- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
新人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷3套(附答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷1 一、选择题 1.在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是( ) A.2xy+x2=1 B.y2﹣ax+2=0 C.y+x2﹣2=0 D.x2﹣y2+4=0 2.设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系式是( ) A.y=x2 B.y= C.y= D.y= 3.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( ) A.4 B.8 C.﹣4 D.16 4.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 5.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是(﹣1,﹣3),则m和n的值分别是( ) 47 A.2,4 B.﹣2,﹣4 C.2,﹣4 D.﹣2,0 7.对于函数y=﹣x2+2x﹣2,使得y随x的增大而增大的x的取值范围是( ) A.x>﹣1 B.x≥0 C.x≤0 D.x<﹣1 8.抛物线y=x2﹣(m+2)x+3(m﹣1)与x轴( ) A.一定有两个交点 B.只有一个交点 C.有两个或一个交点 D.没有交点 9.二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=,则m的值为( ) A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.以上都不对 10.对于任何的实数t,抛物线y=x2+(2﹣t)x+t总经过一个固定的点,这个点是( ) A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(﹣1,3) D.(1,3) 二、填空题 11.抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 ______,对称轴是 ______,顶点是 ______. 12.若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点,则m=______. 13.如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位,同时向上平移4个单位,那么得到的新的抛物线是______. 14.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是______. 15.已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1,那么n的值是______. 16.抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______. 17.设矩形窗户的周长为6m,则窗户面积S(m2)与窗户宽x(m)之间的函数关系式是______,自变量x的取值范围是______. 18.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点,则△ABC的面积是______. 19.抛物线上有三点(﹣2,3)、(2,﹣8)、(1,3),此抛物线的解析式为______. 20.已知一个二次函数与x轴相交于A、B,与y轴相交于C,使得△ABC为直角三角形,这样的函数有许多,其中一个是______. 三、解答题 47 21.已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式. 22.把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位,同时向下平移1个单位后,恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合.请求出a,b,c的值. 23.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1). (1)请判断实数a的取值范围,并说明理由; (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值. 24.对于抛物线y=x2+bx+c,给出以下陈述: ①它的对称轴为x=2; ②它与x轴有两个交点为A、B; ③△APB的面积不小于27(P为抛物线的顶点). 求①、②、③得以同时成立时,常数b、c的取值范围. 25.分别写出函数y=x2+ax+3(﹣1≤x≤1)在常数a满足下列条件时的最小值: (l)0<a<;(2)a>2.3.(提示:可以利用图象哦,最小值可用含有a的代数式表示) 26.已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6, (1)如图甲:在OA上选取一点D,将△COD沿CD翻折,使点O落在BC边上,记为E.求折痕CD 所在直线的解析式; (2)如图乙:在OC上选取一点F,将△AOF沿AF翻折,使点O落在BC边,记为G. ①求折痕AF所在直线的解析式; ②再作GH∥AB交AF于点H,若抛物线过点H,求此抛物线的解析式,并判断它与直线AF的公共点的个数. 47 (3)如图丙:一般地,在以OA、OC上选取适当的点I、J,使纸片沿IJ翻折后,点O落在BC边上,记为K.请你猜想:①折痕IJ所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点;②经过K作KL∥AB与IJ相交于L,则点L是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(l)的情形下分别进行验证. 《第22章 二次函数》 参考答案 一、选择题 1.在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是( ) A.2xy+x2=1 B.y2﹣ax+2=0 C.y+x2﹣2=0 D.x2﹣y2+4=0 【解答】解:A、2xy+x2=1当x≠0时,可化为y=的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误; B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误; C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2,符合一元二次方程的一般形式,故本选项正确; D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本选项错误. 故选C. 2.设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系式是( ) 47 A.y=x2 B.y= C.y= D.y= 【解答】解:作出BC边上的高AD. ∵△ABC是等边三角形,边长为x, ∴CD=x, ∴高为h=x, ∴y=x×h=x2. 故选:D. 3.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( ) A.4 B.8 C.﹣4 D.16 【解答】解:根据题意,得=0, 解得c=16. 故选D. 4.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 【解答】解:∵直线y=ax+b不经过二、四象限,∴a>0,b=0, 则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上,对称轴x==0. 故选A. 5.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( ) 47 A. B. C. D. 