重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)14

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14.3.1 提公因式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.3 因式分解 八年级数学上(RJ) 教学课件 学习目标 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区 别和联系 . (重点) 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式 法分解因式 . (难点) 导入新课 问题引入 如图,一块菜地被分成三部分,你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗? a b c m 方法一: m ( a + b + c ) 方法二: ma + mb + mc m ( a + b + c )= ma + mb + mc 整式乘法 ? 1. 运用整式乘法法则或公式填空: (1) m ( a+b+c )= ; (2) ( x +1)( x -1)= ; (3) ( a+b ) 2 = . ma+mb+mc x 2 -1 a 2 +2 ab + b 2 讲授新课 因式分解 一 合作探究 2. 根据等式的性质填空: (1) ma+mb+mc =( )( ) (2) x 2 -1 =( )( ) (3) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 m a+b+c x+ 1 x- 1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一比,这些式子有什么共同点? 定义: 把 一个 多项式化为 几个 整式 的 乘积 的形式 , 像这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分解 ,也叫做把这个多项式 分解因式 . x 2 -1 ( x +1)( x -1) 因式分解 整式乘法 x 2 -1 = ( x +1)( x -1) 等式的特征:左边是 多项式 ,右边是 几个整式的乘积 想一想: 整式乘法与因式分解有什么关系? 是互为相反的变形, 即 典例精析 例 1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (    ) ① x 2 - y 2 - 1 = ( x + y )( x - y ) - 1 ; ② x 3 + x = x ( x 2 + 1) ; ③( x - y ) 2 = x 2 - 2 xy + y 2 ; ④ x 2 - 9 y 2 = ( x + 3 y )( x - 3 y ) . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 方法总结: 因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解的右边是两个或几个因式积的形式,整式乘法的右边是多项式的形式. 在下列等式中,从左到右的变形是因式分解的有 ,不是的,请说明为什么? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨: am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 -1=( x +1)( x -1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1+ ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式, 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa+ p b+ p c 用提公因式法分解因式 二 多项式中 各项 都含有的 相同因式 ,叫作这个多项式的 公因式 . 相同因式 p 问题 1 观察下列多项式,它们有什么共同特点? 合作探究 x 2 + x 相同因式 x 一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做 提公因式法 . ( a+b+c ) pa+ p b + p c p = 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式 . 系数:最大公约数 3 字母:相同的字母 x 所以公因式是 3 x 指数:相同字母的最低次数 1 问题 2 如何确定一个多项式的公因式? 正确找出多项式的公因式的步骤 : 3. 定指数 :相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数 . 1. 定系数 :公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 . 2. 定 字母 : 字母取多项式各项中都含有的相同的字母 . 找一找 : 下列各多项式的 公因式 是什么? 3 a a 2 2( m+n ) 3 mn -2 xy (1) 3 x +6 y (2) ab -2 ac (3) a 2 - a 3 (4)4 ( m+n ) 2 +2( m+n ) (5)9 m 2 n -6 mn (6)-6 x 2 y -8 xy 2 典例精析 (1) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c ; 例 2 把下列各式分解因式 分析: 提公因式法步骤( 分两步 ) 第一步 : 找出公因式; 第二步 : 提取公因式 ,即将多项式化为两个因式的乘积 . (2) 2 a ( b + c ) - 3( b + c ). 公因式 既可以是一个单项式的形式,也可以是一个多项式的形式 . 整体思想 是数学中一种重要而且常用的思想方法 . 解: ( 1 ) 8 a 3 b 2 + 12ab 3 c =4 ab 2 ·2 a 2 +4 ab 2 ·3 bc =4 ab 2 (2 a 2 +3 bc ) ; 如果提出公因式 4 ab , 另一个因式是否还有公式? 另一个因式将是 2 a 2 b +3 b 2 c , 它还有公因式是 b . ( 2 ) 2 a ( b + c )-3( b + c ) =( b + c )(2 a -3). 如何检查因式分解是否正确? 做整式乘法运算 . 