2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第32--圆的有关性质

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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第32--圆的有关性质

‎2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第32章 圆的有关性质 一、选择题 ‎1. (2011广东湛江16,4分)如图,是上的三点,,则 度.‎ ‎【答案】60‎ ‎2. (2011安徽,7,4分)如图,⊙O的半径是1,A、B、C是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧的长是( )‎ A. B.π C.π D.π ‎【答案】B ‎ ‎3. (2011福建福州,9,4分)如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 图2‎ ‎【答案】C ‎4. (2011山东泰安,10 ,3分)如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若AB=,则⊙O的半径为( )‎ A. B‎.2 C. D. ‎【答案】A ‎ ‎5. (2011四川南充市,9,3分)在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油 后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为( )‎ ‎(A)6分米 (B)8分米 (C)10分米 (D)12分米 ‎【答案】C ‎6. (2011浙江衢州,1,3分)一个圆形人工湖如图所示,弦是湖上的一座桥,已知桥长‎100m,测得圆周角,则这个人工湖的直径为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎(第8题)‎ ‎【答案】B ‎7. (2011浙江绍兴,4,4分)如图,的直径,点在上,若,则的度数是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(第5题图)‎ ‎【答案】C ‎8. (2011浙江绍兴,6,4分)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6,则水面宽是( )‎ ‎ A.16 B‎.10 ‎‎ C.8 D.6‎ ‎(第6题图)‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎9. (2011浙江省,5,3分)如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( )‎ A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位 ‎【答案】B ‎10.(2011四川重庆,6,4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°则∠A的度数等于( )‎ A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎11. (2011浙江省嘉兴,6,4分)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为(  )‎ ‎(A)6 (B)8 (C)10 (D)12‎ ‎(第6题)‎ ‎【答案】A ‎12. (2011台湾台北,16)如图(六),为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,平分∠BAD且交于F点。若∠ADE=,则∠AFB的度数为何?‎ A.97 B.‎104 C.116 D.142‎ ‎【答案】C ‎ ‎13. (2011台湾全区,24)如图(六),△ABC的外接圆上,AB、BC、CA三弧的度数比为12:13:11.‎ 自BC上取一点D,过D分别作直线AC、直线AB的并行线,且交于E、F两点,则∠EDF的度数 为何?‎ ‎ ‎ A. 55 B. ‎60 C. 65 D. 70‎ ‎【答案】C ‎14. (2011甘肃兰州,12,4分)如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6。则⊙O的半径为 A.6 B.‎13 ‎ C. D.‎ A B C O ‎【答案】C ‎15. (2011四川成都,7,3分)如图,若AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°, 则∠BCD=( B )‎ ‎(A)116° (B)32° (C)58° (D)64°‎ ‎【答案】B ‎ ‎16. (2011四川内江,9,3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2,则弦BC的长为 A.1 B. C.2 D.2‎ ‎【答案】D ‎17. (2011江苏南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为,则a的值是 A. B. C. D. ‎ ‎(第6题)‎ A B O P x y y=x ‎【答案】B 1. ‎18. (2011江苏南通,8,3分)如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O 的半径等于 A. ‎8 B. ‎2 ‎ C. 10 D. 5‎ ‎【答案】D ‎19. (2011山东临沂,6,3分)如图,⊙O的直径CD=‎5cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OD=3:5,则AB 的长是( )‎ A.‎2cm B.3cmC.‎4cm D.‎2‎cm ‎【答案】C ‎20.(2011上海,6,4分)矩形ABCD中,AB=8,,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( ).‎ ‎(A) 点B、C均在圆P外; (B) 点B在圆P外、点C在圆P内;‎ ‎(C) 点B在圆P内、点C在圆P外; (D) 点B、C均在圆P内.‎ ‎【答案】C ‎21. (2011四川乐山6,3分)如图(3),CD是⊙O的弦,直径AB过CD的中点M,若∠BOC=40°,则∠ABD=‎ ‎ A.40° B.60° C.70° D.80°‎ ‎【答案】 C ‎22. (2011四川凉山州,9,4分)如图,,点C在上,且点C不与A、B重合,则的度数为( )‎ A.   B.或   C.   D. 