八年级数学上册同步练习题及答案
西南大学状元教育
12.1.1 平方根（第一课时）
◆随堂检测
1、若x2 = a ，则 叫 的平方根，如16的平方根是 ，的平方根是
2、表示 的平方根，表示12的
3、196的平方根有 个，它们的和为
4、下列说法是否正确？说明理由
（1）0没有平方根；
（2）—1的平方根是；
（3）64的平方根是8；
（4）5是25的平方根；
（5）
5、求下列各数的平方根
（1）100 （2） （3）1.21 （4）
◆典例分析
例 若与是同一个数的平方根，试确定m的值
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（ ）
A、49 B、441 C、7或21 D、49或441
2、的平方根是（ ）
A、4 B、2 C、-2 D、
二、填空
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3、若5x+4的平方根为，则x=
4、若m—4没有平方根，则|m—5|=
5、已知的平方根是，3a+b-1的平方根是，则a+2b的平方根是
三、解答题
6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解
（1） 求a的值 （2）的平方根
7、已知+∣x+y-2∣=0 求x-y的值
● 体验中考
1、（09河南）若实数x，y满足+=0，则代数式的值为
2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个
3、（08荆门）下列说法正确的是（ ）
A、64的平方根是8 B、-1 的平方根是
C、-8是64的平方根 D、没有平方根
12.1.1平方根（第二课时）
◆随堂检测
1、的算术平方根是 ；的算术平方根___ __
2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是
3、若有意义，则x的取值范围是 ，若a≥0，则 0
4、下列叙述错误的是（ ）
A、-4是16的平方根 B、17是的算术平方根
C、的算术平方根是 D、0.4的算术平方根是0.02
◆典例分析
例：已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足，求c的取值范围
分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围
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◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、若，则的平方根为（ ）
A、16 B、 C、 D、
2、的算术平方根是（ ）
A、4 B、 C、2 D、
二、填空
3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是
4、若+=0，则=
三、解答题
5、若a是的平方根，b是的算术平方根，求+2b的值
6、已知a为的整数部分，b-1是400的算术平方根，求的值
●体验中考
．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A． B． C． D．
2、（08年泰安市）的整数部分是 ；若a<
1）
④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）
单项式与多项式相乘随堂练习题
一、选择题
1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（ ）
A．-6x2-15x2-3x B．-6x3+15x2+3x
C．-6x3+15x2 D．-6x3+15x2-1
2．下列各题计算正确的是（ ）
A．（ab-1）（-4ab2）=-4a2b3-4ab2 B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2
C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2 D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x
3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（ ）
A．6x3y2+3x2y2-3xy3 B．6x3y2+3xy-3xy3
C．6x3y2+3x2y2-y2 D．6x3y+3x2y2
4．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（ ）
A．2xy-2yz B．-2yz C．xy-2yz D．2xy-xz
二、填空题
5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________．
6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________．
7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________．
三、解答题
8．计算：
①（x2y-2xy+y2）·（-4xy） ②-ab2·（3a2b-abc-1）
③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1）
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④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）
9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。
四、探究题
10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．
已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．
解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3
=x（x2+x-1）+x2+x-1+4
=0+0+4=4
如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值．
3. 多项式与多项式相乘
回 忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
概 括
这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用 ，再把 ．
例4计算：
（1） （x＋2）（x－3） （2） （3x－1）（2x＋1）．
例5计算：
（1） （x－3y）（x＋7y）； （2） （2x＋5y）（3x－2y）．
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练习
1. 计算：（1） （x＋5）（x－7）； （2） （x＋5y）（x－7y）
（3） （2m＋3n）（2m－3n）； （4） （2a＋3b）（2a＋3b）．
2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?
习题13.2
1. 计算：
（1） 5x·8x；（2） 11x·（－12x）；
（3） 2x·（－3x）；（4） （－8xy）·－(1/2x) ．
2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０块大石块，每块重约2.5×１０千克．请问： 胡夫金字塔总重约多少千克?
3. 计算：（1） －3x·（2x－x＋4）；（2） 5/2xy·(－xy＋4/5xy)．
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4. 化简：
（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x（x－1）＋2x（x－2x＋3）．
5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?