【解答】解:A、由一次函数y=ax+b的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,错误; B、由一次函数y=ax+b的图象可得:a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=﹣<0,错误; C、由一次函数y=ax+b的图象可得:a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=﹣<0,正确. D、由一次函数y=ax+b的图象可得:a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,错误; 故选C. 6.已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是(﹣1,﹣3),则m和n的值分别是( ) A.2,4 B.﹣2,﹣4 C.2,﹣4 D.﹣2,0 【解答】解:根据顶点坐标公式,得 横坐标为: =﹣1,解得m=﹣2; 纵坐标为: =﹣3,解得n=﹣4. 故选B. 47 7.对于函数y=﹣x2+2x﹣2,使得y随x的增大而增大的x的取值范围是( ) A.x>﹣1 B.x≥0 C.x≤0 D.x<﹣1 【解答】解:∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1, a=﹣1<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=1, ∴当x≤1时,y随x的增大而增大, 故只有选项C,D这两个范围符合要求,又因为C选项范围包括选项D的范围, 故选:C. 8.抛物线y=x2﹣(m+2)x+3(m﹣1)与x轴( ) A.一定有两个交点 B.只有一个交点 C.有两个或一个交点 D.没有交点 【解答】解:根据题意,得 △=b2﹣4ac=<﹣(m+2)>2﹣4×1×3(m﹣1)=(m﹣4)2 (1)当m=4时,△=0,即与x轴有一个交点; (2)当m≠4时,△>0,即与x轴有两个交点; 所以,原函数与x轴有一个交点或两个交点,故选C. 9.二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=,则m的值为( ) A.3 B.﹣3 C.3或﹣3 D.以上都不对 【解答】解:∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=, ∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=﹣2×(﹣)=, 解得:m=±3, 故选:C. 10.对于任何的实数t,抛物线y=x2+(2﹣t)x+t总经过一个固定的点,这个点是( ) 47 A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(﹣1,3) D.(1,3) 【解答】解:把y=x2+(2﹣t)x+t变形得到(1﹣x)t=y﹣x2﹣2x, ∵对于任何的实数t,抛物线y=x2+(2﹣t)x+t总经过一个固定的点, ∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0, ∴x=1,y=3, 即这个固定的点的坐标为(1,3). 故选D. 二、填空题 11.抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 上 ,对称轴是 x=1 ,顶点是 (1,6) . 【解答】解:∵y=x2﹣2x+7=(x﹣1)2+6, ∴二次项系数a=1>0,抛物线开口向上, 顶点坐标为(1,6),对称轴为直线x=1. 故答案为:上,x=1,(1,6). 12.若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点,则m= 2 . 【解答】解:由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点, 代入(0,0)得:2m﹣m2=0, 解得:m=2,m=0; 又∵m≠0, ∴m=2. 故答案为:2. 13.如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位,同时向上平移4个单位,那么得到的新的抛物线是 y=2(x+1)2+3 . 【解答】解:原抛物线的顶点为(0,﹣1),向左平移1个单位,同时向上平移4个单位,那么新抛物线的顶点为(﹣1,3); 可设新抛物线的解析式为y=2(x﹣h)2+k,代入得:y=2(x+1)2+3. 47 14.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是 ﹣ . 【解答】解:当x=1时,y=ax2=a; 当x=2时,y=ax2=4a, 所以a﹣4a=4,解得a=﹣. 故答案为:﹣. 15.已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1,那么n的值是 10 . 【解答】解:原式可化为:y=(x﹣3)2﹣9+n, ∵函数的最小值是1, ∴﹣9+n=1, n=10. 故答案为:10. 16.抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是 4 . 【解答】解:设抛物线与x轴的交点为:(x1,0),(x2,0), ∵x1+x2=2,x1•x2=﹣3, ∴|x1﹣x2|===4, ∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4. 故答案为:4. 17.设矩形窗户的周长为6m,则窗户面积S(m2)与窗户宽x(m)之间的函数关系式是 S=﹣x2+3x ,自变量x的取值范围是 0<x<3 . 【解答】解:由题意可得:S=x(3﹣x)=﹣x2+3x. 自变量x的取值范围是:0<x<3. 故答案为:S=﹣x2+3x,0<x<3. 18.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点,则△ABC的面积是 5 . 47 【解答】解:令x=0,则y=﹣5,即A(0,﹣5); 设B(b,0),C(c,0). 令y=0,则x2﹣2x﹣5=0, 则b+c=2,bc=﹣5, 则|b﹣c|===2, 则△ABC的面积是×5×=5. 故答案为5. 19.抛物线上有三点(﹣2,3)、(2,﹣8)、(1,3),此抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣x+ . 【解答】解:设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把点(﹣2,3)、(2,﹣8)、(1,3)代入得, 解得. 所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+, 故答案为:y=﹣x2﹣x+. 20.已知一个二次函数与x轴相交于A、B,与y轴相交于C,使得△ABC为直角三角形,这样的函数有许多,其中一个是 y=﹣x2+3 . 【解答】解:如图所示:当抛物线过点A(﹣3,0),B(3,0),C(0,3), 则设抛物线解析式为:y=ax2+3,故0=9a+3, 解得:a=﹣, 即抛物线解析式为:y=﹣x2+3. 47 故答案为:y=﹣x2+3. 三、解答题 21.已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式. 【解答】解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2), 设此二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2﹣2, 把点(2,3)代入解析式,得: a﹣2=3,即a=5, ∴此函数的解析式为y=5(x﹣1)2﹣2. 22.把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位,同时向下平移1个单位后,恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合.