8上导学案北师大版数学《第七章平行线的证明》

8上导学案北师大版数学《第七章平行线的证明》

第七章 平行线的证明 ‎7.1为什么要证明 一、 问题引入 ‎1、实验、观察、归纳得到的结论 正确．（用“可能”或“一定”填空）‎ ‎2、要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察、归纳是不够的，必须有根 有据的_________．‎ 二、基础训练 ‎1、下图中三条直线a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下．‎ a b c d ‎2、下列说法,正确的是 ( )‎ A．清远市今天天晴，明天必然还是晴天. B．三个连续整数的积一定能被6整除.‎ C．小丽连续三天上学迟到,明天她一定还会迟到. D．相等的角是对顶角. ‎ ‎3、质数：除了 外，没有其他约数的数叫做质数.‎ 三、例题展示 例1、（1）代数式的值是质数吗？取n =0，1，2，3，4，5试一试．‎ ‎（2）你能否由此得到结论：对于所有自然数n，的值都是质数？（先猜测，后验证）‎ 答：（1）猜测结果为 。‎ ‎ 验证如下： 当n=0时，. 当n=1时， ；‎ 当n=2时， ； 当n=3时， ；‎ 当n=4时， ； 当n=5时， .‎ ‎（2）猜测结果为 .‎ ‎ 验证如下：（特例）：当n=11时， .‎ 判断：猜测的结果与验证的结果 .‎ ‎ ‎ 16‎ 例2、把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（提示：可设地球周长为C）‎ 四、 课堂检测 ‎1、下列说法正确的是（ ）‎ A．经验、观察、归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，一定是质数 D．数学家也会有失误的时候 ‎2、当n为正整数时，的值一定是质数吗？‎ ‎3、如图A、B、C、D、E、F六个人坐在圆桌的周围，已知E与C间间隔1人且此人在C的左边，D坐在A的对面，B与F相隔1人，且此人在F的左边，F与A不相邻。试问A、B、C、D、E、F各坐在什么位置？‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7.2定义与命题（一）‎ 一、 问题引入 ‎1、定义是指对 的含义加以描述，作出明确的规定．‎ ‎2、判断一件事情的句子，叫做命题.命题都由________和_______两部分组成，已知的事项是________，由已知事项推断出的事项是________．‎ ‎3、命题可分为_______命题和_____命题，其中正确的命题称为______命题，错误的命题称为_______命题．‎ ‎4、说明一个命题是假命题时，常举出一个与之条件相同，结论却不同的例子，这个例子称之为_________．‎ 二、基础训练 ‎1、下列命题中，属于定义的是( )‎ A．两点确定一条直线 B．同角或等角的余角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 ‎2、下列语句中是命题的是（ ）‎ ‎ A．这个问题对吗？ B．对顶角相等 C．美丽的天空 D．画一条线段 ‎3、写出下列命题的条件和结论:‎ ‎ (1) 如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等;‎ ‎ (2) 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.‎ ‎4、下列说法中，正确的是（ ）‎ A．相等的角是对顶角； B．假命题不是命题；‎ C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可；‎ D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可.‎ 三、例题展示 例1、下面的语句中，哪些是命题?‎ （1） 任何一个三角形一定有一个角是直角；‎ （2） 对顶角相等；‎ （3） 动物都需要水；‎ （4） 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；‎ 16‎ （1） 你喜欢数学吗？‎ （2） 作线段AB=CD．‎ 例2、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.‎ ‎(1)直角三角形的两锐角相等;‎ ‎(2)同角或等角的余角相等;‎ 例3、指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是真命题？哪些命题是假命题你是如何判断的？‎ ‎（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；‎ ‎（2）如果，那么；‎ ‎（3）全等三角形的面积相等；‎ ‎(4)如果室外气温低于0，那么地面上的水一定会结冰．‎ 四、课堂检测 ‎1、下列语句中不是命题的是（ ）‎ ‎ A．延长线段AB; B．自然数也是整数 C．两个锐角的和一定是直角; D．同角的余角相等 ‎2、把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．‎ ‎（1）绝对值相等的两个数一定相等；‎ ‎（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎3、下列命题中，是假命题的是（ ）‎ A．互补的两个角不能都是锐角 B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．乘积为1的两个数互为倒数 D．全等三角形的对应角相等，对应边相等.‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7.2定义与命题（二）‎ 一、 问题引入 ‎1、 称为公理;‎ ‎2、演绎推理的过程称为 ;‎ ‎3、经过 的 称为定理;‎ ‎4、符号“∵”读作 ；符号“ ”读作“所以”．‎ 二、基础训练 ‎1、已知∠2是∠1的余角, ∠3是∠1的补角,若∠1=60，则∠2 = ，∠3 = ．‎ ‎2、下列命题中，属于公理的有（ ）‎ A．同角的补角相等. B．邻补角的平分线互相垂直.‎ C．两点之间，线段最短. D．直角三角形的两个锐角互余.‎ ‎3、某工程队，在修建广清高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ）‎ A．两点确定一条直线； ‎ ‎ B．同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；‎ C．两点之间线段最短； ‎ ‎ D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.‎ ‎4、命题“同角的余角相等”是( )‎ A．角的定义 B．假命题 C．公理 D．定理 三、例题展示 例1、 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．