6. 计算：
（1） （x＋5）（x＋6）； （2） （3x＋4）（3x－4）；
（3） （2x＋1）（2x＋3）；（4） （9x＋4y）（9x－4y）．
13.5 因式分解（1）
一、基础训练
1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（ ）
A．-1-3x+4y B．1+3x-4y C．-1-3x-4y D．1-3x-4y
2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
3．下列用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c） D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）
4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2） B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b）
C．ma-mb+c=m（a-b）+c D．（a+b）2=a2+2ab+b2
5．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
A．（y-x）2=（x-y）2 B．-a-b=-（a+b）
C．（m-n）3=-（n-m）3 D．-m+n=-（m+n）
6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（ ）
A．-14 B．-6 C．6 D．4
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7．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________．
8．因式分解：
（1）3x2-6xy+x； （2）-25x+x3；
（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）； （4）（x-2）（x-4）+1．
二、能力训练
9．计算54×99+45×99+99=________．
10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______．
11．若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为（ ）
A． B．- C． D．-
12．若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求的值．
13．利用整式的乘法容易知道（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是：
如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢？用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解．
14．由一个边长为a的小正方形和两个长为a，宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．
15．说明817-299-913能被15整除．
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参考答案
1．D 点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）．
2．C 点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，字母指数找最低的．
3．C 点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2，D中括号内少项．
4．B 点拨：分解的式子必须是多项式，而A是单项式；分解的结果是几个整式乘积的形式，C、D不满足．
5．D 点拨：-m+n=-（m-n）．
6．C 点拨：因为（x-3）（x-2）=x2-5x+6，所以m=6．
7．（1）x（x+2）（x-2）；（2）axy（x+y）．
8．（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）；
（2）-25x+x3=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）；
（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）=9x2（a-b）-4y2（a-b）
=（a-b）（9x2-4y2）=（a-b）（3x+2y）（3x-2y）；
（4）（x-2）（x-4）+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3）2．
9．9900 点拨：54×99+45×99+99=99（54+45+1）=99×100=9900．
10．1 点拨：∵a2+b2+5=4a-2b，
∴a2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0，
所以a=2，b=-1，（a+b）2006=（2-1）2006=1．
11．A 点拨：因为x2-x+=（x-）2，所以k=．
12．解：m2+2mn+2n2-6n+9=0，
（m2+2mn+n2）+（n2-6n+9）=0，
（m+n）2+（n-3）2=0，
m=-n，n=3，
∴m=-3．
==-．
13．解：m3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n2（m-n）=（m-n）（m2+n2）．
14．a2+2ab=a（a+2b），a（a+b）+ab=a（a+2b），a（a+2b）-a（a+b）=ab，
a（a+2b）-2ab=a2，a（a+2b）-a2=2ab等．
点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来．
15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13
=328-327-326=326（32-3-1）=326×5
=325×3×5=325×15，
故817-279-913能被15整除．
13.5 因式分解（2）
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1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________．
2．把下列多项式进行因式分解
（1）9x2-6xy+3x； （2）-10x2y-5xy2+15xy； （3）a（m-n）-b（n-m）．
3．因式分解：
（1）16-m2； （2）（a+b）2-1； （3）a2-6a+9； （4）x2+2xy+2y2．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x-2）=x2-4 B．x2-2x+1=x（x-2）+1
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）
5．因式分解：
（1）3mx2+6mxy+3my2； （2）x4-18x2y2+81y4；
（3）a4-16； （4）4m2-3n（4m-3n）．
6．因式分解：
（1）（x+y）2-14（x+y）+49； （2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）．
7．用另一种方法解案例1中第（2）题．
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8．分解因式：
（1）4a2-b2+6a-3b； （2）x2-y2-z2-2yz．
9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式ac-bc+a2-ab的值．
参考答案
1．3a3b2
2．（1）原式=3x（3x-2y+1）；
（2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）；
（3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）．
点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号．
3．（1）16-m2=42-（m）2=（4+m）（4-m）；
（2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）；
（3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2；
（4）x2+2xy+y2=（x2+4xy+4y2）= [x2+2·x·2y+（2y）2]=（x+2y）2．
点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）符合完全平方公式的形式．
4．C 点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C．
5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2；
（2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2
=（x2-9y2）2=[x2-（3y）2] 2
=[（x+3y）（x-3y）]
=（x+3y）2（x-3y）2；
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（3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）；
（4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．
点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式．
6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2；
（2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；
（3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2
=（2m-3n）2．
7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2．
8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）；
（2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）．
9．∵a-b=3，b+c=-5，
∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a）=3×（-2）=-6．
因式分解方法研究系列
三、十字相乘法(关于的形式的因式分解)
1、因式分解以下各式：
1、； 2、； 3、； 4、
2、因式分解以下各式：
1、； 2、；
3、； 4、
2、因式分解以下各式：
1、； 2、； 3、； 4、
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3、挑战自我：
1、； 2、
数学当堂练习(1) 姓名
计算 (1) (-2a)2 (3ab2-5ab3) (2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)
(3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2
数学当堂练习(2) 姓名
计算 (1)(x-y) 3÷(y-x) 2=
(2) 3a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1) (3)5xy[4xy-6(xy-xy2)]
(4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x一2y)
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数学当堂练习(3) 姓名
计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4)
解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y 2-(3y-1)(y+3)-11
数学当堂练习(4) 姓名
计算 （1） （1-xy）(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a2+4)
(3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 6×5
数学当堂练习(5) 姓名
计算 (1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2
(3) (2x) 2- 3(2x+1) 2 (4) ( 2x+ y – 3) 2
(5)(m – 2n + 3)(m+2n +3)
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数学当堂练习(6) 姓名
计算 (1) (1+x+y)(1- x –y) (2) (3x- 2y +1) 2
（3）已知 (x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求 (1) ( x+y ) 2 (2) xy 值
（4）（x- 2）(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2 –x +1)(x+1)
数学当堂练习(7) 姓名
计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2
(3) (3s-2t)(9s2 +6st+4t2) (4) -21a2b3c÷7a2b2
(5) (28a4b2c-a2b3+14a2b2) ÷(-7a2b) (6)(x2y -xy2-2xy) ÷xy
数学当堂练习(8) 姓名
一． 计算 (1) (16x3-8x2 +4x) ÷(-2x) (2) (x2x3) 3÷(-x3) 4
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二 。因式分解 (1) 2x+4x (2) 5(a-2) – x(2-x)
(3) -12m2n+3mn2
18.1 勾股定理
1. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ）
A．c2=a2+b2 B．a2=（b+c）（b-c ） C．a2=c2-b2 D．b=a+c
知识点：勾股定理
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。
答案：B
详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c ）可变形为b2=a2+c2，所以选B
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。
答案：D
详细解答：A是错的，缺少直角条件；
B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；
C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2
D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.