请求出a,b,c的值. 【解答】解:将y=2x2+4x+1 整理得y=2x2+4x+1=2(x+1)2﹣1. 因为抛物线y=ax2+bx+c 向左平移2个单位,再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2(x+1)2﹣1, 所以将y=2x2+4x+1=2(x+1)2﹣1向右平移2个单位,再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c, 故y=ax2+bx+c=2(x+1﹣2)﹣1+1=2(x﹣1)=2x2﹣4x+2, 所以a=2,b=﹣4,c=2. 23.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1). (1)请判断实数a的取值范围,并说明理由; 47 (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值. 【解答】解:(1)由图象可知:a<0 图象过点(0,1), 所以c=1,图象过点(1,0), 则a+b+1=0 当x=﹣1时,应有y>0,则a﹣b+1>0 将a+b+1=0代入,可得a+(a+1)+1>0, 解得a>﹣1 所以,实数a的取值范围为﹣1<a<0; (2)此时函数y=ax2﹣(a+1)x+1, M点纵坐标为: =, 图象与x轴交点坐标为:ax2﹣(a+1)x+1=0, 解得;x 1=1,x 2=, 则AC=1﹣=, 要使S△AMC=××==S△ABC=• 可求得a=. 24.对于抛物线y=x2+bx+c,给出以下陈述: ①它的对称轴为x=2; 47 ②它与x轴有两个交点为A、B; ③△APB的面积不小于27(P为抛物线的顶点). 求①、②、③得以同时成立时,常数b、c的取值范围. 【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c=(x+)2+,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2, ∴﹣=2,则b=﹣4, ∴P点的纵坐标是=c﹣4, 又∵它与x轴有两个交点为A、B, ∴△=b2﹣4ac=16﹣4c>0,且AB===2 解得 c<4,① 又△APB的面积不小于27, ∴×2×|c﹣16|≥27,即×|c﹣16|≥27② 由①②解得 c≤﹣5. 综上所述,b的值是﹣4,c的取值范围是c≤﹣5. 25.分别写出函数y=x2+ax+3(﹣1≤x≤1)在常数a满足下列条件时的最小值: (l)0<a<;(2)a>2.3.(提示:可以利用图象哦,最小值可用含有a的代数式表示) 【解答】解:对称轴x=﹣=﹣, (1)当0<a<时,即﹣<﹣<0,当x=﹣时有最小值,最小值y=(﹣)2+a×(﹣)+3=3, (2)当a>2.3.即﹣<﹣1.1,在﹣1≤x≤1范围内,y随x的增大而增大,当x=﹣1时,y最小,最小值y=(﹣1)2+a×(﹣1)+3=4﹣a. 26.已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6, 47 (1)如图甲:在OA上选取一点D,将△COD沿CD翻折,使点O落在BC边上,记为E.求折痕CD 所在直线的解析式; (2)如图乙:在OC上选取一点F,将△AOF沿AF翻折,使点O落在BC边,记为G. ①求折痕AF所在直线的解析式; ②再作GH∥AB交AF于点H,若抛物线过点H,求此抛物线的解析式,并判断它与直线AF的公共点的个数. (3)如图丙:一般地,在以OA、OC上选取适当的点I、J,使纸片沿IJ翻折后,点O落在BC边上,记为K.请你猜想:①折痕IJ所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点;②经过K作KL∥AB与IJ相交于L,则点L是否必定在抛物线上.将以上两项猜想在(l)的情形下分别进行验证. 【解答】解:(1)由折法知:四边形ODEC是正方形, ∴OD=OC=6, ∴D(6,0),C(0,6), 设直线CD的解析式为y=kx+b, 则,解得, ∴直线CD的解析式为y=﹣x+6. (2)①在直角△ABG中,因AG=AO=10, 故BG==8,∴CG=2, 设OF=m,则FG=m,CF=6﹣m, 在直角△CFG中,m2=(6﹣m)2+22,解得m=, 47 则F(0,), 设直线AF为y=k′x+,将A(10,0)代入,得k′=﹣, ∴AF所在直线的解析式为:y=﹣x+. ②∵GH∥AB,且G(2,6),可设H(2,yF), 由于H在直线AF上, ∴把H(2,yF)代入直线AF:yF=﹣×2+=, ∴H(2,), 又∵H在抛物线上, =﹣×22+h,解得h=3, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3, 将直线y=﹣x+,代入到抛物线y=﹣x2+3, 得﹣x2+x﹣=0, ∵△=﹣4×(﹣)×(﹣)=0, ∴直线AF与抛物线只有一个公共点. (3)可以猜想以下两个结论: ①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点; ②经过K作KL∥AB与IJ相交于L,则点L一定在抛物线y=﹣x2+3上. 验证①,在图甲的特殊情况中,I即为D,J即为C,G即为E,K也是E,KL即为ED,L就是D, 将折痕CD:y=﹣x+6代入y=﹣x2+3中,得﹣x2+x﹣3=0, ∵△=1﹣4×(﹣)×(﹣3)=0, ∴折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点. 验证②,在图甲的特殊情况中,I就是C,J就是D,那么L就是D(6,0), 当x=6时,y=﹣×62+3=0, ∴点L在这条抛物线上. 47 九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷2 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 2.是二次函数,则m的值为( ) A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 3.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( ) A. B. C. D. 4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下面的表格: x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根据表格提供的信息,下列说法错误的是( ) A.该抛物线的对称轴是直线x=﹣2 B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若点A(0,5,y1)是该抛物线上一点.则y1<﹣2.5 5.关于抛物线y=x2﹣2x+1,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y随x的增大而减小 47 6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( ) A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 7.二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.已知关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的一个点,则下列四个点中一定在该抛物线上的是( ) A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 9.二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.已知函数是关于x的二次函数,则m的值为 ﹣1 . 12.如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 ﹣2<x<1 . 47 13.