答】‎ 如图,连接BD.设BC=‎2a. ∵ 四边形ABC都是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD=‎2a,‎∠A=‎∠C=‎60‎‎∘‎, ∴ ‎△BDC是等边三角形, ∵ DE=EC=a, ∴ BE⊥CD, ∴ BE=BC‎2‎−EC‎2‎=‎3‎a, ∵ AB // CD,BE⊥CD, ∴ BE⊥AB, ∴ ‎∠EBF=‎90‎‎∘‎, 设AF=EF=x,在Rt△EFB中,则有x‎2‎=‎(2a−x‎)‎‎2‎+(‎3‎a‎)‎‎2‎, ∴ x=‎‎7a‎4‎, ∴ AF=EF=‎‎7a‎4‎,BF=AB−AF=‎a‎4‎, ∴ cos∠EFB=BFEF=a‎4‎‎7a‎4‎=‎‎1‎‎7‎,‎ 三、解答题:(本大题共7题,满分78分)‎ ‎【答案】‎ 原式‎=x−yx+2y÷‎(x+y)(x−y)‎‎(x+2y‎)‎‎2‎=x−yx+2y⋅‎(x+2y‎)‎‎2‎‎(x+y)(x−y)‎=‎x+2yx+y, 当x=sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎,y=cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎时, 原式‎=‎2‎‎2‎‎+2×‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎.‎ ‎【考点】‎ 特殊角的三角函数值 分式的化简求值 ‎【解析】‎ 现将原式化简为x+2yx+y,再将x=sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎,y=cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎代入计算即可.‎ ‎【解答】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 原式‎=x−yx+2y÷‎(x+y)(x−y)‎‎(x+2y‎)‎‎2‎=x−yx+2y⋅‎(x+2y‎)‎‎2‎‎(x+y)(x−y)‎=‎x+2yx+y, 当x=sin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎‎2‎,y=cos‎60‎‎∘‎=‎‎1‎‎2‎时, 原式‎=‎2‎‎2‎‎+2×‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎∵ CD⊥AB,∴ ‎∠ADC=‎∠BDC=‎90‎‎∘‎, 在Rt△ACD中,sinA=‎CDAC, ∴ CD=AC⋅sinA=‎20×‎3‎‎5‎=12‎, ∴ AD=AC‎2‎−CD‎2‎=‎20‎‎2‎‎−‎‎12‎‎2‎=16‎, ∴ tanA=CDAD=‎‎3‎‎4‎, ∵ ‎∠ACB=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠DCB+∠B=‎∠A+∠B=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠DCB=‎∠A. ∴ BD=CD⋅tan∠DCB=CD⋅tanA=‎12×‎3‎‎4‎=9‎.‎ ‎∵ AB=AD+DB=‎16+9‎=‎25‎, ∴ ADAB‎=‎‎16‎‎25‎, 又∵ AB‎→‎‎=AC‎→‎+CB‎→‎=a‎→‎−‎b‎→‎, ∴ AD‎→‎‎=‎16‎‎25‎AB‎→‎=‎16‎‎25‎a‎→‎−‎‎16‎‎25‎b‎→‎. ‎ ‎【考点】‎ ‎*平面向量 解直角三角形 ‎【解析】‎ ‎(1)解直角三角形求出CD,AD,再在Rt△CDB中求出BD即可. (2)利用三角形法则求解即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ CD⊥AB,∴ ‎∠ADC=‎∠BDC=‎90‎‎∘‎, 在Rt△ACD中,sinA=‎CDAC, ∴ CD=AC⋅sinA=‎20×‎3‎‎5‎=12‎, ∴ AD=AC‎2‎−CD‎2‎=‎20‎‎2‎‎−‎‎12‎‎2‎=16‎, ∴ tanA=CDAD=‎‎3‎‎4‎, ∵ ‎∠ACB=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠DCB+∠B=‎∠A+∠B=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠DCB=‎∠A. ∴ BD=CD⋅tan∠DCB=CD⋅tanA=‎12×‎3‎‎4‎=9‎.