2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 ( )
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A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm)
知识点：勾股定理的应用
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。
答案：C
详细解答：
如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。
在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。
2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm
答案：C
详细解答：
如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，
另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，
由题意可知两个方向互相垂直，
所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm
3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( )
A.1:1: B.1:1:2 C.1:: D.1:4:1
知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形
知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。
答案：A
详细解答：
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三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。
3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
答案：B
详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。
假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：：2。
4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（ ）
（A）15° （B）30° （C）45° （D）不能确定
知识点：勾股定理在数学中的应用
知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：C
详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。
4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′
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重合,如果AP=3,那么PP′长为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）
答案：D
详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，
所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，
在直角三角形APP′中，PP′2= AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=
5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）
A． B．- C．2 D．-2
知识点：认识长度为无理数的线段
知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段
答案：B
详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-
5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A
B
C
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答案：C
详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=
在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=
在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5
所以边长为无理数的边是：AB 和BC
B
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
知识点：两解问题
知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。
答案：D
详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。
6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
答案：C
详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42
若高AD在△ABC外部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32
所以选C.
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7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
（A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m
知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题
答案：C
详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。
7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( )
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
答案：B
详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，
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AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。
由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。
B
A
C
D
.
8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（ ）.
A．10 m B．11 m C．12 m D．15 m
知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题
知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。
答案：C
详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，
∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）
所以树高12 m 。
8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).
A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m
答案：A
详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是
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拉向岸边的竹竿，CD是水面，
由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m
9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（ ）
（A） （B）4 （C）6 （D）
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。
答案：A （2也行）
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度
详细解答：作AB边的高CD,如图，
在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，
那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；
在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，
那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=；
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)
9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（ ）。
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（A）20 （B）
（C） （D）16
答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。
详细解答：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=×4×-×2·=2-=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。
10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A. B. C. D.
知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用
知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。
答案：B
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详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。
因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，
又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),
在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42，
解得x=3
所以CD=
10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长( )．
（A）3cm （B）4cm
（C）5cm （D）6cm
答案：A
详细解答：
由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．
在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2
解得x＝3，即CE的长为3cm．
18.2 勾股定理的逆定理
1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于( )
A.2 B.2
C. D.
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：C
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详细解答：作BC边上的高AD,
△ ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=
在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=,所以CD=AD=，
利用勾股定理可得AC=。
1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，线段AB长为（ ）。
A.2 B.3
C.4 D.3
答案：C
分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。
详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。
在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。
在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。
因此AB=BD+CD=3+1=4，
小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形
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C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状
知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。
答案：D
详细解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得
∴ ∴或，
即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。
2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△ABC是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形
答案：C
详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b =0且a2-b2-c2=0 即且，
所以三角形的形状为等腰直角三角形。
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
知识点：勾股定理的逆定理
知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。
答案：C
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详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。
3．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，（为正整数，且），则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形.
答案：B
详细解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝
不是直角三角形。
△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b
知识点：互逆命题
知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。
答案：C
详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。
4．下列命题的逆命题成立的是（ ）
（A）若a=b，则 （B）全等三角形的周长相等
（C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，则ab=0
答案：C
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详细解答：（A）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b
（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。
（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。
5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，
离开港口2小时后，两船相距（ ）
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
知识点：勾股定理的实际应用题
知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。
答案：D
详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，
AC=32海里，AB=24海里，
根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，
所以BC=40（海里）
5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm
在Rt△ACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41,
在Rt△ADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2
=41+9=50,所以AD=
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6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
知识点：网格问题，勾股定理和逆定理
知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
答案：A
详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。
在Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，
在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，
在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，
所以，在△ABC中， AC2+AB2=13+52=65，
又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形
6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( )
A.25 B.12.5
C. 9 D.8.5
答案：B
详细解答：S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH
=5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.5
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7.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（ ）
A. 36 B. 25
C. 24 D. 30
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：A
分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.
详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
又∵ AD2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AD2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD
=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
7．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是( )。
A. 10 B.
C. D.
答案：B
详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝
所以＝＋＝9
所以AC＝3
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又因为，
所以
所以∠CAD＝90°
所以＝×2×＋×3×4＝
8.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
那么四边形ABCD的面积是( )。
A. 24 B. 36
C. 18 D. 20
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：C
详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；
在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，
3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=18
8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得( )。
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案：C
详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm
∴BD＝8cm
∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm
则有：
∴∠ADB＝90°
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∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm
根据勾股定理得：AC＝＝17 （cm）
9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD，△ABC是( )。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：A
详细解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
又∵CD2=AD·BD
∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
所以△ABC是直角三角形。
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（ ）．
A
A
C
东
南
B
A
C
C
P
B
A. 115° B. 125°
C. 135° D. 120°
答案：C
详细解答：如答图，
将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,
∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.
