重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.3.1 提公因式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.3 因式分解 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区 别和联系 . （重点） 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式 法分解因式 . （难点） 导入新课 问题引入 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一： m ( a + b + c ) 方法二： ma + mb + mc m ( a + b + c )= ma + mb + mc 整式乘法 ? 1. 运用整式乘法法则或公式填空： (1) m ( a+b+c )= ； (2) ( x +1)( x -1)= ； (3) ( a+b ) 2 = . ma+mb+mc x 2 -1 a 2 +2 ab + b 2 讲授新课 因式分解 一 合作探究 2. 根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc =( )( ) (2) x 2 -1 =( )( ) (3) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 m a+b+c x+ 1 x- 1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 定义： 把 一个 多项式化为 几个 整式 的 乘积 的形式 , 像这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 . x 2 -1 ( x +1)( x -1) 因式分解 整式乘法 x 2 -1 = ( x +1)( x -1) 等式的特征：左边是 多项式 ，右边是 几个整式的乘积 想一想： 整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形， 即 典例精析 例 1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 ( 　　 ) ① x 2 － y 2 － 1 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) － 1 ； ② x 3 ＋ x ＝ x ( x 2 ＋ 1) ； ③( x － y ) 2 ＝ x 2 － 2 xy ＋ y 2 ； ④ x 2 － 9 y 2 ＝ ( x ＋ 3 y )( x － 3 y ) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 -1=( x +1)( x -1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1+ ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa+ p b+ p c 用提公因式法分解因式 二 多项式中 各项 都含有的 相同因式 ，叫作这个多项式的 公因式 . 相同因式 p 问题 1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ 合作探究 x 2 ＋ x 相同因式 x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提公因式法 . ( a+b+c ) pa+ p b + p c p = 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式 . 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是 3 x 指数：相同字母的最低次数 1 问题 2 如何确定一个多项式的公因式？ 正确找出多项式的公因式的步骤 ： 3. 定指数 ：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数 . 1. 定系数 ：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 . 2. 定 字母 ： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母 . 找一找 : 下列各多项式的 公因式 是什么？ 3 a a 2 2( m+n ) 3 mn -2 xy (1) 3 x +6 y (2) ab -2 ac (3) a 2 - a 3 (4)4 ( m+n ) 2 +2( m+n ) (5)9 m 2 n -6 mn (6)-6 x 2 y -8 xy 2 典例精析 (1) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c ； 例 2 把下列各式分解因式 分析： 提公因式法步骤（ 分两步 ） 第一步 : 找出公因式； 第二步 : 提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积 . (2) 2 a ( b + c ) - 3( b + c ). 公因式 既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 . 整体思想 是数学中一种重要而且常用的思想方法 . 解： （ 1 ） 8 a 3 b 2 + 12ab 3 c =4 ab 2 ·2 a 2 +4 ab 2 ·3 bc =4 ab 2 (2 a 2 +3 bc ) ； 如果提出公因式 4 ab , 另一个因式是否还有公式？ 另一个因式将是 2 a 2 b +3 b 2 c , 它还有公因式是 b . （ 2 ） 2 a ( b + c )-3( b + c ) =( b + c )(2 a -3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算 . 因式分解： (1)3 a 3 c 2 ＋ 12 ab 3 c ； (2)2 a ( b ＋ c ) － 3( b ＋ c ) ； (3)( a ＋ b )( a － b ) － a － b . 针对训练 (3) 原式＝ ( a ＋ b )( a － b － 1) ． 