2020八年级数学上册第11章三角形11

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文档介绍

2020八年级数学上册第11章三角形11

‎11.2.2‎‎ 三角形的外角性质 学校:___________姓名:___________班级:___________‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.一天,爸爸带小明到建筑工地玩,看见一个如图所示的人字架,爸爸说:“小明,我考考你,这个人字架的夹角∠1等于130°,你知道∠3比∠2大多少吗?”小明马上得到了正确的答案,他的答案是(  )‎ A.50° B.65° C.90° D.130°‎ ‎2.如图,在△ABC中,∠C=80°,D为AC上可移动的点,则x可能是(  )‎ A.5 B.‎10 ‎C.20 D.25‎ ‎3.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍,且等于与它不相邻的一个内角的2倍,那么这个三角形一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 ‎4.如图,∠x的两边被一直线截得∠α,∠β,则x用α,β表示的式子是(  )‎ A.β﹣α B.α﹣β C.180°﹣α﹣β D.180°﹣α+β ‎5.如图所示,下列四个判断中,正确的是(  )‎ 15‎ A.∠ACE是△ABC的外角 B.∠ECD是△ABC的外角 C.∠DCF是△ABC的外角 D.∠ACD是△ABC的外角 ‎6.三角形的三个外角之比为2:2:3,则此三角形为(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 ‎7.如图,∠1,∠2,∠3是△ABC互不相等的三个外角,则∠1+∠2+∠3的大小为(  )‎ A.90° B.180° C.270° D.360°‎ ‎8.如图,船从A处出发准备开往正北方向M处,由于一开始就偏离航线AM15°(即∠A=15°),航线到B处才发现,立即改变航向,并想在航行相同航程后(BM=BA)到达目的地M处,则应以怎样的角度航行即∠CBM等于(  )‎ A.15° B.20° C.25° D.30°‎ ‎9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,点D是AB延长线上的一点.∠CBD的度数是(  )‎ A.125° B.135° C.145° D.155°‎ ‎10.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=65°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为BD,则∠A′DC=(  )‎ A.40° B.30° C.25° D.20°‎ 15‎ ‎11.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=(  )‎ A.70° B.80° C.90° D.100°‎ ‎12.如图,把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起,则α的度数(  )‎ A.75° B.135° C.120° D.105°‎ ‎ ‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎13.△ABC的三个外角之比为3:4:5,则最大内角为   .‎ ‎14.△ABC中,∠A=32°,∠B=76°,则与∠C相邻的外角是   °.‎ ‎15.如图,在△ABC中,D是边BC延长线上的一点,∠B=45°,∠A=75°,则∠ACD=   .‎ ‎16.在△ABC中,∠C比∠A+∠B还大30°,则∠C的外角为   度,这个三角形是   三角形.‎ ‎17.如图,x的值是   .‎ ‎18.如图,△ABC中,∠C=40°,AD是∠CAB的平分线,BD是△ABC的外角平分线,AD与D交于点D,那么∠D=   °.‎ 15‎ ‎19.如图,△ABC中,∠A=60°,BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线,BN、CN是外角的平分线,则∠M﹣∠N=   度.‎ ‎20.将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共5小题)‎ ‎21.如图,已知在△ABC中,D点在AC上,E点在BC的延长线上.求证:∠ADB>∠CDE.‎ ‎22.感知:如图①,△ABC是锐角三角形,△ABC的外角∠ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F,若∠ABC=45°,∠BAC=65°,求∠F的度数:‎ 15‎ 探究:在图①中,若∠ACB=α,其他条件不变,求∠F的度数(用含α的式子表示);‎ 应用:如图②,在△ABC中,∠ACB是钝角,△ABC的外角∠BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F,若∠ACB=α,则BE与CF相交所成的角的大小是   (用含α的式子表示).‎ ‎23.某零件如图所示,图纸要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,当检验员量得∠BDC=145°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?‎ ‎24.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,D是外角与内角平分线交点,E是外角平分线交点,若∠BOC=120°,求∠D的度数.‎ 15‎ ‎25.如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线. ‎(1)当∠A=40°时,分别求∠D和∠P的度数.