又∵PB2=1，BE2=9，
∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，
∴∠BPC=135°.
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10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝DC，判断△BEF为（ ）。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
答案：A
详细解答： 设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2
在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2
在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2
所以BE2＋EF2＝BF2
所以∠BEF＝90°
所以△BEF为直角三角形。
10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝。△ABC为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
答案：A
详细解答：
延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE
∵CD＝，DE＝CD
∴CE＝13
∵在△ADE和△BDC中
∴△ADE≌△BDC
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∴AE＝BC＝5
在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13
即，∴∠EAC＝90°
∵∠EAB＝∠CBA
∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90°
∴∠ACB＝90°
∴△ACB为直角三角形
第十八章 勾股定理
1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24
知识点：勾股定理的逆定理
知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。
答案:A
详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，
a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，
所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．
B． a2-b2=c2 即a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形．
C．a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2，所以a2 +c2= b2，这个三角形是直角三角形．
D． a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．
1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（ ）．
（A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4
答案:C
详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，
由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。
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其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。
2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（ ）
A、8 B、10
C、12 D、16
知识点：勾股定理在数学上的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。
答案:D
详细解答: 在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64，CD=8.
△ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=16
2、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（ ）
A、3 B、 C、4 D、5
答案: B（3也可）
详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，
由 A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道
AC=3, BC=3 ,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18
因此AB=
3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（ ）
A、10米 B、12米 C、15米 D、米
知识点：勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
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在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。
答案:D（10也可）
详细解答:根据题意画出如图所示的示意图，
由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,
在Rt△BCE中，CB=10米, ∠BCE=300, 那么BE=5米，
因为BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。
在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300，
所以CD=米.
24cm
32cm
3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长的木棒为( )
A. 20cm B. 50cm
C. 40cm D. 45cm
答案:C
详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，
由题意知在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=32 cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600，
所以AB=40 cm
4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．
A． B．3 C． D．
知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。
知识点的描述: 含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1：：2，应用它来解决问题方便快捷。
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答案:D
详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，
那么BC=,根据勾股定理求出AC=,
所以周长1++=
4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于( )
A．1∶1 B．1∶2
C．∶2 D．2∶
答案:D
详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,
∵ CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶
5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状( )。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。
知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。
答案:A
详细解答: ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，
利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。
5、△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（ ）
A、 等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形
答案:A
详细解答: ∵
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∴
∴
∴
∴
∴△ABC是等边三角形
6. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（ ）
Ａ.100 B.110 C.120 D. 150
知识点:对比值处理的一般方法。
知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。
答案:C
详细解答: ∵ △ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∵它的周长为60cm，∴5k +12k +13k =60，k=2，
∴△ABC的三边分别为a＝10 cm，b＝24 cm，c＝26 cm，
∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676，
∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．
∴它的面积是×10×24=120 （cm2）
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10
答案:D
详细解答: 斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k +12k +13k =60，解得k=2，
∴△ABC的三边分别为a＝10 ，b＝24 ，c＝26 。
7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S△ABC等于 ( )
A． B． C．或 D．或
知识点:多解问题
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知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。
答案:C
详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：
（1） 若高CD在△ABC的内部，如图
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3
在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1
∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=
（2） 若高CD在△ABC的外部，如图
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3
在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1
则S△ABC=AB×CD=（3-1）×=
∴S△ABC=或
7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为 ( )
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A．30° B．150° B．30°或150° D．60°或120°
答案:B
详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论：
（1） 若高BD在△ABC的内部，如图
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，
∴=，∴∠A＝30°
（2） 若高CD在△ABC的外部，如图
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，
∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°
∴三角形的顶角为 30°或150°
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。
知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。
答案:A
详细解答: Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2+b2=c2，又c=10cm，所以a2+b2=100
由已知a+b=14cm，得（a+b）2=196，即a2+b2+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48
则Rt△ABC的面积是ab=×48=24（cm2）
8．直角三角形中一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．132 C．100 D．不能确定
答案:B
详细解答:假设另一直角边为a，斜边为c，根据勾股定理得：c2=a2+112 ，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1
因为 c+a＞c-a
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，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。
9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域． A市是否会受到台风的影响？如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（ ）
Ａ. 8小时 B. 10小时
C. 12小时 D. A市不会受到台风影响
知识点：勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。
答案:C
详细解答:过A作AC⊥BF于C，则AC=AB=240<300，
∴A市会受到台风影响．
过A作AD=300km，交BF于点D．
∴DC==180（km），
∴该市受台风影响的时间为：=12小时．
A
B
小河
东
北
牧童
小屋
9．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
Ａ.15 km B.16 km
C.17 km D.18 km
答案:C
A
B
D
P
N
A′
M
详细解答: 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.