或 ‎【答案】D[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎23. (2011广东肇庆,7,3分)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD =105°,‎ 则∠DCE的大小是 A B C D E A. 115° B. 105° C. 100° D. 95°‎ ‎【答案】B ‎24. (2011内蒙古乌兰察布,9,3分)如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB ⊥ CD ,如果∠BOC = 70 ,那么∠A的度数为( )‎ ‎ A . B . C . D . ‎ ‎【答案】B ‎25. (2011重庆市潼南,3,4分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为 ‎ A.15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎【答案】D ‎26. (2011浙江省舟山,6,3分)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为(   )‎ ‎(A)6 (B)8 (C)10 (D)12‎ ‎(第6题)‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎1. (2011浙江省舟山,15,4分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②;③△ODE∽△ADO;④.其中正确结论的序号是   .‎ ‎(第16题)‎ ‎【答案】①④‎ ‎2. (2011安徽,13,5分)如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是 .‎ ‎【答案】 ‎3. (2011江苏扬州,15,3分)如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则∠ACD= ‎ ‎【答案】40°‎ ‎4. (2011山东日照,14,4分)如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 .‎ ‎【答案】如:x2-x+1=0;‎ ‎5. (2011山东泰安,23 ,3分)如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,若∠ABC==320,则∠P的度数为 。‎ ‎【答案】260‎ ‎6. (2011山东威海,15,3分)如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=1,,则∠AED= . ‎ ‎【答案】 30°‎ ‎7. (2011山东烟台,16,4分)如图,△ABC的外心坐标是__________.‎ O x y B C A ‎【答案】(-2,-1)‎ ‎8. (2011浙江杭州,14,4)如图,点A,B,C,D都在⊙O上,的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD十∠CAO= °.‎ ‎【答案】53°‎ ‎9. (2011浙江温州,14,5分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连结CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是 .‎ ‎【答案】6‎ ‎10.(2011浙江省嘉兴,16,5分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①S△AEC=2S△DEO;②AC=2CD;③线段OD是DE与DA的比例中项;④.其中正确结论的序号是   .‎ ‎(第16题)‎ ‎【答案】①④‎ ‎11. (2011福建泉州,16,4分)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .(写出符合的一种情况即可)‎ ‎【答案】 2(符合答案即可)‎ ‎12. (2011甘肃兰州,16,4分)如图,OB是⊙O的半径,点C、D在⊙O上,∠DCB=27°,则∠OBD=‎ ‎ 度。‎ O D B C ‎【答案】63°‎ ‎13. (2011湖南常德,7,3分)如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,且∠C =70°,则∠OAB =__________.‎ ‎【答案】20°‎ ‎14. (2011江苏连云港,15,3分)如图,点D为边AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.若∠BAC=22º,则∠EFG=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎15. (2011四川广安,19,3分)如图3所示,若⊙O的半径为‎13cm,点是弦上一动点,且到圆心的最短距离为‎5 cm,则弦的长为________cm 图3‎ ‎【答案】24‎ ‎16. ( 2011重庆江津, 16,4分)已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________.[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ A B C D 第16题图 ‎【答案】150°‎ ‎17. (2011重庆綦江,13,4分) 如图,已知AB为⊙O的直径,∠CAB=30°,则∠D= .‎ ‎【答案】:60° ‎ ‎18. (2011江西南昌,13,3分)如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB ‎= 度.‎ 第13题图 ‎【答案】90‎ ‎19. (2011江苏南京,13,2分)如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.‎ A B O P ‎(第13题)‎ ‎【答案】40 ‎ ‎20.(2011上海,17,4分)如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=_________.‎ ‎【答案】6‎ ‎21. (2011江苏无锡,18,2分)如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB = 20°,则∠OCD = _____________.‎ y x O A B D C ‎(第18题)‎ ‎【答案】65‎ ‎22. (2011湖北黄石,14,3分)如图(5),△ABC内接于圆O,若∠B=300.AC=,则⊙O的直径为 。‎ ‎【答案】2‎ ‎23. (2011湖南衡阳,16,3分)如图,⊙的直径过弦的中点G,∠EOD=40°,则∠FCD的度数为 .‎ ‎【答案】 20‎ ‎24. (2011湖南永州,8,3分)如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB,已知⊙O的半径为2,AB=,则∠BCD=________度.‎ ‎(第8题)‎ ‎【答案】30‎ ‎25. (20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.‎ 答案:4,9‎ ‎26. (2011内蒙古乌兰察布,14,4分)如图,是半径为 6 的⊙D的圆周,C点是上的任意一点, △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎27. (2011河北,16,3分)如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D=__°.