若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+5 . 14.已知点P(m,n)在抛物线y=ax2﹣x﹣a上,当m≥﹣1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是 ﹣≤a<0 . 15.二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1,y1)、(2,y2),则y1 < y2(填“>”或“<”). 16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为 1 . 三、解答题(共8题,共72分) 17.已知抛物线经过点(2,3),且顶点坐标为(1,1),求这条抛物线的解析式. 18.已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比,v是x的一次函数, (1)根据表格中的数据,确定v的函数式; (2)如果x=﹣1时,函数y取最小值,求y关于x的函数式; (3)在(2)的条件下,写出y的最小值. 19.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)当0<x<3时,求y的取值范围; (3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标. 47 20.如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点. (1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式. 21.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为多少? 22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可所多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元? 23.如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由. 47 24.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO. (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标; (2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= 5 ,PH= 5 ,由此发现,PO = PH(填“>”、“<”或“=”); ②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想; (3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 47 《第22章 二次函数》 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.在下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数. 【解答】解:A、是二次函数,故A符合题意; B、是分式方程,故B错误; C、k=0时,不是函数,故C错误; D、k=0是常数函数,故D错误; 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的定义,形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数. 2.是二次函数,则m的值为( ) A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2,从而求得m的值. 【解答】解:∵是二次函数, ∴ 解得:m=﹣2, 故选D. 【点评】本题考查了二次函数的定义,特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时,要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0. 3.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( ) 47 A. B. C. D. 【考点】二次函数的图象;一次函数的图象. 【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负,再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致. 【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确; B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误; C、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误; D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误. 故选:A. 【点评】本题考查抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法. 4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下面的表格: x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根据表格提供的信息,下列说法错误的是( ) A.该抛物线的对称轴是直线x=﹣2 B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,﹣2.5) C.b2﹣4ac=0 D.若点A(0,5,y1)是该抛物线上一点.则y1<﹣2.5 【考点】二次函数的图象. 【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可. 47 【解答】解:A、正确.因为x=﹣1或﹣3时,y的值都是0.5,所以对称轴是x=﹣2. B、正确.根据对称性,x=0时的值和x=﹣4的值相等. C、错误.因为抛物线与x轴有交点,所以b2﹣4ac>0. D、正确.因为在对称轴的右侧y随x增大而减小. 故选C. 【点评】本题考查二次函数的图象以及性质,需要灵活应用二次函数的性质解决问题,读懂信息是解题的关键,属于中考常考题型. 5.关于抛物线y=x2﹣2x+1,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.与x轴有两个重合的交点 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质;二次函数的图象. 【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象,根据二次函数的性质结合二次函数的图象,逐项分析四个选项,即可得出结论. 【解答】解:画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象,如图所示. A、∵a=1, ∴抛物线开口向上,A正确; B、∵令x2﹣2x+1=0,△=(﹣2)2﹣4×1×1=0, ∴该抛物线与x轴有两个重合的交点,B正确; C、∵﹣=﹣=1, ∴该抛物线对称轴是直线x=1,C正确; D、∵抛物线开口向上,且抛物线的对称轴为x=1, ∴当x>1时,y随x的增大而增大,D不正确. 47 故选D. 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象,解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的解析式画出函数图象,利用数形结合来解决问题是关键. 