在Rt△A′DB中，A′D= AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），
由勾股定理求得A′B==17（km）
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10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（ ）
Ａ.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元
B. D点在距A点50米的地方，最低造价为300元
C. D点在距A点64米的地方，最低造价为480元
D. D点在距A点64米的地方，最低造价为400元
知识点：勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。
答案:C
详细解答: ∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，
那么根据勾股定理得AB=100米
当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价，
作AB边的高CD
∵CD·AB=AC·BC ∴CD===48（米）
∴AD==64（米）
∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.元 B.元 C.元 D.元
150°
20m
30m
答案:C
详细解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150° ∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，
∴AD=10 m，
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∴三角形空地的面积为BC·AD=×30m×10m
=150m2
∵ 这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少需要元
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．47 B．49
C．53 D．60
知识点：转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。
答案: B
详细解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°
∴AC=
在△ADC中，AD＝CD＝
∴AD2+DC2=（）2+（）2=100
又∵AC2=102=100
∴AD2+DC2=AC2
所以∠ADC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC=×8×6+··=24+25=49
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。
11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（ ）
A、4 B、6 C、8 D、
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答案:B
详细解答: ∵ AC=10，DC=2 ， ∴AD=8
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8， ∴BD=6
12．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）．
A． B．
C．1 D．
知识点:方程的思想
知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。
答案:B
详细解答: ∵ AD=2BD， ∴可设BD=k，AD=2k
Rt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC2-AD2=DC2；
Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC2-BD2=DC2，
∴AC2-AD2= BC2-BD2， 得方程52-（2k）2= 42-k2
解得k=，所以BD的长为。
12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A.56 B.48 C.40 D.32
答案:B
详细解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，
在Rt△ADC中， AD2+DC2=AC2
∵ AD＝8，CD＝x，AC=16-x
∴82+x2=（16-x） 2
解得x=6
三角形的面积为AD·BC=×8×12=48
13．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是( )
A.20cm; B.10cm;
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C.14cm; D.无法确定.
知识点：勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。
答案:B
详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图，
蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB，
由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝×2×2=6，∠C＝90°
∴AB=（cm）
13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能保持联系吗？（ ）
Ａ.能 B.不能
答案:A
分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．
O
A
B
详细解答:如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米，即OA=12（千米）．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，
走了5千米，即OB=5（千米）．
在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13（千米），
因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13，
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∴甲、乙两人还能保持联系．
14、如图，∠AOB=450，点P在∠AOB的内部， OP=2，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1P2的长（ ）。
A、 B、3 C、 D、2
知识点：勾股定理在数学上的应用
知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。
答案:C（也可）
详细解答: ∵P1与P关于OA对称， ∴OP1=OP=2 ，∠AOP=∠AOP1
∵P2与P关于OB对称，∴OP2=OP=2 ，∠BOP=∠BOP2
∵∠AOB=450， 即∠AOP+∠BOP=450，
∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP ）=2×450=900，
∴在Rt△P1OP2中， P1P22= OP12+ OP22=8
∴P1P2=
14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（ ）。
（A）100π-24 （B）25π-24
（C）100π-48 （D）25π-48
答案:B
详细解答: ∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10
则阴影面积为π×52-×6×8=25π-24
15．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（ ）
A．10 B．4 C． D．2
知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。
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知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。
答案:D（也可以）
详细解答:如图所示，不妨设中线AD=2，中线BE=5
假设AC=b，BC=a
在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2，即b2+（a）2=（2）2，
化简为4b2+a2=160，
在Rt△BEC中，BC2+EC2=BE2，即a2+（b）2=52，
化简为4a2+b2=100，
两式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100，即5（a2+ b2）=260，
所以a2+b2=52，根据勾股定理得AB==2
15、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（ ）。
A、 B、 C、 D、
答案:A
详细解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB=k，
又已知AB=1，所以k=，BC=，AC=
AB·CD=AC·BC得CD=
16、如图，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长为（ ）
A、 B、3
C、 D、
知识点:方程的思想和折叠问题
106
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知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。
答案:A
详细解答:连结AD， △ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么AB=5
∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD
假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x，
△ADC中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得x=
16．已知，如图长方形ABCD中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A
B
E
F
D
C
A. B.
C. D.
答案:A
详细解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x
在Rt△ABE中，32+x 2=（9-x）2，解得x=4
△ABE的面积为×3×4=6（cm2）
17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.（ ）
Ａ. cm B. cm C.53 cm D.42 cm
知识点:方程的思想
知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。
D
B
C
A
答案:B
详细解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB
又AC=AB=BD+AD=12+AD，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，
即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，
故 △ABC的周长为2AB+BC=cm
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17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（ ）
Ａ. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时
答案:A
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.
详细解答:设MN交AC于E，则∠BEC=900.
又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.
A
M
E
N
C
B
又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，
则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，
∴CE=.