解： (1) 原式＝ 3 ac ( a 2 c ＋ 4 b 3 ) ； (2) 原式＝ (2 a － 3)( b ＋ c ) ； 把 12 x 2 y +18 xy 2 分解因式 . 解：原式 =3 xy (4 x + 6 y ). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意： 公因式要 提尽 . 正解：原式 =6 xy (2 x +3 y ). 小明 的 解法 有误吗？ 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意： 某项提出莫漏 1 . 解：原式 = x (3 x -6 y ). 把 3 x 2 - 6 xy + x 分解因式 . 正确解：原式 =3 x·x -6 y·x +1· x = x (3 x -6 y +1) 小亮的 解法 有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号 错误 把 - x 2 + xy - xz 分解因式 . 解：原式 = - x ( x + y - z ). 注意： 首项有负常 提负 . 正确解：原式 = - ( x 2 - xy + xz ) =- x ( x - y + z ) 小华 的 解法 有误吗？ 例 3 计算： (1)39×37 － 13×91 ； (2)29×20.16 ＋ 72×20.16 ＋ 13×20.16 － 20.16×14. (2) 原式＝ 20.16×(29 ＋ 72 ＋ 13 － 14) ＝ 2016. ＝ 13×20 ＝ 260 ； 解： (1) 原式＝ 3×13×37 － 13×91 ＝ 13×(3×37 － 91) 方法总结： 在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 例 4 已知 a ＋ b ＝ 7 ， ab ＝ 4 ，求 a 2 b ＋ ab 2 的值． ∴ 原式＝ ab ( a ＋ b ) ＝ 4×7 ＝ 28. 解： ∵ a ＋ b ＝ 7 ， ab ＝ 4 ， 方法总结： 含 a ± b ， ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a ± b 和 ab 表示的式子，然后将 a ± b ， ab 的值整体带入即可 . 1. 多项式15m 3 n 2 +5m 2 n-20m 2 n 3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m 2 n 2 C．5m 2 n D ．5mn 2 2. 把多项式（ x +2 ）（ x -2 ） + （ x -2 ）提取公因式（ x -2 ）后，余下的部分是（　　） A ． x +1 B ． 2 x C ． x +2 D ． x +3 3. 下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12 xyz -9 x 2 y 2 =3 xyz （4-3 xyz ） B．3 a 2 y -3 ay +6 y =3 y （ a 2 - a +2） C．- x 2 + xy - xz =- x （ x 2 + y - z ） D． a 2 b +5 ab - b = b （ a 2 +5 a ） B 当堂练习 C D 4. 把下列各式分解因式： (1)8 m 2 n +2 mn=_____________ ； (2)12 xyz -9 x 2 y 2 =_____________ ； (3) p ( a 2 + b 2 )- q ( a 2 + b 2 ) =_____________ ； (4) - x 3 y 3 - x 2 y 2 - xy=_______________ ； 2 mn (4 m +1) 3 xy (4 z -3 xy ) ( a 2 + b 2 )( p - q ) - xy ( x 2 y 2 + xy +1) (5) ( x - y ) 2 + y ( y - x ) =_____________ . ( y - x )(2 y - x ) 5 . 若 9 a 2 ( x － y ) 2 － 3 a ( y － x ) 3 ＝ M ·(3 a ＋ x － y ) ， 则 M 等于 _____________. 3 a ( x － y ) 2 6. 简便计算： (1) 1.99 2 +1.99×0.01 ; (2) 2013 2 +2013-2014 2 ; (3)( -2 ) 101 + ( -2 ) 100 . (2) 原式 = 2013 ( 2013+1 ) -2014 2 =2013×2014-2014 2 =2014× ( 2013-2014 ) =-2014． 解： (1) 原式 = 1.99 ( 1.99+0.01 ) =3.98； (3) 原式 = ( -2 ) 100 × ( -2+1 ) =2 100 × ( -1 ) =-2 100 . 解： (1)2 x 2 y + xy 2 = xy (2 x + y )=3 ×4=12. (2) 原式 = ( 2 x +1 )[( 2 x +1 )-( 2 x -1 )] = ( 2 x +1 )( 2 x +1-2 x +1 )=2( 2 x +1 ). 7.(1) 已知 : 2 x + y =4, xy =3, 求代数式 2 x 2 y + xy 2 的值 . (2) 化简求值： ( 2 x +1 ) 2 - ( 2 x +1 )( 2 x -1 ) ，其中 x = . 将 x= 代入上式，得 原式 =4. 8.△ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ，且 a ＋ 2 ab ＝ c ＋ 2 bc ，请判断 △ ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 拓展提升 ∴△ ABC 是等腰三角形． 解：整理 a ＋ 2 ab ＝ c ＋ 2 bc 得， a ＋ 2 ab － c － 2 bc ＝ 0 ， ( a － c ) ＋ 2 b ( a － c ) ＝ 0 ， ( a － c )(1 ＋ 2 b ) ＝ 0 ， ∴ a － c ＝ 0 或 1 ＋ 2 b ＝ 0 ， 即 a ＝ c 或 b ＝－ 0.5( 舍去 ) ， 课堂小结 因式 分解 定义 am+bm+mc=m ( a+b+c ) 方法 提公因式法 公式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习） 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式：要提尽； 3. 不要漏项； 4. 提负号，要注意变号