‎ 求证：∠AOC=∠BOD．‎ A C B D O ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 16‎ 例2、请你完成定理“同角(等角)的余角相等”的证明．‎ 四、 课堂检测 ‎1、下列说法中，错误的是 ( ) ‎ A.所有的定义都是命题 B.所有的定理都是命题 ‎ C.所有的公理都是命题 D.所有的命题都是定理 ‎2、在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是 ( ) ‎ A.公理、定理 B.定义、公理、定理 ‎ C.公理、定理、题设(已知条件) D.定义、公理、定理、题设(已知条件) ‎ ‎3、请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明．‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7.3平行线的判定 一、 问题引入 ‎1、公理: 相等，两直线平行；‎ ‎2、定理: 相等，两直线平行；‎ ‎ 互补，两直线平行；‎ 二、基础训练 ‎1、 如图1所示，①是 角；它们是由直线 和直线 被直 线 所截得的；②是 角；它们是由直线 和直线 被直线 所截得的；③是 角；它们是由直线 和直线 被直线 所截得的；④图中同位角共有 对；内错角共有 对；同旁内角共有 对．‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ A D C F E 图2‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ 图`1‎ ‎ ‎ ‎2、如图：∵∠1=∠2 ∴_______∥_______( )‎ ‎ ∵∠2=∠3 ∴____∥_______( )‎ ‎3、两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定两直线平行的是（ ）‎ A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角相等 D．同旁内角互补 ‎ 三、例题展示 例1、已知: 如图, ∠1和∠2是直线a ，b被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.‎ 求证: a∥b.‎ c a b ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 16‎ 例2、已知: 如图, ∠1和∠2是直线a ，b被直线 c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.‎ C a b ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 求证: a∥b.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四、课堂检测 ‎1、已知，如图3，下列条件中不能判定直线∥的是（ ）‎ A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°‎ 图3‎ 图4‎ ‎2、如图4，可以得到DE∥BC的条件是( )‎ A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° ‎ C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD ‎3、如图，已知，直线BC与DF平行吗？为什么？‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7．4平行线的性质 一、 问题引入 ‎1、两直线平行， 相等； ‎ 两直线平行， 相等；‎ 两直线平行， 互补；‎ ‎2、平行于同一条直线的两条直线 ．‎ 二、基础训练 ‎1、如图1，AB∥CD，则下列结论成立的是( )‎ A．∠A + ∠C=180° B．∠A + ∠B=180° ‎ C．∠B + ∠C=180° D．∠B + ∠D=180°‎ 图1‎ A B C D 图2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、如图2,直线a∥b,∠1=60°,则∠2=( ) ‎ ‎ A.60° B.120° C.150° D.100°‎ ‎3、已知：如右图，∠ADE=60°，∠B=60°，∠C=80°.求∠ AED的度数？ ‎ 解：∵ ∠ADE=∠B=60° （已知）‎ ‎∴ DE//BC（ ）‎ ‎∴ ∠AED=∠C=80° ( ) ‎ 三、 例题展示 例1、证明：两直线平行，内错角相等.‎ 已知：如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.‎ 求证：∠1=∠2.‎ 16‎ 例2、已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.‎ 求证：∠1+∠2=180°.‎ 四、课堂检测 ‎1、下列命题的结论不成立的是( )‎ ‎ A.两直线平行,同位角相等； B.两直线平行,内错角相等毛毛 ‎ C.两直线平行,同旁内角互补； D.两直线平行,同旁内角相等 ‎2、如图1,DE∥BC,∠A=60°,∠B=75°,则∠AED=( )‎ ‎ A.45° B.30° C.75° D.80°‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎3、如图2,在△ABC中,DE∥BC,∠EDC=40°,∠ECD=45°,则∠ACB=________.‎ 4、 已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5(选做题)如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并从所得的四个关系中任选一个加以说明，证明所探究的结论的正确性.‎ ‎ ‎ 结论（1）____________________________；（2）____________________________；‎ ‎（3）____________________________；（4）____________________________；‎ 选择结论________，说明理由是什么. ‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7.5三角形内角和定理（一）‎ A C B 一、 问题引入 ‎1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .‎ 符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝ .‎ 二、基础训练 ‎1、关于三角形内角的叙述错误的是( ) ‎ ‎ A.三角形三个内角的和是180°； B.三角形两个内角的和一定大于60°‎ ‎ C.