÷13=≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ）
Q
C
P
A
B
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法
知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学知识和方法，设比值为k、方程的思想、勾股定理以及逆定理，还有代数中的一些变形技巧都可能用到，要综合利用。
答案:A
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详细解答:在△ABP与△CBQ中，
∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°
∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ
∴△ABP≌△CBQ ∴AP＝CQ
由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a
连结PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°
∴△PBQ为等边三角形 ∴PQ＝4a
于是在△PQC中，
∴△PQC是直角三角形
18.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC，
Q是AB边上的一个点,, △PCQ是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
答案:A
详细解答:设AP=x，则PD=8－x，PC=x， ，解得 x=5
在Rt△APQ中， QP2=AP2+AQ2=52+=,
在Rt△CBQ中，CQ2=BQ2+BC2=+82=,
∵QP2+PC2=+52== CQ2 ∴
所以△PCQ是直角三角形
15.1.1图形的平移
◆随堂检测
1、下列几种运动属于平移的是（ ）
（1）水平运输带上的砖的运动；（2）啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动；（3）升降机上下做机械运动；（4）足球场上足球的运动
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A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
2、下列图形中，由原图平移得到的图形是（ ）
原图 A． B． C． D．
3、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A． B． C ． D．
４、如图所示，△ABC平移后成为△EFB,下列说法正确的个数有：（ ）
A
ED
C
B
F
①线段ＡＣ的对应线段是ＢＥ；②点Ｂ的对应点是点Ｃ；③点Ｂ的对应点是点Ｆ；④平移的距离是线段ＣＦ的长度。
Ａ１个 Ｂ２个 Ｃ３个 Ｄ４个
5、卷帘门上有A、B两点，（B点在A点下方）当A点向上移1m,那么B点向 移动了
m。
６、如图，经过平移圆心点O平移到了点，你能作出平移后的圆吗？
O
◆ 典例分析
平移后得到△DEF，如图所示，若∠A=80O,∠E=60O,你知道∠C的度数吗？说明理由。
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A
B
C
D
O
F
E
◆课下作业
●拓展提高
1、火车在笔直的铁路上开动，火车头以100千米/时的速度前进了半小时，则车尾走的路程是（ ）
A、100千米 B、50千米 C、200千米 D、无法计算
2、将线段AB平移1cm,得到的线段是A/B/,则A到点A/的距离是 。
3、如图所示，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中有两个小等边三角形，其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到，则平移的方向是 ，平移的距离为 。
A
B
C
ED
F
ＤD
4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到，你能作出△ABC吗？
D
E F
5、如图所示，长方形ABCD，对角线AC,BD相交于O,DE∥AC,CE∥BD,那么△EDC可以看作由 平移得到的，平移的距离是线段 的长度。
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●体验中考AAE
BA
CA
DA
E
OA
1、（2009年广东广州）将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
2、（2009年青海）如图，请借助直尺按要求画图：
（1）平移方格纸中左下角的图形，使点平移到点处．
（2）将点平移到点处，并画出将原图放大为两倍的图形．
P2
P3
P1
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15.1.2平移的特征
◆随堂检测
1、在下面的六幅图案中，平移（1）可得到（2）、（3）、（4）、（5）、（6）中的哪个图案？
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2、在下列说法中，①四边形在平移过程中，对应线段一定相等；②四边形在平移过程中，对应线段一定平行；③四边形在平移过程中，周长不变；④四边形在平移过程中，面积不变，、其中正确的是：（ ）
A、①②③ B、①②③④ C、②③④ D、①③④
3、平移不改变图形的 和 ，只改变图形的
4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 （填能或不能）通过平移与右手手印完全重合。
5、将线段AB向右平移3cm得到线段CD，如果AB=5 cm，则CD= cm.
6、将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG= °，BF= cm.
◆典例分析
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。
（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；
（2）若平移距离为x（ ），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。
●拓展提高
1、下图中，平移到了位置，下列结论不成立的是 ( )
A ． B ． C ． D．
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2、如图，△ABC沿着点A到A1的方向平移到△A1B1C1的位置，如果AB=5cm,BC=4cm,∠A=60O∠B=50O,则∠C1= ,B1C1= .
A
B
C
A1
B1
C1
3、 将面积为30cm2的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是 三角形，它的面积是 cm2.
4、如图，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O ，画出平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．
5、如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？
6、△ABC经过平移后得到△DEF,(1)指出平移的方向和距离；
（2）写出图中相等的线段和平行的线段(包括虚线)；
（3）写出图中相等的角。
F
A
B
C
D
E
●体验中考
1、（2009年，广东）将线段AB平移1cm，得到线段 的距离是
2．(2009年福建宁德)在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A． B． C ． D．
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15.2.1图形的旋转
◆随堂检测
1、如右图，甲图案可以看作是乙图案通过怎样变换而得到？（ ）
A．先按逆时针旋转90°再平移；
B．先按逆时针旋转90°再作轴对称图
C．先平移再作轴对称；
D．先平移再作逆时针旋转90°
2．将字母“T”按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ）
3、现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；
⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
4、如图，线段MO绕点O旋转900得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是 ，旋转角是 ，它等于 度.
（第4题） （第5题）
5、如图，长方形ABCD是长方形EFGD绕旋转中心________沿_______旋转______度得到的，对角线AC与EG的关系是________，理由是_________．
◆典例分析
如图，将△ABC绕点A旋转得到△AEF，指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。
分析:旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。
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◆课下作业
●拓展提高
1、如图1，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB，
连接PQ，则⊿PBQ的形状是（ ）
（A）等边三角形 （B）等腰三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
A
B
O
E
D
F
C
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠ AOF
3、如图，绕点O旋转450后得到，则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.△AOB的边OB的中点M的对应点在 .