‎ ‎(2)当∠A的大小变化时,试探究∠D+∠P的度数是否变化.如果不变化,求出∠D+∠P的值;如果变化,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 15‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.‎ 解:根据题意,∠3﹣∠2=180°﹣∠1,‎ 且∠1=130°,‎ 即得∠3﹣∠2=50°.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ 解:根据题意,9x>∠C=80°,‎ ‎∴x>()°,‎ 在△ABD中,9x<180°,‎ ‎∴x<20°,‎ 因此()°<x<20°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.‎ 解:设这个外角的度数为x,则与其相邻的内角为180°﹣x.‎ 根据题意得,x=2(180°﹣x),‎ 解得x=120°.‎ 则与其相邻的内角为60°,‎ 等于与它不相邻的一个内角的2倍,‎ 可得这个与其不相邻的内角为60°;‎ 即得该三角形为等边三角形.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.‎ 解:∵∠x+∠1=∠β,∠α=∠1,‎ ‎∴∠x+∠α=∠β,即∠x=∠β﹣∠α.‎ 故选:A.‎ 15‎ ‎ ‎ ‎5.‎ 解:A、∠ACE不是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;‎ B、∠ECD是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;‎ C、∠DCF是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;‎ D、∠ACD是△ABC的外角,原说法正确,故本选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ 解:设一个外角是2x°,那么其他两个外角一定是2x°,3x°.‎ 根据题意列方程,得2x°+2x°+3x°=360°,‎ 解得x=(51)°,‎ 则三个外角分别是:度,度,度.‎ 与这三角相邻的三个内角分别是:度,度,度.‎ 因为都是锐角,所以此三角形是锐角三角形.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.‎ 解:∵∠1,∠2,∠3是△ABC互不相等的三个外角,‎ ‎∴∠1+∠2+∠3=360°.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ 解:∵BM=BA,‎ ‎∴∠A=∠M=15°,‎ ‎∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°.故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.‎ 解:∵∠CBD是△ABC的外角,‎ 15‎ ‎∴∠CBD=∠A+∠ACB,‎ ‎∵∠A=55°,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CBD=55°+90°=145°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.‎ 解:由折叠的性质可知,∠BA′D=∠A=65°,‎ ‎∵∠ABC=90°,∠A=65°,‎ ‎∴∠C=25°,‎ ‎∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.‎ 解:∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,‎ ‎∵∠ABP=20°,∠ACP=50°,‎ ‎∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,‎ ‎∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°,‎ ‎∠ACB=180°﹣∠ACM=80°,‎ ‎∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°,‎ ‎∵∠BPC=20°,‎ ‎∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°,‎ ‎∴∠A+∠P=90°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.‎ 解:∵图中是一副直角三角板,‎ ‎∴∠1=45°,∠2=30°,‎ ‎∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°.‎ 故选:D.‎ 15‎ ‎ ‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎13.‎ 解:∵三角形三个外角度数之比是3:4:5,‎ 设三个外角分别是α,β,γ,则α=360°×=90°,‎ ‎∴此三角形一定是直角三角形,最大内角为90°.‎ 故答案为:90°.‎ ‎ ‎ ‎14.‎ 解:如图,∵∠1=∠A+∠B,∠A=32°,∠B=76°,‎ ‎∴∠1=32°+76°=108°,‎ 故答案为:108.‎ ‎ ‎ ‎15.‎ 解:∵∠B=45°,∠A=75°,‎ ‎∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°,‎ 故答案为:120°.‎ ‎ ‎ ‎16.‎ 解:由题意∠C=∠A+∠B+30°,‎ ‎∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°,‎ ‎∴∠A+∠B=75°,‎ ‎∴∠C=105°,‎ 15‎ ‎∴∠C的外角是75°,‎ ‎∵∠C=105°>90°,‎ ‎∴这个三角形是钝角三角形,‎ 故答案为75,钝角三角形.