新人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷3套（附答案）

新人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷3套（附答案）

九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷1‎ 一、选择题 ‎1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）‎ A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=‎0 ‎C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0‎ ‎2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）‎ A．y=x2 B．y= C．y= D．y=‎ ‎3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．﹣4 D．16‎ ‎4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）‎ A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴 ‎5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）‎ 47‎ A．2，4 B．﹣2，﹣‎4 ‎C．2，﹣4 D．﹣2，0‎ ‎7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x≥‎0 ‎C．x≤0 D．x＜﹣1‎ ‎8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）‎ A．一定有两个交点 B．只有一个交点 C．有两个或一个交点 D．没有交点 ‎9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）‎ A．3 B．﹣‎3 ‎C．3或﹣3 D．以上都不对 ‎10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）‎ A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 ______，对称轴是 ______，顶点是 ______．‎ ‎12．若二次函数y=mx2﹣3x+‎2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．‎ ‎13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．‎ ‎14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______．‎ ‎15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是______．‎ ‎16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．‎ ‎17．设矩形窗户的周长为‎6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．‎ ‎18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______．‎ ‎19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______．‎ ‎20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______．‎ ‎　‎ 三、解答题 47‎ ‎21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．‎ ‎22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．‎ ‎23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．‎ ‎（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；‎ ‎（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．‎ ‎24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：‎ ‎①它的对称轴为x=2； ‎ ‎②它与x轴有两个交点为A、B；‎ ‎③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．‎ 求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．‎ ‎25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：‎ ‎（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）‎ ‎26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，‎ ‎（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；‎ ‎（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．‎ ‎①求折痕AF所在直线的解析式；‎ ‎②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．‎ 47‎ ‎（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．‎ ‎　‎ ‎《第22章 二次函数》‎ 参考答案 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）‎ A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=‎0 ‎C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0‎ ‎【解答】解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；‎ B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；‎ C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；‎ D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）‎ 47‎ A．y=x2 B．y= C．y= D．y=‎ ‎【解答】解：作出BC边上的高AD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，边长为x，‎ ‎∴CD=x，‎ ‎∴高为h=x，‎ ‎∴y=x×h=x2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）‎ A．4 B．‎8 ‎C．﹣4 D．16‎ ‎【解答】解：根据题意，得=0，‎ 解得c=16．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）‎ A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴 ‎【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，‎ 则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）‎ 47‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；‎ B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；‎ C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．‎ D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）‎ A．2，4 B．﹣2，﹣‎4 ‎C．2，﹣4 D．﹣2，0‎ ‎【解答】解：根据顶点坐标公式，得 横坐标为： =﹣1，解得m=﹣2；‎ 纵坐标为： =﹣3，解得n=﹣4．‎ 故选B．‎ 47‎ ‎　‎ ‎7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）‎ A．x＞﹣1 B．x≥‎0 ‎C．x≤0 D．x＜﹣1‎ ‎【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，‎ a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，‎ ‎∴当x≤1时，y随x的增大而增大，‎ 故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）‎ A．一定有两个交点 B．只有一个交点 C．有两个或一个交点 D．没有交点 ‎【解答】解：根据题意，得 ‎△=b2﹣‎4ac=＜﹣（m+2）＞2﹣4×1×3（m﹣1）=（m﹣4）2‎ ‎（1）当m=4时，△=0，即与x轴有一个交点；‎ ‎（2）当m≠4时，△＞0，即与x轴有两个交点；‎ 所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．‎ ‎　‎ ‎9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）‎ A．3 B．﹣‎3 ‎C．3或﹣3 D．