4、图中的两个等腰三角形是全等的，且∠AOD=45°，OB=4㎝，OA=
1㎝．怎样将右边的三角形变为左边的三角形?
A
O
D
B
C
第4题
5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
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（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
A
M
E
D
C
B
D
6、如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？
C
A
B
E
F
●体验中考
1、（2009年，陕西）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角的大小可以是（ ）
A、30° B、45° C、60° D、90°
（第1题） （第2题）
2、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，如果∠A′DC=90°，那么∠A的度数是多少？
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15.2.2旋转的特征
◆随堂检测
1、你玩过万花筒吗？它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。下图是看到的万花筒的一个图形，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）
G
F
A．顺时针旋转600得到
E
A
B．顺时针旋转1200得到
D
C．逆时针旋转600得到
C
B
D．逆时针旋转1200得到
2、如图，在△ABC中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C1处，则C C1的长为（ ）
C1
B1
A．
A
B．4
C
B
C．
D．
3、如图所示，图形①经过 变化成图形②，图形②经过 变化成图形③。
图① 图② 图③
4、如图，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A= ，∠B= ,AB= ,
AC=
E
D
C
B
A
5、如图，△ABC中，∠ACB=1200，将它绕着点C旋转300 后得到△DCE，则∠ACE=
∠A+∠E=
E
D
C
B
A
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6、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点A′，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形．
◆典例分析
如图所示，△ACD和△BCE都是等边三角形，△DCB经过旋转后得到△ACE。
⑴指出旋转中心是哪一点？
⑵旋转了多少度？
⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗？
◆课下作业
●拓展提高
1、下列关于图形旋转特征的说法不正确的是（ ）
A.对应线段相等 B.对应角相等
C.图形的形状与大小都保持不变 D.旋转中心平移了一定的距离
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=∠BCD=,AH⊥BC于H,AH=5,则四边形ABCD的面积是（ ）
A.15 B．20 C．25 D．无法确定
H
D
C
B
A
3、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形A1B1C1D1，图中阴影部分的面积为（ ）
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A．C
B1
B
C1
A
B．
D
D1
C．1 - D．1 -
4、将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转400后得到△ADE(点B与点D是对应点)，则∠BAE的度数为_____.
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，求∠BDC的度数．
6、如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．试求∠APB的度数．（提示：可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△BP′C，连PP′，从而求出∠PP′C的度数）．
●体验中考
1、（2009年，泸州）如图l，P是正△ABC内的一点，若将△BCP绕点B旋转到△BAP’，则∠PBP’的度数是（ ）
A、45° B、60° C、90° D、120°
2、（2008年，长沙）如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。连结AE。
求证：⑴AE∥BC；
⑵图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。
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15.2.3旋转对称图形
◆随堂检测
1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转900,把圆分成四部分,则 ( )
A．这四部分不一定相等 B．这四部分相等
A
O
B．前一部分小于后一部分 D．不能确
（第1题） （第2题)
2、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
3、如图3所示的图形是旋转对称图形，它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的？
（第3题） (第4题) （第5题）
4、如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为
5、如上图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？
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◆典例分析
我们在生活中可以看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后重合，如下图所示，这四个图形都是旋转对称图形。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
请大家观察上面的图形，然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合？
◆课下作业
●拓展提高
1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、如图所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
A
B
C
D
（ （第2题） （第3题） （第4题）
3、如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，则旋转的角度为（ ）
A．45°或90° B．90°或180°
C．180°或270° D．n·45°（1≤n≤8，且n为正整数）
4、
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如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC，以图中的某个点为旋转中心，旋转△DBC与△ABC重合，则旋转中心为 （写出所有满足条件的点）。
5、如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！
6、已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF:
(1)相等吗？（2）△DCF能与△BCE重合吗？（3）BE与DF垂直吗？
F
E
D
C
B
A
●体验中考
1、（2009年，天津）如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．
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15.3中心对称
◆随堂检测
1、如图，不是中心对称图形的是 （ ）
2、给出下列图形：（1）角；（2）直角三角形；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）圆。其中为中心对称图形的是（ ）
A．（4）（5） B．（2）（3）(5) C．(3)(4) D.(1)(3)(4)(5)
3、在数字0至9中，哪些是中心对称图形 。
4、世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 。
一石激起千层浪 方向盘 铜钱
5、如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO＝ ，BO＝ ，CO＝ ，点A关于对称中心O的对称点是 ，点B关于对称中心O的对称点是 ，点C关于对称中心O的对称点是 ．
F
E
D
C
B
A
O
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6、若ΔABC和Δ关于点O成中心对称,那么ΔABC绕点O旋转 后能与Δ重合.
◆典例分析
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
◆课下作业
●拓展提高
1、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ）
A．N B．A Ｃ．M D．E
2、下列说法错误的是 ( )
A．中心对称图形一定是旋转对称图形
B．轴对称图形不一定是中心对称图形
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。
D．旋转对称图形一定是中心对称图形。
3、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( )．
(A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上
4、．已知点O是 ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有 对,它们分别是 .