‎ ‎ ‎ ‎17.‎ 解:由三角形的外角的性质可知,x+x+20=x+80,‎ 解得,x=60,‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎18.‎ 解:∵AD是∠CAB的平分线,BD是△ABC的外角平分线,‎ ‎∴∠DBE=∠CBE,∠DAE=∠CAE,‎ ‎∴∠D=∠DBE﹣∠DAE=(∠CBE﹣∠CAE)=∠C=20°,‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎19.‎ 解:∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,‎ ‎∴∠M=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=90°+∠A;‎ ‎∵BN、CN是外角的平分线,‎ ‎∴∠N=90°﹣,‎ ‎∴∠M﹣∠N=∠A=60°,‎ 故答案为:60‎ ‎ ‎ ‎20.‎ 解:由三角形的外角的性质可知,∠α=60°﹣45°=15°,‎ 故答案为:15°.‎ ‎ ‎ 15‎ 三.解答题(共5小题)‎ ‎21.‎ 证明:∵∠DCB是△DCE的一个外角(外角定义)‎ ‎∴∠DCB>∠CDE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)‎ ‎∵∠ADB是△BCD的一个外角(外角定义)‎ ‎∴∠ADB>∠DCB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)‎ ‎∴∠ADB>∠CDE(不等式的性质).‎ ‎ ‎ ‎22.‎ 解:感知:∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°,‎ 由角平分线的性质,得 ‎∠ACF=∠ACD=55°,‎ 由三角形内角和定理,得 ‎∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°.‎ 探究:∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°,‎ 由角平分线的性质,得 ‎∠ACF=∠ACD=55°,‎ 由外角的性质,得 ‎∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°.‎ 应用:由补角的性质,得 ‎∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α,‎ 由角平分线的性质,得 ‎∠ECF=∠BCE=90°﹣α,‎ 由外角的性质,得 ‎∠CFE=90°﹣∠ECF=α,‎ 由补角的性质,得 ‎∠BFC=180°﹣α,‎ 综上所述:BE与CF相交所成的角的大小是 15‎ 故答案为:α或180°﹣α.‎ ‎ ‎ ‎23.‎ 解:如图,连接AD并延长,‎ ‎∴∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠C+∠CAD,‎ ‎∵∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,‎ ‎∴∠BDC=∠BDE+∠CDE,‎ ‎=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C,‎ ‎=∠B+∠BAC+∠C,‎ ‎=32°+90°+21°,‎ ‎=143°,‎ ‎∵143°≠145°,‎ ‎∴这个零件不合格.‎ ‎ ‎ ‎24.‎ 解:∵∠BOC=120°,‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=60°,‎ ‎∵∠B,∠C的平分线交于点O,‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=120°,‎ ‎∴∠A=60°,‎ ‎∵D是外角与内角平分线交点,E是外角平分线交点,‎ ‎∴∠DCH=∠ACH,∠DBC=∠ABC,‎ ‎∴∠D=∠DCH﹣∠DBC=×(∠ACH﹣∠ABC)=30°.‎ 15‎ ‎ ‎ ‎25.‎ 解:(1)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,‎ ‎∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,‎ ‎∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,‎ ‎∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,‎ 在△BCD中,‎ ‎∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)‎ ‎=180°﹣(90°﹣∠A)‎ ‎=90°+∠A ‎=90°+20°‎ ‎=110°;‎ ‎∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线,‎ ‎∴∠CBP=∠CBE,∠BCP=∠BCF,‎ ‎∴∠CBP+∠BCP ‎=∠CBE+∠BCF ‎=(∠CBE+∠BCF)‎ ‎=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)‎ ‎=(180°+∠A),‎ ‎∴∠BPC=180°﹣(∠CBP+∠BCP)‎ ‎=180°﹣(180°+∠A)‎ 15‎ ‎=90°﹣∠A ‎=90°﹣×40°‎ ‎=80°.‎ ‎(2)∠D+∠P的值不变.‎ ‎∵由(1)知∠D=90°+∠A,∠P=90°﹣∠A,‎ ‎∴∠D+∠P=180°.‎ ‎ ‎ 15‎
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