（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2

（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2

第 2章 直线与圆的位置关系 2.1 直线与圆的位置关系（第 1课时） 一、单选题 1．如图， ABC 为 O 的一个内接三角形，过点 B作 O 的切线 PB与OA的延长线交于点 P．已知 34ACB  ，则 P 等于（ ） A．17° B．27° C．32° D．22° 【答案】D 【分析】 连接 OB，利用圆周角定理求得∠AOB，再根据切线性质证得∠OBP=90°，利用直角三角形的两锐角互余即 可求解． 【详解】 解：连接 OB， ∵∠ACB=34°， ∴∠AOB=2∠ACB=68°， ∵PB为 O 的切线， ∴OB⊥PB，即∠OBP=90°, ∴∠P=90°﹣∠AOB=22°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解 答的关键． 2．在 ABC 中， 90 4 5C AC AB   ， ， ，以点C为圆心，R为半径作圆．若 C 与边 AB只有一 个公共点，则R的取值范围是（ ） A． 12 5 R  B．3 4R„ „ C．0 3R  或 4R  D．3 4R „ 或 12 5 R  【答案】D 【分析】 先用勾股定理计算线段 BC的长，分两种讨论：若 C 与斜边 AB相切时，通过等积法计算 ABC 的面积， 可求得半径的长；若3 4R „ ，圆与边 AB也只有一个公共点，据此解题即可. 【详解】 如图，过点C作CD AB 于点D． 90 4 5ACB AC AB    ， ， ， 3BC  ． ①如果以点C为圆心， R为半径的圆与斜边 AB相切，则CD R ．此时 1 1 12 2 2 5 CD AB AC BC R CD     ， ． ②当3 4R „ 时，圆与边 AB也只有一个公共点． 综上，3 4R „ 或 12 5 R  ． 故选 D． 【点睛】 本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等，其中涉及分类讨论的数学思想，考点知识 综合性较强，难度适中，作出适当的辅助线是解题关键. 3．如图，过 O 上一点 P作 O 的切线，与直径 AB的延长线交于点 C，点 D是 O 上的一点，且 27BDP   ，则 C 的度数为（ ） A． 27 B．33 C．36 D． 40 【答案】C 【分析】 连接 OP,由圆周角定理可得∠BOP的度数,由切线性质可得∠CPO的度数,即可算出∠C的度数． 【详解】 如图所示,连接 OP,则∠CPO=90°． ∵∠BDP=27°, ∴∠BOP=54°, ∴∠C=180°－90°－54°=36°． 故选 C． 【点睛】 本题考查圆周角定理和切线性质,关键在于根据题意作出合理的辅助线,同时利用圆周角定理和切线性质进 行角度转换． 4．如图，OA 交⊙O 于点 B，AD 切⊙O 于点 D，点 C 在⊙O 上．若∠A＝40°，则∠C 为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】 根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可． 【详解】 解：∵ AD切 O 于点D ∴OD AD ∴ 90ODA ∠ ° ∵ 40A   ∴ 90 40 50DOA      ∴ 1 25 2 BCD DOA     故选：B 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结 合图形认真推导即可得解． 5．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点 A，连接 OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC 的度数是 （ ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【分析】 利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题． 【详解】 解：∵AC与⊙O相切于点 A， ∴AC⊥OA， ∴∠OAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵∠O＝130°， ∴∠OAB＝180 2 O ＝25°， ∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 6．下列说法正确的是（ ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】 根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定 C、D错误；由切线的 定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定 A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的 应用． 【详解】 解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误； B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键． 7．如图，OA交 O 于点 B， AD切 O 于点D，点C在 O 上. 若 40A   ，则 C 为（ ） A． 20 B． 25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】 根据切线的性质得到∠ODA=90 ，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可． 【详解】 ∵AD切⊙O于点 D， ∴OD⊥AD， ∴∠ODA=90 ， ∵∠A=40 ， ∴∠DOA=90  -40  =50 ， 由圆周角定理得，∠BCD= 1 2 ∠DOA=25°， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．如图，AB为⊙O的切线，点 A为切点，OB交⊙O于点 C，点 D在⊙O上，连接 AD、CD、OA，若 ∠ADC＝40°，则∠ABO的度数为（ ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】 根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】 ∵AB为圆 O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠AOB＝2∠ADC＝80°， ∴∠ABO＝90°−80°＝10°． 故选：A． 【点睛】 此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 二、填空题 9．若 O☉ 的半径为5，点O到直线 l的距离为 d ，且直线 l与 O 相交，则 d ______ 5．