以上都不对 ‎【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，‎ ‎∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=，‎ 解得：m=±3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）‎ 47‎ A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）‎ ‎【解答】解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，‎ ‎∵对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，‎ ‎∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，‎ ‎∴x=1，y=3，‎ 即这个固定的点的坐标为（1，3）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 　上　，对称轴是 　x=1　，顶点是 　（1，6）　．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，‎ ‎∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，‎ 顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．‎ 故答案为：上，x=1，（1，6）．‎ ‎　‎ ‎12．若二次函数y=mx2﹣3x+‎2m﹣m2的图象经过原点，则m=　2　．‎ ‎【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+‎2m﹣m2的图象经过原点，‎ 代入（0，0）得：‎2m﹣m2=0，‎ 解得：m=2，m=0；‎ 又∵m≠0，‎ ‎∴m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　y=2（x+1）2+3　．‎ ‎【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；‎ 可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．‎ ‎　‎ 47‎ ‎14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是　﹣　．‎ ‎【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；‎ 当x=2时，y=ax2=‎4a，‎ 所以a﹣‎4a=4，解得a=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是　10　．‎ ‎【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+n，‎ ‎∵函数的最小值是1，‎ ‎∴﹣9+n=1，‎ n=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是　4　．‎ ‎【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），‎ ‎∵x1+x2=2，x1•x2=﹣3，‎ ‎∴|x1﹣x2|===4，‎ ‎∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎17．设矩形窗户的周长为‎6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是　S=﹣x2+3x　，自变量x的取值范围是　0＜x＜3　．‎ ‎【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．‎ 自变量x的取值范围是：0＜x＜3．‎ 故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．‎ ‎　‎ ‎18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是　5　．‎ 47‎ ‎【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；‎ 设B（b，0），C（c，0）．‎ 令y=0，则x2﹣2x﹣5=0，‎ 则b+c=2，bc=﹣5，‎ 则|b﹣c|===2，‎ 则△ABC的面积是×5×=5．‎ 故答案为5．‎ ‎　‎ ‎19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为　y=﹣x2﹣x+　．‎ ‎【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，‎ 解得．‎ 所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+，‎ 故答案为：y=﹣x2﹣x+．‎ ‎　‎ ‎20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是　y=﹣x2+3　．‎ ‎【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），‎ 则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=‎9a+3，‎ 解得：a=﹣，‎ 即抛物线解析式为：y=﹣x2+3．‎ 47‎ 故答案为：y=﹣x2+3．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．‎ ‎【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），‎ 设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，‎ 把点（2，3）代入解析式，得：‎ a﹣2=3，即a=5，‎ ‎∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．‎ ‎　‎ ‎22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．‎ ‎【解答】解：将y=2x2+4x+1 ‎ 整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．‎ 因为抛物线y=ax2+bx+c 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，‎ 所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c，‎ 故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）﹣1+1=2（x﹣1）=2x2﹣4x+2，‎ 所以a=2，b=﹣4，c=2．‎ ‎　‎ ‎23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．‎ ‎（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；‎ 47‎ ‎（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由图象可知：a＜0‎ 图象过点（0，1），‎ 所以c=1，图象过点（1，0），‎ 则a+b+1=0‎ 当x=﹣1时，应有y＞0，则a﹣b+1＞0‎ 将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，‎ 解得a＞﹣1‎ 所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0；‎ ‎（2）此时函数y=ax2﹣（a+1）x+1，‎ M点纵坐标为： =，‎ 图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a+1）x+1=0，‎ 解得；x 1=1，x 2=，‎ 则AC=1﹣=，‎ 要使S△AMC=××==S△ABC=•‎ 可求得a=．‎ ‎　‎ ‎24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：‎ ‎①它的对称轴为x=2； ‎ 47‎ ‎②它与x轴有两个交点为A、B；‎ ‎③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．‎ 求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，‎ ‎∴﹣=2，则b=﹣4，‎ ‎∴P点的纵坐标是=c﹣4，‎ 又∵它与x轴有两个交点为A、B，‎ ‎∴△=b2﹣‎4ac=16﹣‎4c＞0，且AB===2‎ 解得 c＜4，①‎ 又△APB的面积不小于27，‎ ‎∴×2×|c﹣16|≥27，即×|c﹣16|≥27②‎ 由①②解得 c≤﹣5．‎ 综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．‎ ‎　‎ ‎25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：‎ ‎（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）‎ ‎【解答】解：对称轴x=﹣=﹣，‎ ‎（1）当0＜a＜时，即﹣＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2+a×（﹣）+3=3，‎ ‎（2）当a＞2.3．即﹣＜﹣1.1，在﹣1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2+a×（﹣1）+3=4﹣a．‎ ‎　‎ ‎26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，‎ 47‎ ‎（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；‎ ‎（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．