中考数学相似形复习

中考数学相似形复习

中考复习教案——相似形 中考要求及命题趋势 ‎ 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割；‎ ‎2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；‎ ‎3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；‎ ‎4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；‎ ‎5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题；‎ ‎6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标；‎ ‎7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；‎ ‎8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标 的变化；‎ ‎9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。‎ 每年中考都考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不同的方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。‎ 应试对策 ‎ ‎1、要掌握基本知识和基本技能；‎ ‎2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；‎ ‎3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力；‎ ‎4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标，‎ ‎5.在坐标系描述物体的位置。‎ ‎ 6.感受图形变化后的坐标的变化 一、图形的相似与位似 ‎【回顾与思考】‎ ‎ ‎ ‎【例题经典】‎ 辨别图形相似与位似 例1．下列说法中不正确的是（ ）‎ ‎ A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;‎ ‎ C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;‎ ‎ D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误．‎ 会用定义判定相似多边形 例2．在AB=‎20m，AD=‎30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．‎ ‎ （1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．‎ ‎（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．‎ 点评：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．‎ 例3．（2006年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥‎ PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．‎ ‎ （1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；‎ ‎（2）已知：MN=‎20m，MD=‎8m，PN=‎24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．‎ ‎ 点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线．‎ 二、相似三角形（1）‎ ‎【回顾与思考】‎ ‎ 相似三角形 ‎【例题经典】‎ 会判定两三角形相似 例1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．‎ ‎ （1）填空：∠ABC=______，BC=_______．‎ ‎（2）判定△ABC与△DEF是否相似？‎ 点评：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．‎ 例2．如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ‎∽△ABC．‎ 点评：结合判定方法补充条件．‎ 例3．（2006年德州市）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．‎ ‎ （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．‎ 点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．‎ 三、相似三角形（2）‎ ‎【回顾与思考】‎ ‎【例题经典】‎ 相似三角形性质的应用 例1．（2006年深圳市）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为‎1米，继续往前走‎2米到达E处时，测得影子EF的长为‎2米，已知王华的身高是‎1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）‎ A．‎4.5米 B．‎6米 C．‎7.2米 D．‎‎8米 ‎【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．‎ 例2．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=‎120mm，高AD=‎80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？‎ ‎【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．‎ 图形的放大与缩小 例3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：‎3.5cm×‎3.5cm，放映的荧屏的规格为‎2m×‎2m，若放映机的光源距胶片‎20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？‎ 解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．‎ 点评：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．‎ 例题精讲 ‎ 图9‎ 图8‎ 例1.三角形的两条边长分别为‎3cm和‎4cm，第三边的长度量数是奇数，那么这个三角 是形的周长 （ ）B A、‎8cm或‎10cm B、‎10cm或‎12cm ‎ C、‎12cm或‎14cm D、‎‎12cm 答案：B 例2.如图8，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别 为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中 的等腰三角形有 （ ）C A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 答案：C 例3.已知：如图9，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四 个条件中： ① ∠ACP=∠B ② ∠APC=∠ACB ‎ ‎③ AC2=AP·AB ④ AB·CP=AP·CB，能满足△APC和 ‎△ACB相似的条件是 （ ）D A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③‎ 答案：D 例4.如图7，在正方形网格上有6个三角形 ‎△ABC，② △BCD，③ △BDE，‎ ‎④ △BFG，⑤ △FGH，⑥ △EFK，其中 ‎②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）B A、②③④ B、③④⑤‎ C、④⑤⑥ D、②③⑥‎ 答案：B ‎ 图7‎ 例5.如图，在．△ABC中，AC>AB，点D在AC边上(点D不与A、C重合)，若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是 ‎ 答案：∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC AD/AB=AB/AC 例6.如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．‎ 答案：/5或2/5‎ 例7. 如图3，在△ABC中，如果AB=‎30cm，BC=‎24cm，‎ CA=‎27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，‎ 图中阴影部分的三个三角形周长的和为 cm；‎ 答案：81；‎ 例8.在△ABC中AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相 交所得的锐角为50°，则底角B的大小为 。‎ 答案：70°或20°‎ 例9. 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边三角形ADB，连结DC，‎ 以DC为边作等边三角形DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求：BE的值。‎ ‎ ‎ ‎. 解：∵∠ADC=60°－∠BDC，∠BDE=60°－∠BDC，‎ ‎∴∠ADC=∠BDE，‎ 再由AD=BD，CD=ED，∴△ADC≌△BDE ‎∴AC=BE，在等腰三角形ABC中，AB=，∴AC=1，即BE=1‎ 例10. 如图，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交 于F， 请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。‎ 解：△ACE≌△BCD；证明过程如下：‎ ‎∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形 ‎∴AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD ‎∴△ACE≌△BCD 例 11. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB 证明：连结AF AD=AE DF=EF △ADF≌△AEF ‎ AF=AF ‎∠ADC = ∠AEB AD=AE △ADC≌△AEB ‎∠DAC = ∠EAB ‎ 例12. 如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE；‎ 求证：△PQR是等腰三角形 证明：∵ BF=CE ∴ BC=EF 又∵ ∠B=∠E，AB=DE ∴ △ABC≌△DEF ‎∴ ∠ACB=∠DEF 又∵ QR∥BE ∴ ∠ACB=∠Q，∠DFE=∠R ‎∴ ∠Q=∠R ∴ △PQR是等腰三角形 例13. 如图，在△ABC中，∠A=90°P为AC边的中点，PD⊥BC，D为垂足；‎ ‎ ‎ 求证：BD2－CD2 = AB2‎ 证明：连结BP，在Rt△BPD中，BD2= BP2－PD2 ①‎ 在Rt△CDP中，CD2= PC2－PD2 ② ‎ 由①－② 得： BD2－CD2 = BP2－PC2‎ ‎ ∵ AP=PC ∴ BD2－CD2 = BP2－AP2‎ 又∵ ∠A=90° ∴ 在Rt△ABP中，AB2= BP2－AP2‎ ‎∴ BD2－CD2= AB2‎ 例14. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E为DC中点，直线BE交AC于F，交AD的延长 线于G；求证：EF·BG=BF·EG 证明：∵ AB∥DC ∴ △EFC∽△BFA，△GDE∽△GAB ‎∴ EF/BF = EC/AB， EG/BG = DE/AB 又∵ DE = EC ∴ EC/AB = DE/AB ‎∴ EF/BF = EG/BG 即EF·BG = BF·EG