八年级下数学课件2-2 利用对角线的关系判定平行四边形_湘教版

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八年级下数学课件2-2 利用对角线的关系判定平行四边形_湘教版

第2章 四边形 第2课时 利用对角线的关系判定平行四边形 第2章 四边形 2.2 平行四边形 1.结合平行四边形对角线的性质,从对角线互相平分的角度去 判定平行四边形,并能进行有关的证明与计算. 2.通过求平行四边形两组对角的数量关系,归纳出“两组对角 分别相等的四边形是平行四边形”这一判定方法,并能进行有 关的证明和计算. 3.回顾总结平行四边形的判定定理,能选择合适的方法判定平 行四边形. 目标一 理解并会应用“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 2.2 平行四边形 例1 教材例7针对训练 如图2-2-12,E,F是▱ ABCD的对角线 BD上的两点,且BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形. 图2-2-12 2.2 平行四边形 [解析] 连接AC,与BD相交于点O,发现▱ ABCD与四边形AECF有一条公共 对角线AC,而AC与BD互相平分,若能证明AC与EF也互相平分,则问题得 证.而要证明AC与EF互相平分,即证明OA=OC,OE=OF,而OA=OC可由 ▱ ABCD的性质得到,即只需证OE=OF. 证明:连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF, 即OB+OE=OF+OD, ∴OE=OF. 又∵OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形. 2.2 平行四边形 2.2 平行四边形 【归纳总结】 当已知条件与所证四边形的对角线相关时,可利 用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明一个四边 形是平行四边形. 目标二 理解并会应用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形” 2.2 平行四边形 例2 教材补充例题 下列给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C, ∠D的度数之比,其中能说明四边形ABCD为平行四边形的是(   ) A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶4 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2 C [解析] C 由“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”,可知C正确. 2.2 平行四边形 【归纳总结】 平行四边形的两组对角分别相等,反之,利用一 个四边形两组对角分别相等这一关系也可以证明一个四边形是 平行四边形. 2.2 平行四边形 目标三 能选择合适的方法判定平行四边形 例3 教材补充例题 如图2-2-13,四边形ABCD是平行四边形, E,F是对角线AC上的两点,∠1=∠2. 求证:(1)AE=CF; (2)四边形EBFD是平行四边形. 图2-2-13 [解析] (1)通过证明△CBF≌△ADE得到AE=CF;或利用平行四边形对角 线的性质,连接BD交AC于点O,证明△DOE≌△BOF,从而得出AE=CF. (2)根据平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形证得结论;或利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形;或利 用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明. 2.2 平行四边形 证明:(1)(法一)如图①.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,AD∥CB,∴∠3=∠4. ∵∠1=∠3+∠5,∠2=∠4+∠6,∠1=∠2,∴∠5=∠6, ∴△ADE≌△CBF,∴AE =CF. (法二)如图②,连接BD交AC于点O. 在▱ ABCD中,OA=OC,OB=OD. ∵∠1=∠2,∠7=∠8,∴△DOE≌△BOF, ∴OE=OF, ∴OA-OE =OC-OF,即AE=CF. 2.2 平行四边形 (2)(法一)如图①, ∵∠1=∠2,∴DE∥BF. 由(1)得△ADE≌△CBF, ∴DE=BF,∴四边形EBFD是平行四边形. (法二)如图①,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC,∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF, ∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF. 由(1)得△ADE≌△CBF,∴DE=BF, ∴四边形EBFD是平行四边形. 2.2 平行四边形 (法三)如图②,连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD. ∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 又∵OB=OD,∴四边形EBFD是平行四边形. 2.2 平行四边形 2.2 平行四边形 【归纳总结】 平行四边形的判定 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)证另一组对边也 相等 (2)证这组对边平行 一组对边平行 (1)证另一组对边也平 行 (2)证这组对边相等 一组对角相等 证另一组对角也相等 知识点一 平行四边形的判定定理3 小结 2.2 平行四边形 __________________的四边形是平行四边形.对角线互相平分 知识点二 平行四边形的判定方法 2.2 平行四边形 判定一个四边形是平行四边形有四种方法:①两组对边分别 ________的四边形是平行四边形(定义法);②一组对边 ________且________的四边形是平行四边形(判定定理1);③ 两组对边分别________的四边形是平行四边形(判定定理2); ④对角线互相________的四边形是平行四边形(判定定理3). 平行 平行 平分 相等 相等 [说明] 两组对角分别相等的四边形也是平行四边形. 知识点三 平行四边形的性质与判定的比较 2.2 平行四边形 性质 判定  平行四边形的两组对 边分别平行  两组对边分别平行的四边形是平 行四边形(定义)  一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形(判定定理1)  平行四边形的两组对 边分别相等  两组对边分别相等的四边形是平 行四边形(判定定理2)  平行四边形的两组对 角分别相等  两组对角分别相等的四边形是平 行四边形  平行四边形的对角线 互相平分  对角线互相平分的四边形是平行 四边形(判定定理3) 反思 2.2 平行四边形 如图2-2-14,AB,CD相交于点O,AC∥DB,OA=OB,E,F分 别为OC,OD的中点,连接AF,BE.求证:AF∥BE.请你判断下面 的证明是否有错误,如果有错误,请说明理由,并写出正确的 证明过程. 证明:连接AE,BF.∵OC=OD, E,F分别为OC,OD的中点,∴OE=OF. 又∵OA=OB, ∴四边形AFBE是平行四边形,∴AF∥BE. 图2-2-14 2.2 平行四边形
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