‎ ‎【答案】27‎ ‎28. (2011湖北荆州,12,4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,则∠ACD的度数是   .‎ ‎    第12题图 ‎【答案】50°‎ ‎29.‎ ‎30.‎ 三、解答题 ‎1. (2011浙江金华,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.‎ ‎(1)求证:AP=AO;‎ ‎(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;‎ ‎(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .‎ 证明:(1)∵PG平分∠EPF,‎ ‎∴∠DPO=∠BPO , ‎ ‎∵OA//PE,‎ ‎∴∠DPO=∠POA , ‎ ‎∴∠BPO=∠POA,‎ ‎∴PA=OA; ……2分 解:(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=AB,……1分 ‎∵ tan∠OPB=,∴PH=2OH, ……1分 设OH=,则PH=2,‎ 由(1)可知PA=OA= 10 ,∴AH=PH-PA=2-10,‎ ‎∵, ∴, ……1分 解得(不合题意,舍去),,‎ ‎ ∴AH=6, ∴AB=2AH=12; ……1分 ‎(3)P、A、O、C;A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分,写对4个得2分)‎ H P A B C O D E F G ‎2.(2011浙江金华,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.‎ ‎(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;‎ ‎(2)当DE=8时,求线段EF的长;‎ ‎(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)连结BC,‎ ‎∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5,‎ ‎∵∠AOB=30°,[来源:学科网]‎ ‎∴∠ACB=2∠AOB=60°,‎ ‎∴弧AB的长=; ……4分 O B D E C F x y A ‎(2)连结OD,‎ ‎∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°,‎ 又∵AB=BD,‎ ‎∴OB是AD的垂直平分线,‎ ‎∴OD=OA=10,‎ 在Rt△ODE中,‎ OE=,‎ ‎∴AE=AO-OE=10-6=4,‎ 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,‎ 得△OEF∽△DEA,‎ ‎∴,即,∴EF=3;……4分 ‎(3)设OE=x,‎ ‎①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,‎ ‎∴E1(,0);‎ 当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x, AE=10-x,‎ ‎∴CF∥AB,有CF=,‎ ‎∵△ECF∽△EAD,‎ ‎∴,即,解得:,‎ ‎∴E2(,0);‎ O B D F C E A x y O B D F C E A x y ‎②当交点E在点C的右侧时,‎ ‎∵∠ECF>∠BOA,‎ ‎∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,‎ 连结BE,‎ ‎∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,‎ ‎∴BE=AB=BD,‎ ‎∴∠BEA=∠BAO,‎ ‎∴∠BEA=∠ECF,‎ ‎∴CF∥BE, ∴,‎ ‎∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, ‎ ‎∴△CEF∽△AED, ∴,‎ 而AD=2BE, ∴,‎ 即, 解得, <0(舍去),‎ ‎∴E3(,0);‎ O B D F C E A x y ‎③当交点E在点O的左侧时,‎ ‎∵∠BOA=∠EOF>∠ECF .‎ ‎∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO 连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO ‎∴∠ECF=∠BEA,‎ ‎∴CF∥BE,‎ ‎∴,‎ 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠, ‎ ‎∴△CEF∽△AED, ∴,‎ 而AD=2BE, ∴,‎ ‎∴, 解得, <0(舍去),‎ ‎∵点E在x轴负半轴上, ∴E4(,0),‎ 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:‎ ‎(,0)、(,0)、(,0)、(,0).……4分 O B D F C E A x y ‎3. (2011山东德州22,10分)●观察计算 当,时, 与的大小关系是_________________.‎ 当,时, 与的大小关系是_________________.‎ ‎●探究证明 如图所示,为圆O的内接三角形,为直径,过C作于D,设,BD=b.‎ ‎(1)分别用表示线段OC,CD;‎ ‎(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系 ‎(用含a,b的式子表示).‎A B C O D ‎●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明,你能得出与的大小关系是:_________________________.‎ ‎●实践应用 要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.‎ ‎【答案】●观察计算:>, =. …………………2分 A B C O D ‎●探究证明:‎ ‎(1),‎ ‎∴…………………3分 AB为⊙O直径,‎ ‎∴.‎ ‎,,‎ ‎ ∴∠A=∠BCD.‎ ‎∴△∽△. …………………4分 ‎∴.‎ 即,‎ ‎∴. …………………5分 ‎(2)当时,, =;‎ 时,, >.…………………6分 ‎●结论归纳: . ………………7分 ‎●实践应用 设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米,则 ‎ ≥ . ……………9分 当,即(米)时,镜框周长最小.‎ 此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. ………………10分 ‎4. (2011山东济宁,19,6分)如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.