‎ ‎∵ AB=AD+DB=‎16+9‎=‎25‎, ∴ ADAB‎=‎‎16‎‎25‎, 又∵ AB‎→‎‎=AC‎→‎+CB‎→‎=a‎→‎−‎b‎→‎, ∴ AD‎→‎‎=‎16‎‎25‎AB‎→‎=‎16‎‎25‎a‎→‎−‎‎16‎‎25‎b‎→‎. ‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 对称轴为x=−‎b‎2‎, ∴ ‎−b‎2‎=1‎, ∴ b=‎−2‎, ∴ 抛物线的表达式为y=x‎2‎‎−2x+1‎;‎ ‎∵ 点A(8, m)‎在该抛物线的图象上, ∴ 当x=‎8‎时,y=x‎2‎‎−2x+1‎=‎8‎‎2‎‎−2×8+1‎=‎49‎. ∴ 点A(8, 49)‎, ∴ 点A(8, 49)‎关于对称轴对称的点A‎′‎的坐标为‎(−6, 49)‎;‎ ‎−1‎‎,‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎1‎,‎0‎,‎1‎,‎‎4‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质 二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式 ‎【解析】‎ ‎(1)根据对称轴公式求得b的值,即可求得抛物线的解析式; (2)把点A(8, m)‎代入解析式求得m的值,然后根据轴对称的性质即可求得A′‎的坐标; (3)列表、连线,画出函数的图象即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 对称轴为x=−‎b‎2‎, ∴ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ‎−b‎2‎=1‎, ∴ b=‎−2‎, ∴ 抛物线的表达式为y=x‎2‎‎−2x+1‎;‎ ‎∵ 点A(8, m)‎在该抛物线的图象上, ∴ 当x=‎8‎时,y=x‎2‎‎−2x+1‎=‎8‎‎2‎‎−2×8+1‎=‎49‎. ∴ 点A(8, 49)‎, ∴ 点A(8, 49)‎关于对称轴对称的点A‎′‎的坐标为‎(−6, 49)‎;‎ 列表: ‎ x ‎…‎ ‎−1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎ 描点、连线,画出图象如图: ‎ ‎【答案】‎ 过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x, ∵ 在Rt△CDM中,CD=DM⋅tan∠CMD=x⋅tan‎22‎‎∘‎, 又∵ 在Rt△ADM中,‎∠MAC=‎45‎‎∘‎, ∴ AD=DM, ∵ AD=AC+CD=‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎, ∴ ‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎=x, ∴ x=‎100‎‎1−tan22‎≈‎100‎‎1−0.404‎≈167.79‎, 答:轮船M到海岸线l的距离约为‎167.79‎米.‎ 作‎∠DMF=‎30‎‎∘‎,交l于点F. 在Rt△DMF中,DF=DM⋅tan∠FMD=DM⋅tan‎30‎‎∘‎ ‎=‎3‎‎3‎DM≈‎3‎‎3‎×167.79≈96.87‎米, ∴ AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87‎=‎264.66<300‎, 所以该轮船能行至码头靠岸. ‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 ‎【解析】‎ ‎(1)过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x,解直角三角形即可得到结论; (2)作‎∠DMF=‎30‎‎∘‎,交l于点F.解直角三角形即可得到结论.