5、如图, ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则AB CD(填位置关系),与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD BC(填位置关系)．
D
C
B
O
A
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6、如图，在正方形网格上有一个△ABC．
（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
●体验中考
1、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
2、（2009年山东济宁）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
15.4图形的全等
◆随堂检测
1、下列命题正确的是：（ ）
A．形状相同的两个图形叫做全等形
B．大小相同的两个多边形叫做全等多边形
C．“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点，点B与点F是对应点，点C与点E是对应点
D．全等三角形是能够完全重合的两个三角形
2、判断如图（1）（2）（3）所示的两个图形是不是全等图形。
（1）
（2）
（3）
106
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3、如图，如果所画的两个三角形是全等的，那么可以写成________≌________．
4、下列8个图形中的全等图形：
5．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．
◆典例分析
已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列说法正确的是：( )
A．全等图形的面积一定相等
B．面积相等的两个多边形一定全等
C．轴对称的两图形一定全等，全等的两个图形一定关于某条直线对称
106
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D．面积相等的两个圆不一定全等
2、如图，≌，则对于结论①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、（2009年广东省清远市）如图，若，且，则= ．
A
B
C
C1
A1
B1
4．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？
5、如图所示，△ABD≌△ACE,且E在BD上，CE交AB于F,若∠CAB=20O,求∠DEF的度数。
A
D
E
B
C
6、如图，△ABC与△DCB全等，写出它们的对应边和对应角，你认为图中还有没有全等的三角形？如果有，请你把它们写出来。
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A
D
B
C
E
●体验中考
1.（2009年海南省）已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）
A.72° B.60° C.58° D.50°
C
A
B
2.（2009山西省太原市）如图，，=30°，则的度数为（ ）
A．20° B．30°
C．35° D．40°
16.1.1 平行四边形的性质
◆随堂检测
1、ABCD的周长为40cm， ABC的周长为25cm，则AC得长为（ ）
A．5cm B．6cm C．15cm D．16cm
2、平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
3、如图，在 ABCD 中，∠ACB=∠B=50°，则∠ACD = ．
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4、在 ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD= ．
5、在 ABCD中，AD边与BC边的长度之和恰好是边AB与CD边长之和的2倍，又知AB=3，求该平行四边形的周长．
◆典例分析
如图，在 ABCD中，∠A+∠C =160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．
◆课下作业
●拓展提高
1、如图所示，在 ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点O，则该图中的平行四边形的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2、如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于 （ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
3、如图，在 ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，
∠E+∠F等于 （ ）
A．110° B．30° C．50° D．70°
第4题
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4、如图，等腰三角形ABC的一腰AB=4cm，过底边BC上的任一点D作两腰的平行线，分别交两腰与E、F，则平行四边形AEDF的周长是 .
5、如图，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= .
6、如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD=8，AB=10，BD=6，求BC、CD及此平行四边形的面积.
●体验中考
1、（2009年山东省东营市）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
A
B
C
D
E
2、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图，ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： ．
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A
B
C
E
D
F
参考答案：
◆随堂检测
1、A．平行四边形的周长为40cm，所以AB+BC=20cm，所以AC=25-20=5cm.
2、A．平行四边形的性质.
3、80° 根据三角形内角和为180°可得.
4、40° 平行四边形的性质.
5、18 在 ABCD中，CD=AB=3，AD+BC=(3+3)×2=12，AB+BC+CD+DA=3+3+2=18.
◆课下作业
●拓展提高
1、C. 平行四边形的性质.
2、A．在 ABCD中，BC∥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵∠EAF=60°，∴∠FAD=30°，
在Rt△ADF中，∠D=90°-∠FAD=60°=∠B.
3、D．由∠B=110°可得∠ADC=∠B=110°，∴∠EDF=∠ADC=110°，∴∠E+∠F=70°.
4、8cm 在 AEDF中，DE∥AF，∠BDE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，同理FD=FC，∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm.
5、3 易求AE=AB=4，DE=DF=3.
6、解：在 ABCD中，BC=AD=8，CD=AB=10，∵，
∴AD⊥BD，=AD·DB=48.
●体验中考
1、A. 平行四边形的性质.
2、
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16.1.2 平行四边形的性质
◆随堂检测
1、已知O是 ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=12cm，则△BOC的周长
是_______．
2、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，
那么 OBC的周长等于 mm.
第4题
3、若一个平行四边形的一条边长为10cm，一条对角线长为16cm，则另一条对角线长a的取值范围为 .
4、如图，AF∥BG，AB∥CD，CE⊥BG，FG⊥BG，则下列说法错误的是（ ）
A．AB=CD B．点C到直线BG的距离就是线段CE的长
C．EC=FG D．直线AF与直线BG的距离就是线段CD的长
◆典例分析
如图所示，已知 ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求 ABCD的面积．
◆课下作业
●拓展提高
1、已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以其中的两条线段为平行四边形的对角线，剩下的一条为平行四边形的一边，可以画出 个平行四边形.
2、已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么 ABCD的面积
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为_______．
3、在 ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）．
A. AB=4，AD=4 B. AB=4，AD=7
C. AB=9，AD=2 D. AB=6，AD=2
4、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）．
A.8cm和14cm B.10cm和14cm
C.18cm和20cm D.10cm和34cm
5、平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )
A. 6
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