[来源:学+科+网][来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1) 求证:; ‎ ‎ (2) 请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?并说明理由.[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎(第19题)‎ ‎【答案】(1)证明:∵为直径,,‎ ‎∴.∴. 3分 ‎(2)答:,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. 4分 理由:由(1)知:,∴.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.∴. 6分 由(1)知:.∴.‎ ‎∴,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. …………………7分 ‎5. (2011山东烟台,25,12分)已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.‎ ‎(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OP=r2‎ ‎(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.‎ ‎.‎ A B C D E ‎.‎ O G ‎(图2)‎ A B C D E F P ‎.‎ O G ‎(图1)‎ ‎【答案】(1)证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.‎ ‎∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°.‎ ‎∴∠QFD+∠Q=90°. ‎ ‎∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.‎ ‎∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.‎ ‎∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.‎ ‎∴.∴OE·OP=OF2=r2.‎ ‎(2)解:(1)中的结论成立.‎ 理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.‎ ‎∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.‎ ‎∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.‎ ‎∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E. ‎ ‎∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.‎ ‎∴,∴OE·OP=OF2=r2.‎ ‎6. (2011宁波市,25,10分)阅读下面的情境对话,然后解答问题 ‎(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?‎ ‎(2)在RtABC 中, ∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtABC是奇异三角形,求a:b:c;‎ ‎(3)如图,AB是⊙O的直径,C是上一点(不与点A、B重合),D是半圆的中点,CD在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E使得AE=AD,CB=CE.‎ 求证:ACE是奇异三角形;‎ 当ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.‎ ‎【答案】解:(1)真命题 ‎(2)在RtABC 中a2+b2= c2,‎ ‎∵c>b>a>0‎ ‎∴2c2>a2+b2,2a2<c2+b2‎ ‎∴若RtABC是奇异三角形,一定有2b2=c2+ a2‎ ‎∴2b2=a2+(a2+b2)‎ ‎∴b2=2a2 得:b=a ‎∵c2=b2+ a2=3a2‎ ‎∴c=a ‎∴a:b:c=1:: ‎(3)∵AB是⊙O的直径ACBADB=90°‎ 在RtABC 中,AC2+BC2=AB2‎ 在RtADB 中,AD2+BD2=AB2‎ ‎∵点D是半圆的中点 ‎∴= ‎∴AD=BD ‎∴AB2=AD2+BD2=2AD2‎ ‎∴AC2+CB2=2AD2‎ 又∵CB=CE,AE=AD[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∴AC2=CE2=2AE2‎ ‎∴ACE是奇异三角形 由可得ACE是奇异三角形 ‎∴AC2=CE2=2AE2‎ 当ACE是直角三角形时 由(2)可得AC:AE:CE=1::或AC:AE:CE=:: 1‎ ‎(Ⅰ)当AC:AE:CE=1::时 AC:CE=1:即AC:CB=1: ‎∵∠ACB=90°‎ ‎∴∠ABC=30°‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC =60°‎ ‎(Ⅱ)当AC:AE:CE=:: 1时 AC:CE=: 1即AC:CB=: 1‎ ‎∵∠ACB=90°‎ ‎∴∠ABC=60°‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC =120°‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC =120°‎ ‎∴∠AOC的度数为60°或120°‎ ‎7. (2011浙江丽水,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.‎ ‎(1)求证:AP=AO;‎ ‎(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;‎ ‎(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ‎ ‎ ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .‎ ‎【解】(1)∵PG平分∠EPF,‎ ‎ ∴∠DPO=∠BPO,‎ ‎ ∵OA//PE,‎ ‎ ∴∠DPO=∠POA,‎ ‎ ∴∠BPO=∠POA,‎ ‎ ∴PA=OA;‎ ‎(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB,‎ ‎ ∵AB=12,‎ ‎ ∴AH=6,‎ ‎ 由(1)可知PA=OA=10,‎ ‎ ∴PH=PA+AH=16,‎ ‎ OH==8,‎ ‎ ∴tan∠OPB==;‎ ‎ ‎ ‎(3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.‎ ‎8. (2011广东广州市,25,14分)‎ ‎ 如图7,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角,点D在线段AC上.