2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷
2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A.5，11，12 B.2，3，4 C.4，6，7 D.3，4，5
2. 下列说法不正确的是（ ）
A.0.04的平方根是士0.2 B.−9是81的一个平方根
C.9的立方根是3 D.−3−27=3
3. 一组数据3，1，4，2，−1，则这组数据的极差是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
4. 点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A.(5, −3) B.(−5, 3) C.(3, −5) D.(−3, 5)
5. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列各点中，在函数y＝2x−1的图象上的点是（ ）
A.(l, 3) B.(2.5, 4) C.(−2.5, −4) D.(0, 1)
7. 下列各式中正确的是（ ）
A.81=±9 B.449=4×49=83
C.32+42=32+42=3+4 D.(3.14−π)0＝1
8. 某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
3
5
6
7
9
人数
1
3
2
2
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A.5，6，6.2 B.2，6，6 C.5，5，6 D.5，6，5
9. 若x=2y=1 是关于x、y的方程组ax+by=2bx+ay=7 的解，则a+b的值为（ ）
A.3 B.−3 C.2 D.−2
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠A＝35∘，以C为旋转中心，将∠ABC旋转到△A′B′C的位置，点B在斜边A′B′上，则∠BDC为（ ）
A.70∘ B.90∘ C.100∘ D.105∘
11. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
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C. D.
12. 如图，AB＝AC，∠CAB＝90∘，∠ADC＝45∘，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（ ）
A.3 B.11 C.23 D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
计算8−18的结果是________．
如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P(3, 5)，则方程组y=x+by=kx+6 的解是________．
在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝15，BC:AC＝3:4，则BC＝________．
如图，平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为(2, 0)、(0, 1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为________．
如图，在直角坐标系中，已知点A(−34, 0)、B(0, 1)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、三角形（2）、三角形（3）、三角形（4）……则三角形(2020)的直角顶点的横坐标为________．
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线y＝kx−3(k>0)，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围是________．
三、解答题（本大题共9小题，共50分）
（1）计算：23+27−13．
（2）解方程组3x+4y=6x+2y=0 ．
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△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A1，点B1、C1分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A1B1C1（不写画法）；
（2）将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90∘，画出旋转后的△A2B2C1（不写画法）
已知直线l1:y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2:y＝−2x+b经过点B且与x轴交于点C．
（1）b＝________；（答案直接填写在答题卡的横线上）
（2）画出直线l2的图象；
（3）求△ABC的面积．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．
（1）求PD的长度；
（2）连结PC，求PC的长度．
现在要从甲、乙两名学生中选择一名学生去参加比赛，因甲乙两人的5次测试总成绩相同，所以根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表进行分析．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
70
80
100
60
乙成绩
70
90
90
a
70
请同学们完成下列问题：
（1）a＝________，x¯=________；
（2）请在图中完成表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S甲2＝200，请你计算乙的方差；
（4）可看出________将被选中参加比赛．（第1问和第4问答案可直接填写在答题卡的横线上）
某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48
求：
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
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甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为________；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
如图1，直角三角形ABC中，∠C＝90∘，CB＝1，∠BAC＝30∘．
（1）求AB、AC的长；
（2）如图2，将AB绕点A顺时针旋转60∘得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60∘得到线段AD．
①连接CE，BD．求证：BD＝EC；
②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．
如图，A(−2, 2)、AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，C(−2, 1)为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC＝∠EDC；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值．
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参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】
A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确．
2.
【答案】
C
【考点】
平方根
立方根的性质
【解析】
依据平方根、算术平方根、立方根的性质解答即可．
【解答】
A、0.04的平方根是±0.2，选项A正确，故不符合题意；
B、−9是81的一个平方根，选项B正确，故不符合题意；
C、9的算术平方根是3，选项C错误，故符合题意；
D、−3−27=3，选项D正确，故不符合题意．
3.
【答案】
A
【考点】
极差
【解析】
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【解答】
这组数据的极差＝4−(−1)＝5．
4.