‎ ‎①求折痕AF所在直线的解析式；‎ ‎②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．‎ ‎（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．‎ ‎【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，‎ ‎∴OD=OC=6，‎ ‎∴D（6，0），C（0，6），‎ 设直线CD的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得，‎ ‎∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．‎ ‎（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10，‎ 故BG==8，∴CG=2，‎ 设OF=m，则FG=m，CF=6﹣m，‎ 在直角△CFG中，m2=（6﹣m）2+22，解得m=，‎ 47‎ 则F（0，），‎ 设直线AF为y=k′x+，将A（10，0）代入，得k′=﹣，‎ ‎∴AF所在直线的解析式为：y=﹣x+．‎ ‎②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，yF），‎ 由于H在直线AF上，‎ ‎∴把H（2，yF）代入直线AF：yF=﹣×2+=，‎ ‎∴H（2，），‎ 又∵H在抛物线上， =﹣×22+h，解得h=3，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3，‎ 将直线y=﹣x+，代入到抛物线y=﹣x2+3，‎ 得﹣x2+x﹣=0，‎ ‎∵△=﹣4×（﹣）×（﹣）=0，‎ ‎∴直线AF与抛物线只有一个公共点．‎ ‎（3）可以猜想以下两个结论：‎ ‎①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点；‎ ‎②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=﹣x2+3上．‎ 验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，‎ 将折痕CD：y=﹣x+6代入y=﹣x2+3中，得﹣x2+x﹣3=0，‎ ‎∵△=1﹣4×（﹣）×（﹣3）=0，‎ ‎∴折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点．‎ 验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），‎ 当x=6时，y=﹣×62+3=0，‎ ‎∴点L在这条抛物线上．‎ ‎　‎ 47‎ 九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷2‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）‎ A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x ‎2．是二次函数，则m的值为（　　）‎ A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣5‎ ‎﹣4‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣7.5‎ ‎﹣2.5‎ ‎0.5‎ ‎1.5‎ ‎0.5‎ ‎…‎ 根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）‎ A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2‎ B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）‎ C．b2﹣4ac=0‎ D．若点A（0，5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5‎ ‎5．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）‎ A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 47‎ ‎6．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3‎ ‎7．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8．已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（　　）‎ A．（2，3） B．（0，3） C．（﹣1，3） D．（﹣3，3）‎ ‎9．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣1　．‎ ‎12．如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　﹣2＜x＜1　．‎ 47‎ ‎13．若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为　y=﹣x2﹣2x+5　．‎ ‎14．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是　﹣≤a＜0　．‎ ‎15．二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）．‎ ‎16．二次函数y=x2+2x+2的最小值为　1　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8题，共72分）‎ ‎17．已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式．‎ ‎18．已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，‎ ‎（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；‎ ‎（2）如果x=﹣1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，写出y的最小值．‎ ‎19．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；‎ ‎（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．‎ 47‎ ‎20．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数解析式；‎ ‎（2）求直线AB对应的函数解析式．‎ ‎21．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？‎ ‎22．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．‎ ‎（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？‎ ‎23．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．‎ 47‎ ‎24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；‎ ‎（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　5　，PH=　5　，由此发现，PO　=　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；‎ ‎②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 47‎ ‎《第22章 二次函数》‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）‎ A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x ‎【考点】二次函数的定义．‎ ‎【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．‎ ‎【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；‎ B、是分式方程，故B错误；‎ C、k=0时，不是函数，故C错误；‎ D、k=0是常数函数，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．‎ ‎　‎ ‎2．是二次函数，则m的值为（　　）‎ A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2‎ ‎【考点】二次函数的定义．‎ ‎【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2，从而求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵是二次函数，‎ ‎∴‎ 解得：m=﹣2，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0．‎ ‎　‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（　　）‎ 47‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．‎ ‎【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；‎ B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；‎ C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；‎ D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．