‎ ‎ (1)证明:B、C、E三点共线;‎ ‎ (2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;‎ ‎ (3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图8),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.‎ A B C D E M N O 图7‎ A B C D1‎ E1‎ M1‎ O N1‎ 图8‎ ‎【答案】(1)∵AB为⊙O直径 ‎∴∠ACB=90°‎ ‎∵△DCE为等腰直角三角形 ‎∴∠ACE=90°‎ ‎∴∠BCE=90°+90°=180°‎ ‎∴B、C、E三点共线.‎ ‎(2)连接BD,AE,ON.‎ ‎∵∠ACB=90°,∠ABC=45°‎ ‎∴AB=AC ‎∵DC=DE ‎∠ACB=∠ACE=90°‎ ‎∴△BCD≌△ACE ‎∴AE=BD,∠DBE=∠EAC ‎∴∠DBE+∠BEA=90°‎ ‎∴BD⊥AE ‎∵O,N为中点 ‎∴ON∥BD,ON=BD 同理OM∥AE,OM=AE ‎∴OM⊥ON,OM=ON ‎∴MN=OM ‎(3)成立 证明:同(2)旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°-∠ACD1‎ 所以仍有△BCD1≌△ACE1,‎ 所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的,故BD1⊥AE1‎ 其余证明过程与(2)完全相同.‎ ‎9. (2011浙江丽水,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.‎ ‎(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;‎ ‎(2)当DE=8时,求线段EF的长;‎ ‎(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解】(1)连结BC,‎ ‎ ‎ ‎∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,‎ ‎ ∵∠AOB=30°,‎ ‎ ∴∠ACB=2∠AOB=60°,‎ ‎ ∴的长==;‎ ‎(2)连结OD,‎ ‎ ‎ ‎∵OA是⊙C的直径,∴∠OBA=90°,‎ ‎ 又∵AB= BD,‎ ‎ ∴OB是AD的垂直平分线,‎ ‎ ∴OD= OA=10,‎ ‎ 在Rt△ODE中,‎ ‎ OE===6,‎ ‎ ∴AE= AO-OE =10-6=4,‎ ‎ 由∠AOB=∠ADE= 90°-∠OAB,‎ ‎ ∠OEF=∠DEA,‎ ‎ 得△OEF∽△DEA,‎ ‎ ∴=,即=,∴EF=3;‎ ‎ ‎ ‎(3)设OE=x,‎ ‎ ①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,‎ ‎ 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,‎ 点E为OC的中点,即OE=,‎ ‎ ‎ ‎ ∴E1(,0);‎ ‎ 当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,‎ ‎ ‎ ‎∴CF//AB,有CF=AB,‎ ‎ ∵△ECF∽△EAD,‎ ‎ ∴=,即=,解得x=,‎ ‎∴E2(,0);‎ ‎②当交点E在C的右侧时,‎ ‎∵∠ECF>∠BOA ‎∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,‎ 连结BE,‎ ‎ ‎ ‎∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,‎ ‎∴BE=AB=BD,‎ ‎∴∠BEA=∠BAO,‎ ‎∴∠BEA=∠ECF,‎ ‎∵CF//BE,∴=,‎ ‎∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,‎ ‎ ∴△CEF∽△AED,∴=,‎ ‎ 而AD=2BE,∴=,‎ 即=,‎ 解得x1=,x2=<0(舍去),‎ ‎∴E3(,0);‎ ‎③当交点E在O的左侧时,‎ ‎∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ‎∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,‎ 连结BE,得BE=AD=AB,‎ ‎ ∠BEA=∠BAO,‎ ‎∴∠ECF=∠BEA,‎ ‎∴CF//BE,‎ ‎∴=,‎ 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,‎ ‎ ∴△CEF∽△AED,∴=,‎ ‎ 而AD=2BE,∴=,‎ ‎∴=,解得x1=,x2=<0(舍去),‎ ‎∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0),‎ 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:‎ ‎∴E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).‎ ‎10.(2011江西,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)。‎ ‎⑴求∠BAC的度数;‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值.‎ ‎(参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.)‎ ‎【答案】(1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.‎ 因为BC=,所以CD==.‎ 又OC=2,所以=,即=,‎ 所以∠DOC=60°.‎ 又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.‎ ‎(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.‎ 因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,‎ 在Rt△ADC中,AC=,DC=,‎ 所以AD===3.‎ 所以△ABC面积的最大值为×3×=3.‎ ‎11. (2011湖南常德,25,10分)已知 △ABC,分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.‎ ‎(1)如图8,若△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在上分别取点E、F,使则有结论① ②四边形是菱形.请给出结论②的证明;‎ ‎(2)如图9,若(1)中△ABC是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;‎ ‎(3)如图10,若PC是的切线,求证:‎ B D ‎【答案】‎ (1) 证明:∵BC是⊙O2直径,则O2是BC的中点 又P是AB的中点.