【答案】
D
【考点】
点的坐标
【解析】
首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【解答】
∵ 点P位于第二象限，
∴ 点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵ 点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴ 点的坐标为(−3, 5)．
5.
【答案】
C
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】
A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
6.
【答案】
B
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
分别代入各点的横坐标求出y值，与该点纵坐标比较后即可得出结论．
【解答】
当x＝1时，y＝2x−1＝3；
当x＝2.5时，y＝2x−1＝4；
当x＝−2.5时，y＝2x−1＝−6；
当x＝0时，y＝2x−1＝−1．
7.
【答案】
D
【考点】
零指数幂
实数的运算
【解析】
本题涉及零指数幂、二次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】
B、449=409=2103，故选项错误（1）C、32+42=25=5，故选项错误（2）D、(3.14−π)0＝1，故选项正确．
故选：D．
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8.
【答案】
A
【考点】
加权平均数
中位数
众数
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】
在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5次；
处于中间位置的两个数的平均数是(6+6)÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6次．
平均数是：(3+15+12+14+18)÷10＝6.2（次），
所以答案为：5、6、6.2，
9.
【答案】
A
【考点】
二元一次方程组的解
【解析】
把x、y值代入方程组得到关于a和b的方程组，然后①+②即可求解a+b的值．
【解答】
把x=2y=1 代入方程组ax+by=2bx+ay=7 中，
得到2a+b=2a+2b=7 ，
①+②，得3a+3b＝9，
所以a+b＝3．
10.
【答案】
D
【考点】
旋转的性质
直角三角形的性质
【解析】
利用三角形内角和定理得出∠ABC＝55∘，再利用旋转的性质结合等腰三角形的性质得出∠CB′B＝∠B′BC，进而求出答案．
【解答】
∵ ∠ACB＝90∘，∠A＝35∘，
∴ ∠ABC＝55∘，
∵ 以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C′的位置，
∴ ∠B′＝∠CBA＝55∘，BC＝B′C，
∴ ∠CB′B＝∠B′BC＝55∘，
∴ ∠A′BD＝180∘−55∘−55∘＝70∘，
∴ ∠BDC＝∠A′+∠A′BD＝35∘+70∘＝105∘．
11.
【答案】
D
【考点】
一次函数的应用
一次函数的图象
三角形三边关系
等腰三角形的性质
【解析】
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可．
【解答】
解：由题意得，2x+y＝10，
所以，y＝−2x+10，
由三角形的三边关系得，2x>−2x+10①x−(−2x+10)
2.5，
解不等式②的，x<5，
所以，不等式组的解集是2.50)，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则这三个点是(1, −1)，(1, −2)，(2, −1)，因此此时的k的取值范围应介于直线l1和直线l2的两个k值之间．
【解答】
如图：直线y＝kx−3(k>0)，一定过点(0, −3)，
把(3, 0)代入y＝kx−3得，k＝1；
把(3, −1)代入y＝kx−3得，k=23；
直线y＝kx−3(k>0)，与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围为23≤k<1，
三、解答题（本大题共9小题，共50分）
【答案】
原式＝23+33−33=53−33=1433；
3x+4y=6x+2y=0 ，
①−3×②得：y＝−3，
将y＝−3代入②中得：x＝6，
∴ 该方程组的解为x=6y=−3
【考点】
代入消元法解二元一次方程组
二次根式的加减混合运算
二元一次方程组的解
【解析】
（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案；
（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案；
【解答】
原式＝23+33−33=53−33=1433；
3x+4y=6x+2y=0 ，
①−3×②得：y＝−3，
将y＝−3代入②中得：x＝6，
∴ 该方程组的解为x=6y=−3
【答案】
如图，△A1B1C1为所作；
如图，△A2B2C1为所作．
【考点】
作图-旋转变换
【解析】
（1）利用点A和点A1的位置确定平移的方向和距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点A2、B2即可．