‎ ‎　‎ ‎4．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣5‎ ‎﹣4‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣7.5‎ ‎﹣2.5‎ ‎0.5‎ ‎1.5‎ ‎0.5‎ ‎…‎ 根据表格提供的信息，下列说法错误的是（　　）‎ A．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2‎ B．该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2.5）‎ C．b2﹣4ac=0‎ D．若点A（0，5，y1）是该抛物线上一点．则y1＜﹣2.5‎ ‎【考点】二次函数的图象．‎ ‎【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可．‎ 47‎ ‎【解答】解：A、正确．因为x=﹣1或﹣3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=﹣2．‎ B、正确．根据对称性，x=0时的值和x=﹣4的值相等．‎ C、错误．因为抛物线与x轴有交点，所以b2﹣4ac＞0．‎ D、正确．因为在对称轴的右侧y随x增大而减小．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎5．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）‎ A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．‎ ‎【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．‎ A、∵a=1，‎ ‎∴抛物线开口向上，A正确；‎ B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，‎ ‎∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；‎ C、∵﹣=﹣=1，‎ ‎∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；‎ D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，‎ ‎∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．‎ 47‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．‎ ‎【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），‎ ‎∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，‎ 且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，‎ ‎∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目．‎ ‎　‎ ‎7．二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．‎ 47‎ ‎【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0，‎ ‎∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．‎ ‎∴二次函数y=x2﹣2x﹣2与坐标轴的交点个数是3个．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎8．已知关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，点（1，3）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（　　）‎ A．（2，3） B．（0，3） C．（﹣1，3） D．（﹣3，3）‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据一次方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2得出b=2a，由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，找出点（1，3）关于对称轴对称的点，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣2，‎ ‎∴有﹣2a+b=0，即b=2a．‎ ‎∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=﹣=﹣1．‎ ‎∵点（1，3）是抛物线上的一点，‎ ‎∴点（﹣3，3）是抛物线上的一点．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=﹣1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出抛物线的对称轴，找出已知点关于对称轴对称的点即可．‎ ‎　‎ ‎9．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】二次函数的最值．‎ 47‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．‎ ‎【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，‎ ‎∵a=﹣1＜0，‎ ‎∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 47‎ ‎【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，‎ ‎∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，‎ ‎∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，‎ ‎∴abc＜0，‎ 故本选项错误；‎ ‎②当x=1时，函数值为2，‎ ‎∴a+b+c=2；‎ 故本选项正确；‎ ‎③∵对称轴x=＞﹣1，‎ 解得：＜a，‎ ‎∵b＞1，‎ ‎∴a＞，‎ 故本选项错误；‎ ‎④当x=﹣1时，函数值＜0，‎ 即a﹣b+c＜0，（1）‎ 又a+b+c=2，‎ 将a+c=2﹣b代入（1），‎ ‎2﹣2b＜0，‎ ‎∴b＞1‎ 故本选项正确；‎ 综上所述，其中正确的结论是②④；‎ 故选D．‎ ‎【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：‎ ‎（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．‎ ‎（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．‎ 47‎ ‎（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．‎ ‎（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．‎ ‎（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．‎ ‎（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】二次函数的定义．‎ ‎【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：m=﹣1．‎ 故答案是：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m﹣1≠0是关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是　﹣2＜x＜1　．‎ ‎【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．‎ ‎【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），‎ 47‎ ‎∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，‎ 故答案为：﹣2＜x＜1．‎ ‎【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．‎ ‎　‎ ‎13．若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为　y=﹣x2﹣2x+5　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】开放型．‎ ‎【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，﹣3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．‎ ‎【解答】解：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，‎ ‎∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．‎ 答案不唯一．‎ 例如：y=﹣x2﹣2x+5．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数．‎ ‎　‎ ‎14．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是　﹣≤a＜0　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．‎ 47‎ 由已知得：，‎ 解得：﹣≤a＜0．‎ 故答案为：﹣≤a＜0．