2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十单元 相似形 第32课时 相似形

2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十单元 相似形 第32课时 相似形

第十单元 相似形 第32课时　相似形 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题5分，共30分)‎ ‎1．丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥，比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为‎1.04 m，则大桥的实际长度约是 (D)‎ A．‎104 m B．1 ‎‎040 m C．5 ‎200 m D．‎‎520 m ‎【解析】　设大桥的实际长度为x，依题意，‎ 得1∶500＝1.04∶x；‎ 得x＝1.04×500＝520(m)．‎ 图32－1‎ ‎2．[2016·南京]如图32－1，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是 (C)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 图32－2‎ ‎3．[2016·永州]如图32－2，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (D)‎ A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝ ‎【解析】　在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当＝时，才能使△ADB∽△ABC，不是＝.故答案选D.‎ ‎4．[2017·河北]在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：‎ 甲：将边长为3，4，5的三角形按图32－3①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．‎ 7‎ ‎　　‎ ‎① ②‎ 图32－3‎ 乙：将邻边为3和5的矩形按图32－3②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距为1，则新矩形与原矩形相似．‎ 对于两人的观点，下列说法正确的是 (C)‎ A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 图32－4‎ ‎5．如图32－4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是 (B)‎ A．m＝5 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝10‎ ‎【解析】　∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，‎ 又∵E是AB的中点，∴2EB＝AB＝CD，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得m＝4.‎ ‎∴m的值为4.‎ 图32－5‎ ‎6．[2016·武威]如图32－5，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为 (D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，‎ ‎∴BE∶EC＝1∶3，‎ ‎∴BE∶BC＝1∶4，‎ ‎∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，△BED∽△BCA，‎ 7‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴S△DOE∶S△AOC＝＝.‎ 二、填空题(每题5分，共20分)‎ ‎7．[2016·东莞]若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是__4∶9__．‎ ‎8．[2016·金华]如图32－6，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是__5__.‎ 图32－6‎ ‎9．[2016·梅州]如图32－7，△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是__AF＝AC 或∠AFE＝∠ABC__．(写出一个即可)‎ 图32－7‎ ‎【解析】　分两种情况：‎ ‎①∵△AEF∽△ABC，‎ ‎∴AE∶AB＝AF∶AC，‎ 即1∶2＝AF∶AC，‎ ‎∴AF＝AC；‎ ‎②∵△AEF∽△ACB，‎ ‎∴∠AFE＝∠ABC.‎ ‎∴要使以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝AC或∠AFE＝∠ABC.‎ ‎10．[2016·泰州]如图32－8，△ABC中，D为BC上一点，‎ ‎∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为__5__．‎ ‎【解析】　∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，‎ 图32－8‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AB＝6，BD＝4，‎ 7‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝9，‎ ‎∴CD＝BC－BD＝9－4＝5.‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11．(10分)[2016·泰安]如图32－9，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.‎ ‎(1)求证：AC·CD＝CP·BP；‎ ‎(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．‎ 图32－9‎ 解：(1)证明：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C.‎ ‎∵∠APD＝∠B，‎ ‎∴∠APD＝∠B＝∠C.‎ ‎∵∠APC＝∠BAP＋∠B，‎ ‎∠APC＝∠APD＋∠DPC，‎ ‎∴∠BAP＝∠DPC，‎ ‎∴△ABP∽△PCD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB·CD＝PC·BP.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AC·CD＝CP·BP；‎ ‎(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.‎ ‎∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.‎ ‎∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BAP∽△BCA，‎ ‎∴＝.‎ 7‎ ‎∵AB＝10，BC＝12，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BP＝.‎ 图32－10‎ ‎12．(10分)[2016·滨州]如图32－10，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：‎ ‎(1)△ACE≌△BCD；‎ ‎ (2)＝.‎ 证明：(1)∵△ABC与△DCE都为等边三角形，‎ ‎∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，‎ 在△ACE和△BCD中，‎ ‎∴△ACE≌△BCD(SAS)；‎ ‎(2)∵△ACE≌△BCD，‎ ‎∴∠BDC＝∠AEC，‎ 在△GCD和△FCE中，‎ ‎∴△GCD≌△FCE(ASA)，‎ ‎∴CG＝CF，‎ ‎∴△CFG为等边三角形，‎ ‎∴∠CGF＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴GF∥CE，‎ ‎∴＝.‎ ‎(20分)‎ 图32－11‎ ‎13．(10分)如图32－11，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC 7‎ ‎＝∠ADE.‎ ‎(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；‎ ‎(2)请分别说明两对三角形相似的理由．‎ ‎【解析】　由两个角对应相等得两三角形相似，关键是得到∠BAC＝∠DAE.‎ 解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；‎ ‎(2)∵∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，‎ 即∠BAC＝∠DAE.‎ 又∵∠ABC＝∠ADE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE.‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠BAD＝∠CAE，‎ ‎∴△ABD∽△ACE.　　　　‎ 图32－12‎ ‎14．(10分)[2017·资阳]如图32－12，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连结AD.‎ ‎(1)求证：△CDE∽△CAD；‎ ‎(2)若AB＝2，AC＝2，求AE的长．‎ 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠ABD＋∠BAD＝90°.‎ 又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.‎ ‎∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，‎ ‎∴∠CAD＝∠CDE，‎ 又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；‎ ‎(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，‎ ‎∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2)2＝OC2，‎ ‎∴OC＝3，则CD＝2.又∵△CDE∽△CAD，得＝，即＝，‎ ‎∴CE＝，‎ 7‎ ‎∴AE＝AC－CE＝2－＝.‎ ‎(10分)‎ ‎15．(10分)[2016·巴中]如图32－13，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.‎ ‎(1)求证：直线CD为⊙O的切线；‎ 图32－13‎ ‎(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．‎ 解：(1)证明：如答图，连结CO，∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同，∴∠ABC＝∠AEC.‎ 又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC.‎ ‎∵OC＝OB，OD⊥BC，‎ ‎∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°.‎ 第15题答图 ‎∴∠ODC＋∠COD＝90°.∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，即OC⊥CD.‎ 又OC为半径，∴直线CD为⊙O的切线；‎ ‎(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，‎ ‎∴BF＝CF＝BC＝2.‎ 又OB＝AB＝，∴OF＝＝.‎ 由(1)知∠OBF＝∠CDF，且∠OFB＝∠CFD，‎ ‎∴△OFB∽△CFD.‎ ‎∴＝，∴CD＝＝＝.‎ ‎∴线段CD的长为.‎ 7‎