三角形中至少有一个角不小于60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长 ‎2、△ABC中，若∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=________，∠C=________． ‎ ‎3、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是 三角形.‎ ‎4、如图，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，‎ ‎∠B=50°，∠CFD=60°，则∠ACB=________．‎ 三、例题展示 A C B 例1、已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°‎ 例2、已知，如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．‎ 16‎ 四、课堂检测 ‎1、下列叙述正确的是( )‎ ‎ A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；‎ ‎ B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；‎ ‎ C.三角形中至少有两个锐角；‎ ‎ D.三角形中至少有一个锐角.‎ ‎2、△ABC中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC是( )‎ ‎ A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形 ‎3、在△ABC中,∠A - ∠B=35°,∠C=55°,则∠B等于( )‎ ‎ A.50° B.55° C.45° D.40°‎ ‎4、已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，∠1=50°，∠2=80°．求∠C的度数．‎ ‎5（选做题）如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．‎ ‎ ‎ 16‎ 第七章 平行线的证明 ‎7.5三角形内角和定理（二）‎ 一、问题引入 ‎1、△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的 . ‎ ‎2、三角形的一个外角等于 的两个内角的和. ‎ ‎3、三角形的一个外角大于 的内角.‎ ‎4、由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的 .‎ ‎5、推论 当作定理使用. （用“可以”或“不可以”填空）‎ 二、基础训练 ‎1、以下命题中正确的是（ ）‎ ‎ A.三角形的三个内角与三个外角的和为540° B.三角形的外角大于它的内角； C.三角形的外角都比锐角大  D. 三角形中的内角中没有小于60°的 ‎2、如图1，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于(　　)．‎ ‎ ‎ A．100°　　　　　　B．120° C．130° D．150°‎ 图1‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎3、如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．‎ 三、例题展示 例1、已知: 如图,在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证: AD∥BC.‎ D A E B C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 16‎ 例2、已知: 如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.求证:∠BPC>∠A.‎ B A C P ‎ ‎ ‎　　　　　　　‎ ‎ ‎ 四、 课堂检测 ‎1、以下命题中正确的是（ ）‎ ‎ A.三角形的两个内角的和等于第三个角的外角 B.三角形的外角大于内角； ‎ ‎ C.三角形的外角等于两个内角的和  D. 三角形每一个内角都只有一个外角 ‎2、在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是120°、150°，则∠C=（ ）‎ A.120° B.150° C.90° D.60°‎ ‎3、如右图，∠A、∠BEC和∠DOE的大小关系是( )‎ A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A ‎4、如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数.‎ ‎5、（选做题）如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A=40°，求∠D的度数.‎ ‎ ‎ 16‎ 第七章《平行线的证明》单元检测 一、选择题(每题5分,共20分)‎ ‎1、下列句子中,是命题的是( )‎ ‎ A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连接A、B两点 D.正数大于负数 ‎2、“两条直线相交，有且只有一个交点”的条件是(　　 )．‎ A．两条直线 B．交点 C．两条直线相交 D．只有一个交点 ‎3、如图1，AB∥CD，∠A + ∠E=75°，则∠C为（　　）‎ ‎ A．60° B．65° C．75° D．80°‎ 图2‎ 图1‎ ‎4、如图2，E、F分别是AB、AC上的点，G是BC的延长线上一点，且∠B=∠DCG=∠D，则下列判断错误的是( )‎ A．∠ADF=∠DCG B．∠A=∠BCF ‎ C．∠AEF=∠EBC D．∠BEF+∠EFC=‎ 二、填空题(每空5分,共45分)‎ ‎1、工程队在修建广清高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，这根据 公理缩短了路程.‎ 图3‎ ‎3、如图3，已知AB∥CD，∠1=65°，∠2=45°，则∠ADC=________．‎ ‎2、补充理由:如图4所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？‎ 解：EF∥GH,理由如下 ‎∵∠1+∠2=180°（ ）‎ 图4‎ ‎ ∴AB∥_______（ ）‎ ‎ 又∵∠1=∠3（ ）‎ ‎ ∴∠2+∠________=180°（ ）‎ ‎∴EF∥GH（ ）‎ 16‎ 三、解答题(第1题11分,第2、3题各12分，共35分)‎ ‎1、如图，已知，试问a与b平行吗？说说你的理由。‎ ‎2、已知：如图，∠1=∠B，∠A=32°．求：∠2的度数．‎ ‎3、已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 35°，求∠BDC的度数．‎ 16‎