‎ ‎∴P O2是△ABC的中位线 ‎∴P O2 =AC 又AC是⊙O1直径 ‎∴P O2= O‎1C=AC 同理P O1= O‎2C =BC ‎∵AC =BC ‎∴P O2= O1C=P O1= O2C ‎∴四边形是菱形 (1) 结论①成立,结论②不成立 ‎ 证明:在(1)中已证PO2=AC,又O1E=AC ‎ ∴PO2=O1E ‎ 同理可得PO1=O‎2F ‎∵PO2是△ABC的中位线 ‎∴PO2∥AC ‎∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O1A=∠ACB ‎∴∠PO2B=∠P O1A ‎∵∠AO1E =∠BO2F ‎∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E =∠F O2 P ‎∴‎ (2) 证明:延长AC交⊙O2于点D,连接BD.‎ ‎ ∵BC是⊙O2的直径,则∠D=90°,‎ ‎ 又PC是的切线,则∠ACP=90°,‎ ‎ ∴∠ACP=∠D ‎ 又∠PAC=∠BAD,‎ ‎∴△APC∽△BAD 又P是AB的中点 ‎∴‎ ‎∴AC=CD ‎∴在Rt△BCD中,‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎12. (2011江苏苏州,26,8分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.‎ ‎(1)弦长AB=________(结果保留根号);‎ ‎(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;‎ ‎(3)当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.‎ ‎【答案】解:(1)2.‎ ‎(2)解法一:∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,‎ ‎∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D.‎ ‎∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.‎ 又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°,‎ ‎∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,‎ ‎∴∠BOD=2∠A=100°.‎ 解法二:如图,连接OA.‎ ‎∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,‎ ‎∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.‎ 又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°,‎ ‎∴∠BOD=2∠DAB=100°.‎ ‎(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D.‎ ‎∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°.‎ 此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°.‎ ‎∴△DAC∽△BOC.‎ ‎∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=AB=.‎ ‎13. (2011江苏苏州,27,8分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.‎ ‎(1)如图①,当PA的长度等于______时,∠PAB=60°;‎ ‎ 当PA的长度等于______时,△PAD是等腰三角形;‎ ‎(2)如图②,以AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3‎ ‎.设P点坐标为(a,b),试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值.‎ ‎【答案】解:(1)2;2或.‎ ‎(2)如图,过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,延长FP交BC于点G,则PG⊥BC.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∵P点坐标为(a,b),∴PE=b,PF=a,PG=4-a.‎ 在△PAD、△PAB及△PBC中,‎ S1=‎2a,S2=2b,S3=8‎-2a,‎ ‎∵AB是直径,∴∠APB=90°.‎ ‎∴PE2=AE·BE,即b2=a(4-a).‎ ‎∴2S1S3-S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+16.‎ ‎∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值16.‎ ‎14. (2011江苏泰州,26,10分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.‎ ‎(1)点N是线段BC的中点吗?为什么?‎ ‎(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.‎ ‎【答案】解:(1)N是BC的中点。原因:∵AD与小圆相切于点M,‎ ‎∴OM⊥AD,又AD∥BC,∴ON⊥BC,∴在大圆O中,由垂径定理可得N是BC的中点.‎ ‎(2)连接OB,设小圆半径为r,则有ON=r+5,OB=r+6,BN=‎5cm,‎ 在Rt△OBN中,由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ,即:(r+6)2=(r+5)2+52 ,解得r=7cm.‎ ‎∴小圆的半径为7cm.‎ ‎15. (2011四川成都,27,10分)已知:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙0,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K.过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.‎ ‎(1)求证:AE=CK;‎ ‎ (2)如果AB=,AD= (为大于零的常数),求BK的长;‎ ‎(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵DH∥KB,BK⊥AC,∴DE⊥AC,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠KCB,‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBK,∴AE=CK.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,AB=,AD=BC=,∴==,‎ ‎∵S△ABC=AB×BC=AC×BK,∴BK===.