因式分解: (1)3 a 3 c 2 + 12 ab 3 c ; (2)2 a ( b + c ) - 3( b + c ) ; (3)( a + b )( a - b ) - a - b . 针对训练 (3) 原式= ( a + b )( a - b - 1) . 解: (1) 原式= 3 ac ( a 2 c + 4 b 3 ) ; (2) 原式= (2 a - 3)( b + c ) ; 把 12 x 2 y +18 xy 2 分解因式 . 解:原式 =3 xy (4 x + 6 y ). 错误 公因式没有提尽,还可以提出公因式 2 注意: 公因式要 提尽 . 正解:原式 =6 xy (2 x +3 y ). 小明 的 解法 有误吗? 当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意: 某项提出莫漏 1 . 解:原式 = x (3 x -6 y ). 把 3 x 2 - 6 xy + x 分解因式 . 正确解:原式 =3 x·x -6 y·x +1· x = x (3 x -6 y +1) 小亮的 解法 有误吗? 提出负号时括号里的项没变号 错误 把 - x 2 + xy - xz 分解因式 . 解:原式 = - x ( x + y - z ). 注意: 首项有负常 提负 . 正确解:原式 = - ( x 2 - xy + xz ) =- x ( x - y + z ) 小华 的 解法 有误吗? 例 3 计算: (1)39×37 - 13×91 ; (2)29×20.16 + 72×20.16 + 13×20.16 - 20.16×14. (2) 原式= 20.16×(29 + 72 + 13 - 14) = 2016. = 13×20 = 260 ; 解: (1) 原式= 3×13×37 - 13×91 = 13×(3×37 - 91) 方法总结: 在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提取公因式的方法可使运算简便. 例 4 已知 a + b = 7 , ab = 4 ,求 a 2 b + ab 2 的值. ∴ 原式= ab ( a + b ) = 4×7 = 28. 解: ∵ a + b = 7 , ab = 4 , 方法总结: 含 a ± b , ab 的求值题,通常要将所求代数式进行因式分解,将其变形为能用 a ± b 和 ab 表示的式子,然后将 a ± b , ab 的值整体带入即可 . 1. 多项式15m 3 n 2 +5m 2 n-20m 2 n 3 的公因式是(  ) A.5mn B.5m 2 n 2 C.5m 2 n D .5mn 2 2. 把多项式( x +2 )( x -2 ) + ( x -2 )提取公因式( x -2 )后,余下的部分是(  ) A . x +1 B . 2 x C . x +2 D . x +3 3. 下列多项式的分解因式,正确的是(  ) A.12 xyz -9 x 2 y 2 =3 xyz (4-3 xyz ) B.3 a 2 y -3 ay +6 y =3 y ( a 2 - a +2) C.- x 2 + xy - xz =- x ( x 2 + y - z ) D. a 2 b +5 ab - b = b ( a 2 +5 a ) B 当堂练习 C D 4. 把下列各式分解因式: (1)8 m 2 n +2 mn=_____________ ; (2)12 xyz -9 x 2 y 2 =_____________ ; (3) p ( a 2 + b 2 )- q ( a 2 + b 2 ) =_____________ ; (4) - x 3 y 3 - x 2 y 2 - xy=_______________ ; 2 mn (4 m +1) 3 xy (4 z -3 xy ) ( a 2 + b 2 )( p - q ) - xy ( x 2 y 2 + xy +1) (5) ( x - y ) 2 + y ( y - x ) =_____________ . ( y - x )(2 y - x ) 5 . 若 9 a 2 ( x - y ) 2 - 3 a ( y - x ) 3 = M ·(3 a + x - y ) , 则 M 等于 _____________. 3 a ( x - y ) 2 6. 简便计算: (1) 1.99 2 +1.99×0.01 ; (2) 2013 2 +2013-2014 2 ; (3)( -2 ) 101 + ( -2 ) 100 . (2) 原式 = 2013 ( 2013+1 ) -2014 2 =2013×2014-2014 2 =2014× ( 2013-2014 ) =-2014. 解: (1) 原式 = 1.99 ( 1.99+0.01 ) =3.98; (3) 原式 = ( -2 ) 100 × ( -2+1 ) =2 100 × ( -1 ) =-2 100 . 解: (1)2 x 2 y + xy 2 = xy (2 x + y )=3 ×4=12. (2) 原式 = ( 2 x +1 )[( 2 x +1 )-( 2 x -1 )] = ( 2 x +1 )( 2 x +1-2 x +1 )=2( 2 x +1 ). 7.(1) 已知 : 2 x + y =4, xy =3, 求代数式 2 x 2 y + xy 2 的值 . (2) 化简求值: ( 2 x +1 ) 2 - ( 2 x +1 )( 2 x -1 ) ,其中 x = . 将 x= 代入上式,得 原式 =4. 8.△ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a + 2 ab = c + 2 bc ,请判断 △ ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形?并说明理由. 拓展提升 ∴△ ABC 是等腰三角形. 解:整理 a + 2 ab = c + 2 bc 得, a + 2 ab - c - 2 bc = 0 , ( a - c ) + 2 b ( a - c ) = 0 , ( a - c )(1 + 2 b ) = 0 , ∴ a - c = 0 或 1 + 2 b = 0 , 即 a = c 或 b =- 0.5( 舍去 ) , 课堂小结 因式 分解 定义 am+bm+mc=m ( a+b+c ) 方法 提公因式法 公式法 确定公因式的方法:三定,即定系数;定字母;定指数 分两步: 第一步找公因式;第二步提公因式 (下节课学习) 注意 1. 分解因式是一种恒等变形; 2. 公因式:要提尽; 3. 不要漏项; 4. 提负号,要注意变号
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