数学冀教版八年级上册教案14-1平方根（1）

数学冀教版八年级上册教案14-1平方根（1）

- 1 - 14.1 平方根（1） 教学目标 【知识与能力】 1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根. 2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根. 3.知道±√a 表示的是非负数 a 的平方根. 【过程与方法】 在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系. 【情感态度价值观】 1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系. 2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感. 教学重难点 【教学重点】 平方根、算术平方根的概念及求法. 【教学难点】 有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这 五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为 100 m2 的正方形花圃.花圃周围要用护栏 围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节 课我们就要学习开平方运算和平方根. [设计意图] 新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问 题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情 感态度与价值观等多方面得到进步和发展. 导入二: 小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非 常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁 的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”. - 2 - 几秒之后提问:同学们,你们知道吗? [设计意图] 设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于 100 的数是多少. 随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学 生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题. 导入三: 玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加 了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做 作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多 放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购 置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为 100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗? 如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为 125 dm2 的正方形桌子”.爸爸能为她购 置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运 算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题. [设计意图] 好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中 体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中. 二、新知构建： 活动一:做一做——感知平方根 [过渡语] 通过导入一我们知道当护栏的边长是 10 m 时,正方形花圃的面积是 100 m2, 也就是 102=100.下面我们再来看几个问题. 思路一 【课件 1】 1. 3 5 和- 3 5 的平方等于多少?10 和-10 的平方等于多少? 2.平方等于 9 25 的数有哪些?平方等于 100 的数呢? 3.满足 x2=25 的 x 的值是多少? 解:1. 9 25 ,100. 2. 3 5 ,- 3 5 ,10,-10. 3.5,-5. 教师说明:因为 52=25,所以 x=5;又因为(-5)2=25,所以 5 或-5 的平方都等于 25. 因为 5 和-5 的平方都等于 25,我们把 5 和-5 叫做 25 的平方根. 归纳:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也 叫做 a 的二次方根. 例如:100 的平方根是 10 与-10.因为(±10)2=100,所以 10 与-10 都是 100 的平方根. 你能说出 49,144 的平方根吗? (49 的平方根是 7 和-7;144 的平方根是 12 和-12.) [设计意图] 使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平 方与开平方这种互逆关系. 【课件 2】 填写下表: x … -3 - 3 2 -1 0 1 3 2 3 … x2 … … 学生填完表格后,引导学生观察: (1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系? - 3 - (2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系? (3)0 有平方根吗?如果有,它是什么数? (4)负数有平方根吗? 学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出: (1)它们的平方相等. (2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数. (3)0 有一个平方根,是 0 本身. (4)负数没有平方根. 说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况. 教师指出:一个正数 a 的正的平方根,用符号“ ”表示,a 叫做被开方数.正数 a 的负的 平方根,用符号“- ”表示,这两个平方根合起来可以记作“± ”.根指数是 2 时,通常这 个 2 省略不写,如 记作 ,读作“根号 a”;± 记作± ,读作“正、负根号 a”. 【课件 3】 观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样 的关系. 教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算, 并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方. [设计意图] 理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算. 思路二 说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于 100,结合以前乘方的 知识,我们不难得出 102=100.所以护栏的边长是 10 m. 教师说明:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根, 也叫做 a 的二次方根. 因为 52=25,所以 5 是 25 的一个平方根. 说明:除 52=25 外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于 学生理解和接受平方根的概念. 问 1:25 的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是 25? 学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5 也是 25 的一个平方根. 问 2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗? (根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根) 【课件 4】 求 100 的平方根. 问 1:你能按照上述问题解决的方法求出 100 的平方根吗? 问 2:你能正确书写解题过程吗? - 4 - 解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100 的平方根为 10 或-10(也可以写成±10). 说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书 规范解题格式. 【课件 5】 试一试. (1)144 的平方根是什么? (2)0.0001 的平方根是什么? (3)0 的平方根是什么? 讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律? 总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数. 2.0 的平方根是 0. 由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候, 我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反 数. [设计意图] 进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学 生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主 体”的理念. 问 1:-4 有没有平方根?为什么? 学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数. 结论: 1.正数的平方根有两个,它们互为相反数. 2.0 的平方根只有一个,为 0. 3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.) 问 2:a 有没有平方根?为什么? 结合问 1:当 a≥0 时,a 有平方根;当 a<0 时,a 没有平方根. [设计意图] 引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学 语言的运用. 注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进 行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是 负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在 本节以后的教学中继续强化这两点. 说明:正数 a 的两个平方根记为± ,其中 a 叫做被开方数.如 4 的平方根为± 4 ,被开 方数是 4;0.01 的平方根为± 0 . 01 ,被开方数是 0.01. 活动二:例题讲解 [过渡语] 我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一 个正数的平方根. 【课件 6】 求下列各数的平方根. (1)81; (2) 36 121 ; (3)0.04. 指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根. 解:(1)因为(±9)2=81,所以 81 的平方根为±9,即± 81 =±9. (2)因为 ± 6 11 2 = 36 121 ,所以 36 121 的平方根为± 6 11 ,即± 36 121 =± 6 11 . (3)因为(±0.2)2=0.04,所以 0.04 的平方根为±0.2,即± 0 . 04 =±0.2. - 5 - 教师规范书写格式. 思考:± 表示什么意思,这里的 a 可取什么样的数呢? - - 1 又该怎样理解呢?这里的 x 又可取什么样的数呢? 学生讨论回答. 【课件 7】 (补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由. -64,0,(-4)2. 学生分组讨论,选派一名代表回答. 解:-64 没有平方根;0 的平方根是 0;(-4)2 的平方根是±4. [知识拓展] (1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方 一样,指的是一种运算,是求平方根的过程. (2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. (3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数 m 和指数 2,求幂,是平方 运算,即 m2=(?);②已知幂 a 和指数 2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a. [设计意图] 通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一 步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0 的平方根是 0. 三、课堂小结： 平 方 根 的定义 一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也 叫做 a 的二次方根. 表示方 法 当 a 为正数时,a 的平方根为± a . 平 方 根 的性质 (1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数. (2)0 只有一个平方根,是 0 本身. (3)负数没有平方根.