‎ ‎(3)连线OG,∵AC⊥DG,AC是⊙O的直接,DE=6,∴DE=EG=6,又∵EF=FG,∴EF=3;∵Rt△ADE≌Rt△CBK,∴DE=BK=6,AE=CK,‎ 在△ABK中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF是△ABK的中位线,∴AF=BF,AE=EK=KC;在Rt△OEG中,设OG=,则OE=‎ ‎,EG=6,,∴,∴.‎ 在Rt△ADF≌Rt△BHF中,AF=BF,‎ ‎∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,‎ ‎∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6.‎ ‎16. (2011四川宜宾,23,10分)已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.‎ ‎(1)求证:AC⊥BH;‎ ‎(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长.‎ ‎(23题图)‎ ‎【答案】证明:⑴连接AD ‎ ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ‎∴∠DAC=∠EBC 又∵AC是⊙O的直径 ‎∴∠ADC=90°‎ ‎∴∠DCA+∠DAC=90°‎ ‎∴∠EBC+∠DCA=90°‎ ‎∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°‎ ‎∴AC⊥BH ‎⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°‎ ‎∴∠BAD=45°‎ ‎∴BD=AD ‎∵BD=8‎ ‎∴AD=8‎ 又∵∠ADC=90° AC=10‎ ‎(第23题解答图)‎ ‎∴由勾股定理,得.‎ ‎∴BC=BD+DC=8+6=14‎ 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ‎ ‎∴△BCG∽△ACD ‎∴‎ ‎∴ ∴‎ 连接AE,∵AC是直径 ∴∠AEC=90°‎ 又∵EG⊥AC ‎∴△CEG∽△CAE ∴ ∴‎ ‎∴.‎ ‎17. (2011江西南昌,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)。‎ ‎⑴求∠BAC的度数;‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值.‎ ‎(参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.)‎ ‎【答案】(1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.‎ 因为BC=,所以CD==.‎ 又OC=2,所以=,即=,‎ 所以∠DOC=60°.‎ 又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.‎ ‎(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.‎ 因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,‎ 在Rt△ADC中,AC=,DC=,‎ 所以AD===3.‎ 所以△ABC面积的最大值为×3×=3.‎ ‎18. (2011上海,21,10分)如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.‎ ‎(1)求线段OD的长;‎ ‎(2)若,求弦MN的长.‎ ‎【答案】(1)∵CD∥AB,‎ ‎ ∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D.‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠OAB=∠OBA.‎ ‎∴∠C=∠D.‎ ‎∴OC=OD.‎ ‎∵OA=3,AC=2,‎ ‎∴OC=5.‎ ‎∴OD=5.‎ ‎(2)过点O作OE⊥CD,E为垂足,连接OM.‎ 在Rt△OCE中,OC=5,,设OE=x,则CE=2x.由勾股定理得,解得x1=,x2=(舍去).∴OE=.‎ 在Rt△OME中,OM=OA=3,ME===2。∴MN=2ME=4.‎ ‎19. (2011湖北黄冈,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.‎ ‎⑴求证△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC:FE=CD:AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF,‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎20.(2011广东茂名,24,8分)如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.‎ ‎ (1)已知AC=3,求点B的坐标; (4分)‎ ‎(2)若AC=, D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示). (4分)‎ χ ‎ ‎备用图 χ ‎【答案】解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB,‎ 在Rt△AOC中,‎ 在 Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB ‎ ∴Rt△AOC∽Rt△ABO,·‎ ‎ ∴,即,‎ ‎ ∴ , ∴‎ ‎ 解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径, ∴∠ACO=90°‎ 在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4,‎ 过C作CE⊥OA于点E,则:,‎ 即:,∴,‎ ‎∴ ∴,‎ 设经过A、C两点的直线解析式为:.‎ 把点A(5,0)、代入上式得:‎ ‎ , 解得:,‎ ‎ ∴ , ∴点 .‎ ‎(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:‎ 连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点, ‎ ‎∴,‎ ‎∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,‎ ‎∴PC ⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,‎ ‎∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;‎ 由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心,‎ 由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得:AB=,在Rt△ABO中,‎ ‎,OD=,‎ ‎∴,点在函数的图象上,‎ ‎∴, ∴.