【解答】
如图，△A1B1C1为所作；
如图，△A2B2C1为所作．
【答案】
2
可知直线l2的解析式为y＝−2x+2．
当y＝0时，−2x+2＝0，
解得：x＝1，
∴ 点C的坐标为(1, 0)．
连接BC，则直线BC即为直线l2，如图所示．
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当y＝0时，12x+2＝0，
解得：x＝−4，
∴ 点A的坐标为(−4, 0)．
S△ABC=12AC⋅OB，
=12(OA+OC)⋅OB，
=12×(4+1)×2，
＝5．
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由直线l2经过点B，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出b值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，连接BC即可得出结论；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】
（1）当x＝0时，y=12x+2＝2，
∴ 点B的坐标为(0, 2)．
∵ 直线l2:y＝−2x+b经过点B，
∴ b＝2．
【答案】
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD=12AB＝2，
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠PAD=12∠BAC＝45∘，
∴ DP＝AD＝2；
作PF⊥AC于F，
∵ AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴ PF＝PD＝2，∠PAC＝45∘，
∴ AF＝PF＝2，
∴ FC＝AC−AF＝1，
在Rt△PFC中，PC=PF2+FC2=5．
【考点】
角平分线的性质
勾股定理
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可．
【解答】
∵ DE垂直平分AB，
∴ AD=12AB＝2，
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠PAD=12∠BAC＝45∘，
∴ DP＝AD＝2；
作PF⊥AC于F，
∵ AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴ PF＝PD＝2，∠PAC＝45∘，
∴ AF＝PF＝2，
∴ FC＝AC−AF＝1，
在Rt△PFC中，PC=PF2+FC2=5．
【答案】
80,80
根据图表给出的数据画图如下：
S乙2=15[(70−80)2+(90−80)2+(90−80)2+(80−80)2+(70−80)2]＝80．
乙
【考点】
方差
算术平均数
【解析】
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（1）根据甲乙两人的5次测试总成绩相同，求出a的值，再根据平均数的计算公式求出乙的平均数即可；
（2）根据求出的a的值，完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）根据方差公式直接解答即可；
（4）根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】
∵ 甲乙两人的5次测试总成绩相同，
∴ 90+70+80+100+60＝70+9090+a+70，
解得：a＝80，
x¯=15(70+90+90+80+70)＝80，
故答案为：80；80；
根据图表给出的数据画图如下：
S乙2=15[(70−80)2+(90−80)2+(90−80)2+(80−80)2+(70−80)2]＝80．
∵ S乙2<S甲2，
∴ 乙的成绩稳定，
∴ 乙将被选中参加比赛．
故答案为：乙．
【答案】
解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=500,25x+35y=14500,
解得：x=300,y=200.
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
(2)(35−25)×300+(48−35)×200=5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
【解析】
（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】
解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=500,25x+35y=14500,
解得：x=300,y=200.
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
(2)(35−25)×300+(48−35)×200=5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【答案】
y＝60x
设CD段函数解析式为y＝kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5)．
∵ C(2.5, 80)，D(4.5, 300)在其图象上，
2.5k+b=804.5k+b=300 ，解得k=110b=−195 ，