6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( ) A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3 【考点】抛物线与x轴的交点. 【专题】计算题. 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标,求当y<0,x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围. 【解答】解:由图象知,抛物线与x轴交于(﹣1,0),对称轴为x=1, ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0), ∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方, 且当﹣1<x<3时函数图象位于x轴的下方, ∴当﹣1<x<3时,y<0. 故选B. 【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力,是一道不错的考查二次函数图象的题目. 7.二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【考点】抛物线与x轴的交点. 【分析】先计算根的判别式的值,然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断. 47 【解答】解:∵△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)=12>0, ∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点,与y轴有一个交点. ∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个. 故选D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系:△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数;△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 8.已知关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的一个点,则下列四个点中一定在该抛物线上的是( ) A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3) 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据一次方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2得出b=2a,由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=﹣1,找出点(1,3)关于对称轴对称的点,即可得出结论. 【解答】解:∵关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=﹣2, ∴有﹣2a+b=0,即b=2a. ∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴x=﹣=﹣1. ∵点(1,3)是抛物线上的一点, ∴点(﹣3,3)是抛物线上的一点. 故选D. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=﹣1.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,找出抛物线的对称轴,找出已知点关于对称轴对称的点即可. 9.二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】二次函数的最值. 47 【专题】计算题. 【分析】先利用配方法得到y=﹣(x﹣1)2+5,然后根据二次函数的最值问题求解. 【解答】解:y=﹣(x﹣1)2+5, ∵a=﹣1<0, ∴当x=1时,y有最大值,最大值为5. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的最值:当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=﹣时,y=;当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=﹣时,y=;确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值. 10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正确的结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【专题】压轴题. 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 47 【解答】解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0, ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0, ∵对称轴为x=<0,∴a、b同号,即b>0, ∴abc<0, 故本选项错误; ②当x=1时,函数值为2, ∴a+b+c=2; 故本选项正确; ③∵对称轴x=>﹣1, 解得:<a, ∵b>1, ∴a>, 故本选项错误; ④当x=﹣1时,函数值<0, 即a﹣b+c<0,(1) 又a+b+c=2, 将a+c=2﹣b代入(1), 2﹣2b<0, ∴b>1 故本选项正确; 综上所述,其中正确的结论是②④; 故选D. 【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定: (1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0. (2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号. 47 (3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0. (4)b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2﹣4ac=0;没有交点,b2﹣4ac<0. (5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=﹣1时,可确定a﹣b+c的符号. (6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号. 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.已知函数是关于x的二次函数,则m的值为 ﹣1 . 【考点】二次函数的定义. 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可. 【解答】解:根据题意得:, 解得:m=﹣1. 故答案是:﹣1. 【点评】本题考查二次函数的定义,注意到m﹣1≠0是关键. 12.如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 ﹣2<x<1 . 【考点】二次函数的图象;一次函数的图象. 【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标,再根据两函数图象的上下位置关系,判断y2>y1时,x的取值范围. 【解答】解:从图象上看出,两个交点坐标分别为(﹣2,0),(1,3), 47 ∴当有y2>y1时,有﹣2<x<1, 故答案为:﹣2<x<1. 【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势. 13.若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣2x+5 . 