2020中考数学三轮复习——相似形 练习

2020中考数学三轮复习——相似形 练习

相似形 ‎1． 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是 A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎ ‎ ‎2． 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有 A．3对 B．5对 ‎ C．6对 D．8对 ‎ ‎ ‎3． 若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为 A．2∶1 B．1∶2 ‎ C．4∶1 D．1∶4‎ ‎ ‎ ‎4． 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，‎ 交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎5． 如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于 A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎ ‎ ‎6． 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边 上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎7． 如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=‎ A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9‎ ‎ ‎ ‎8． 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为__________m．‎ ‎ ‎ ‎9． 如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．‎ ‎ ‎ ‎10． 如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．‎ ‎ ‎ ‎11． 如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．‎ ‎ ‎ ‎12． 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．‎ ‎ ‎ ‎13． 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为__________m．‎ ‎ ‎ ‎14． 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．‎ ‎（1）如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；‎ ‎（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．‎ ‎ ‎ ‎15． △ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．‎ ‎①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．‎ ‎②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．‎ ‎③在②的条件下求出点B经过的路径长．‎ ‎ ‎ ‎16． 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．‎ ‎（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．‎ ‎①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，=．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．‎ ‎（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．‎ ‎ ‎ ‎17． 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．‎ ‎（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．‎ ‎（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？‎ 如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．‎ ‎（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．‎ ‎（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．‎ 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．‎ ‎ ‎ 答案 ‎1． C ‎2． C ‎3． B ‎4． C ‎5． B ‎6． C ‎7． D ‎8． 54‎ ‎9． ‎ ‎10． 4‎ ‎11． 或 ‎12． （2，1）或（-2，-1）‎ ‎13． 54‎ ‎14． （1）∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，‎ ‎∴，，，‎ 即，‎ 在与中，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）在与中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积．‎ ‎15． ①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．‎ ‎②如图，△A2B2C为所作．‎ ‎③OB=，‎ 点B经过的路径长=．‎ ‎16． （1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．‎ ‎（2）如图1中，连接BD，B1D1．‎ ‎∵∠BCD=∠B1C1D1，且，‎ ‎∴△BCD∽△B1C1D1，‎ ‎∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵∠ABC=∠A1B1C1，‎ ‎∴∠ABD=∠A1B1D1，‎ ‎∴△ABD∽△A1B1D1，‎ ‎∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，‎ ‎∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．‎ ‎（3）∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．‎ ‎∴，‎ ‎∵EF=OE+OF，∴，‎ ‎∵EF∥AB∥CD，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∵AD=DE+AE，‎ ‎∴，‎ ‎∴2AE=DE+AE，‎ ‎∴AE=DE，∴=1．‎ ‎17． （1）如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，‎ ‎∴，即，‎ 解得PN．‎ ‎（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，‎ ‎∴四边形PQMN为矩形，‎ ‎∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，‎ ‎∴NM'∥NM，‎ ‎∴△BN'M'∽△BNM，‎ ‎∴，同理可得，‎ ‎∴.‎ ‎∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，‎ ‎∴四边形PQMN为正方形．‎ ‎（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．‎ ‎∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，‎ ‎∴ER=RM=EM，‎ 又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，‎ ‎∴∠EQM=∠EMN.‎ 又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，‎ ‎∴△EQM≌△RMN（AAS），‎ ‎∴EQ=RM，‎ ‎∴EQ=EM，‎ ‎∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，‎ ‎∴∠BEQ=∠EMB，‎ 又∵∠EBM=∠QBE，‎ ‎∴△BEQ∽△BME，‎ ‎∴．‎ 设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，‎ ‎∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，‎ ‎∴BN=BE+NE=5x，‎ ‎∴BN=NM=． ‎