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．‎ ‎　‎ ‎15．二次函数y=ax2（a＞0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据a＞0，结合二次函数的性质即可得出“当x＞0时，二次函数y值随着x值的增大而增大”，再由0＜1＜2即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，且二次函数的对称轴为x=0，‎ ‎∴当x＞0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，‎ ‎∵0＜1＜2，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故答案为：＜．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是找出当x＞0时，函数为增函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键．‎ ‎　‎ ‎16．二次函数y=x2+2x+2的最小值为　1　．‎ ‎【考点】二次函数的最值．‎ ‎【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．‎ ‎【解答】解：配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1，‎ 当x=﹣1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1．‎ 故答案是：1．‎ 47‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8题，共72分）‎ ‎17．已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式．‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式．‎ ‎【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2+2，然后把（0，4）代入求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：∵顶点坐标为（1，1），‎ 设抛物线为y=a（x﹣1）2+1，‎ ‎∵抛物线经过点（2，3），‎ ‎∴3=a（2﹣1）2+1，‎ 解得：a=2．‎ ‎∴y=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，‎ ‎（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；‎ ‎（2）如果x=﹣1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，写出y的最小值．‎ ‎【考点】二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式．‎ ‎【专题】计算题．‎ 47‎ ‎【分析】（1）v是x的一次函数，可设v=kx+b，然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b即可；‎ ‎（2）由于u与x的平方成正比，则设u=ax2，所以y=ax2+2x﹣1，根据二次函数的最值问题得到﹣=﹣1，解得a=1，由此得到y关于x的函数式；‎ ‎（3）把x=﹣1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设v=kx+b，把（0，﹣1）、（1，1）代入得，解得，‎ ‎∴v=2x﹣1；‎ ‎（2）设u=ax2，则y=ax2+2x﹣1，‎ ‎∵当x=﹣1时，y=ax2+2x﹣1取最小值，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴y=x2+2x﹣1，‎ ‎（3）把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2，‎ 即y的最小值为﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；‎ ‎（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．‎ 47‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；‎ ‎（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；‎ ‎（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴顶点坐标为（1，﹣4）．‎ ‎（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．‎ ‎（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），‎ ‎∴AB=4．‎ 设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10，‎ ‎∴|y|=5，‎ ‎∴y=±5．‎ ‎①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，‎ 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；‎ ‎②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；‎ 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．‎ 47‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎20．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数解析式；‎ ‎（2）求直线AB对应的函数解析式．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）利用△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2﹣4a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；‎ ‎（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，‎ ‎∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；‎ ‎（2）∵y=（x+1）2，‎ ‎∴顶点A的坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵点C是线段AB的中点，‎ 即点A与点B关于C点对称，‎ ‎∴B点的横坐标为1，‎ 当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，‎ 47‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．‎ ‎　‎ ‎21．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？‎ ‎【考点】根据实际问题列二次函数关系式．‎ ‎【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=（30﹣x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．‎ ‎【解答】解：∵AB边长为x米，‎ 而菜园ABCD是矩形菜园，‎ ‎∴BC=（30﹣x），‎ 菜园的面积=AB×BC=（30﹣x）•x，‎ 则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣x2+15x．‎ ‎【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长．‎ ‎　‎ ‎22．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．‎ ‎（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．‎ 47‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：‎ y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．‎ ‎（2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，‎ 即x2+4x﹣12=0，‎ 解得：x=﹣6（舍去），或x=2．‎ 答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．‎ ‎【分析】（1）将点C坐标代入解析式求得a即可；‎ ‎（2）先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标，继而可得线段BC、CM、BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎∴﹣3=a﹣4，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，‎ ‎（2）△BCM是直角三角形 ‎∵由（1）知抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，‎ 47‎ ‎∴M（﹣1，﹣4），‎ 令y=0，得：x2+2x﹣3=0，‎ ‎∴x1=﹣3，x2=1，‎ ‎∴A（1，0），B（﹣3，0），‎ ‎∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，‎ ‎∴BC2+CM2=BM2，‎ ‎∴△BCM是直角三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；‎ ‎（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　5　，PH=　5　，由此发现，PO　=　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；‎ ‎②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 47‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．