【考点】二次函数的性质. 【专题】开放型. 【分析】由于二次函数的图象开口向下,所以二次项系数是负数,而图象还经过(2,﹣3)点,由此即可确定这样的函数解析式不唯一. 【解答】解:∵若二次函数的图象开口向下,且经过(2,﹣3)点, ∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求. 答案不唯一. 例如:y=﹣x2﹣2x+5. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数. 14.已知点P(m,n)在抛物线y=ax2﹣x﹣a上,当m≥﹣1时,总有n≤1成立,则a的取值范围是 ﹣≤a<0 . 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】依照题意画出图形,结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组,解不等式组即可得出a的取值范围. 【解答】解:根据已知条件,画出函数图象,如图所示. 47 由已知得:, 解得:﹣≤a<0. 故答案为:﹣≤a<0. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是画出函数图象,依照数形结合得出关于a的不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的性质画出函数图象,利用数形结合解决问题是关键. 15.二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1,y1)、(2,y2),则y1 < y2(填“>”或“<”). 【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的性质. 【分析】根据a>0,结合二次函数的性质即可得出“当x>0时,二次函数y值随着x值的增大而增大”,再由0<1<2即可得出结论. 【解答】解:∵a>0,且二次函数的对称轴为x=0, ∴当x>0时,二次函数y值随着x值的增大而增大, ∵0<1<2, ∴y1<y2. 故答案为:<. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是找出当x>0时,函数为增函数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键. 16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为 1 . 【考点】二次函数的最值. 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式,然后写出最小值即可. 【解答】解:配方得:y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=(x+1)2+1, 当x=﹣1时,二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1. 故答案是:1. 47 【点评】本题考查了二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法. 三、解答题(共8题,共72分) 17.已知抛物线经过点(2,3),且顶点坐标为(1,1),求这条抛物线的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式. 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标,则可设顶点式y=a(x+1)2+2,然后把(0,4)代入求出a的值即可. 【解答】解:∵顶点坐标为(1,1), 设抛物线为y=a(x﹣1)2+1, ∵抛物线经过点(2,3), ∴3=a(2﹣1)2+1, 解得:a=2. ∴y=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解. 18.已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比,v是x的一次函数, (1)根据表格中的数据,确定v的函数式; (2)如果x=﹣1时,函数y取最小值,求y关于x的函数式; (3)在(2)的条件下,写出y的最小值. 【考点】二次函数的最值;待定系数法求一次函数解析式. 【专题】计算题. 47 【分析】(1)v是x的一次函数,可设v=kx+b,然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组,解方程组求出k、b即可; (2)由于u与x的平方成正比,则设u=ax2,所以y=ax2+2x﹣1,根据二次函数的最值问题得到﹣=﹣1,解得a=1,由此得到y关于x的函数式; (3)把x=﹣1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可. 【解答】解:(1)设v=kx+b,把(0,﹣1)、(1,1)代入得,解得, ∴v=2x﹣1; (2)设u=ax2,则y=ax2+2x﹣1, ∵当x=﹣1时,y=ax2+2x﹣1取最小值, ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,即, ∴a=1, ∴y=x2+2x﹣1, (3)把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2, 即y的最小值为﹣2. 【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值:当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=时,y=;当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=时,y=. 19.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)当0<x<3时,求y的取值范围; (3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标. 47 【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质. 【分析】(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标; (2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论; (3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入抛物线解析式即可得出点P的坐标. 【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)分别代入y=x2+bx+c中, 得:,解得:, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3. ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴顶点坐标为(1,﹣4). (2)由图可得当0<x<3时,﹣4≤y<0. (3)∵A(﹣1,0)、B(3,0), ∴AB=4. 设P(x,y),则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10, ∴|y|=5, ∴y=±5. ①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4, 此时P点坐标为(﹣2,5)或(4,5); ②当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程无解; 综上所述,P点坐标为(﹣2,5)或(4,5). 47 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)根据函数图象解不等式;(3)找出关于y的方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键. 20.