∴ CD段函数解析式：y＝110x−195(2.5≤x≤4.5)；
解方程组y=110x−195y=60x ，解得x=3.9y=234 ，
∴ 当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
80÷60=113，即点B的坐标(113, 0)，
∴ 轿车开始的速度为：80÷(2.5−113)=4807（千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150−80＝70>20，
由题意60x−4807(x−113)=20或60x−(110x−195)＝20或110x−195−60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
【考点】
一次函数的应用
【解析】
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；
（3）分三种情形列出方程即可解决问题．
【解答】
设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得
5k1＝300，
解得k1＝60，
∴ y＝60x，
即货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；
设CD段函数解析式为y＝kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5)．
∵ C(2.5, 80)，D(4.5, 300)在其图象上，
2.5k+b=804.5k+b=300 ，解得k=110b=−195 ，
∴ CD段函数解析式：y＝110x−195(2.5≤x≤4.5)；
解方程组
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y=110x−195y=60x ，解得x=3.9y=234 ，
∴ 当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
80÷60=113，即点B的坐标(113, 0)，
∴ 轿车开始的速度为：80÷(2.5−113)=4807（千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150−80＝70>20，
由题意60x−4807(x−113)=20或60x−(110x−195)＝20或110x−195−60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
【答案】
如图1，
在BA上取一点O，使BO＝BC，
在Rt△ABC中，∠BCA＝30∘，
∴ ∠B＝90∘−∠BCA＝60∘，
∴ △BCO是等边三角形，
∴ OC＝BO＝BC，∠BCO＝60∘，
∴ ∠ACO＝90∘−∠BCO＝90∘−60∘＝30∘＝∠CAB，
∴ OA＝OC＝BC，
∴ AB＝BO+OA＝2BC＝2，
（注：如果学习了“30度角所对的直角边是斜边的一半”这个性质，直接求出AB＝2），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=AB2−BC2=22−12=3；
①如图2，
连接BD，AE是由AB顺时针旋转60∘所得，
∴ AB＝AE，∠BAE＝60∘，
∴ ∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝90∘，
AD是由AC逆时针旋转60∘所得，
∴ AC＝AD，∠CAD＝60∘，
∴ ∠BAD＝∠CAB+∠CAD＝90∘＝∠EAC，
∴ △CAE≅△DAB(SAS)，
∴ BD＝CE；
过点D作DG⊥AE交EA的延长线于G，
由①知，∠CAE＝90∘，∠CAD＝60∘，
∴ ∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝150∘，
∴ ∠DAG＝30∘，
由（1）知，AC=3，由旋转知，AD＝AC=3，
在Rt△ADG中，∠DAG＝30∘，
借助（1）的结论得，AD＝2DG=3，
∴ DG=32，
根据勾股定理得，AG=AD2−DG2=32，
由①知，AE＝AB＝2，
∴ EG＝AE+AG＝2+32=72，
在R△DGE中，DE=DG2+EG2=(32)2+(72)2=13．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）先判得出△BCO是等边三角形，得出OC＝OB，∠BCO＝60∘，再判断出OC＝OA，进而得出AB＝2BC，最后用勾股定理求出AC，即可得出结论（也可以用30度角所对的直角边是斜边的一半直接求出AB）；
（2）①由旋转判断出AE＝AB，AD＝AC，∠CAE＝∠CAD＝60∘，进而得出∠CAE＝∠DAB，判断出△CAE≅△DAB，即可得出结论；
②先判断出∠DAG＝30∘，再借助（1）的结论求出DG，再用勾股定理求出AG，最后用勾股定理计算即可得出结论．
【解答】
如图1，
在BA上取一点O，使BO＝BC，
在Rt△ABC中，∠BCA＝30∘，
∴ ∠B＝90∘−∠BCA＝60∘，
∴ △BCO是等边三角形，
∴ OC＝BO＝BC，∠BCO＝60∘，
∴ ∠ACO＝90∘−∠BCO＝90∘−60∘＝30∘＝∠CAB，
∴ OA＝OC＝BC，
∴ AB＝BO+OA＝2BC＝2，
（注：如果学习了“30度角所对的直角边是斜边的一半”这个性质，直接求出AB＝2），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=AB2−BC2=22−12=3；