‎ ‎（2）①求出PO、PH即可解决问题．‎ ‎②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣ m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．‎ ‎（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣ m2+1），由=列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），‎ ‎∴﹣3=16a+1，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．‎ ‎（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，‎ ‎∴PO=PH，‎ 故答案分别为5，5，=．‎ ‎②结论：PO=PH．‎ 理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），‎ ‎∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1‎ PO==m2+1，‎ ‎∴PO=PH．‎ ‎（3）∵BC==，AC==，AB==4‎ ‎∴BC=AC，‎ ‎∵PO=PH，‎ 又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，‎ ‎∴PH与BC，PO与AC是对应边，‎ ‎∴=，设点P（m，﹣ m2+1），‎ 47‎ ‎∴=，‎ 解得m=±1，‎ ‎∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ 九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试卷3‎ 一、选择题：（每题3，共30分）‎ ‎1.抛物线的顶点坐标是( ).‎ ‎ A．（1，2） B．（1，-2） C．（-1， 2） D．（-1，-2）‎ ‎2. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ).‎ A． B． C． D． ‎ ‎3、抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（　 　）‎ A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线y=－1 D．直线y=1‎ ‎4、二次函数与x轴的交点个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 47‎ ‎5、若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）‎ ‎7.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： ‎ x ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎12‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎12‎ 给出了结论：‎ ‎（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3；‎ ‎（2）当－＜x＜2时，y＜0；‎ ‎（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ）‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎8.〈南宁〉已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（ ）‎ A.图象关于直线x=1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4‎ C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 ‎ D.当x＜1时，y随x的增大而增大 ‎ ‎ ‎ ‎9、二次函数与的图像与轴有交点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，‎ ‎ MP 2 ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（ ）. ‎ ‎ ‎ 47‎ 二、填空题：（每题3，共30分）‎ ‎11.已知函数，当m= 时，它是二次函数.‎ ‎12、抛物线的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。‎ ‎13、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx 则a、b、c、d的大小关系为 ．‎ ‎ ‎ ‎14、二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标为 ‎ ‎15、已知抛物线与轴一个交点的坐标为，则一 元二次方程的根为 .‎ ‎16、把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x2-4x+5,则a+b+c=　　　　.‎ ‎17、如图，用20 m长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为______m2.‎ ‎ ‎ ‎18、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为 。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m，才能使喷出的水流不至落到池外。‎ ‎19、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的有____个。‎ 47‎ ‎20．(2014·广安)如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为____．‎ 三、解答题：（共60分）‎ ‎21、（本题10分）求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。‎ ‎ （1） （配方法） （2）（公式法）‎ ‎22、（本题12分）已知二次函数y = 2x2 -4x -6.‎ ‎（1）用配方法将y = 2x2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 + k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；‎ ‎（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？‎ ‎（4）当x取何值是，，y<0， ‎ ‎（5）当时，求y的取值范围；‎ ‎（6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。‎ 47‎ ‎23．（本题8分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．‎ ‎（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；‎ ‎（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．‎ ‎（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．‎ ‎24、（本题10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.‎ 47‎ ‎ 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元. （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？‎ ‎25、（本题10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离h（米）随时间（时）的变化满足函数关系：，且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？‎ ‎ ‎ 47‎ ‎26．（本题10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；‎ ‎（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．‎ 参考答案 一、 选择：‎ 1、 A，2、C，3、A，4、B，5、D，6、B，7、B，8、D,9、D，10、B。‎ 二、 填空：‎ 11、 m=-1, 12、向下、x=1、（1,1)、1， 13、a>b>c>d，14、（1,0） 、（2,0）、（0,2），15、x1=-1、x2=3，16、7, 17、50， 18、y=-x2 +2x+1.25, 19、3个 20、 ‎。‎ ‎21、 （1）开口向上，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，-4）‎ ‎（2）开口向上，对称轴x=1，顶点坐标（1，）‎ ‎22、（1） x=1， （1，-8）;‎ （2） 图略;（3）x<1; （4）x=1或-3，x<-1或x>3，-1

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