（填“>”或“<” 或“=”） 【答案】 【分析】 根据直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径． 【详解】 解：∵直线 l与 O 相交， ∴圆心到直线的距离小于半径，即 5d  ． 故答案是：<． 【点睛】 本题考查圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握圆与直线相交的性质． 10．如图， PA、 PB分别切 O 于点 A、 B，点 E是 O 上一点，且 60AEB  ，则 P  ________ 度． 【答案】60 【分析】 由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点 A、B，利用切线的性质可知 ∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°． 【详解】 解： ∵∠AOB=2∠E=120°， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠P=180°-∠AOB=60°． 故答案为：60 【点睛】 本题利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为 360度求解． 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 OC 与⊙O 相交于点 D，连接 BD，∠C＝40°，若点 P 为优弧ABD上的动点，连接 PA、PD，则∠APD 的大小是_____度． 【答案】25 【分析】 先根据圆的切线的性质得出OA AC ，再根据直角三角形的性质可得 50AOC  ，然后根据圆周角定理 即可得． 【详解】 如图，连接 PA、PD ∵AC是⊙O的切线 ∴OA AC ，即 90OAC   ∵ 40C   ∴ 90 50AOC C     ∴ 1 25 2 APD AOC     故答案为：25． 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟记圆周角定理是解题关键． 12．已知矩形 ABCD，对角线 AC与 BD相交于点 O，AB＝6，BC＝8，分别以点 O、D为圆心画圆，如果 ⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长 r的取值范围是______． 【答案】8＜r＜9 【分析】 根据圆与圆的位置关系即可求出答案． 【详解】 解：设⊙O的半径为 r1，⊙D半径为 r， 由⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离可知：3＜r1＜4， 由题意可知：r＞r1，否则⊙D与⊙O不能内切， ∵OD＝ 1 2 AC＝5， ∴圆心距 d＝5， ∴d＝r﹣r1， ∴r＝5+r1， ∴8＜r＜9， 故答案为：8＜r＜9． 【点睛】 考查了圆与圆的位置关系，解题关键是正确运用圆心距与两圆的半径的数量关系． 13．如图，AB是⊙Ｏ的直径，BC与⊙Ｏ相切于点 B，AC交⊙Ｏ于点 D，若∠ACB=50°，则∠BOD=______ 度． 【答案】80 【分析】 根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可． 【详解】 解：∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°-∠ACB=40°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°. 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 14．如图， O 的半径OC垂直于弦 AB，过点 A作 O 的切线交OC的延长线于点 P，连结 BC，若 34APC  ，则 ABC 等于__________度. 【答案】28 【分析】 连接 ,OA 利用切线的性质求解 ,AOP 利用圆周角定理可得答案． 【详解】 解：连接 ,OA AP 为 O 的切线， 90 ,OAP   34 ,APC   56 ,AOP   28 ,ABC   故答案为：28 . 【点睛】 本题考查的是圆的基本性质：圆周角定理，圆的切线的性质，掌握以上的知识是解题的关键． 三、解答题 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，点 D在 OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若 BC＝2，求 BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）BD＝2 3 【分析】 （1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论； （2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案． 【详解】 （1）证明：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOC+2∠OBC＝180°， ∵∠BOC＝2∠A， ∴∠A+∠OBC＝90°， 又∵BC＝CD， ∴∠D＝∠CBD， ∵∠A＝∠D， ∴∠CBD+∠OBC＝90°， ∴∠OBD＝90°， ∴OB⊥BD， ∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD， ∴∠OBC＝∠BOC， ∴OC＝BC， 又∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵BC＝2， ∴OB＝2， ∴BD＝2 3． 【点睛】 本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质， 熟练掌握切线的判定是解题的关键． 16．如图，AB与⊙O 相切于点 B，AO 交⊙O 于点 C，AO 的延长线交⊙O 于点 D，E是弧 BCD上不与 B， D重合的点，∠A=30°． （1）求∠BED的度数； （2）点 F在 AB的延长线上，且 DF与⊙O 相切于点 D，求证：BF=AB． 【答案】（1）60°；（2）见解析． 【分析】 （1）如图，连接 , ,OB BD 利用圆的切线的性质，求解 , ,AOB BOD  利用圆周角定理可得答案； （2）由圆的性质求解 30 ,BDA BAD     可得 ,AB BD 结合切线的性质证明 BDF 为等边三角形， 从而可得答案． 【详解】 解：（1）如图，连接 , ,OB BD ABQ 为 O 的切线， ,OB AB  30 ,A   60 ,AOB   120 ,BOD   60 .BED   （2） , 120 , 30 ,OB OD BOD A       30 ,BDA OBD A       ,BA BD  ,AB DF 为 O 的切线， 60 ,DBF BDF     BDF 为等边三角形， ,BD BF  .AB BF  【点睛】 本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，掌握 以上知识是解题的关键． 