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①如图2，
连接BD，AE是由AB顺时针旋转60∘所得，
∴ AB＝AE，∠BAE＝60∘，
∴ ∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝90∘，
AD是由AC逆时针旋转60∘所得，
∴ AC＝AD，∠CAD＝60∘，
∴ ∠BAD＝∠CAB+∠CAD＝90∘＝∠EAC，
∴ △CAE≅△DAB(SAS)，
∴ BD＝CE；
过点D作DG⊥AE交EA的延长线于G，
由①知，∠CAE＝90∘，∠CAD＝60∘，
∴ ∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝150∘，
∴ ∠DAG＝30∘，
由（1）知，AC=3，由旋转知，AD＝AC=3，
在Rt△ADG中，∠DAG＝30∘，
借助（1）的结论得，AD＝2DG=3，
∴ DG=32，
根据勾股定理得，AG=AD2−DG2=32，
由①知，AE＝AB＝2，
∴ EG＝AE+AG＝2+32=72，
在R△DGE中，DE=DG2+EG2=(32)2+(72)2=13．
【答案】
∵ 四边形 ABOD 为正方形，A(−2, 2)、
∴ AB＝BO＝OD＝AD＝2，
∴ D(0, 2)，
∵ C 为 AB 的中点，
∴ BC＝1，
∴ C(−2, 1)，设直线 CD 解析式为 y＝kx+b(k≠0)，
则有b=2−2k+b=1 ，
解得k=12b=2
∴ 直线 CD 的函数关系式为 y=12x+2；
∵ C 是 AB 的中点，
∴ AC＝BC，
∵ 四边形 ABOD 是正方形，
∴ ∠A＝∠CBF＝90∘，
在△ACD 和△BCF 中∠A=∠CBFAC=BC∠ACD=∠BCF ，
∴ △ACD≅△BCF(ASA)，
∴ CF＝CD，
∵ CE⊥DF，
∴ CE 垂直平分 DF，
∴ DE＝FE，
∴ ∠EDC＝∠EFC，
∵ AD // BF，
∴ ∠EFC＝∠ADC，
∴ ∠ADC＝∠EDC；
由（2）可 BF＝AD＝2，且 BC＝1，
∵ ∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90∘，
∴ CF=5，
∴ FE2−CF2＝BE2+BC2，
∴ (2+BE)2−5＝BE2+1，
∴ BE=12
∴ OE＝OB−BE＝2−12=32
∴ E 点坐标为(−32, 0)；
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如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．
由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，
∴ PD＝PF，
∴ PB+PF＝PB+PD≥BD，
∴ PB+PF的最小值为BD的长，
∵ B(−2, 0)，D(0, 2)，
∴ BD＝22，
∴ PB+PF 的最小值为 22．
【考点】
一次函数的综合题
【解析】
（1）首先求出D、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质证明CD＝CF，由EC⊥DF推出ED＝EF，推出∠CDE＝∠EFD＝∠ADC即可；
（3）利用勾股定理列方程求出BE的长即可解决问题；
（4）如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，推出PD＝PF，因为PB+PF＝PB+PD≥BD，可得PB+PF的最小值为BD的长．
【解答】
∵ 四边形 ABOD 为正方形，A(−2, 2)、
∴ AB＝BO＝OD＝AD＝2，
∴ D(0, 2)，
∵ C 为 AB 的中点，
∴ BC＝1，
∴ C(−2, 1)，设直线 CD 解析式为 y＝kx+b(k≠0)，
则有b=2−2k+b=1 ，
解得k=12b=2
∴ 直线 CD 的函数关系式为 y=12x+2；
∵ C 是 AB 的中点，
∴ AC＝BC，
∵ 四边形 ABOD 是正方形，
∴ ∠A＝∠CBF＝90∘，
在△ACD 和△BCF 中∠A=∠CBFAC=BC∠ACD=∠BCF ，
∴ △ACD≅△BCF(ASA)，
∴ CF＝CD，
∵ CE⊥DF，
∴ CE 垂直平分 DF，
∴ DE＝FE，
∴ ∠EDC＝∠EFC，
∵ AD // BF，
∴ ∠EFC＝∠ADC，
∴ ∠ADC＝∠EDC；
由（2）可 BF＝AD＝2，且 BC＝1，
∵ ∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90∘，
∴ CF=5，
∴ FE2−CF2＝BE2+BC2，
∴ (2+BE)2−5＝BE2+1，
∴ BE=12
∴ OE＝OB−BE＝2−12=32
∴ E 点坐标为(−32, 0)；
如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．
由（2）可知点 D 与点 F 关于直线 CE 对称，
∴ PD＝PF，
∴ PB+PF＝PB+PD≥BD，
∴ PB+PF的最小值为BD的长，
∵ B(−2, 0)，D(0, 2)，
∴ BD＝22，
∴ PB+PF 的最小值为 22．
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