如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点. (1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线AB对应的函数解析式. 【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式. 【专题】计算题. 【分析】(1)利用△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点得到4a2﹣4a=0,然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线解析式; (2)利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数,则可以利用抛物线解析式确定B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A, ∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1, ∴抛物线解析式为y=x2+2x+1; (2)∵y=(x+1)2, ∴顶点A的坐标为(﹣1,0), ∵点C是线段AB的中点, 即点A与点B关于C点对称, ∴B点的横坐标为1, 当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4), 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得, 47 ∴直线AB的解析式为y=2x+2. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.也考查了利用待定系数法求函数解析式. 21.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x米,则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为多少? 【考点】根据实际问题列二次函数关系式. 【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=(30﹣x),然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式. 【解答】解:∵AB边长为x米, 而菜园ABCD是矩形菜园, ∴BC=(30﹣x), 菜园的面积=AB×BC=(30﹣x)•x, 则菜园的面积y(单位:米2)与x(单位:米)的函数关系式为:y=﹣x2+15x. 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式,利用矩形的周长公式用x表示BC,然后利用矩形的面积公式即可解决问题,本题的难点在于得到BC长. 22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可所多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式; (2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式; (2)将y=960代入(1)中函数关系式中,得出关于x的一元二次方程,解方程即可得出结论. 47 【解答】解:(1)根据题意得: y=(200+20x)×(6﹣x)=﹣20x2﹣80x+1200. (2)令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960,则有960=﹣20x2﹣80x+1200, 即x2+4x﹣12=0, 解得:x=﹣6(舍去),或x=2. 答:若要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元. 【点评】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是:(1)根据数量关系找出函数关系式;(2)将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键. 23.如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2﹣4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0,﹣3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由. 【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式. 【分析】(1)将点C坐标代入解析式求得a即可; (2)先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标,继而可得线段BC、CM、BM的长,根据勾股定理的逆定理即可判断. 【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x+1)2﹣4与y轴相交于点C(0,﹣3). ∴﹣3=a﹣4, ∴a=1, ∴抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3, (2)△BCM是直角三角形 ∵由(1)知抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4, 47 ∴M(﹣1,﹣4), 令y=0,得:x2+2x﹣3=0, ∴x1=﹣3,x2=1, ∴A(1,0),B(﹣3,0), ∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+14=20, ∴BC2+CM2=BM2, ∴△BCM是直角三角形. 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理,根据题意求得抛物线解析式是解题的根本,掌握勾股定理逆定理是解题的关键. 24.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO. (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标; (2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= 5 ,PH= 5 ,由此发现,PO = PH(填“>”、“<”或“=”); ②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想; (3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 47 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)①求出PO、PH即可解决问题. ②结论:PO=PH.设点P坐标(m,﹣ m2+1),利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题. (3)首先判断PH与BC,PO与AC是对应边,设点P(m,﹣ m2+1),由=列出方程即可解决问题. 【解答】(1)解:∵抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3), ∴﹣3=16a+1, ∴a=﹣, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+1,顶点B(0,1). (2)①当P点运动到A点处时,∵PO=5,PH=5, ∴PO=PH, 故答案分别为5,5,=. ②结论:PO=PH. 理由:设点P坐标(m,﹣ m2+1), ∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1 PO==m2+1, ∴PO=PH. (3)∵BC==,AC==,AB==4 ∴BC=AC, ∵PO=PH, 又∵以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似, ∴PH与BC,PO与AC是对应边, ∴=,设点P(m,﹣ m2+1), 47 ∴=, 解得m=±1, ∴点P坐标(1,)或(﹣1,). 