‎ ‎【解答】‎ 过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D,设DM=x, ∵ 在Rt△CDM中,CD=DM⋅tan∠CMD=x⋅tan‎22‎‎∘‎, 又∵ 在Rt△ADM中,‎∠MAC=‎45‎‎∘‎, ∴ AD=DM, ∵ AD=AC+CD=‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎, ∴ ‎100+x⋅tan‎22‎‎∘‎=x, ∴ x=‎100‎‎1−tan22‎≈‎100‎‎1−0.404‎≈167.79‎, 答:轮船M到海岸线l的距离约为‎167.79‎米.‎ 作‎∠DMF=‎30‎‎∘‎,交l于点F. 在Rt△DMF中,DF=DM⋅tan∠FMD=DM⋅tan‎30‎‎∘‎ ‎=‎3‎‎3‎DM≈‎3‎‎3‎×167.79≈96.87‎米, ∴ AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87‎=‎264.66<300‎, 所以该轮船能行至码头靠岸. ‎ ‎【答案】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 证明:∵ OD‎2‎ =OE⋅OB, ∴ OEOD‎=‎ODOB, ∵ AD // BC, ∴ ‎△AOD∽△COB, ∴ OAOC‎=‎ODOB ∴ OAOC‎=‎OEOD ∴ AF // CD, ∴ 四边形AFCD是平行四边形;‎ 证明:∵ AF // CD, ∴ ‎∠AED=‎∠BDC,‎△BEF∽△BDC, ∴ BEBD‎=‎BFBC, ∵ BC=BD, ∴ BE=BF,‎∠BDC=‎∠BCD, ∴ ‎∠AED=‎∠BCD. ∵ ‎∠AEB=‎180‎‎∘‎‎−∠AED,‎∠ADC=‎180‎‎∘‎‎−∠BCD, ∴ ‎∠AEB=‎∠ADC. ∵ AE⋅AF=AD⋅BF, ∴ AEBF‎=‎ADAF, ∵ 四边形AFCD是平行四边形, ∴ AF=CD, ∴ AEBE‎=‎ADDC, ∴ ‎△ABE∽△ADC.‎ ‎【考点】‎ 梯形 相似三角形的判定 平行四边形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎(1)由已知得出OEOD‎=‎ODOB,由平行线得出‎△AOD∽△COB,得出OAOC‎=‎ODOB,证出OAOC‎=‎OEOD,得出AF // CD,即可得出结论; (2)由平行线得出‎∠AED=‎∠BDC,‎△BEF∽△BDC,得出BEBD‎=‎BFBC,证出‎∠AEB=‎∠ADC.由已知得出AEBF‎=‎ADAF,由平行四边形的性质得出AF=CD,得出AEBE‎=‎ADDC,由相似三角形的判定定理即可得出结论.‎ ‎【解答】‎ 证明:∵ OD‎2‎ =OE⋅OB, ∴ OEOD‎=‎ODOB, ∵ AD // BC, ∴ ‎△AOD∽△COB, ∴ OAOC‎=‎ODOB ∴ OAOC‎=‎OEOD ∴ AF // CD, ∴ 四边形AFCD是平行四边形;‎ 证明:∵ AF // CD, ∴ ‎∠AED=‎∠BDC,‎△BEF∽△BDC, ∴ BEBD‎=‎BFBC, ∵ BC=BD, ∴ BE=BF,‎∠BDC=‎∠BCD, ∴ ‎∠AED=‎∠BCD. ∵ ‎∠AEB=‎180‎‎∘‎‎−∠AED,‎∠ADC=‎180‎‎∘‎‎−∠BCD, ∴ ‎∠AEB=‎∠ADC. ∵ AE⋅AF=AD⋅BF, ∴ AEBF‎=‎ADAF, ∵ 四边形AFCD是平行四边形, ∴ AF=CD, ∴ AEBE‎=‎ADDC, ∴ ‎△ABE∽△ADC.‎ ‎【答案】‎ 将A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎代入y=ax‎2‎+bx+c, 得,c=−3‎a+b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ ‎, 解得,a=−1‎b=4‎c=−3‎‎ ‎, ∴ 此抛物线的表达式是y=‎−x‎2‎+4x−3‎;‎ 过点D作DH⊥BC于H, 在‎△ABC中,设AC边上的高为h,则S‎△ABDS‎△BCD‎=‎1‎‎2‎AD⋅h‎1‎‎2‎DC⋅h=ADDC=‎‎3‎‎2‎, 又∵ DH // y轴, ∴ ‎△CHD∽△COA, ∴ CHOC‎=DCAC=DHOA=‎‎2‎‎5‎, ∴ CH=DH=‎2‎‎5‎×3=‎‎6‎‎5‎, ∴ BH=BC−CH=‎2−‎6‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎, ∴ tan∠DBC=DHBH=‎‎3‎‎2‎;‎ ‎∵ y=‎−x‎2‎+4x−3‎=‎−(x−2‎)‎‎2‎+1‎, ∴ 对称轴为直线x=‎2‎,设直线x=‎2‎与x轴交于点G,过点A作AF垂直于直线x=‎2‎,垂足为F, ∵ OA=OC=‎3‎, ‎∠AOC=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠OAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎, ∵ AF // x轴, ∴ ‎∠FAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎, ∵ AC平分‎∠BAE, ∴ ‎∠BAC=‎∠EAC, ∵ ‎∠BAO=‎∠OAC−∠BAC,‎∠EAF=‎∠FAC−∠EAC, ∴ ‎∠BAO=‎∠EAF, ∵ ‎∠AOB=‎∠AFE=‎90‎‎∘‎,‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ∴ ‎△OAB∽△FEA, ∴ OBOA‎=EFAF=‎‎1‎‎3‎, ∵ AF=‎2‎, ∴ EF=‎‎2‎‎3‎, ∴ EG=GF−EF=AO−EF=‎3−‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎3‎, ∴ E(2, −‎7‎‎3‎)‎. ‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎(1)将A、B、C的坐标直接代入y=ax‎2‎+bx+c即可; (2)过点D作DH⊥BC于H,在‎△ABC中,设AC边上的高为h,求出AD与DC的比,证‎△CHD∽△COA,可求出CH,DH,BH的长,可根据正切定义求出结果; (3)求出抛物线对称轴为直线x=‎2‎,设直线x=‎2‎与x轴交于点G,过点A作AF垂直于直线x=‎2‎,垂足为F,证‎∠OAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎,‎∠FAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎,推出‎∠BAO=‎∠EAF,证‎△OAB∽△FEA,即可求出AF的长,EF的长,EG的长,即可写出点E的坐标.‎ ‎【解答】‎ 将A(0, −3)‎、B(1, 0)‎、C(3, 0)‎代入y=ax‎2‎+bx+c, 得,c=−3‎a+b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ ‎, 解得,a=−1‎b=4‎c=−3‎‎ ‎, ∴ 此抛物线的表达式是y=‎−x‎2‎+4x−3‎;‎ 过点D作DH⊥BC于H, 在‎△ABC中,设AC边上的高为h,则S‎△ABDS‎△BCD‎=‎1‎‎2‎AD⋅h‎1‎‎2‎DC⋅h=ADDC=‎‎3‎‎2‎, 又∵ DH // y轴, ∴ ‎△CHD∽△COA, ∴ CHOC‎=DCAC=DHOA=‎‎2‎‎5‎, ∴ CH=DH=‎2‎‎5‎×3=‎‎6‎‎5‎, ∴ BH=BC−CH=‎2−‎6‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎, ∴ tan∠DBC=DHBH=‎‎3‎‎2‎;‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ y=‎−x‎2‎+4x−3‎=‎−(x−2‎)‎‎2‎+1‎, ∴ 对称轴为直线x=‎2‎,设直线x=‎2‎与x轴交于点G,过点A作AF垂直于直线x=‎2‎,垂足为F, ∵ OA=OC=‎3‎, ‎∠AOC=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎∠OAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎, ∵ AF // x轴, ∴ ‎∠FAC=‎∠OCA=‎45‎‎∘‎, ∵ AC平分‎∠BAE, ∴ ‎∠BAC=‎∠EAC, ∵ ‎∠BAO=‎∠OAC−∠BAC,‎∠EAF=‎∠FAC−∠EAC, ∴ ‎∠BAO=‎∠EAF, ∵ ‎∠AOB=‎∠AFE=‎90‎‎∘‎, ∴ ‎△OAB∽△FEA, ∴ OBOA‎=EFAF=‎‎1‎‎3‎, ∵ AF=‎2‎, ∴ EF=‎‎2‎‎3‎, ∴ EG=GF−EF=AO−EF=‎3−‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎3‎, ∴ E(2, −‎7‎‎3‎)‎. ‎ ‎【答案】‎ 与‎△ACD相似的三角形有:‎△ABE、‎△ADC,理由如下: ∵ AB‎2‎ =BE⋅DC, ∴ BEAB‎=‎ABDC, ∵ AB=AC, ∴ ‎∠B=‎∠C,BEAB‎=‎ACDC, ∴ ‎△ABE∽△DCA. ∵ ‎△ABE∽△DCA, ∴ ‎∠AED=‎∠DAC. ∵ ‎∠AED=‎∠C+∠EAC,‎∠DAC=‎∠DAE+∠EAC, ∴ ‎∠DAE=‎∠C. ∴ ‎△ADE∽△CDA;‎ ‎∵ ‎△ADE∽△CDA, 又∵ DF平分‎∠ADC, ∴ DGDF‎=DEAD=‎ADCD, 设CE=a,则DE=‎3CE=‎3a,CD=‎4a, ∴ ‎3aAD‎=‎AD‎4a, 解得:AD=‎2‎3‎a, ∴ DFDG‎=ADCD=‎2‎3‎a‎4a=‎‎3‎‎2‎;‎ ‎∵ ‎∠BAC=‎90‎‎∘‎,AB=AC, ∴ ‎∠B=‎∠C=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠DAE=‎∠C=‎45‎‎∘‎ ∵ DG⊥AE, ∴ ‎∠DAG=‎∠ADF=‎45‎‎∘‎, ∴ AG=DG=‎2‎‎2‎AD=‎2‎‎2‎×2‎3‎a=‎6‎a, ∴ EG=DE‎2‎−DG‎2‎=‎(3a‎)‎‎2‎−(‎6‎a‎)‎‎2‎=‎3‎a, ∴ AE=AG+EG=‎(‎6‎+‎3‎)a, ∵ ‎∠AED=‎∠DAC, ∴ ‎△ADE∽△DFA, ∴ ADDF‎=‎AEAD, ∴ DF=AD‎2‎AE=‎(2‎3‎a‎)‎‎2‎‎(‎6‎+‎3‎)a=4(‎6‎−‎3‎)a, ∴ DGDF‎=‎6‎a‎4(‎6‎−‎3‎)a=‎‎2+‎‎2‎‎4‎.‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ ‎(1)根据相似三角形的判定定理进行判定即可; (2)由相似三角形的性质即可得出答案; (3)由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案.‎ ‎【解答】‎ 与‎△ACD相似的三角形有:‎△ABE、‎△ADC,理由如下: ∵ AB‎2‎ =BE⋅DC, ∴ BEAB‎=‎ABDC, ∵ AB=AC, ∴ ‎∠B=‎∠C,BEAB‎=‎ACDC, ∴ ‎△ABE∽△DCA. ∵ ‎△ABE∽△DCA, ∴ ‎∠AED=‎∠DAC. ∵ ‎∠AED=‎∠C+∠EAC,‎∠DAC=‎∠DAE+∠EAC, ∴ ‎∠DAE=‎∠C. ∴ ‎△ADE∽△CDA;‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ ‎△ADE∽△CDA, 又∵ DF平分‎∠ADC, ∴ DGDF‎=DEAD=‎ADCD, 设CE=a,则DE=‎3CE=‎3a,CD=‎4a, ∴ ‎3aAD‎=‎AD‎4a, 解得:AD=‎2‎3‎a, ∴ DFDG‎=ADCD=‎2‎3‎a‎4a=‎‎3‎‎2‎;‎ ‎∵ ‎∠BAC=‎90‎‎∘‎,AB=AC, ∴ ‎∠B=‎∠C=‎45‎‎∘‎, ∴ ‎∠DAE=‎∠C=‎45‎‎∘‎ ∵ DG⊥AE, ∴ ‎∠DAG=‎∠ADF=‎45‎‎∘‎, ∴ AG=DG=‎2‎‎2‎AD=‎2‎‎2‎×2‎3‎a=‎6‎a, ∴ EG=DE‎2‎−DG‎2‎=‎(3a‎)‎‎2‎−(‎6‎a‎)‎‎2‎=‎3‎a, ∴ AE=AG+EG=‎(‎6‎+‎3‎)a, ∵ ‎∠AED=‎∠DAC, ∴ ‎△ADE∽△DFA, ∴ ADDF‎=‎AEAD, ∴ DF=AD‎2‎AE=‎(2‎3‎a‎)‎‎2‎‎(‎6‎+‎3‎)a=4(‎6‎−‎3‎)a, ∴ DGDF‎=‎6‎a‎4(‎6‎−‎3‎)a=‎‎2+‎‎2‎‎4‎.‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页
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