‎ ‎21. (2011广东肇庆,24,10分)已知:如图,DABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交 ‎⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD. ‎ ‎(1)求证:∠DAC =∠DBA;‎ ‎(2)求证:是线段AF的中点;‎ ‎(3)若⊙O 的半径为5,AF = ,求tan∠ABF的值.‎ · A B C D E O F P ‎ 【答案】(1)∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA ‎ ‎∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD ‎ ‎∴∠DAC =∠DBA ‎ ‎(2)∵AB为直径,∴∠ADB=90° ‎ 又∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90° ∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°‎ ‎∴∠ADE=∠ABD=∠DAP ‎ ‎∴PD=PA ‎ 又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC ‎∴∠PDF=∠PFD ‎ ‎∴PD=PF ∴PA= PF 即P是线段AF的中点 ‎ ‎(3)∵∠DAF =∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°∴△FDA ∽△ADB ‎ ‎∴ ‎ ‎∴在Rt△ABD 中,tan∠ABD=,即tan∠ABF= ‎ ‎22. (2011内蒙古乌兰察布,21,10分) ‎ 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 边上的一点,以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点 F . ‎ ‎( 1 )求证: BD = BF ;‎ ‎( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ,求 BF 的长.‎ ‎【答案】⑴连结OE,‎ 则OE⊥AC,‎ 所以∠AEO=90°,‎ ‎∠AED=∠CEF,‎ ‎∠ACB=90°‎ ‎∠CEF+∠F=90°‎ ‎∠AED +∠OED=90°‎ ‎∠OED=∠F 又因为OD=OE 所以∠OED=∠ODE ‎∠ODE=∠F BD=BF ‎⑵Rt△ABC和Rt△AOE中,∠A是公共角 ‎ 所以Rt△ABC ∽Rt△AOE ‎,设⊙0的半径是r,则有 求出r=8,所以BF=BD=16‎ ‎23. (2011湖北鄂州,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.‎ ‎⑴求证△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC:FE=CD:AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF,‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎24. (2010湖北孝感,23,10分)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合).连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.‎ ‎(1)填空:∠APC= 度,∠BPC= 度;(2分)‎ ‎(2)求证:△ACM∽△BCP;(4分)‎ ‎(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积. (4分)‎ ‎【答案】解:(1)60,60;‎ ‎(2)∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC=60.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴∠M=180°-∠BPM=180-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°.‎ ‎∴∠M=∠BPC=60°.‎ ‎(3)∵ACM≌BCP,∴CM=CP,AM=BP.‎ 又∠M=60°,∴△PCM为等边三角形.‎ ‎∴CM=CP=PM=1+2=3.‎ 作PH⊥CM于H.‎ 在Rt△PMH中,∠MPH=30°.‎ ‎∴PH=.‎ ‎∴S梯形PBCM=.‎ ‎25. (2011湖北宜昌,21,8分)如图D是△ABC 的边BC 的中点,过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB 的延长线相交于点F,点0 在AD 上,AO = CO,BC//EF.‎ ‎(1)证明:AB=AC; ‎ ‎(2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心;‎ ‎(3)当AB=5,BC=6时,连接BE若∠ABE=90°,求AE的长.‎ ‎ (第21题图)‎ ‎【答案】解:(1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC.(1分)在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.(或者:又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂线.) (2分)∴AB=AC. (3分)‎ ‎(2)连BO,∵AD是BC的中垂线,∴BO=CO.(或者:证全等也可得到BO=CO.)又AO=CO,∴AO=BO=CO.(4分)∴点O是△ABC外接圆的圆心. (5分)‎ ‎(3)解法1:∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°,∴∠ABD=∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB.∴(6分)在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4.(7分)∴AE= (8分)解法2:∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO.∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°.∴∠OBE=∠OEB,∴OB=OE.(6分)在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4. 设 OB=x, 则 OD=4-x,由32+(4-x)2=x2,解得x=(7分)∴AE=2OB=‎
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