【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是记住两点之间的距离公式,学会转化的思想,用方程去解决问题,属于中考压轴题. 九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷3 一、选择题:(每题3,共30分) 1.抛物线的顶点坐标是( ). A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1, 2) D.(-1,-2) 2. 把抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线( ). A. B. C. D. 3、抛物线y=(x+1)2+2的对称轴是( ) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.直线y=-1 D.直线y=1 4、二次函数与x轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 47 5、若为二次函数的图象上的三点,则的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 6、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) 7.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 给出了结论: (1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为-3; (2)当-<x<2时,y<0; (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8.〈南宁〉已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示,下列说法错误的是( ) A.图象关于直线x=1对称 B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4 C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 D.当x<1时,y随x的增大而增大 9、二次函数与的图像与轴有交点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 如图,菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,M为AB的中点.动点P在菱形的边上从点B出发,沿B→C→D的方向运动,到达点D时停止.连接MP,设点P运动的路程为x, MP 2 =y,则表示y与x的函数关系的图象大致为( ). 47 二、填空题:(每题3,共30分) 11.已知函数,当m= 时,它是二次函数. 12、抛物线的开口方向向 ,对称轴是 ,最高点的坐标是 ,函数值得最大值是 。 13、如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx 则a、b、c、d的大小关系为 . 14、二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标为 15、已知抛物线与轴一个交点的坐标为,则一 元二次方程的根为 . 16、把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x2-4x+5,则a+b+c= . 17、如图,用20 m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场,其养殖场的最大面积为______m2. 18、如图是某公园一圆形喷水池,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,建立如下图所示的坐标系,如果喷头所在处A(0,1.25),水流路线最高处M(1,2.25),则该抛物的解析式为 。如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少要 m,才能使喷出的水流不至落到池外。 19、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的有____个。 47 20.(2014·广安)如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为____. 三、解答题:(共60分) 21、(本题10分)求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。 (1) (配方法) (2)(公式法) 22、(本题12分)已知二次函数y = 2x2 -4x -6. (1)用配方法将y = 2x2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 + k的形式;并写出对称轴和顶点坐标。 (2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象; (3)当x取何值时,y随x的增大而减少? (4)当x取何值是,,y<0, (5)当时,求y的取值范围; (6)求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。 47 23.(本题8分)已知二次函数y=﹣x2+2x+m. (1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围; (2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标. (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 24、(本题10分)某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元. 47 设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元? (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少? 25、(本题10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式; (2)已知从某时刻开始的40个小时内,水面与河底ED的距离h(米)随时间(时)的变化满足函数关系:,且当顶点C到水面的距离不大于5米时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通过? 47 26.(本题10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标; (3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标. 参考答案 一、 选择: 1、 A,2、C,3、A,4、B,5、D,6、B,7、B,8、D,9、D,10、B。 二、 填空: 11、 m=-1, 12、向下、x=1、(1,1)、1, 13、a>b>c>d,14、(1,0) 、(2,0)、(0,2),15、x1=-1、x2=3,16、7, 17、50, 18、y=-x2 +2x+1.25, 19、3个 20、 。 21、 (1)开口向上,对称轴x=-1,顶点坐标(-1,-4) (2)开口向上,对称轴x=1,顶点坐标(1,) 22、(1) x=1, (1,-8); (2) 图略;(3)x<1; (4)x=1或-3,x<-1或x>3,-1查看更多
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