17．如图，⊙O的直径为 AB，点 C在圆周上(异于点 A，B)，AD⊥CD． (1)若 BC＝3，AB＝5，求 AC的长； (2)若 AC是∠DAB的平分线，求证：直线 CD是⊙O的切线． 【答案】(1) AC=4；(2)详见解析. 【分析】 （1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得 AC的长即可； （2）连接 OC，证 OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到 OC∥AD，由于 AD⊥CD，那么 OC⊥CD，由此得证． 【详解】 解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， 又∵BC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理得 AC＝4； （2）证明：连接 OC ∵AC是∠DAB的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAC， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA＝∠CBA， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC+∠OBC＝90°， ∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°， ∴DC是⊙O的切线． 【点睛】 本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接 圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 18．如图，OA、OB是⊙O的半径，OA OB ，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为 AD 与OC的交点，连结OD．已知CE =5，求线段CD的长． 【答案】5 【分析】 利用切线的性质与OA OB ，证明∠DEC=∠ADC，从而可得答案． 【详解】 解：∵CD切 O于点Ｄ， ∴∠ODC=90 ； 又∵OA⊥OC，即∠AOC=90 ， ∴∠A+∠AEO=90 ，∠ADO+∠ADC=90 ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠ADC=∠AEO； 又∵∠AEO=∠DEC， ∴∠DEC=∠ADC， ∴CD=CE， ∵CE=5， ∴CD=5． 【点睛】 本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关 键． 19．如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 是边 AC 上的点，以 OC 为半径的圆分别交边 BC、AC 于点 D、E， 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F． （1）求证：直线 DF 是⊙O 的切线； （2）若 OC＝1，∠A＝45°，求劣弧 DE 的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 3 4 π． 【分析】 （1）连结 OD，根据等腰三角形的性质得到 OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的 判定定理证明； （2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可． 【详解】 证明：如图，连结 OD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠ACB， ∴∠B＝∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴∠ODF＝∠BFD＝90°， ∵OD为半径， ∴直线 DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB， ∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°， ∴劣弧 DE的长为 135 3 180 4    ． 【点睛】 本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键. 20．己知:如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 3 3 3y x  与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点，P是直 线 AB上一动点，⊙ P的半径为 2． （1）判断原点O与⊙ P的位置关系，并说明理由； （2）当⊙ P与 x轴相切时，求出切点的坐标． 【答案】（1）外部，理由见解析；（2） 23 3,0 3      或 23 3,0 3      ． 【分析】 （1）先求出 OA，OB，进而根据三角形的面积公式求出O到直线 AB的距离 d ，即可得出结论； （2）首先求得当⊙P与 x轴相切时，且位于 x轴下方时，点 D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与 x轴相切时，且位于 x轴上方时，点 D的坐标． 【详解】 解（1）令 x=0， 3 3 3y x  = 3 3 ∴ (0, 3 3)B  ， 令 y=0， 3 3 3x  =0，解得 x=3 ∴ (3,0), (0, 3 3)A B  ∴AO=3，OB=3 3 =6AB ，∠ABO＝30  过O作OD⊥AB, 设O到直线 AB的距离为 d ， ∴d= AO BO AB  = 3 3 3 6  2 ∴原点O在 P 的外部 （2）如图，当⊙P与 x轴相切时，且位于 x轴下方时，设切点为 D， 在 PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴∠APD＝∠ABO＝30 ， ∴在 Rt△DAP中，AD＝DP•tan∠DPA＝2×tan30 ＝ 2 3 3 ， ∴OD＝OA−AD＝3- 2 3 3 ， ∴此时点 D的坐标为：（3- 2 3 3 ，0）； 当⊙P与 x轴相切时，且位于 x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（3+ 2 3 3 ，0）； 综上可得：当⊙P与 x轴相切时，切点的坐标为： 23 3,0 3      或 23 3,0 3      ． 【点睛】 此题考查了和圆有关的综合题，用到的知识点有一次函数图象上点的坐标的性质、切线的性质以及三角函 数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用．